ano - Hippo

Komentáře

Transkript

ano - Hippo
Vlastnosti a popis lineárních systémů
Miloš Laipert, Jan Bičák
30. září 2007
Příklad 1
Lineární spojitý systém je dán zapojením na obr. 1.4. Určete:
• diferenciální rovnici pro odezvu u2 (t), je-li obvod na vstupu buzen napětím u1 (t),
• přenos napětí H(p) =
U2 (p)
,
U1 (p)
• impulsní odezvu h(t).
iL (0+ )
R
L
u1 (t)
u3 (t)
C
u2 (t)
Obrázek 1.4: Zapojení obvodu
Řešení:
Pro zapojení na obr. 1.4 metodou uzlových napětí získáme integrodiferenciální rovnice
Z
u3 (t) − u1 (t) 1 t
[u3 (t) − u2 (t)]dτ + iL (0+ ) = 0 ,
+
R
L 0
Z
du2 (t)
1 t
[u2 (t) − u3 (t)]dτ − iL (0+ ) + C
= 0,
(1)
L 0
dt
ve kterých iL (0+ ) je počáteční podmínka pro proud v induktoru. Derivováním a eliminací proměnné u3 (t) z původních rovnic dostaneme pro odezvu u2 (t) diferenciální rovnici
druhého řádu
d2 u2 (t)
du2(t)
LC
+ CR
+ u2 (t) = u1 (t) .
(2)
2
dt
dt
V Laplaceově transformaci platí
L
kde
h du (t) i
2
= p U2 (p) − u2 (0) ,
dt
L
h d2 u (t) i
2
= p2 U2 (p) − p u2 (0) − u̇2 (0) ,
dt2
du2 (t) .
u̇2 (0) =
dt t=0
1
(3)
Při nulových počátečních podmínkách u2 (0) = 0, u̇2 (0) = 0 a užitím Laplaceovy transformace přejde diferenciální rovnice (3) na algebraickou rovnici
p2 LCU2 (p) + p CRU2 (p) + U2 (p) = U1 (p) .
Odtud vyplývá přenosová funkce H(p) =
H(p) =
1
LC
U2 (p)
U1 (p)
1
p2
(4)
R
1
+ p+
L
LC
=
Q(p)
.
N(p)
(5)
K nalezení impulsní odezvy nejprve určíme póly přenosové funkce řešením rovnice
N(p) = 0
r 1
R
R 2
±
(6)
−
p∞1,2 = −
2L
2L
LC
p
• R > 2 L/C . . . . dvojice reálných pólů
H(p) =
k1
K
k1
Q(p)
+
,
=
=
N(p)
(p + a1 )(p + a2 )
p + a1 p + a2
(8)
p∞1 = −a1 a p∞2 = −a2
k1 = lim (p − p∞µ )
p→p∞µ
Q(p)
K
K
= lim (p + a1 )
=
,
N(p) p→p−a1
(p + a1 )(p + a2 )
a2 − a1
k2 = lim (p + a2 )
p→−a2
h(t) = L
−1
[H(p)] =
2
X
(9)
K
K
.
=
(p + a2 )(p + a2 )
a1 − a2
kµ ep∞µ t =
µ=1
K
K
e−a1 t +
e−a2 t .
a2 − a1
a1 − a2
(10)
p
• R < 2 L/C . . . . dvojice komplexních pólů
H(p) =
K
k1
k1
=
+
,
(p + a − jb)(p + a + jb)
p + a − jb p + a + jb
(11)
p∞1 = −a + jb a p∞2 = −a − jb.
k1 = −
2
X
jK
,
2b
k2 =
jK
.
2b
(12)
i
j −a t jb t
j
e e + e−a t e−jb t =
2b
2b
µ=1
i
e−a t h
− j (cos(b t) + j sin(b t)) + j(cos(b t) − j sin(b t)) =
=K
2b
K
= e−a t sin(b t) . (13)
b
h(t) = L−1 [H(p)] =
kµ ep∞µ t = K
2
−
4
3
x 10
2.5
→ h(t)
2
1.5
1
0.5
0
−0.5
0
1
2
3
→t
−4
x 10
Obrázek 1.5: Impulsní charakteristika
→ |H(j2πf )|
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
→f
x 10
−5
→ τ (f )
3
3
4
x 10
2
1
0
0
0.5
1
1.5
→f
2
2.5
3
4
x 10
Obrázek 1.6: Modulová charakteristika a skupinové zpoždění filtru
R = 1 kΩ, L = 11,25 mH, C = 22,5 nF:
3,950 617 · 109
=
H(p) = 2
p + 88 888,89 + 3,950 617 · 109
3,950 617 · 109
=
.
(p + 44 444,45 − j 44 444, 45)(p + 44 444,45 + j 44 444,45)
h(t) =
K −a t
e
sin(b t) = 88 888,89 e−44 444,45 t sin(44 444,45 t) .
b
✵✵✵
3
Program 1
V prostředí Matlab vykreslete průběh funkce (impulsní charakteristiky) z příkladu 1
h(t) =
K −a t
e
sin(b t)
b
pro t ∈ h0, 3 · 10−4 i, K = 3,951 · 109 a a = b = 4,444 · 104 .
Nové operátory a funkce použité v programu:
=
linspace
;
+
*
.*
/
exp(x)
sin
plot
grid
xlabel
ylabel
title
přiřazení do proměnné
vytvoří vektor s lineárním rozdělením hodnot
na konci příkazu potlačí výstup
sčítání
násobení
násobení vektorů
dělení
funkce ex
funkce sinus
kreslení grafu
nakreslí mřížku v grafu
přidá popis na osu X
přidá popis na osu Y
přidá popis na vrchol grafu
Vlastní program:
t=linspace(0,3e-4,200);
K=3.951e9
a=4.444e4
b=4.444e4
h=K/b*exp(-a*t).*sin(b*t);
plot(t,h)
grid
xlabel t
ylabel h(t)
title ’Impulsní charakteristika’
Příklad 2
Určete přenos napětí zapojení obvodu na obr. 1.4 z příkladu 1. Výpočet proveďte z operátorových obvodových rovnic.
Řešení:
Z hlediska analýzy obvodů v kmitočtové oblasti je výhodné sestavovat obvodové rovnice
(metodami uzlových napětí a smyčkových proudů) přímo v operátorovém tvaru. Kirchhoffovy zákony pro uzavřenou smyčku a proudy uzlu pak mají tvar
n
X
m
X
Uk (p) = 0,
k=1
k=1
4
Ik (p) = 0.
Metodou uzlových napětí pro zapojení na obr. 1.4 obdržíme rovnice
U3 (p) − U1 (p) U3 (p) − U2 (p)
+
= 0,
R
pL
U2 (p) − U3 (p)
= 0.
p C U2 (p) +
pL
(14)
Na rozdíl od (1) jde o algebraické rovnice, ze kterých eliminací uzlového napětí U3 (p)
vyplývá přenosová funkce (5)
H(p) =
U2 (p)
1
=
U1 (p)
LC
1
p2
1
R
+ p+
L
LC
.
✵✵✵
Program 2
V prostředí Matlab vyřešte symbolicky soustavu operátorových obvodových rovnic (14) z příkladu 2 a
vyjádřete přenosovou funkci. Do symbolického vyjádření přenosové funkce dosaďte konkrétní hodnoty
součástek R = 1 kΩ, L = 11,25 mH, C = 22,5 nF. Přenosovou funkci rozložte na čitatele a
jmenovatele. Symbolické vyjádření polynomů převeďte na vektorové vyjádření. Čitatel a jmenovatel
upravte tak, aby koeficient u nejvyšší mocniny ve jmenovateli byl roven jedné.
Nové operátory a funkce použité v programu:
’’
solve
X.y
subs
numden
format
sym2poly
A(1)
označení řetězce
symbolické řešení rovnic
výběr pole y z datové struktury X
symbolická substituce
čitatel a jmenovatel symbolického výrazu
nastavení formátu zobrazení čísel
symbolické vyjádření polynomu převede na vektorové vyjádření
první prvek vektoru (koeficient u nejvyšší mocniny polynomu)
Program vyžaduje Symbolic Math Toolbox.
Vlastní program:
f1=’(U3-U1)/R+(U3-U2)/(p*L)=0’
f2=’p*C*U2+(U2-U3)/(p*L)=0’
rU=solve(f1,f2,’U2,U3’);
rU.U2
rU.U3
P=rU.U2/’U1’
nP=subs(P,{’R’,’C’,’L’},{1e3,22.5e-9,11.25e-3})
[num, den]=numden(nP)
format short e
A=sym2poly(den)
B=sym2poly(num)/A(1)
A=A/A(1)
5
Program 3
V prostředí Matlab vykreslete modulovou a fázovou charakteristiku a charakteristiku skupinového
zpoždění odpovídající přenosové funkci
H(p) =
3,950 617 · 109
p2 + 88 888,89 + 3,950 617 · 109
pro f ∈ h0, 3 · 104 i.
Nové operátory a funkce použité v programu:
[1 2 3]
freqs
pi
figure
abs
phase
diff
./
vytvoří vektor, který odpovídá polynomu p2 + 2p + 3
komplexní frekvenční odezva z analogové přenosové funkce
3,141 592 653 . . .
nové okno pro grafy
absolutní hodnota
fáze z komplexního vektoru (fáze je spojitá na okrajích ±π)
diference prvků vektoru (aproximace derivace)
dělení vektorů
Program vyžaduje Signal Processing Toolbox.
Vlastní program:
A=[1 88888 3.9506e9]
B=3.9506e9
f=linspace(0,3e4,200);
w=2*pi*f;
H=freqs(B,A,w);
figure(1)
plot(f,abs(H));
grid
xlabel f
ylabel ’|H|’
title ’Modulová charakteristika’
figure(2)
plot(f,phase(H));
grid
xlabel f
ylabel ’PH’
title ’Fázová charakteristika’
t=diff(-phase(H))./diff(w);
figure(3)
plot(f(1:199),t);
grid
xlabel f
ylabel ’t’
title ’Skupinové zpoždění’
Program 4
Je dána přenosová funkce
H(p) =
3,950 617 · 109
.
p2 + 88 888,89 p + 3,950 617 · 109
V prostředí Matlab vypočítejte a vykreslete impulsní charakteristiku pro t ∈ h0, 3 · 10−4 i.
6
Nové operátory a funkce použité v programu:
poly2sym
ilaplace
vpa
vektorové vyjádření polynomu převede na symbolické vyjádření
inverzní Laplaceova transformace
konverze racionálního čísla na desetinné číslo
Program vyžaduje Symbolic Math Toolbox.
Vlastní program:
A=[1 88888 3.9506e9]
B=3.9506e9
P=poly2sym(B)/poly2sym(A)
ih=ilaplace(P)
vpa(ih,5)
t=linspace(0,3e-4,200);
plot(t,subs(ih))
grid
7

Podobné dokumenty

7.1. Číslicové filtry IIR

7.1. Číslicové filtry IIR 7.1.1. Invariantní impulsní odezva Tato transformační metoda se týka vzájemné identifikace časových odezev filtru na jednotkový impuls. Pod pojmem invariantní impulsní odezva rozumíme, že k impulsní ...

Více

České akustické společnosti ročník 8, číslo 4 prosinec 2002 Obsah

České akustické společnosti ročník 8, číslo 4 prosinec 2002 Obsah V pondělí 28. října 2002 zemřel po těžké nemoci ve věku 74 let prof. MUDr. Jiří Havránek, CSc. Byl jedním z nejvýznamnějších představitelů oboru hygiena v posledním padesátiletém období spjatém s b...

Více

České akustické společnosti ročník 11, číslo 4 prosinec 2005 Obsah

České akustické společnosti ročník 11, číslo 4 prosinec 2005 Obsah zkušenosti svým spolupracovníkům a kolegům na pracovišti, u příležitosti akustických seminářů a konferencí a v rámci své pedagogické činnosti i studentům ČVUT Praha či Technické univerzity v Liberc...

Více

Základní pravidla MATLABu

Základní pravidla MATLABu naposled použili příkaz CLEAR ALL do souboru „matlab.mat“ v aktuálním adresáři. 2) dtto bod 1) jen s tím rozdílem, že proměnné uloží do námi zvoleného souboru v aktuálním adresáři. 3) Uloží do námi...

Více

elektrické obvody - black

elektrické obvody - black Při studiu textu se předpokládají základní znalosti o elektrických obvodech stejnosměrného proudu v rozsahu středoškolského učiva. Text volně navazuje na současnou gymnaziální učebnici [5]. V této ...

Více

cauchys teorém

cauchys teorém Automatické řízení - Kybernetika a robotika

Více

Chirp signál

Chirp signál y = sinc(t); subplot(2,2,1) plot(t,y); axis tight xlabel('Cas (sec)');ylabel('Amplituda'); title('Funkce sinc') Y = fft(y); subplot(2,2,2) Ym = abs(Y(1:length(Y)/2)); f = linspace(0,0.5,length(Ym))...

Více

Simulace systemu

Simulace systemu ♦ Výpočet funkcí a stavových proměnných, včetně iteračního výpočtu implicitních smyček ♦ Zkouška konvergence implikátorů ♦ Obsluha kroku výpočtu a výstupů ♦ Výstup ve formě tabulky, grafu, obrazu ♦...

Více

31 Schrödingerova formulace kvantové mechaniky

31 Schrödingerova formulace kvantové mechaniky úvahou: Má-li určitá veličina y N možných hodnot, z kterých N1 má hodnoty y1, N2 hodnoty y2, atd., je střední hodnota veličiny y určena vztahem

Více