stahnout - Arnošt Leoš Šizling

OBHAJOBA FORMÁLNÍHO MYŠLENÍ
Arnošt L. Šizling
Abstrakt
Žijeme svět, který nám tají svoji podstatu. Nejsme ji schopni
vnímat jinak, než pomocí jevů, kterými se nám tento svět objevuje.
K uchopování a zmnožování těchto jevů jsme vyvinuli celou řadu
nástrojů. Počínaje uměním, konče vědou. Každá věda má své
nároky na způsob vysvětlení původu a smyslu vztahů mezi těmito
jevy. Matematika je počítána k vědám, a tudíž je jí připisován i
tento nárok. To se však nesnese s tím, aby byla použita v jiných
vědách, snad kromě fyziky, se kterou vyrostla. Mohla by si činit
nárok na způsob výkladu světa, a tím by vědám, které by ji použily,
nepomohla, ale zničila by je. Nám by pak ještě více zredukovala
bohatství světa, který žijeme, a zredukovala by jeho výklad. Došlo
by ke zúžení světa, který nás obklopuje.
Matematika je však věda, která je schopna nahlížet
souvislosti, jež jinak nevidíme. To, že jí podsouváme i způsob
výkladu příčin, není její vina a není jí to vlastní. Vše závisí jen na
našem umění matematiku používat a nenechat se jí spoutat. Může
být chápána jako prostor, skrze nějž nahlížíme souvislosti mezi
vlastnostmi objektů světa, který nás obklopuje. Výklad prvotnosti
těchto vlastností, tj. příčin a jejich smyslu, by měl zůstat
v kompetenci vědy, která matematiku používá.
Bude–li matematika takto chápána, nestane se
zúžením, resp. nepřípustnou redukcí našeho světa, ale jeho
obohacením, jeho rozšířením. Vše se odvíjí jen od umění
interpretace. A právě v umění interpretace má naše kultura veliký
vnitřní dluh. Nepěstuje ho. Tato práce je nesmělým pokusem o
předvedení, jak by mohla být matematika používána, aniž by si
činila nárok na výklad jevů, kterými se zabývá.
Jako „subjekt“ tohoto pokusu byly vybrány dva
makroekologické, potažmo biogeografické zákony o rozšíření
druhů po krajině. Jsou to závislost mezi rozlohou vybrané části
krajiny a počtem druhů, které tento kraj obývají (Species-Area
Relationship; SAR), a poměry mezi počty druhů s různými nároky
na životní prostor. Tyto poměry jsou často takové, že velmi mnoho
druhů je rozptýleno po celé krajině, nebo naopak obývají jen její
velmi malou část, zatímco druhů využívajících zhruba poloviční
rozlohu je relativně málo. Těmto početnostním poměrům někteří
říkají Raunkiaerův zákon (Raunkiaer’s law).
Obsah
Pravdy trvalé a dočasné
6
Co modelujeme 6
Co je vlastně předmětem našeho zájmu?..................................................................... 6
Zobjektivnění vlastnosti ............................................................................................... 8
Objekt SKNO uvnitř světa matematiky ........................................................................ 9
Stejnost a různost objektů SKNO............................................................................... 11
Jak zmást nepřítele .................................................................................................... 13
Co děláme uvnitř světa matematiky
16
Rozšíření, či zúžení SKNO? 19
Jak tedy svět matematiky opouštíme
20
Jak se pokoušíme na pravdu vyzrát, aneb úvodem slibované triky
22
Uzavřenost systémů ................................................................................................... 22
Axiomatizace.............................................................................................................. 23
Statistika .................................................................................................................... 23
Trik stálých předpokladů........................................................................................... 24
Hledání souvislostí .................................................................................................... 24
Apendix 1: Objekt světa, který nás obklopuje (SKNO) 26
Apendix 2: Objekt - zarážka, nebo spojnice?
Apendix 3: „Fenomenologická redukce“ 27
26
„Neváhej sdělit z nauk co znáš, ale varuj!“
…
„Byly uvolněny záměrně a letí prostorem jako šíp. Kam šíp dopadne, není tvou věcí!“
…
Vím, že šíp jednou vystřelený nelze vrátit, je však možno varovat jeho eventuální oběť
před jeho dopadem. Vím, že všechny střely nejsou smrtelné. Šíp může právě tak dobře
proklát srdce jako probudit spáče ze sna.
…
A protože naše tělo je první z omylů, jímž nám – jak známo – příroda svou pravdu zastírá,
zní první přípravné cvičení (…) nauky (…) takto: „Pochop tělo jako prázdno!“
…
V originále zní tento návod daleko šířeji a daleko podivuhodněji.
Symbolicky zní takto:
…
Vidíte, že bez vysvětlení a vnitřního pochopení mohl by se tento návod nezasvěcenému
jevit jako obraz pobloudilé fantasie, z něhož by se nám mohly nanejvýš zvedat vlasy na
hlavě. Ale nic by nebylo horšího než takové tvrdé nepochopení nebo dokonce zamítnutí.
Asi tak nazírali neinformovaní a nevědomí běloši na posvátné nauky a rituální tance
…
Pravda této drsné a záhadné symboliky však roste a není divošská. Je zcela jiná: nesmírně
jemná a subtilní. Je jen zahalena záhadnými symboly, aby se jí nezasvěcený nedopátral,
asi tak jako kdysi pravda středověkých alchymistů a rosikruciánů.
…
Ve skutečnosti vůbec nejde o zaujetí klamné představy čehokoli
…
ale jde o to
…
Tajné nauky Tibetu
Výňatky z tibetských mysterií
v podání Eduarda Tomáše, Brno 1990
str. 6
Pro poznání světa je důležité
nejen správně rozlišovat, ale i
správně nerozlišovat.
Pravdy trvalé a dočasné
Člověk stvořil matematiku k obrazu světa, který nás obklopuje, ale dal jí do vínku
schopnost hledat pravdy povahy trvalé. Tato ušlechtilá vlastnost ji však, v očích některých,
diskvalifikovala pro použití k vysvětlování pravd světa, který žijeme.
Přestože jsou tyto námitky povýtce relevantní, existuje řada triků, jak tuto
nepříjemnost obejít nebo alespoň zčásti potlačit její dopad. Abychom však tyto triky byli
schopni nahlédnout, podívejme se nejdřív, jak se k sobě objekty světa matematiky a světa,
který nás obklopuje (dále jen SKNO), mají (více viz Apendix 1).
Co modelujeme
Co je vlastně předmětem našeho zájmu?
Na objektech SKNO vnímáme jen jejich vlastnosti. Podle těchto vlastností si utváříme
obrazy těchto objektů. Vlastnosti, které vnímáme, jsou projevy objektů, které nám
umožňují zakusit existenci sebe samých1. Toto zakoušení se děje prostřednictvím smyslů.
My lidé nejsme odkázáni jen na známou pětici fyziologických smyslů2. Umíme
manipulovat s objekty SKNO tak, že je donutíme převést vlastnost jednoho objektu na
vlastnost či polohu3 objektu jiného - na vlastnost (tedy i polohu), kterou jsme schopni
vnímat některým z oněch pěti smyslů. Takovýmto donucovacím prostředkům, resp.
soustavě objektů, která toto donucování umožňuje, říkáme měřicí techniky, resp. měřicí
přístroje. Nejsem např. schopen vnímat, zda šířka mých dveří je větší než šířka almary,
kterou si chci koupit. Použiji tedy jednoduchý měřicí přístroj. Tímto přístrojem může být
např. klacek. Tedy objekt SKNO, který nemá s mými dveřmi ani almarou nic společného.
Přesto, za jistých předpokladů4, může mým smyslům pomoci vnímat něco, co jim bylo
původně skryto. Dosud jsme na úrovni smysly vnímatelného světa. Dveře, almara i klacek
jsou objekty takovéhoto světa.
Pusťme se do světa smysly nevnímatelného - světa vnímatelného jen skrze
manipulaci s jinými předměty.
Uveďme nejdříve jednoduchý příklad, který jako by stál na poloviční cestě. Bude jen
o objektech vnímatelných; jeden z nich – ten klíčový – se však bude nacházet za obzorem
našeho každodenního světa.
Žiji-li na louce, mohu vnímat teplo a sucho stejně jako vlhko a chlad. Mohu také
vnímat, že některé rostliny schnou, jiné nikoli. Jednou z vlastností, které nutí některé
rostliny schnout a naopak jiným umožňují zachovat si vzhled i za sucha, je délka kořenů.
To je ta kvalita skrývaná za naším každodenním obzorem. Až teprve manipulací, rozuměj
vytrháváním rostlin i s kořeny a následným porovnáváním, jsem schopen tuto skrytou
1
To nutně neznamená, že by tyto vlastnosti nemohly být ovlivněny způsobem našeho vnímání; znamená to
pouze, že za předpokladu jednotné konstrukce těch, kteří vnímají – jejich fyziologie – se tyto vlastnosti všem
jeví velmi podobně.
2
Jiná zvířátka mají těchto fyziologických smyslů, druh od druhu, méně nebo více.
3
Polohou vzhledem k okolí (konfigurací prostoru) budu nadále rozumět rovněž vlastnost; důvodem je
zjednodušené vyjadřování.
4
Např. že se šíře almary při přesunu k mým dveřím mění stejně jako délka klacku; že na jednom místě
v prostoru zůstává šíře stejná… atp. Obojí je myšleno v rámci určité tolerance, jinak to pochopitelně není
pravda (viz např. vlhkost vzduchu).
str. 7
vlastnost rostlin vnímat. Patrně bych ji ani nikdy nepotřeboval odkrývat, kdybych si
nepoložil některou z otázek po souvislosti dvou každodenně vnímaných vlastností objektů
SKNO - v tomto případě otázku po souvislosti sucha a vadnutí rostlin.
Pusťme se nyní do příkladu
složitějšího. Představím si, že jsem
v místnosti. V této místnosti se mj.
vyskytuje podložka pod hrneček, tj.
plochý předmět s obrázkem Pegase
uvnitř trojúhelníku, dále kytara
s šesticí kovových strun, šitíčko a
několik podivných tělísek, z nichž
některé
mají
podivnou
afinitu
k některým
jiným
předmětům
v místnosti. Přiložím-li je k sobě, lze je
od sebe oddělit jen s vynaložením
jistého úsilí. Jsem člověk zvídavý, a
tak začnu zkoumat, jak se k sobě
jednotlivé, mými smysly vnímané
vlastnosti mají. Soustředím se na
tloušťkuVL5 kytarových strunOBJ a na
Obr. 1: Tělíska s afinitou mají tu zvláštní vlastnost, že s
afinituVL oněch zvláštních tělísekOBJ.
různými strunami připevněnými k podložce pod hrnek
Zkusím předměty po místnosti různě
svírají různé úhly.
přemísťovat a budu si všímat co se
děje. Zkusím zavěsit různé úlomkyOBJ, mezi jinými i ty s afinitouVL, na niť a pod ně budu
napínat kytarové strunyOBJ, jejichž konce pevně spojím s dvěmi lesklými ozdobami na
podložce pod hrneček. Tyto ozdoby jsou ozdobeny rytými ornamenty + a − . Pro každou
tloušťkuVL strunyOBJ bude úlomekOBJ s afinitouVL svírat se strunou jiný úhelVL6 (obr. 1).
ÚlomekOBJ bez afinityVL bude se strunou svírat úhelVL pokaždé stejný. Objevil jsem
vlastnost v běžném životě zcela skrytou. Vlastnost, která mi pomohla dát do souvislosti
vlastnosti neskryté. Touto vlastností je vzájemná polohaVL7 dvou objektů, strunyOBJ a
tělíska s afinitouOBJ. Podaří-li se mi navíc nezávisle na sobě uspořádat strunyOBJ podle jejich
tloušťkyVL a úhlyOBJ podle jejich velikostiVL, a budou-li si tato pořadí odpovídat, prohlásím,
že jsem našel závislost velikosti úhluVL svíraného tělískemOBJ a strunouOBJ a tloušťkyVL této
strunyOBJ.
Povšimněme si, že k pochopení této souvislosti nebyl třeba žádný příběh, nebo
chcete-li teorie. Celé pochopení a zapamatování odhalené souvislosti, která je jinak za
obzorem našeho každodenního zacházení se světem, je až dosud postaveno na větách typu
„když udělám…, tak mohu pozorovat… “.
Protože jsme vnímaví a celou věc provádíme ne proto, že bychom potřebovali zavěsit
magnet nad kytarovou strunu připojenou k baterii, ale proto, že explorujeme8 a to, co
vyexplorujeme, dále využíváme, všimli jsme si i toho, že každá strunaOBJ se po připojení
5
V této části využiji vynálezu některých písem starověku (klínové písmo), determinativ; nečte se, ale
usnadňuje čtenáři orientaci v tom co mám na mysli, v tomto případě kdy mám na mysli objekt (OBJ) a kdy
jeho vlastnost (VL); to proto abych eliminoval přirozenou tendenci jazyka dělat z vlastností objekty a
vytvářet tak bariéru mezi zasvěcenými a nezasvěcenými (viz stať „Jak zmást nepřítele“).
6
Na tomto místě jde čistě o existenci pozorovaného jevu; náročnější čtenář jistě odpustí, že není zmíněna
potřeba patřičného momentu síly ve zkrutu použité nitě (tzv. torzní moment závěsu).
7
To, že poloha může být chápana jako vlastnost, snadno nahlédneme, uvědomíme-li si, že potenciální
energie tělesa zdviženého nad podložku je vlastností.
8
Explorování, přirozená vlastnost všech organismů; doporučuji na misku s kouskem suchého rohlíku umístit
několik moučných červů; nestačíte se divit, jak inteligentním zvířátkem se v této situaci takový červík jeví.
str. 8
k baterii zahřívá jinou rychlostíVL. Protože jsme do jisté míry i paranoidní a líní9, chceme
vidět nejen souvislosti mezi tloušťkou strunyVL, afinitouVL a úhlemVL, ale i mezi úhlemVL a
rychlostí zahříváníVL. Tato souvislost však už nemusí být jednoduše popsatelná slovy
„jestliže... potom“, „když... pak“ atp. Důvodem může být např. nejednoznačnost tohoto
vztahu. Avšak i v případě, že tato souvislost bude takovýmto jednoduchým, do tabulky
zapsatelným způsobem popsatelná, musíme si zapamatovat tabulky dvě. Jednu pro vztah
tloušťka strunyVL - úhelVL, druhou pro vztah tloušťka strunyVL - rychlost zahříváníVL. To
však nevyhovuje ani kapacitě našeho mozku, ani naší líné povaze10. Řešení je nasnadě. Je
jím jedna teorie či legenda pro obě souvislosti11. Namísto dvou tabulek si už napříště bude
stačit pamatovat jeden jediný příběh. V tomto případě příběh o elektrickém proudu. Příběh
o objektu, správněji na objekt převyprávěné vlastnosti12, který je za obzorem každodenního
života, stejně jako kořen schnoucí rostliny.
Zobjektivnění vlastnosti
Dosud jsme do světa matematiky nevstoupili. Snažili jsme se pouze zjednat si zcela
účelově takové porozumění SKNO, které nám to umožní13. Tímto porozuměním je
představa, že se tento svět sestává z objektů, které nahlížíme skrze jejich vlastnosti. Soubor
vlastností, které se zpravidla vyskytují pospolu14, pak charakterizuje naše uchopování
těchto objektů. Tento soubor nemá omezený, pevně stanovený počet vlastností. Jak již bylo
ukázáno, lze objevovat nové a nové vlastnosti prostou manipulací s předměty a tázáním se
po souvislostech. Tyto nové vlastnosti, ač jinak neviditelné15, zcela zřetelně vyvstávají,
když mají rozhodující vliv na vlastnosti jiných či stejných objektů, které nás z nějakého
důvodu zajímají. A právě tento vliv je popsatelný uvnitř světa matematiky. Matematickou
cestou tedy modelujeme nikoli vztahy mezi objekty SKNO, ale mezi vlastnostmi těchto
objektů16. Jak již bylo poukázáno, nemusí jít nutně o vztahy mezi vlastnostmi různých
objektů. Může jít o různé vlastnosti téhož objektu. Vzpomeňme např. na z fyziky známou
stavovou rovnici17, která popisuje/modeluje vztah mezi tlakemVL, objememVL a teplotouVL
plynného tělesaOBJ 18; nebo na pojem hustotyVL, který dává do souvislosti objemVL,
hmotnostVL a schopnost plavatVL. Vnímavý čtenář si již určitě všiml, kam mířím. Zcela
jistě si již uvědomil, že ačkoli nemůžu nemodelovat nic jiného než vlastnosti, přesto uvnitř
matematiky mluvím o objektech. To je jedno z tajemství fyziky, kterého si je matematika
vědoma jen zčásti. Je to proto, že matematik není nucen překračovat hranici mezi světem
9
Smířlivěji řečeno, máme touhu po jednoduchých a univerzálních vysvětleních
viz pozn. 9.
11
Osobně vidím mezi teorií a legendou rozdíl jediný: legenda neumí kvantifikovat. Mnemotechnická
pomůcka však již ano; do diskusí o významu odvozovacích pravidel (kalkulu) se v tomto textu nebudu
pouštět.
12
Touto vlastností je pohybVL nábojeOBJ, v případě struny elektronuOBJ, v případě polovodiče může jít dokonce
o pohyb absenceVL elektronuOBJ, term. „díryOBJ“.
13
Do světa matematiky je možné vstoupit mnoha dveřmi, stejně, jako je možné ji mnoha dveřmi opustit;
dveře, které právě otevíráme považuji z těch, co znám za nejlepší.
14
Zde je zřetelný vliv kontextu který žijeme; příkladem může být plavání na vodě a lehkost, vlastnosti
asociované např. se dřevem; vlastností, která nás vede za obzor, je hustota; této vlastnosti nám není třeba,
dokud neodjedeme do Indočíny a nezjistíme, že jsou stromy, jejichž dřevo neplave.
15
Nejen přímo nezachytitelné našimi smysly, ale třeba jen nenápadné.
16
Výjimku může tvořit klasická geometrie; ačkoli ji lze rovněž nahlížet tímto způsobem, její tradiční pojetí je
jiné.
17
Tlak, objem a teplota jsou v případě stavové rovnice stavy těchto vlastností, je tomu tak proto, že plynné
těleso prochází neustálou změnou; to, co jej charakterizuje, je právě tato trojice stavových veličin; avšak i
v případě, že se vlastnosti objektu nemění, vstupujeme do světa matematiky spíše se stavy vlastností než
s vlastnostmi samými; tento rozdíl je však v této stati záměrně opomíjen; není pro pochopení tématu důležitý
a zbytečně by celý text komplikoval.
18
Plynné těleso je např. vzduchová bublina stoupající od úst mluvícího vodníka.
10
str. 9
matematiky a SKNO tak často jako fyzik. Vstoupíme-li tedy do světa matematiky, stávají
se vlastnosti objekty, zobjektivníme je. Vystupujeme-li ze světa matematiky, musíme její
objekty opět uchopit jako vlastnosti. Jen tak se nám může podařit správná interpretace
pravd ve světě matematiky zahlédnutých.
Objekt SKNO uvnitř světa matematiky
Byl bych nerad, kdyby na tomto místě čtenář nabyl dojmu, že matematika umí modelovat
pouze vlastnosti objektů SKNO a nikoli objekty samy. Umí to. Dochází zde však k malému
významovému posunu. Obraz objektu ze SKNO je uvnitř matematiky sice rovněž objekt,
ale objekt trochu složitější. Je to objekt, který se nazývá struktura19. Této struktuře
nepřiřazujeme jeden stav, vyjádřený proměnnou/stavovou veličinou, ale stavů několik.
Jednoduchým příkladem může být opět plynné těleso, jehož jednoduchý matematický
model je struktura, kterou tvoří uspořádaná trojice již zmiňovaných stavových veličin.
Zatímco překlad vlastnostiVL objektu SKNO na veličinuOBJ 20 bývá málokdy skutečnou
redukcí (podrobněji viz Apendix 2), strukturaOBJ jakožto objekt světa matematiky, který
zastupuje objektOBJ SKNO, je vždy redukcí pohříchu nehoráznou. Nehoráznou, leč někdy
bezesporu užitečnou. Tvrdím-li, že překlad vlastnosti SKNO na objekt světa matematiky
nebývá skutečnou redukcí, myslím tím, že k této redukci dochází již na úrovni
pojmenovávání těchto vlastností živým jazykem21 (podrobněji viz Apendix 3). Připomínám
jen, že dosud nikdo nenašel způsob, jak práh živého jazyka překročit.
Zastavme se na chvíli u redukce objektu SKNO na strukturu, objekt světa
matematiky. V čem tato redukce spočívá a jak se tento vzor a jeho obraz od sebe liší? První
a podstatnou redukcí je „umrtvení“22. StrukturaOBJ, matematický obraz objektuOBJ, je
dokonale neživá v tom smyslu, že neumožňuje odhalovat nějaké své nové vlastnosti. Žádné
nemá, je dána vlastnostmi, které jsme jí byť některé nepřímo přiznali a které jsou všechny
stejně silně zaostřeny23. O všech víme stejně. Nestává se nám, že bychom tu a tam na
nějakou zapomněli nebo ji neprávem opomíjeli. Opomíjíme-li ji, je to vždy jen proto, že
nemá na právě studovaný problém vliv, tedy po právu. To má dva důležité důsledky.
Matematický model zakonzervuje/zamrazí náš pohled na svět tak že už jej (ten svět) nelze
dále rozvíjet (1); a o všech objektech můžeme s určitostí říci, zda jsou stejné, či zda a o
kolik se liší (2). Již se nám nemůže stát to, co denně prožíváme, když se snažíme
zorientovat v nějakém problému a snažíme se problém nový srovnat s nějakým
problémem, jehož řešení známe. Ve světě matematiky se již neocitáme v pozici, ve které
říkáme: „Na jednu stranu je to stejné jako… a na druhou stranu je to úplně jiné, a nebylo
by spíš podobnější… .“ Nemůže ani docházet k zasvěceným hádkám na téma: „Všechna
náboženství jsou stejná.“ „Nikoli, křesťanství a islám se zásadně liší, avšak buddhismus,
nebýt ateismem, je némlich totéž co křesťanství.“ Nemůžeme dokonce ani uzavírat
kompromisy.
19
Struktura není pojem uvnitř matematiky jednoznačný; budu mu však rozumět, jako libovolné uspořádané
n-tici, přičemž struktury typu „grupa“ (množina vybavená operací), nebo těleso přirozených čísel (přirozená
čísla vybavená dvěmi operacemi s určitými vlastnostmi), nebudu příliš uvažovat; poselství práce to
neznehodnotí (závěry zůstanou platné i pro tyto struktury), pouze by ji to neúměrně rozšiřovalo.
20
Rozuměj objekt světa matematiky.
21
Vezměme například pojem plochyVL, který je v živém jazyce identický s plochouOBJ tak, jak jsme s ní
zvyklí pracovat v matematice (podrobněji viz Apendix 2); naše prožívání plochy se však samozřejmě liší.
22
zmrazení (fyz. term.)
23
Struktura, které přiřadíme N vlastností má jen tyto, a z nich vyplývající vlastnosti. Tj. jen vlastnosti přímo,
či nepřímo přiznané; jiné mít nemůže.
str. 10
Obr. 2: Různé stavy pozorované veličiny (zobjektivněné vlastnosti) se mohou, ale také nemusí vyskytovat s jistou
pravidelností. Je-li stejný poměr výskytů náhodně zvolených velikostních skupin těchto veličin (např. malých
středních a velkých), říkáme, že se veličina řídí nějakým konkrétním rozdělením. Nejčastější způsoby, jak zobrazit
toto rozdělení, jsou na grafech (a), (b) a (c). Způsob prvý (a) využívá naměřené hodnoty. Ty se seřadí podle
velikosti a v tomto pořadí vynesou do grafu. RANK je tzv. pořadová statistika a jde o pořadí té které hodnoty
v souboru uspořádaném podle velikosti. Další dva způsoby přiřazují každé hodnotě (rozuměj jejímu stavu)
pravděpodobnost (potažmo relativní četnost), s jakou bude náhodně pozorovaná veličina menší (b), a hustotu
pravděpodobnosti (c). Hustota pravděpodobnosti nám umožňuje pro každý, uměle zvolený interval říci, s jakou
pravděpodobností se bude náhodně pozorovaný stav veličiny v tomto intervalu nalézat (viz šrafovaná část). Tuto
pravděpodobnost spočteme jako plochu nad zvoleným intervalem, která je shora omezena křivkou grafu.
Všeobecně známý sloupcový graf, neboli histogram, představuje odhad této křivky zkonstruovaný na základě
pozorovaných dat.
Je zde však ještě jeden způsob, jak vytvořit obraz objektu SKNO uvnitř formálního
světa. Společenstvo živých bytostí je objekt SKNO. Denně můžeme vnímat jeho
projevyVL 24. „Již není tolik vrabců, co bývalo,“ „včera se tady na tom plácku tahali kosi o
žížalu,“ „dnes v noci jsem oka nezahmouřil, řval (komunikoval s ostatními) mi za okny
celou noc slavík,“… . Jednou jeho vlastností jsou poměry početností jednotlivých druhůVL.
„Na bukače narazit téměř nemožno, zato volavek popelavých je poslední dobou jak
naseto.“ Tuto vlastnost vnímáme, stejně jako vlastnosti SKNO, lokálně. Pro obyvatele měst
jsou běžní holubi. Pro obyvatele vsí nikoli. Matematickým obrazem této vlastnosti je opět
objekt. Je jím rozložení početnosti jednotlivých druhůOBJ (obr. 2). Tento objekt se uvnitř
světa matematiky chová velmi podobně jako objekt SKNO. Uchopit jej v celé jeho úplnosti
znamená udělat jeho identickou kopii. Nezbývá nám než, tentokrát již ve světě
matematiky, objevovat vlastnosti, které jej popisují. Tyto vlastnosti uchopujeme jako
takzvané statistiky. Statistiky jsou např. průměrOBJ, rozptylOBJ, šikmostOBJ, mediánOBJ atp.
HodnotyST 25 těchto statistik získáváme přímým pozorováním26 objektů SKNO. Říkáme jim
„odhady těchto statistik“ a přiřazujeme jim různé symboly. Odhad průměru ( µ ), je tzv.
výběrový průměr ( x ), odhad rozptylu ( σ 2 ), pak tzv. výběrový rozptyl ( s 2 ). Běžně se
však říká jenom průměr a rozptyl a používá x či σ 2 27. Co přesně je myšleno se poznává
z kontextu.
24
Projevy nejsou přímo vlastnosti, zcela účelově je však takto můžeme nahlížet; jediné na co je třeba dát
pozor je aby tento náhled neovlivnil naše závěry.
25
ST –stav veličiny, zobjektivněné vlastnosti.
26
Jistěže skrze jejich vlastnosti, to se jen takhle říká.
27
Zmatek umocňuje ČSN 01 0104, podle které termín průměr neexistuje, správně je střední hodnota,
matematická naděje či obecný moment řádu 1 a značí se
( )
E ( X ) , či E X 1 ; rozptyl je pak rozptyl nebo
str. 11
Stejnost a různost objektů SKNO
Již jsem se pokusil ukázat, že to co pokládáme za objekty SKNO a jejich obrazy ve světě
matematiky se liší hlavně svou „živostí“. Tím jsem mínil skutečnost, že objekt SKNO nám
je schopen odhalovat stále nové a nové vlastnosti, zatímco objekt světa matematiky tuto
vlastnost nemá. Živý jazyk umí do jisté míry tuto vlastnost objektů SKNO napodobit. Má
na to prostředky typu: „Na jednu stranu je to takové a na druhou stranu ne, ale na jednu
stranu… atd.“ Říká se tomu zvažování a jde o jev, který se se společenským tlakem na
rychlost rozhodování a stručnost řeči z naší mluvy vytrácí. Při zvažování se svět mění před
našima očima jako améba, dvě věci, které se jevily stejné při vyslovení zaklínadla „na
jednu stranu“ se po vyslovení formule „na druhou stranu“ zdají úplně jiné. Protože v živém
jazyce jsme schopni vnímat časový sled výroků jako celek, vzniká nutně dojem, že živý
jazyk je do jisté míry schopen proměnlivost SKNO uchopit. Avšak i ve světě matematiky
lze zvažovat: „Na jednu stranu se s rychlostí hmotnost nemění, na druhou stranu, když ta
rychlost bude velká“… atp. Stav za každým slovem „stranu“ je nutně chápán jako
samostatný model28 a dojem uchopitelnosti hloubky SKNO se zdánlivě ztrácí. Fyzik ovšem
nutně chápe každý další model jen jako stupínek v procesu poznávání, nikoli jako
definitivní popis SKNO. Vraťme se tedy ke zvažování. Dalším způsobem, jak lze
zvažování nahlédnout, je porozumět mu jako postupnému zaostřování. Přidáváním nových
vlastností se dostáváme ke stále podrobnějšímu uchopení. Platné je vždy uchopení
koncové. Rozuměj uchopení za posledním slovem „stranu“, včetně všech uchopení
předcházejících. Každý takovýto stav uchopení objektu SKNO je však stejně „mrtvý“ a
neúplný jako jeho obraz ve světě matematiky. Tento způsob porozumění procesu
zvažování používáme vždy, když chceme něco uchopit, vždy, když chceme s objekty
SKNO manipulovat nebo dojít k nějakým závěrům, něco vymyslet. Zdá se tedy, že
„umrtvování,“ rozuměj ztráta úplnosti objektů SKNO, nesouvisí ani tak s jejich
matematizací, jako se způsobem, jakým se světem zacházíme, s jeho uchopováním.
Vraťme se však k problému stejnosti a různosti. Je zřejmé, že to jestli jsme ochotni
přiznat dvěma objektům SKNO stejnost, závisí na vlastnostech, které máme na zřeteli.
Přidání jediné nové vlastnosti může celý obraz značně rozhodit. Celý jev snáze
nahlédneme na příkladu blízkosti hvězd. Můžeme se hádat o to, zda dvě hvězdy jsou na
obloze na stejném místě či nikoli. Někomu bude stačit, když nebudou od sebe dál než půl
stupně, jiný bude vyžadovat, aby došlo k jejich zákrytu. Protože však situace, ve které
budou ve stejném okamžiku těžiště dvou hvězd a oči dvou pozorovatelů ležet přesně na
jedné přímce29, nemůže nastat – ten druhý by nic neviděl, přou se tito dva pozorovatelé
vždy jen o vzdálenost, které jsou ochotni přiznat bezvýznamnou úlohu. Bezvýznamnou
natolik, že budou považovat polohy dvou hvězd, které jsou si blíž, než je tato vzdálenost,
za shodné. Přeneseme-li tuto úvahu na objekty SKNO, bude nám ke stejnosti stačit když,
v prostoru svých vlastností, budou některé objekty tvořit vydělitelné klastry (obr. 3). Bude
nám stačit, když si budou stavy zvažovaných vlastností dostatečně30 blízké v porovnání
s jinou skupinou objektů31. Jak však bude obraz stejnosti a různosti vypadat, přidáme-li do
našich úvah hloubku oblohy, rozuměj geometrickou vzdálenost hvězdy od pozorovatele?
centrální moment řádu 2, a značí se σ , D ( X ) , či µ 2 ; matematičtí statistici používají většinou, s různými
odchylkami, terminologii momentů.
28
Newtonův klasický model, relativistický model atd.
29
Nebo snad na jednom paprsku; jde o různé, či stejné věci? Nechť si laskavý čtenář vybere dle svého
naturelu.
30
Dostatečnost je vždy určována důsledky, které nás zajímají.
31
Tímto nevylučuji ze svého uvažování zaostřování typu „velké kočky“ → „lvi a tygři a levharti a jaguáři“
→ „lvi afričtí a lvi asijští; a tygři ussurijští, a tygři bengálští; a levharti a irbis; a …“ atd.; tj. změnu roviny
ostrosti.
2
str. 12
Obr. 3: Budeme-li mít na zřeteli pouze vlastnost 1, budou se nám objekty O1 a O2 jevit blízké. Přidáme-li
vlastnost 2, budou se nám jevit všechny tři objekty O1, O2 a O3 stejně vzdálené (rozuměj různé) (a). Budou-li,
ve stavovém prostoru „vlastnost1 - vlastnost2“, shluky více objektů (b), můžeme při zvolené hladině zaostření
považovat objekty jednotlivých shluků za stejné. Toho využívá živý jazyk, když pojmenovává: „bříza, strom,
rostlina,… “. Matematický model však není schopen zachytit proměnlivý počet uvažovaných vlastností a
odhalování celé řady nových vlastností. Vlastností, které nelze vyvodit z vlastností přiznaných.
Za těchto okolností se např. Deneb32 a alfa Jižního kříže – hvězdy dvou různých
polokoulí33 – mohou jevit na stejném místě. Deneb a některá z hvězd Mléčné dráhy, která
je s Denebem téměř v zákrytu34, se pak mohou jevit jako hvězdy velmi vzdálené (obr. 4).
Zatím jsme se zabývali růzností mezi dvěma objekty SKNO, které byly uvnitř světa
matematiky reprezentovány strukturami. Mlčky jsme při tom předpokládali, že rozumíme
pojmům „dvě stejné“, „podobné“ a „rozdílné“ vlastnosti. Podívejme se tedy na toto
rozumíme podrobněji. Strom poznáš po ovoci, praví se, a stejně tak je tomu i s vlastnostmi.
Dvě vlastnosti, resp. dva stavy téže vlastnosti35 budeme považovat za stejné nebo alespoň
podobné, bude-li se nám špatně rozlišovat mezi jejich důsledky. Příkladem může být šířka
řeky či potoka. Bude-li našim cílem řeku přeskočit, nebudeme asi rozlišovat mezi půl
metrem a metrem a potom mezi deseti metry a kilometrem. Jinak na tom však budou žena
v úzké sukni, srna a myš. Jiné seskupení šířek řeky bude mít stavitel zdrže pitné vody, jiné
stavitel vodní elektrárny. Podobných příkladů bychom mohli pro každou vlastnost
vyjmenovat bezpočet a nepřišlo by nám na tom nic divného. Ba naopak, přišlo by nám to
samozřejmé, až triviální. Jinak bychom na tom však byli, kdybychom dostali jen šíře řeky
v metrech, aniž by nám kdo vysvětlil, zda chce přes řeku skákat, či na ní pořádat jachtařské
závody. Určitě bychom prohlásili, že není rozdíl mezi jedním metrem a devadesáti devíti
centimetry, zatímco mezi jedním metrem a devadesáti centimetry bychom začali váhat.
Naše rozhodování by se totiž začalo řídit zcela jinými pravidly. Zatímco v případě prvém
bychom zvažovali, jak daleko kdo doskočí, v případě druhém bychom brali v potaz
přesnost našich smyslů resp. měřicích přístrojů, a snad bychom ještě zvažovali, jak moc
mohou být břehy podemlety.
Spolu s převodem stavů vlastností na čísla se nám do uvažování vloudí i dojem jejich
podobnosti. To by ještě nebylo nic tak strašného, vždyť právě podle vzájemné podobnosti
jednotlivých stavů těmto stavům čísla přiřazujeme. Znepokojivá je však skutečnost, že
máme tendenci jednou již uskutečněné přiřazení považovat za univerzální, za obecně
32
Deneb, hvězda v souhvězdí Labutě.
Na sféře se jeví velmi vzdálené.
34
Tj. na sféře jsou na téměř stejném místě; jsou-li přesně v zákrytu (konjunkci), pak tu vzdálenější z nich
nevidíme.
35
Např. vlastnost barva - její stavy červená, zelená, atp.; nebo objem - jeho stavy tři a pět litrů.
33
str. 13
platné, nezávisle na důsledcích, kterými se
zabýváme. A to navzdory tomu, že je
naprosto zřejmé, že tomu tak, ne vždy, být
musí. Budeme-li například vyrábět světla
na přechodu, nebude zjevně příliš vadit,
budeme-li volně zaměňovat červenou za
fialovou. Zaměníme-li však červenou a
zelenou, následky mohou být leckomu
osudné. Podíváme-li se však na vlnové
délky, popř. energetické důsledky těchto tří
barev, bude mít červená mnohem blíže
k zelené než k fialové. Co dodat. Snad jen
to, že pokoušíme-li se interpretovat
Obr. 4: Deneb a α Jižního kříže jsou na sféře velmi
výsledky nahlédnuté skrze svět matematiky
vzdálené (viz velký úhel, který svírají jejich spojnice
popř. roztřídit si objekty SKNO podle
se zemí značenou kroužkem). Oproti tomu Deneb a
vztahů ve světě matematiky zahlédnutých,
vyznačená hvězda Mléčné dráhy jsou si na sféře
je třeba mít tuto skutečnost neustále na
velmi blízké (úhel spojnic je výrazně menší). Situace
se změní, zahrneme-li do svých úvah vzdálenost od
zřeteli.
Země.
Jak moc je za těchto okolností
rozumné nahlížet skrze svět matematiky celé objekty SKNO? Vždyť přece uspořádávat,
seskupovat a rozlišovat či nerozlišovat je úhelným kamenem celé matematické metody.
Domnívám se, že to moc rozumné není. Tedy není to moc rozumné, přistupujeme-li
k poznávání po řecku, tedy jakožto vědci, nikoli po latinsku, tedy jakožto technici36. Co
však smysl má, je hledání vztahů mezi vlastnostmi objektů SKNO. Vztahů, které nejsme
schopni vidět jinak než skrze svět matematiky. SKNO si tím nezúžíme. Vlastnost uchopená
živým jazykem je totiž stejně neživá jako její obraz uvnitř světa matematiky. Hledání
vztahů je však to, co se zhusta dělá, i když neříká. Ale o tom až v následující stati „Jak
zmást nepřítele“.
Jak zmást nepřítele
Jazyk jako by nebyl stvořen k vyjadřování pravdy, ale ke klamání. Je dost možné, že
jednoduché věty typu „v lednici je pivo“ k dorozumění stvořeny jsou. Mohly se vyvinout
při lovu nebo při boji, tedy v situacích, kdy je v bytostném zájmu mluvčího, aby mu bylo
rychle a jednoznačně rozuměno. Složitější větné struktury však vlastnost rychlé a
jednoznačné pochopitelnosti nemají. Aby si dva lidé jednoznačně rozuměli i v tak
jednoduchých situacích, jako je struktura dat, která se dá zcela jednoznačně zakreslit do
tabulky, nebo místo a doba schůzky, je třeba jisté míry „kanonizace“. To s sebou nese
zúžení jazyka, který používáme. Tato kanonizace se dělá soužitím: „Napodruhé už ta
schůzka vyjde“ nebo společnou znalostí již zavedeného kánonu: „Uprav data pro analýzu
hlavních komponent37 ve Statistice38.“
Důležitou vlastností nás samých je, že si této nejednoznačnosti většinou nejsme
vědomi. Důležitou vlastností naší kultury je, že ten, kdo se snaží o přesné vyjadřování, je
společensky nepřijatelný. Ten, kdo mluví nejednoznačně nikoli. Kanonizujeme-li jazyk,
máme tendenci pojmenovávat a tím vytvářet objekty i tam, kde je to zdánlivě nesmyslné.
Magnetce na niti včetně závěsu, budeme říkat ampérmetr. Je to mnohem kratší a
36
Řekové vyrobili stroj ze zlata, vystavili jej na piedestal a obdivovali krásu souvislostí pák, kol a jiných jeho
součástí; Římané udělali stroj ze dřeva a železa a zapřáhli jej do práce. Přednášky Z. Kratochvíla.
37
Standardní vícerozměrná statistická analýza.
38
Statistický SW.
str. 14
přesnější39 než magnetka zavěšená na niti. Objevování se nové volné pozice v orbitu atomu
v krystalové mřížce a následnému mizení staré volné pozice budeme říkat pohyb díry.
Pohybu přiřadíme rychlost, díře pak náboj. Změnám tvaru ušního bubínku způsobeným
přenosem pohybu molekul vzduchu od rychlého usměrněného pohybu molekul vzduchu
v komíně budeme říkat meluzína. Spojíme takto pozorované jevyVL, které se vyskytují
synchronně, a řekneme si: „Za tím přece něcoOBJ musí být.“ Významně to přispěje ke
schopnosti rychlého a jednoznačného dorozumění40.
Důsledkem je jistá míra hermetičnosti jazyka. Ta se projevuje celou řadou rovin
zasvěcení - pracovně vyčleňme dvě. Tyto dvě roviny zcela výstižně popisuje koán o Mistru
Süanovi a jeho žáku41.
Žák: „Říkáte, prý, že celý vesmír je jediný
průhledný krystal, jak tomu mám rozumět?“
Süan: „Celý vesmír je jediný průhledný krystal,
nač tomu rozumět?“
Následujícího dne se ptá Mistr Süan žáka:
„Celý vesmír je jediný průhledný krystal,
jak tomu rozumíš?“
Žák: „Celý vesmír je jediný průhledný krystal,
nač tomu rozumět?“
Mistr Süan: „Vidím, že s tebou cloumají démoni.“
Tento koán nádherně popisuje celý proces zasvěcování. Budu-li se domnívat, že
elektrickým obvodem teče nějaký druh nestlačitelné kapaliny, odvodím stejné rovnice a
dopočítám se téměř stejných závěrů a budu používat téměř stejné termíny jako člověk,
který bude do podstaty problému vidět. Nezasvěcený nic nepozná. Vždyť celá terminologie
je skutečně dělána podle takovéto představy. Připomeňme např. elektrický proud, tok
elektronů, potenciálový spád atp. Zábavná je představa člověka, který by založil svou
reputaci na dokazování skutečnosti, že těmi dráty nic neteče, a obviňování těch druhých z
naivity. Mnohem zábavnějším pokračováním této představy je však situace, kdy by tento
člověk byl postaven před obvod konstruovaný speciálně pro výbušná prostředí, se slovy:
„Dokažte svá tvrzení přestřihnutím vodiče.“ Zde asi nutno čtenáře seznámit se skutečností,
že pro výbušná prostředí se konstruují „elektrické“ obvody z trubek, kterými skutečně
namísto elektrického proudu teče proud tekutiny. Součástky pak jsou speciálně
konstruované ventily. Takovýto obvod se v potřebných vlastnostech chová stejně jako ten
elektrický. Jen jiskra v něm nepřeskočí a nepřeskočí. Toto je asi výukou natolik
zprofanované téma, že k této situaci stěží kdy dojde. Osobně jsem však na mezioborové
úrovni potkal mnoho situací, které nebyly tak zřejmé a k podobnému nedorozumění došlo.
Podívejme se například na modely biologických společenstev. Celé třídě modelů se
zcela běžně říká populační modely neboli modely populací. Můžeme slyšet i termín
„populační rovnice“. Co však tyto modely popisují? Popisují výhradně abundance
(populační početnosti), nebo populační hustoty do modelu vstupujících druhů42. Tyto
rovnice nemají nic společného např. s rychlostí šíření populace otevřenou krajinou nebo
39
Neuvedeme-li účel (ampérmetr, tj. soustava pro měření el. proudu), mohl by leckdo zavěsit magnetku, aniž
by získal požadovanou funkci.
40
Tím nechci říci, že by člověk nejdřív něco věděl o molekulách a pak teprve vytvořil pojem větru; již na
začátku jsem předeslal, že tato tendence je naší přirozenou vlastností; věřím, že podrobnější rozbor tohoto
příkladu s meluzínou by mohl vést k nahlédnutí podstaty této lidské vlastnosti a též k závěru, že je nezbytnou
funkcí jakéhokoli vnímání.
41
Mrtvá Kočka, zenové koány v překladu V. Cílka; v roce 1992 vydala Pražská Imaginace.
42
Biolog mezi tím většinou nerozlišuje.
str. 15
schopností jednotlivých populací vytvářet nové druhy. Od toho jsou evoluční modely.
Znamená to však, že se člověk, který tyto modely tvoří či používá, domnívá, že populace
živých bytostí a abundance jednotlivých druhů jsou
jedno a totéž? Obávám se, že ano i ne. Pomiňme fakt,
že jsou opravdu lidé, kteří tak naivní a priori jsou, a že
tito lidé jsou velmi často schopni vytvořit zcela funkční
a dobře interpretovatelný model. Tomu by odpovídala
prvá ze zmiňovaných rovin zasvěcení. Soustřeďme se
na lidi, kteří si ostře uvědomují, že modelují jen jednu
z vlastností objektu, jemuž se říká populace. I tito lidé
jsou vystaveni stejnému riziku jako člověk, který si
pořizuje snímky z dovolené a po čase si již z celé
Obr. 5: Obrázek ukazuje hypotetickou dovolené nevybaví nic jiného, než to, co zachytil jeho
představu vztahu SKNO a našich fotoaparát. Je však toto nebezpečí spojeno výhradně
vyjadřovacích
prostředků.
Tato s formalizací a s modelováním? Zmíněný příklad
představa ukazuje, jak by tento vztah turisty a jeho fotoaparátu napovídá, že nikoli. Jen
mohl vypadat, kdyby bylo pravda, že
jediná vlastnost, o které bezpečně víme, riziko je tu snad o něco větší. Formální uchopení
že ji SKNO má, je jeho neuchopitelnost. objektu SKNO totiž představuje mnohem silnější
Obrázek zachycuje vztah SKNO zaostření, než způsoby jiné. Takovým jiným způsobem
(SKNO), živého jazyka (1) a jiného uchopení může být např. slovní popis, báseň či kresba.
vyjadřovacího
prostředku,
např.
Mají tedy kritici formálního uchopování
výtvarna nebo poezie (2). Přesah živého
vlastností
objektů SKNO pravdu, když tento způsob
jazyka přes SKNO by mohl znázorňovat
situace, kdy se nám podaří říci naprostý obviňují z nepřípustného redukcionismu a zužování
nesmysl, který se však zdá přijatelný. našeho pohledu na svět? Odpověď opět není tak
Ne snad že by byl obrazem něčeho ze přímočará, jak bychom chtěli. Podívejme se na jeden
SKNO, ale pro svou libozvučnost. z aspektů43 tohoto zužování. Odkud bereme své
Známe to dobře z umění: „Vypadá to
hezky, ale je to o ničem.“ Živý jazyk přesvědčení, že živý jazyk dokáže uchopit objekty
však tuto svou vlastnost zastírá, tím, že světa, který nás obklopuje v mnohem větší šíři? Možná
hledá stále nové významy a pojmy. je to jeho schopnost mluvit naráz o mnohem více a
Kroužky (3) a jejich spojnice (4), (5) mnohem různorodějších vlastnostech objektů SKNO
znázorňují vlastnosti a vztahy mezi než by mohl dokázat kterýkoli formální model. Možná
nimi. Šrafovaná oblast (6) by mohla být
oblast bezesporna - tj. oblast SKNO, je za tím neohraničenost představ, které vyjadřujeme.
kterou
lze
nahlížet
pomocí Můžeme např. začít větou „tato krychle je červená“,
matematických modelů. Souvislost pokračovat „zelená“ a skončit slovy „a modrá“. Z této
mezi vlastnostmi této oblasti (4) vede věty není patrné, zda je mluvčí nerozhodný, zda
přes oblast za obzorem (čárkovaně) - krychle své barvy mění, či zda jsou v jedné větě
nahlížíme ji prostřednictvím formálních
vymezeny tři modely (rozuměj popisy), každý pro jiný
modelů.
pohled na krychli, kterou mluvčí pomalu obchází.
Osobně mám za to, že za představou komplexnosti popisu SKNO s využitím živého jazyka
stojí hlavně jejich nejednoznačnost. Proč si to myslím? Co víme o SKNO? Patrně všechny
kultury se shodnou na jediné jeho vlastnosti, a tou je jeho neuchopitelnost. Lao-Tsiova
kanonická kniha44 ve svém prvním verši říká:
Tao, po němž lze kráčeti, není věčné Tao,
jméno, jež lze jmenovati, není věčné jméno.
43
Další aspekt bude rozebrán ve stati „Rozšíření, či zúžení SKNO?“.
Kanonická kniha o Tau a ctnosti (TAO-TEK-KING) v překladu orientalisty, rektora UK Rudolfa Dvořáka
(samizdat).
44
str. 16
Neuchopitelnost SKNO a nejednoznačnost živého jazyka mohou být vnímány jako jedna a
tatáž vlastnost. Je ale shoda dvou tak košatých „věcí“ jako SKNO a živý jazyk v jedné
jediné vlastnosti dostatečnou oporou pro přesvědčení o tom, že živý jazyk popisuje SKNO
ve větší šíři než jazyk formální? Nejsou přesahy živého jazyka přes jazyk formální přesahy
úplně jiným směrem než přesahy SKNO? Kam nás vede touha po jazyce spisovném? Co
nás opravňuje tvrdit, že dvě struktury jsou ve vztahu inkluze45 jen proto, že jsou obě
složité? Existuje snad jenom jedna složitost? A v jakém z univerz? Existuje snad jediné
univerzální univerzum? Na tyto otázky neumím odpovědět. Pro účely této práce však bude
plně stačit, když si uvědomíme jejich dosah (obr. 5). Kdyby tomu tak skutečně bylo –
kdyby za dojmem shody světa „živého“ jazyka a SKNO (popř. živého jazyka a světa, který
žijeme) stála jejich nejednoznačnost, mohlo by se snadno stát, že formální uchopení
vlastností objektů SKNO se svým kriteriem bezespornosti je sice zúžením jazyka, ovšem
nikoli popisu SKNO. Ke zúžení SKNO by došlo už při jeho uchopení živým jazykem.
Co děláme uvnitř světa matematiky
Co děláme uvnitř světa matematiky? Tuto otázku není zdaleka jednoduché zodpovědět.
S trochou zjednodušení však můžeme říci, a to zejména v oblasti matematického
modelování, že k sobě skládáme závislosti46 mezi dvěma veličinami. Toto skládání probíhá
doslova stavebnicovým způsobem. Neliší se příliš od hry dítěte, které skládá kostky
stavebnice, z nichž některé k sobě pasují, jiné ne. Tyto závislosti jsou buď opřeny o naši
intimní zkušenost se světem (axiomy a predikáty), nebo jsou empiricky odpozorovány
(fenomenologické závislosti47), a nebo za nimi stojí představa nějakého mechanizmu, jsou
odvozeny.
Všechny tři způsoby mají jedno společné. Mají společnou představu funkční
závislosti. Přičemž slovo funkční zde nemá nic společného s tím, jestli něco funguje, či
nikoli, ale s tím, že každému stavu veličiny na vstupu odpovídá nejvýše jeden stav veličiny
na výstupu. Veličin na vstupu i na výstupu může být větší počet, ale i tak stále platí, že
každému jednomu stavu na vstupu odpovídá nejvýše jeden stav na výstupu. V jiných
kontextech se takovýmto útvarům říká Black-Boxes, mechanismy či stroje48 a vlastnosti
funkční závislosti „kauzalita“49. Tato vlastnost základních stavebních kamenů
matematického modelování (rozuměj funkcí) se patrně do našeho vědomí vloudila při
modelování jednoduchých strojů50. Vezměme kupříkladu kladkostroj. Pro takovýto
mechanismus lze jednoznačně říci, o kolik zvedneme břemeno, popotáhneme-li lano např.
o pět metrů51. U podobných strojů je souvislost jasná, jednoznačná a nevyhnutelná. Navíc
je tento způsob uchopování souvislostí mezi vlastnostmi objektů SKNO (vlastnostmi
rozuměj délku povytaženého lana a výšku, do které bylo břemeno zvednuto) natolik
efektivní, že jsme se ho pokusili zavést i tam, kde tato souvislost není uvnitř SKNO
viditelná. Existuje řada důvodů, proč se domnívat, že je toto zavedení možné. Asi
nejsilnějším důvodem je to, že tento předpoklad naši kulturu dosud nezklamal - alespoň
45
Rozuměj buď jsou obraz SKNO a živý jazyk struktury shodné, nebo je jedna beze zbytku vnořena do
druhé.
46
Především dvoj - ale i vícemístné relace; dvojmístná relace je matematický termín pro vztah dvou veličin;
relace je širší termín než funkce; relací je např. i nerovnost.
47
Fenomenologické ve smyslu, jak je používán ve fyzice.
48
Vymezení Black-Boxes, mechanismů a strojů se může obor od oboru, autor od autora rozcházet.
49
Ani ta není vymezena jednoznačně a autor od autora se náplň tohoto pojmu liší; rozdíl spočívá hlavně
v tom, zda se výstup musí nutně realizovat a za jak dlouho.
50
I když původ těchto představ je asi starší; připomeňme jen tvorbu tabulek na věštění výsledku bitvy
z vnitřností zvířat; ne nadarmo se tomuto umění říkalo Scientia Magica.
51
Různá roztažnost lana, při různě silných napínáních a různém počasí je mimo naši běžnou rozlišovací
schopnost; je za obzorem našeho všedního světa.
str. 17
zatím nijak fatálně. Existuje řada důvodů, proč se lze domnívat, že na živou přírodu
můžeme tuto představu aplikovat jen velmi opatrně. Podívejme se na jeden z nich.
Je zřejmé, že při podrobnějším pohledu představa jednoznačné závislosti neobstojí
ani v případu kladky. Lano se protahuje, pracuje a všelijak jinak kroutí. To, o kolik se
protáhne závisí nejen na hmotnosti břemene, ale i na stáří lana, vlhkosti vzduchu a řadě
dalších věcí. Můžeme se domnívat, že kdybychom uměli všechny tyto jevy postihnout,
došli bychom k jednoznačné výšce zdviženého břemene. Je však jisté, že bychom stejně
nebyli schopni ukázat, že jsme tyto, výslednou výšku ovlivňující, jevy postihli všechny. A
to je tu ještě reálná možnost, že by takovýchto jevů mohl být neomezený počet. Ve SKNO
se tedy nelze vyhnout tomu, aby do úvah nezahrnuté jevy nezpůsobily odchylku
předpovědi a pozorování. Odchylku, která je zcela jiné povahy, než je rozptyl jednotlivých
pozorování při jejich opakování52. Vlastností světa, který je přirozený v tom smyslu, že je
bezprostředně uchopován našimi smysly, je však to, že je tato odchylka menší než zmíněný
rozptyl. Mezi vlastnostmi neživých objektů SKNO lze tedy tento jednoznačný vztah
úspěšně používat53 54.
Ukažme rozdíl mezi světem, který se řídí funkční závislostí, a který je sice nějak
determinován, ovšem nikoli jednoznačně (rozuměj nikoli funkčně). Vezměme kupříkladu
jednoduchou rovnici populačního růstu. Tato rovnice má obecně tvar
N t + ∆t = f ( N t ) N t
(1)
kde N t , resp. N t +∆t je velikost populace v okamžiku t resp. t + ∆t , ∆t je generační doba
a f ( Nt ) je růstový koeficient55, závislý na velikosti populace56. Její smysl je ten, že máme-li
v okamžiku t kupříkladu 300 jedinců ( N t = 300 ) a víme-li, že na každého jedince připadne
za jednu generaci v průměru 0,5 potomka nezávisle na počtu jedinců v populaci
( f ( Nt ) = 1 + 0,5 = 1,5 ; jedna za stávajícího jedince, a půl za přírůstek včetně úmrtí), můžeme
za jednu generaci očekávat 300 × 1,5 = 450 jedinců. Funkční hodnota f ( Nt ) se však
s počtem jedinců N často mění. Je-li jedinců v populaci málo, množí se totiž rychleji, než
je-li jich hodně. Podívejme se, jak bude vypadat vývoj populační početnosti v případě, že
f ( Nt ) bude jednoznačná (rozuměj bude funkcí) a v případě, že jednoznačná nebude
57
Max
(rozuměj hodnota f ( Nt ) bude pro každé N t kolísat v rozmezí f ( Min
N t ) , f ( N t ) ) (obr. 6) .
Zatímco v případě jednoznačné mezigenerační vazby (rozuměj růstového
koeficientu) lze z počátečních podmínek jednoznačně určit vývoj abundance ( N t ),
v případě druhém můžeme pouze předpovědět, v jakých mezích se bude abundance po
nějaké době pohybovat. V lepším případě můžeme říci, s jakou pravděpodobností populace
52
Myšlena chyba měření nahodilá.
Aniž bych se chtěl pouštět příliš daleko, musím poznamenat, že i fyzika si je na některých svých úrovních
vědoma skutečnosti, že za některými pozorovanými útvary nemusí být předpokládaná funkční závislost .
54
Slovo „používat“ je zde použito dvojsmyslně; smysl prvý je „využívat k odhadu budoucího“, jde tedy do
jisté míry o přístup technický, našemu cíli, hledání pravdy, vzdálený; druhý význam je „využívat k hledání
pravdy“, ovšem s tou podmínkou, že si budeme vědomi mezí platnosti tohoto přístupu.
55
Biologové říkají rychlost; angl. rate; poznamenejme že f ( N ) v tomto případě není čteno jako funkce
53
závislá na N, ale jako hodnota funkce f v bodě N; jde tedy o číslo, potažmo koeficient.
56
V matematice běžně používaný, živému jazyku občas nevlastní, způsob náhledu; míní se tím, že je tento
koeficient na N formálně závislý, avšak připouští se, že závislost může být i nulová.
57
Na tomto místě je čtenář ve velkém nebezpečí, že celý proces nahlédne jako Ljapunovovskou nestabilitu
výpočtu a nevšimne si rozdílu mezi rozdílem predikce a pozorování způsobeném chybou v odhadech
parametrů a přirozeným rozptylem vývoje systému.
str. 18
té které abundance dosáhne. Pro účely technického rázu, tj. pro účely predikce, by bylo
nejhezčí, kdyby byl model s jednoznačnou vazbou realistický, ve smyslu použitelný.
V případě, kdy nám jde o nahlédnutí podstaty, jsou oba modely rovnocenné. Jediným
rozdílem je snad jen způsob, jakým tyto modely testovat. Zatímco v případě prvém lze
testovat jednotlivé predikce, v případě druhém musíme testovat např. dobu, za kterou se
vývoj abundance stane zcela náhodným (rozuměj za kterou se dostane do oblasti mezi
Max
průsečíky osy kvadrantů, tzv. „identity line“, s funkcemi f ( Min
N ) a f ( N ) ; viz obr. 6 c).
Obr. 6: Vývoj systému, jehož budoucí stav ( N (t + ∆t ) ), závisí převážně na stavu přítomném ( N (t ) ), lze
zobrazit graficky. Na prvém z grafů (a) je zobrazen vývoj systému s počátečním stavem
N (0 ) ( N (t =0 ) ),
generační dobou ∆t = 1 a lineární vazbou mezi dvěmi následujícími generacemi ( f ( N ) je přímka; viz vztah
1). N (1) , N (2 ) ,…, N ( 4 ) jsou stavy systému v prvé, druhé až čtvrté generaci. Identita je přímka, pro kterou je
N (t + ∆t ) = N (t ) . Je to pomocná přímka, která umožňuje považovat každý z po sobě jdoucích stavů
N (1) , N (2 ) ,…, N (4 ) za výchozí. Druhý a třetí graf ukazují rozdíl ve vývoji systému za situace jednoznačné
Min
Max
vazby mezi dvěmi následujícími generacemi ( f ( N ) ) (b) a vazby náhodné, zespoda ( f ( N ) ) a shora ( f ( N ) )
omezené (c).
Porovnejme nyní tyto dvě možnosti. Porovnejme je nejlépe na obr. 6 (b) a (c).
Z obrázku je patrné, že mezi těmito dvěma možnostmi není až tak dramatický rozdíl, jak
by se mohlo na prvý pohled zdát. Případ jednoznačné vazby je totiž případ vazby
Max
nejednoznačné, ve kterém jsou si, v celém svém průběhu, obě meze, f ( Min
N ) a f ( N ) , velmi
blízké. To byl ostatně, i již zmíněný příklad s kladkou. Jak moc si tyto meze musí být
blízké, abychom je mohli považovat za jednoznačnou závislost, souvisí s důsledky, které
zohledňujeme. Ve fyzice se zdá, že předpoklad jednoznačnosti je v mnoha případech
oprávněný. Protože však nelze vyloučit, že se neobjeví důsledek (rozuměj pozorování),
které tento předpoklad zpochybní, má sama fyzika tendence přistupovat k tomuto
předpokladu spíše jako k pracovní hypotéze, než jako k nezvratné skutečnosti. O to více
překvapuje, když se tento předpoklad přenáší z fyziky do biologie, kde je často velmi
snadno zpochybnitelný. Novější práce tento problém řeší přidáním náhodného členu
k deterministickým rovnicím. Technicky vzato jde o způsob, jak se s tímto problémem
vyrovnat, aniž bychom ztratili řadu výhod matematiky již prozkoumaného matematického
aparátu. Jinak řečeno, aniž bychom ztratili výhodu toho, že část světa matematiky je nám
již důvěrně známa.
str. 19
Rozšíření, či zúžení SKNO?
Před časy které nepamatují už ani dědové vašich dědů z vyprávění dědů svých dědů, žil
mladík jménem Hugo. Jak jeho jméno napovídá, byl to mladík zvídavý. Byl i urostlý a na
svůj věk velmi vzdělaný. Od útlého dětství navštěvoval starce, žijícího v jeskyni nad vsí, a
ten jej brával do hlubin země, kde žili moudří. A tak není divu, že ve svých osmnácti
pochytil lecjakou moudrost, která bývá nám smrtelníkům skryta. A protože si ho moudří
oblíbili a Hugo byl velmi nadaný žák, nic před ním neskrývali - měl všechno poznání světa
prostřeno k snídani, obědu i k večeři. Nemusel léta čekat na odpověď na jednu jedinou
otázku, nemusel usilovně hledat kamínky poznání a stavět z nich svůj vlastní svět, a tak
není divu, že se nenaučil umění trpělivosti.
Byla však ještě jedna věc, která trápila Hugovu zvědavou mysl. Bylo to tajemství
smyslu. Proč jsme tady? Co to znamená, být tady? Co vytváří řád, který nás obklopuje?
Všechny tyto otázky mu vířily hlavou a nedávaly mu spát. Vždy, když se však na některou
z nich zeptal, moudří sklopili oči a jeden po druhém se vytratili. Až jednou jeden
z moudrých řekl: „Zeptej se Jananthy.“ „A kde ji mám hledat?“ zeptal se Hugo. „Na to se
neptej, najdeš ji, když ona bude chtít, když nebude, žádná rada ti stejně nepomůže.“
***
A tak vzal Hugo poutnickou hůl, pláštěnku a kus chleba a vyrazil na cestu.
***
Když po čase dorazil k Janantinu obydlí, už na něj čekala. „Tak ty bys rád poznal tajemství
smyslu?“ zeptala se. A aniž by čekala na odpověď, pokračovala: „Není nic snazšího. Stačí
vstoupit do koule průzračně čistého myšlení,“ a vyndala ze staré dřevěné truhly velkou
kouli zcela neurčité barvy. „Musím tě ale varovat. Do koule nesmíš vstoupit, aniž bys ji
předtím důkladně poznal. Musíš nejdřív poznat všechny rýhy, bublinky a nerovnosti, které
ke kouli patří. Až vstoupíš do koule, budou právě tyto nepravidelnosti jediným vodítkem,
které ti pomůže najít cestu z koule ven. Jediným vodítkem, které ti pomůže prohlédnout
koulí a nechytit se na poloviční cestě.“ Hugo byl dobře vychován. Vyslechl tedy Jananthu,
uklonil se, poděkoval a vzal opatrně kouli do svých rukou. Začal jí pečlivě zkoumat. Našel
několik výrazných prasklin na povrchu a spokojeně upřel pohled do nitra koule. Janantin
povzdech slyšel už jen jakoby zdáli. Vlastně už ani nevěděl, komu ten ustaraný hlas patří.
Janantha čekala u koule ještě dlouho, říká se, že deset tisíc let našeho času. Hugo se
však neobjevil. Ještě jednou si povzdechla, vzala kouli a hodila ji zpátky do truhly.
Co dodat? V každé generaci se lidé přou o tajemství koule čistého pohledu. Někteří tvrdí,
že děti dětí těch, kteří v kouli uvízli, dosud žijí. Jsou však nešťastní, protože všechno
v kouli je čisté, prosté a jednoduché. Jiní tvrdí, že v té kouli jsme my sami. Za pravdu jim
dává to, že vchod do jeskyně moudrých, pokud vím, už nikdo nikdy nenašel.
***
A poučení? Koule čistého poznání je formální myšlení. Chcete-li, naše matematické
modely. Toho, kdo se chytí, pohltí a svět se mu zúží. Přijde o celý svět, ve kterém žil, a
uvízne ve světě za obzorem. Tomu, kdo jimi dokáže projít, se svět naopak rozšíří. Přenesou
mu část světa za obzorem před obzor.
str. 20
Jak tedy svět matematiky opouštíme
Matematik je ze své podstaty průvodce po světě matematiky. Je to člověk, který zná různá
úskalí a umí nahlížet souvislosti, které jsou laikovi nahlédnutelné jen stěží. Není mu však
vlastní tento svět opouštět ani do něj vstupovat. Přesto podává ve svých pracích pomocnou
ruku v podobě poznámek a komentářů. Celý matematický text pak má strukturu: axiomy,
predikáty a definice58 (rozuměj vstup), tvrzení, lemmata a věty59 (rozuměj vnitřek) a
poznámky a komentáře60 (rozuměj výstup ze světa matematiky). Klasický výklad
matematiky pak trpí tím, že prezentuje tvrzení, lemmata a věty jako její výstup.
Matematiku tak připravuje o její vnitřek tím, že jej redukuje pouze na důkazy (důkazy
nahlédni jako cesty po krajině matematiky). Vnímavého laika pro změnu uvádí k úžasu,
když se o části světa matematiky (rozuměj tvrzení, lemmatech a větách) tvrdí, že jsou
součástí SKNO. Matematik však pomocnou ruku v podobě poznámek a komentářů podává
jen velmi nerad a opatrně. Jednak se tím pouští do oblastí nejistých a jednak si je vědom
skutečnosti, že možností jak interpretovat souvislosti, které nám svět matematiky odhaluje,
je vskutku mnoho. Všechny sepsat nejdou už z principu a vnucovat čtenáři jednu z nich je
přinejmenším nezdvořilé, ne-li škodlivé. Asi také neradi slyšíte (popř. čtete), co si máte
myslet o knížce. Bohužel tato kultura nepěstuje umění interpretace, a tudíž se většina laiků,
podaří-li se jim do světa matematiky vstoupit, ocitá v doslova v pasti. Trochu jiná je
situace v technice.
Technik svět matematiky nevykládá, rozuměj neinterpretuje. Technik jej používá.
Jde sice o svého druhu interpretaci, ale o interpretaci účelovou a hlavně prováděnou
opakovaně podle stejného vzoru. Technik ví, že když počítá nosnost mostu, musí mu vyjít
větší číslo, než má stanoveno v zadání, a že číslo v zadání odpovídá předpokládané zátěži,
které bude most vystaven. A že tato předpokládaná zátěž nějak vystihuje, jak moc se bude
po mostě jezdit. Toto schéma je trochu zjednodušené. Konstruktér samozřejmě most
nejdřív navrhne, a pak teprve počítá. To znamená, že používá svět matematiky až při
kontrole, zda jeho vhled do SKNO a zkušenost s ním, kterou při konstrukci mostu použil, je
vhled dobrý ve smyslu, že mu ten most nespadne.
Vědec oproti tomu nemá předem k dispozici ani číslo, se kterým bude výstup ze
světa matematiky porovnávat, ani světem matematiky vyšlapanou cestičku, jako např.
standardizovaný výpočet nosnosti mostu. Vědec se musí vždy a znova proplést spletitým
vztahem souvislostí, které nám svět matematiky ukazuje, a vždy a znovu nalézat ten
správný výklad. Výklad, který má co říci o SKNO. Problém, který nastává, spočívá v tom,
že svět, který žije vědec, bývá trochu jiný než svět, který žije kupříkladu rolník. Tyto světy
jsou však oba skutečné a tudíž stejné povahy, a ačkoli je vztah těchto světů bezesporu
zajímavý, nepatří do sféry zájmu této studie. Cílem této stati je ukázat, že svět matematiky
je možné nahlédnout i tak, aby nepřekryl, ale naopak rozšířil svět, ze kterého do tohoto
světa vstupujeme. V příkladu, který tvoří jádro této práce, vstoupíme do světa matematiky
ze světa biologie. Poté se, obohaceni o novou souvislost a o vnímání nového fenoménu, do
světa biologie opět vrátíme.
58
Axiomy - základní tvrzení; predikáty - odvozovací pravidla; definice - základní pojmy; tato trojice by měla
vystihovat naši elementární zkušenost se světem; P. Vopěnka používá ve své alternativní teorii množin ještě
předaxiomatická tvrzení, která slouží jako vodítko při vstupu do světa matematiky; podobně jako poznámky
bývají vodítkem při jeho opouštění.
59
Tvrzení - malá tvrzení; lemmata - pomocná tvrzení (jsou nezajímavá a slouží k snazšímu dokazování vět);
věty-hlavní tvrzení; tato trojice ukazuje souvislosti uvnitř světa matematiky.
60
Poznámky - poznámky k větám či menším celkům; komentáře-větší výklady; někdy však ani tato dvojice
neopouští svět matematiky.
str. 21
Předchozí odstavec naznačil, že ve vědě nelze, ba je dokonce škodlivé, poskytovat
nějaký přesný návod k interpretaci světa matematiky. Přesto by bylo dobré připomenout
dvě významné vlastnosti našeho uchopování světa.
Prvá z těchto vlastností nám může pomoci nahlédnout cestu, jak souvislosti
nahlédnuté skrze svět matematiky interpretovat a jak se tímto světem nenechat chytit.
U většiny strojů nejlépe pochopíme jejich funkci na schematu, které buď nefunguje vůbec,
nebo jen velmi nedokonale. Chceme-li vědět, jak funguje motor, seznámíme se s funkcí61
pístu a s klikovou hřídelí; chceme-li znát funkci rozhlasového přijímače, postavíme si
jednoduchý RLC obvod (R - odpor, L - cívka, C - kondenzátor); chceme-li znát funkci
plachetnice, stačí připevnit větévku s listem na ořechovou skořápku. Asi málokoho
překvapí, že motor postavený podle zmíněného schematu, by byl spíše benzínovou
bombou, než pohonem; rádio z RLC obvodu nám umožní příjem, jen máme-li velmi dobrý
sluch, a to ještě jen s jak Lovosice dlouhou anténou; a rozumě velká plachetnice postavená
podle vzoru „ořechová skořápka – list“ půjde ihned ke dnu. K postavení skutečného
motoru, rádia i plachetnice potřebujeme řadu dalších znalostí o pevnosti materiálu a
teplotách, zesilovačích a proudech, kýlech, sklonu stěžně či o stabilizujících poměrech
mezi výtlakem a délkou čáry ponoru. Při snaze pochopit podstatu těchto strojů by nás však
tyto důležité podrobnosti rušily natolik, že by její pochopení bylo zcela nemožné. Stejně
tak je dobré rozumět jednotlivým souvislostem odděleně a dívat se spíš na podstatu těchto
souvislostí. Hledáme-li, není tuto podstatu většinou těžké nahlédnout. Nahlédneme-li tuto
podstatu, nemusíme již brát tuto nově poznanou souvislost vážně a zcela rigorózně.
Naopak můžeme tuto souvislost považovat za součást SKNO i s jeho živostí, rozuměj
proměnlivostí. Poznamenejme jenom, že z těchto důvodů je přílišná realističnost některých
modelů spíše na škodu. Brání nám vidět podstatu a nutí nás domnívat se, že SKNO funguje
stejně jako jeho model.
Vlastností druhou, kterou je dobré nahlédnout, je skutečnost, že matematika není
schopna vysvětlit žádný z pozorovaných jevů. Toto tvrzení asi bude znít překvapivě, neboť
běžně říkáme, že: „Z toho a toho plyne to a to,“ nebo že: „Tato proměnná je vysvětlující a
druhá vysvětlovaná,“ nebo dokonce, že: „Prvá proměnná je nezávislá, zatímco proměnná
druhá je proměnnou závislou.“ Jak to tedy je? Sami matematici nemají příliš rádi, když je
implikace ( ⇒ ) čtena „z toho plyne“. Mají raději spojku „jestliže … pak,“ nebo prostě
říkají „implikuje“. Čteme-li totiž „z toho plyne,“ navozujeme představu jakési prvotnosti.
Ta může být realizována buď prvotností ve smyslu větší elementarity, nebo předchůdnosti
v čase. Takové předcházení se v zesílené formě stává kauzalitou. Pro prvý případ má
matematika značku „ ֏ “, která je čtena „z toho lze odvodit“ a znamená, že existuje
logická cesta mezi koncovým a předchozím. Případ druhý je mimo svět matematiky a
může být uvnitř matematiky pouze modelován. To umožňuje naprostou svobodu
v přiznávání prvotnosti a odvozenosti. Struktura matematiky tedy nemá žádný vliv na to,
co považujeme za příčinu a co za její důsledek.
Vraťme se k implikaci. Co tedy samotná implikace znamená? Implikace není ničím
jiným než vyjádřením vazby mezi jednotlivými vztahy. Víme-li kupříkladu, že všechny
velké kočky mají kulaté zorničky, ale jsou i obratlovci (jako např. člověk), kteří mají
kulaté zorničky a přesto nejsou velkými kočkami, pak můžeme psát: „Lev je velká kočka
⇒ lev má kulaté zorničky,“ nikoli však naopak. Jde vlastně o podmnožinovou relaci
(rozuměj vztah mezi množinami). Znamená to, že soubor obratlovců, kterým se říká velké
kočky, lze vybrat ze souboru obratlovců, kteří mají kulaté zorničky. Tento vztah
nevyjadřuje nic jiného, než které vlastnosti objektů SKNO se vyskytují či nevyskytují
pospolu a s představou původnosti má pramálo společného. To ovšem neznamená, že tak,
61
Tentokrát již toto slovo s fungováním souvisí.
str. 22
za jistých okolností, nemůže být interpretován. Kupříkladu konstrukce kladogramů62 je na
takovéto interpretaci do jisté míry postavena. Interpretace, jako taková, je však vždy zcela
mimo svět matematiky.
Příklad druhý a třetí zmiňoval pojmy vysvětlující a nezávislá proměnná. Nemusím,
předpokládám, čtenáře příliš přesvědčovat, že volba vysvětlující či vysvětlované proměnné
je zcela v kompetenci toho, kdo do světa matematiky vstupuje, a svět matematiky nemá
sám o sobě na tuto volbu vliv.
Co tedy matematika hledá? Odpověď je jednoduchá. Matematika hledá jedno - či
dvojsměrné závislosti mezi svými objekty. To, které objekty, jež jsou ve SKNO jevy,
zvolíme za prvotní, tj. jak zvolíme vysvětlující rovinu, je jí jedno. My však přesto lpíme na
tom, že některé jevy považujeme za prvotní a přisuzujeme to matematizaci SKNO. Tímto
jevem je kupříkladu časVL. Je to tím, že matematiku si přinášíme i s kouskem fyziky, se
kterou během jejich vzájemného soužití pomalu srostla. Uvědomíme-li si to, není nic
snazšího, než tuto vnucenou představu původnosti odhodit a zvolit si vysvětlující rovinu
tak, jak odpovídá našemu SKNO. Poznamenejme jen, že právě to, jak je nastavena tato
rovina a rovina zajímavých a uspokojivých odpovědí, činí každý obor lidské činnosti
svébytným. Ekologii kupříkladu uspokojují odpovědi úplně jiné povahy, než například
etologii, a stejně tak se od sebe liší i jevy, které tyto obory považují za prvotní..
Jak se pokoušíme na pravdu vyzrát, aneb úvodem slibované
triky
Uzavřenost systémů
Jedním z nejstarších a asi i nejznámějších triků je obklopit modelovanou soustavu
kontrolovatelnou hranicí a naučit se rozlišovat na vnitřní a vnější. Tento trik velmi
připomíná techniku evidence obyvatel. Chtěl-li panovník vědět, kolik lidí se na jeho
panství nalézá, zřídil hranici, pověřil hraničáře zapisováním počtu lidí, kteří vstoupili na a
vystoupili z panství, provedl sčítání lidu a nařídil zapisovat všechna narození a úmrtí.
Na stejném principu je postaven zákon zachování libovolné veličiny. Myslíme
libovolnou uzavřenou hranici a řekneme, že sledovaná zobjektivněná vlastnost se
v prostoru uzavřeném touto hranicí zachovává v následujícím smyslu:
To, co vstoupilo – to, co vystoupilo + to, co vzniklo uvnitř – to, co zaniklo uvnitř + to, co tam už bylo = tomu, co tam je.
Nebudeme se pouštět do rozebírání, která složka respektuje počátek, která odráží historii a
která okamžitý (rozuměj současný) stav uzavřeného celku. Je však zřejmé, že výčet členů
rovnice je jen stěží neúplný. Přesto není takto zapsaný zákon úplně obecný, neboť
přepokládá, že ta „to“ lze sčítat; zavádí předpoklad superpozice. Zákon zachování je
možné vyjádřit i bez tohoto předpokladu. Na ukázku se však spokojme jen s tímto jeho
aditivním zápisem.
Na prvý pohled by bylo výhodné, kdybychom se alespoň o některé z těchto členů
nemuseli starat. Bylo by výhodné zvolit hranici tak, aby průchody sledované
zobjektivněné vlastnosti byly co možná nejmenší a aby ona vlastnost alespoň uvnitř
ohrazené oblasti pokud možno nevznikala a nezanikala, a když, tak v co možná nejmenších
množstvích. Exemplárním příkladem takové volby jsou například stroje s minimálním
třenímOBJ a mechanická energieVL. Energie skutečně není ve SKNO substancí, ale
62
Kladogram - vývojový strom.
(2)
str. 23
schopností objektů měnit stav věcí, energie nelze být, energii lze mít, jde o vlastnost, byť
třeba vlastnost prostoru, která se dokáže zhmotnit.
Na uvedeném příkladu je zajímavá ještě jedna věc. Zákon zachování mechanické
energie má dvě složky. Ta prvá hovoří o energii, která nevzniká a nezaniká, rozuměj třetí a
čtvrtý aditivní člen vztahu 2 „je nulový“; ta druhá mluví o uzavřenosti soustavy, rozuměj
prvý a druhý člen tohoto vztahu „je nulový“. Zatímco o prvém „je nulový“ zřejmě kriticky
pochybují jen fyzici, zatímco ostatní jim vyčítají, že o tom nepochybují, u druhého „je
nulový“ je všem jasné, že je pouze tak malý, že jej lze za jistých okolností zanedbat. Toho,
za jakých okolností ho lze zanedbat, si musíme být vědomi, a právě toto vědomi rozehrává
onu nádhernou hru na poznávání SKNO. Zde je asi namístě připomenout jednu
z nepsaných pouček fyziky: není důležité, jaké nepřesnosti se dopouštíme, ale to, zda jsme
si této nepřesnosti vědomi. Toto vědomi nám pomáhá nerozšiřovat naše poznání nad rámec
metod, kterými jsme tohoto poznání dosáhli.
Netřeba snad zdůrazňovat, že takovýto obecný zákon zachování se zdaleka netýká
jen hybnosti či energie, a snad ani to, že není výlučnou doménou fyziky.
Axiomatizace
Zatímco předchozí trik byl původu nematematického, je axiomatizace povýtce původu
formálního. Dobře provedená axiomatizace dokáže překročit práh redukce prováděné
živým jazykem. Její reduktivnost leží někde za tímto prahem. Tvoří hranici až se světy,
jako je například svět umění. Je to trochu nefér, neboť toho dociluje na úkor redukce
spojené s uchopováním pojmů. Můžeme se například domluvit, že plocha bude vyjádřena
množstvím sudů, které na ní lze uskladnit (redukce skladníkova), a nikoli tím, kolik zrna na
ní vypěstujeme (redukce rolníkova). Po této redukci už axiom:
„Plocha, kterou lze umístit do jiné plochy, aniž by ji přesahovala, bude z těchto dvou ploch ta
menší“,
nebude představovat téměř žádnou redukci - bude „přirozený“. Bude ovšem „přirozený“ na
úkor toho, jak jsme si zavedli pojem plocha.
Poznamenejme snad jen tolik, že tímto zavedením plochy jsme redukci rolníkovu
nevyloučili. Pouze pro ni neplatí zmiňovaný axiom. Alespoň ne, překročíme-li humna
jedné vsi, a už vůbec ne při setkání rolníků z Maroka a z Ukrajiny. Na stejný výtěžek zrna
bude bezpochyby zapotřebí mnohem „větší“ pole v Maroku než na Ukrajině. Není však
v přirozenosti SKNO, otevírat se ve svých různých přirozenostech?
Statistika
Statistika63 je poměrně mladá. Její počátky jsou v hráčské vášni Blaise Pascala. Tento pán
rád vrhal kostky. Trik statistiky spočívá v nalezení vlastnosti, kterou popisují dvě různé
představy o SKNO, mezi nimiž bychom se rádi rozhodli. Představou prvou může být
například to, že vrána k vráně sedá. Představou druhou to, že ze zásady nesedá. Vhodnou
vlastností by pak mohla být průměrná vzdálenost mezi jednotlivými vranami, nebo lépe
celý soubor těchto vzdáleností. Takovéto vlastnosti se říká statistika64 a používá se
k rozhodnutí mezi jednotlivými představami. V tomto případě například k zamítnutí či
nezamítnutí představy, že vrána k vráně sedá.
Máme-li po ruce představu pouze jednu, porovnáváme ji s takzvanou náhodou.
Náhoda v tomto podání říká, že všechny zkoumané možnosti jsou rovnocenné. Například
žádná strana kostky není privilegována v tom smyslu, že by padala častěji; nebo že vránám
63
64
Statistika jako obor lidské činnosti.
Statistika jako veličina.
str. 24
je úplně jedno, kam si sednou, v tom smyslu, že okolí již sedící vrány je k usednutí stejně
vhodné či nevhodné jako místo vzdálenější.
Trik stálých předpokladů
Tento trik má mnoho společného s již zmiňovanou uzavřeností systémů. Jde o předpoklad
o zachování předpokladů, za kterých jsme do světa matematiky vstoupili. Již bylo ukázáno,
že všechny pravdy získané pomocí matematiky (a nejen ty) jsou podmíněné. Jsou
podmíněné redukcí, kterou jsme přijali. Pravda o velikosti ploch byla podmíněna redukcí
skladníkovou. Pravda o vývoji poslední populace asijského lva je podmíněna stálostí
zákonů o lovu zvěře, věrností obyvatelstva hinduismu a celou řadou dalších podmínek, jež
vytvářejí „univerzum“, v němž byla pravda vyslovena. Ne každá změna podmínek nutně
vede ke zpochybnění vyslovené pravdy. Některé změny neovlivní tuto pravdu vůbec (ve
smyslu „nezaznamenatelně“), jiné ji ovlivní jen málo. To, jak moc dobře této pravdě
rozumíme, se pozná podle toho, zda poznáme, co se stane při změně toho kterého
předpokladu. Opět zde platí, že není důležité, zda se SKNO mění, ale zda víme, jak moc je
to, co o něm víme touto změnou ovlivněno. To je například ostře viditelný rozdíl mezi
lidmi, kteří umí matematická tvrzení nazpaměť, a těmi kteří jim rozumí, včetně jejich
důkazů. Člověk, který umí tyto pravdy, rozuměj tvrzení, nazpaměť, je zcela bezmocný,
stojí-li tváří v tvář proměnám SKNO. Nemá vůbec tušení, kde jsou meze platnosti pravd,
které zná.
Byť tento trik vypadá velmi slabý, denně jej při zacházení se SKNO používáme.
Používáme, a na neznalost jeho úskalí doplácíme. Rozpomeňme se jen, kolik mezilidských
vztahů se hroutí proto, že si lidé neumějí včas uvědomit, jak moc se jejich blízcí změnili.
Poznamenejme, že tohle je věc, kterou nelze bez hlubšího zasvěcení do světa
matematiky nahlédnout a kterou si na oplátku člověk, jenž tohoto zasvěcení již dosáhl, jen
těžko uvědomuje. Jen těžko chápe, proč ostatním výpovědi matematiky připadají tak moc
strnulé a reduktivní. Za zmínku snad stojí i to, že matematika nevypráví lineární příběh.
Matematika nám prostřednictvím svých tvrzení a hlavně důkazů, které se v tomto světle
jeví mnohem důležitější, ukazuje velmi kreativní prostor velmi různorodých výpovědí.
Hledání souvislostí
Tento trik již byl rozebírán ve stati „Jak tedy svět matematiky opouštíme“. Jde o
demytizaci matematické cesty jako způsobu vysvětlování a předvedení matematiky jako
nástroje k ukazování - nástroje k ukazování souvislostí. Lze si přitom ponechat svobodu
ve výkladu původu pozorovaných jevů podle přirozenosti našeho vlastního světa, našeho
SKNO.
V předkládané práci by chtěl autor ukázat, jak tento trik použít. SKNO bude v tomto
případě svět makroekologie, potažmo biogeografie. Ukazovaná souvislost bude souvislost
tří pozorovaných jevů- závislosti plochy a počtu druhů, které ji obývají, poměrů počtů
druhů, které jsou téměř všude, které jsou jen někde a které nejsou téměř nikde, a
shlukování jedinců podle vzoru „pták k ptákovi sedá“.
str. 25
str. 26
Apendix 1: Objekt světa, který nás obklopuje (SKNO)
Objekt SKNO, snad bych měl v kontextu toho, co již bylo napsáno jinými, říci věc před
obzorem. Důvod bych mohl mít snadno hajitelný - píši práci, kterou musím obhájit. Je
tudíž snazší napsat něco, co nebudou oponenti napadat, nebo něco, co se dá ocitovat. To,
co si skutečně myslím, je z tohoto pohledu podružné. Rozhodl jsem se však, ke své škodě,
napsat to, co si opravdu myslím. Čím se tedy liší objekt SKNO v mém pojetí a již zavedená
věc před obzorem? Před obzorem jsou věci, které zřím. Mám je na zřeteli. Před obzorem
není například moucha, která zalétla za hrneček. Na druhou stranu tato moucha je součástí
SKNO. Její obraz nám stále ještě doznívá v hlavě. Kupříkladu Bůh, a většinou ani bůh,
není věc a už vůbec ne věc před obzorem. Avšak pro člověka, který s B/bohem žije a který
každodenně vnímá jeho projevy, je B/bůh objekt SKNO. Stejně je tomu s elektronem.
Půjdu-li do extrému, mohu zastávat stanovisko, že nikdo nikdy neviděl žádný jeden
konkrétní strom. Pouze vnímal šum větru v listoví, drsnost kůry, možnost ulomení klacku,
rýhy svědčící o přítomnosti tygra, kterého jen tak mimochodem také jen stěží zahlédneme,
atp. Náš pocit existence stromu je dán paradigmatem stejného druhu jako u elektronu,
B/boha či vodníka. Toto paradigma zní: „Něco za tím musí přece být.“ To něco si
pojmenuji strom, B/bůh, elektron, a vnímám jako objekt. Naše představy těchto objektů se
liší. Zvolíme-li však jeden konkrétní model65 některého z objektů, budeme jej mít všichni
stejný.
Věc před obzorem mizí za obzor a mizí za něj naráz, stejně jako se naráz vynořuje.
Objekt SKNO mizí z našeho vědomí pozvolna. Spíše vyhasíná než mizí. Není to totéž jako
postupné přibližování k horizontu a následné mizení za ním. Stejným způsobem jako
objekt SKNO mizí, tak se i objevuje a zaostřuje. Objekty SKNO se sice vynořují naráz (aha
efekt), což zažil každý vědec, který něco objevil, ale v plné šíři a ve všech kontextechVL 66
je zahlédneme až mnohem později. Je to tím, že „aha efekt“ nám umožňuje zahlédnout jen
jeden kontextVL.
Apendix 2: Objekt - zarážka, nebo spojnice?
Objekt je tradičně díky svému slovnímu původu vnímán jako zábrana, potažmo překážka.
V celém textu je však uchopován spíše jako spojující článek. Tak je vykládán, používán i
objevován. Musí se však význam objektu a jeho rozpoznávací kritérium shodovat?
Matematika nás učí, že ne. Jen málo matematických objektů je rozpoznáváno pomocí
svých definic. Ve většině případů potřebujeme pomocná tvrzení, věty a kritéria. Ale
opusťme matematiku. Nejsou snad spojniceVL a překážkaVL jen rub a líc téže minceOBJ? To,
že dálnice, spojnice pro auta, je zároveň překážkou pro všechny ostatní, auta nevyjímaje,
nepřekvapí. Co překvapit může, je skutečnost, že z důvodu ochrany přírody budované
biokoridory se staly účinnou překážkou pohybu zvířat. Mechanismus je prostý a
překvapující. Biokoridor, např. mez, nebo stromořadí spojující jednotlivá místa příhodná
pro život zvířat, např. drobných hlodavců, je rovněž velmi výhodným místem pro život. To
je důvod, proč je řadou drobných hlodavců přednostně obsazován. Vzniká na něm natěsno
mnoho teritorií a ta se stávají velmi účinnou překážkou67 pro jedince, kteří by chtěli
biokoridor překročit68. Podobně se však chová i z fyziky známý PN přechod. Ten je
Model stromu je v tomto pojetí např. jeho obrázek, cesta v determinační literatuře (je to vysoké → je to
zelené → sedávají na tom vodníci → je to topol), ale i matematický, např. Korfův model, či některý
z fraktálů; model elektronu je primárně matematický; k věcem, kterým jsme se ještě zcela neodcizili nebo
jsou součástí SKNO dlouho a trvale, jako např. strom, se snažíme přiblížit slovy „co pro nás… znamená…“,
u elektronu a jemu podobných to zatím neděláme.
66
Právě kontexty objekt konstituují.
67
Nikoli nepřekročitelnou; biokoridor a ani níže zmiňovaný PN přechod nejsou neprostupné.
68
Tento mechanismus vyjadřuje jednu z hypotéz o pozorováních; tak je tomu ostatně vždy.
65
str. 27
spojnicí mezi dvěmi polovodiči a zároveň tvoří, podobně jako biokoridor, překážku pro
šíření náboje, byť jen v jednom směru (viz polovodičová dioda). Podobných případů
bychom mohli jmenovat bezpočet. Každý objekt spojuje a zároveň se stává pastí. To je
ostatně teze mnoha nejen východních nauk.
Nemělo by nás tedy překvapit, že ačkoli objekty poznáváme jako překážky, jejich
význam a původ je býti spojovacími články. Články zajišťujícími, aby se nám svět
nerozpadl před očima.
Apendix 3: „Fenomenologická redukce“
K redukci SKNO dochází při přechodu mezi SKNO prožívaným a SKNO uchopeným
pomocí živého jazyka (dále jen živým jazykem). K redukci mezi živým jazykem a světem
matematiky dochází jen málokdy. Zastávám tento názor, i když vím, že proti většině. Toto
téma je však příliš obsáhlé a diskutované, než aby bylo možné je v této práci otevírat.
Zkusme tedy pracovně předpokládat, že platí následující možnosti. K redukci dochází
výhradně, nebo alespoň převážně, při přechodu mezi prožíváným SKNO a živým jazykem
(1), k redukci dochází výhradně, nebo alespoň převážně, při přechodu mezi živým jazykem
a světem matematiky (2) a k redukci dochází stejnou měrou při obou přechodech (3). Jiná
možnost, alespoň uvnitř bezesporného myšlení, není.
V prvém případě jsme zcela ve shodě s touto prací, která se soustředí na přechod
mezi živým jazykem a světem matematiky69 a rozbor této redukce je zcela mimo její cíl.
Připustíme-li druhý a třetí případ mohli bychom se dostat do vážných problémů. Lze však
s úspěchem použít návod, který předkládá tato práce. Základem tohoto návodu je vystoupit
ze světa matematiky, a to stejným způsobem, jakým do něj vstupujeme.
69
Záměrně se vyhýbám termínům jazyk a metajazyk; významy těchto termínů mají matematici a filosofové
prohozeny; navíc pojímám svět matematiky trochu šířeji než jen jako jazyk (mat.)/metajazyk (fil.).