Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a

Využití Rhinoceros ve výuce předmětu Počítačová geometrie a grafika
Bítov 13.-17.8.2012
Blok 1: Kinematika
Pro lepší orientaci v obrázku je vhodné umísťovat. Nabízí se dvě rychlé varianty. Buď pomocí
příkazu Text, nebo vložením „anotačního kolečka“ v menu Kóta/Anotační kolečko (příkaz
Kolečko).
Příklad 1: Je dána kružnice k s poloměrem 30 a na ní je vyznačený oblouk AB. Sobotkovou
rektifikací určete délku oblouku AB.
Návod: Sobotkova rektifikaci lze použít pro kruhové oblouky se středovým úhlem menším než 60o.
Na následujícím obrázku je zadána kružnice a vyznačen oblouk AB.
Od krajního bodu A daného oblouku naneseme 3x poloměr r=30 na polopřímku n jdoucí bodem A
a středem kružnice S. Získaný bod C spojíme s bodem B a oblouk promítneme na tečnu t v bodě A
ke kružnici k.
Úsečka AD zvýrazněná žlutou barvou má přibližně délku oblouku AB.
Příklad 2: Cykloidální pohyb je dán hybnou polodií h a pevnou polodií p. h je kružnice x2+y2=152
a p je přímka y=-15. Sestrojte část trajektorie bodu A[0,-15] a jejím obecném bodě sestrojte
tečnu.
Návod: Zadání vypadá následovně.
Sledujeme trajektorii bodu A při odvalování kružnice h po přímce p.
Postup konstrukce:
1. Rozdělíme kružnici h na 8 (případně i více) dílů a označíme získané body postupně 1, …,7.
Podstatné je, abychom následně mohli použít například Sobotkovu rektifikaci oblouku, která
je dostatečně přesná pro úhly do 60o.
2. Sobotkovou rektifikací přeneseme délku oblouku A1 na přímku p a získáme úsečku AS1,
která má přibližně délku oblouku A1.
3. Na přímku p vyznačíme body S1, S2, ..., pro které platí |A1|=|AS1|=|S1S2|=…
Body S1, S2, … jsou okamžité středy otáčení.
K vynesení bodů použijeme příkaz Transformace/Pole/Pravoúhlé
Zadáme 9 objektů ve směru osy x, 1 ve směru osy y a 1 ve směru osy z.
Zadáme vzdálenost, kam má umístit objekty
Získané body označíme S2, …, S8.
4. Na přímku jdoucí středem S rovnoběžně s pevnou polodií p naneseme odpovídající pozice
středů O1, …, O8 hybné polodie h.
5. Provedeme odvalení kružnice h tak, aby se bodem 1 dotkla přímky p v bodě S1. Pozici
bodu A1 určíme jako průsečík odvalené kružnice a rovnoběžky s přímkou p jdoucí bodem 1.
Postupně odvalujeme kružnici h do dalších poloh a získáme body A2, …, A8.
6. Dříve, než vytáhneme křivku procházející body A1, .., A8 (tedy hledanou cykloidu),
sestrojíme v obecném bodě tečnu k této křivce, která zpřesní průběh funkce v okolí tohoto
bodu.
 Vybereme si obecný bod, např. bod A3.
 Sestrojíme normálu n3 jako spojnici bodu A3 a okamžitého středu otáčení, tj.
bodu S3.
 Tečna t3 je kolmá na normálu n3.
7. Body A, A1, …, A8 proložíme křivkou pomocí
8. Výsledkem je prostá cykloida
Blok 2: Mongeova projekce - polohové úlohy
(bod, přímka, rovina, bod v rovině, hlavní přímky roviny, rovina daná
různoběžkami, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou)
Budeme pracovat v rovině nejlépe v pohledu SHORA stejně, jako bychom rýsovali na papír.
Budeme využívat přednostně konstrukce, které bychom prováděli tužkou, pravítkem a kružítkem.
Rhino nám pomůže jen k dokonalosti, tedy k tomu, aby přímky procházely přesně danými body,
rovnoběžky byly skutečně rovnoběžné, atd.
Pro popis bodů a přímek použijeme příkaz Text zadaný přímo do příkazového řádku a místo
indexů budeme psát např. A1, A2, atd.
Poznámka 1: Každý příklad začneme tímto krokem:
Nakreslíme základnici x12 zadanou body [-100,0,0] a [100,0,0]. Na ní vyznačíme krátkou
úsečkou počátek.
Poznámka 2: Je důležité si uvědomit, že je potřeba zadat vstupní body s ohledem na
reprezentaci v Rhinu. Kladný směr vodorovné osy je v rozporu s kladným směrem osy x
v Mongeově promítání a druhá souřadnice v Rhinu je souřadnice na svislé ose. Půdorys bodu
A[30,10,60], tedy bod A1 je nutné zadat jako bod [-30,-10] a nárys bodu A, tedy bod A2 je nutné
zadat jako bod [-30,60].
Pro vynášení zadaných bodů je tedy nutné zadávat x-ovou a y-ovou souřadnici s opačným
znaménkem.
Tento rozpor je problematický pouze při vynášení zadání, pak již souřadnice při dalších
konstrukcích nebudou potřeba.
Příklad 1: V Mongeově promítání zobrazte přímku p=AB, kde A[30,10,60], B[-20,40,15] a určete
její stopníky. (Pozn. Všechny potřebné ordinály kreslete v jiné vrstvě a čárkovaně.)
Návod:
Pozor na zadávání bodů souřadnicemi, je tu rozpor mezi osami Rhina a osami Mongeova
promítání!
… pro zadání více bodů
… otevřeme okno s vrstvami, pojmenujeme si vrstvy a změníme typ čáry
Vynesené zadání vypadá následovně:
Přímky je potřeba kvůli získání stopníků protáhnout na obě strany:
a sledujte příkazový řádek s pokyny, výhodné je dynamické
prodloužení, které reaguje na pozici myši.
Všechny konstrukce provedeme v souladu s pravidly Mongeova promítání a využíváme
uchopovací režimy a např. zapnutý režim Orto (=nebo dočasně držet zmáčknutý SHIFT).
Řešení příkladu vidíme na následujícím obrázku.
Pojmenujme body, které jsme získali:
 P1p … půdorys půdorysného stopníku přímky p
 P2p … nárys půdorysného stopníku přímky p
 N1p … půdorys nárysného stopníku přímky p
 N2p … nárys nárysného stopníku přímky p
Příklad 2: V Mongeově promítání zobrazte stopy roviny alfa(-40,20,50).
Návod: Vyneseme 3 body: jeden bod na základnici a dva body na ordinálu jdoucí počátkem.
Určíme stopy rovin a podle potřeby je protáhneme.
Řešení příkladu vidíme na následujícím obrázku.
Pojmenujme stopy, které jsme získali:
 p1alfa … půdorys půdorysné stopy roviny alfa
 n2alfa … nárys nárysné stopy roviny alfa
Příklad 3: V Mongeově promítání zobrazte přímku p=AB a bod C ležící v rovině alfa. Dány body,
A[0,20,?], B[-20,?,0], C[30,?,20], alfa(-60,30,40). Všechny hlavní přímky roviny kreslete
v samostatné vrstvě.
Návod:
Zadání po vynesení souřadnic vypadá následovně:
Vzhledem k tomu, že budeme potřebovat rovnoběžky se stopami roviny, bude praktičtější, když
stopy roviny budou tvořeny samostatnými úsečkami a ne lomenou čarou. Rozdělení lomené čáry
provedeme pomocí
.
Rovnoběžky příslušnými půdorysy, resp. nárysy bodů sestrojíme příkazem Křivka/Odsadit
křivku a příkazovou volbou Bodem.
Sestrojené rovnoběžky ustříhneme podle potřeby pomocí
základnici, resp. na stopě roviny.
Řešení příkladu 1a) vidíme na následujícím obrázku.
Pojmenujme hlavní přímky, které jsme získali:
 Ih1alfa … půdorys hlavní přímky I. osnovy roviny alfa
 Ih2alfa … nárys hlavní přímky I. osnovy roviny alfa
 IIh1alfa … půdorys hlavní přímky II. osnovy roviny alfa
 IIh2alfa … nárys hlavní přímky II. osnovy roviny alfa
, aby končily na
Příklad 4: Sestrojte průsečík přímky p=AB s rovinou alfa, jestliže A[20,10,0],B[-50,20,30],
alfa(-40,40,30).
Návod: Vynesené zadání vypadá následovně:
Průsečík R přímky p s rovinou alfa určíme metodou krycí přímky r (tj. přímky roviny alfa, jejíž
jeden obraz se kryje s obrazem dané přímky p):
1.
2.
3.
4.
Zvolme krycí přímku r v rovině alfa, např. r1=p1.
Sestrojme r2 (určením nárysů příslušných stopníků).
r2∩ p2=R2.
R1 … průsečík ordinály jdoucí bodem R2 a přímky p1.
Blok 3: Mongeova projekce – metrické úlohy
(skutečná velikost úsečky - sklápění, kolmice k rovině, vzdálenost bodu od roviny,
vzdálenost bodu od přímky, rovina kolmá k přímce, otáčení roviny, trojúhelník
a kružnice v rovině)
Příklad 1: Určete skutečnou velikost úsečky AB, kde A[40,20,10] a B[-20,30,40].
Návod: Úsečku AB sklopíme např. do nárysny.
Příklad 2: Bodem A[20,40,50] veďte přímku k kolmou na rovinu alfa(K,L,M), jestliže K[0,25,15],
L[-30,25,50], M[20,0,20].
Návod: Vyneseme zadání a danými body vedeme různoběžky, pomocí kterých určíme stopy
roviny.
Určíme stopy roviny alfa. Pro hledanou kolmici k platí, že její průměty jsou kolmé ke stopám
roviny, tj. k1 je kolmá k p1alfa a k2 je kolmá k n2alfa.
Příklad 5: V rovině alfa(-50,20,40) sestrojte sdružené průměty rovnostranného trojúhelníka ABC.
Trojúhelník je určen vrcholem A[30,?,20] a jeho strana BC leží na přímce p=KL, K[60,?,60],
L[0,?,40].
Návod: Vyneseme zadání a chybějící půdorysy zadaných bodů určíme pomocí hlavních přímek
roviny alfa.
Trojúhelník sestrojíme v otočení. Otočíme rovinu alfa do nárysny kolem její nárysné stopy.
1. Bod A
a.
b.
c.
otáčíme kolem nárysné stopy:
Bodem A2 vedeme kolmici k nárysné stopě;
Určíme sklopený bod [A] tak, že od A2 naneseme y-ovou souřadnici bodu A;
Poloměr otáčení je dán vzdáleností středu otáčení od bodu [A]. Střed otáčení je průsečík
kolmice k nárysné stopě jdoucí bodem A a nárysné stopy;
d. Určíme otočený bod (A).
2. Podobným postupem určíme bod K v otočení, tj. bod (K).
3. Bod L2 leží přímo na nárysné stopě, je tedy samodružný a L2=(L).
4. Přímka p v otočení je (p)=(K)(L).
V otočení sestrojíme rovnostranný trojúhelník (A)(B)(C):
Za pomoci osové afinity získáme body B2 a C2. Můžeme vytáhnout nárys hledaného trojúhelníka.
Pomocí ordinál získáme půdorysy bodů B a C. A tedy hledaný půdorys trojúhelníka.
Příklad 6: V rovině alfa(-60,60,75) sestrojte sdružené průměty kružnice k se středem S[15,35,?],
poloměrem r=40.
Návod: Vyneseme zadání a chybějící nárys bodu S určíme pomocí hlavních přímek.
Kružnice s poloměrem r=40 se nám zobrazí svými sdruženými průměty jako elipsa v půdorysu se
středem S1 a hlavními vrcholy A1 a B1 a jako elipsa v nárysu se středem S2 a hlavními vrcholy K2
a L2.
Pro určení délky vedlejší poloosy potřebujeme v každém průmětu další bod, o kterém budeme
vědět, že na elipse leží. Pomocí hlavních přímek určíme chybějící průměty bodů, tj. body K1, L1,
A2, B2.
Pro určení délky vedlejší poloosy elipsy v půdorysu použijeme proužkovou konstrukci a bod K1.
Analogický postup použijeme pro určení délky vedlejší poloosy v nárysu
V tuto chvíli máme již dostatečně určené hledané sdružené průměty kružnice k. Jde o elipsu k1
v půdorysně a elipsu k2 v nárysně. Pro jejich vykreslení by se na papíře s výhodou využily
hyperoskulační kružnice. My však využijeme Rhino a necháme si od něj vykreslit elipsy pomocí
Křivka/Elipsa/Střed.
Zadání rysů:
1.a Hyperbola je dána ohniskem F[40,10], délkou hlavní poloosy a=25 a dvěma tečnami t=GH,
G[15,0], H[0,-20], t‘=XY, X[25,0], Y[0,70]. Sestrojte hyperbolu a na zadaných tečnách určete
body dotyku.
1.b Je dán hypocykloidální pohyb hybnou polodií h (střed Oh[0,0], poloměr rh=15) a pevnou
polodií p (střed Op[?,0], poloměr rp=45). Sestrojte trajektorie bodů A[15,0] , C[30,0] a v jejich
obecných bodech tečny.
1.c Evolventní pohyb je určen pevnou polodií p (x2+y2=302)a hybnou polodií h (přímka o rovnici
x=-30). Sestrojte části trajektorií bodů A[-30,0], C[-10,0] a v jejich obecných bodech tečny.
2.a Je zadán rotační kužel o výšce v=60. Jeho podstava o středu S[10,40,?] a poloměru r=30 leží
v rovině α (95,70,95). Zobrazte tento kužel v Mongeově promítání.
2.b Je zadán pravidelný čtyřboký jehlan o výšce v=70. Jeho podstava o středu S[0,40,0] a vrcholu
A[30,60,0] leží v půdorysně. V Mongeově promítání sestrojte řez jehlanu rovinou α (-90,100,30).
2.c Je zadán rotační komolý kužel o středech podstav S1[0,70,0], S2[0,70,80] a poloměrech
r1=50, r2=20 a rotační válec o středech podstav S3[-60,70,25], S4[60,70,60] a poloměru podstav
r=20. V Mongeově promítání sestrojte průnik kužele a válce.