Pr´ıklad 1 Mladý Galileo Galilei pri pozorovánı kyvu lucerny

Přı́klad 1
Mladý Galileo Galilei při pozorovánı́ kyvů lucerny, zavěšené na dlouhém závěsu pisánského kostela
(narodil se a studoval v Pise) zjistil, že perioda nezávisı́ na počátečnı́ výchylce. Domnı́val se, že závisı́ na
délce kyvadla l, jeho hmotnosti m a tı́hovémhzrychlenı́ g. Odhadněte
závislost dobu kyvu kyvadla t na
i
1
1
0
−
těchto veličinách pomocı́ rozměrové analýzy. t = kl 2 m g 2
Přı́klad 2
Startujı́cı́ tryskové letadlo musı́ mı́t před vzlétnutı́m rychlost nejméně v1 =360 km/h. S jakým nejmenšı́m
konstantnı́m zrychlenı́m může startovat na rozjezdové dráze dlouhé x1 =1,8 km ? [2, 78 m.s−2 ]
Přı́klad 3
Vyplašený pásovec (na obrázku) vyskočı́ do výšky.
V čase 0,200 s se nacházı́ ve výšce 0,544 m.
a) jaká je jeho počátečnı́ rychlost v0 ? [3, 701 m.s−1 ]
b) jaká je jeho rychlost v v zadané výšce ? [1, 739 m.s−1 ]
c) o jakou výšku ∆y ještě vyplašený pásovec nastoupá ? [0, 154 m]
Přı́klad 4
Jaká je perioda otáčenı́ pout’ové centrifugy o poloměru 5 m, jestliže v hornı́ poloze působı́ na mı́rně
vyděšeného cestujı́cı́ho výsledné zrychlenı́ a=g směrem nahoru ? Osa centrifugy je vodorovná, tı́hové
zrychlenı́ je rovno g = 9, 81 m.s−2 . [3, 17 s]
Přı́klad 5
Během cirkusového představenı́ v roce 1901 předvedl Allo ”Dare Devil”Diavolo vrcholné čı́slo, jı́zdu
na kole ve spirále smrti (viz. obr). Předpokládejte, že smyčka je kruhová a má poloměr R=2,7 m. Jakou
nejmenšı́ rychlostı́ v mohl Diavolo projı́ždět nejvyššı́m bodem smyčky, aby s nı́ neztratil kontakt? tı́hové
zrychlenı́ je rovno g = 9, 81 m.s−2
[5, 15 m.s−1 ]
Přı́klad 6
Výpravčı́ stojı́ na peróně na začátku prvnı́ho vagónu stojı́cı́ho vlaku. Vlak se dá do rovnoměrně zrychleného pohybu takovým způsobem, že
√ vagón mı́jı́ výpravčı́ho po dobu ∆t1 . Jakou dobu ∆tn mı́jı́
√ prvnı́
výpravčı́ho n-tý vagón? ∆tn = ∆t1 ( n − n − 1)
Přı́klad 7
Turista na zámku Zbiroh se naklánı́ nad studnu, přičemž mu do nı́ z náprsnı́ kapsy košile vypadne
mobilnı́ telefon. Ihned zapne stopky a změřı́, že žuchnutı́ telefonu o dno uslyšı́ za čas t = 6, 24 s po
vypadnutı́ telefonu. Tı́hové zrychlenı́ g = 9, 81m.s−2 a rychlost zvuku ve studni je c = 340 m.s−1
Určete, jak hluboká je studna na zámku Zbiroh [162, 8 m]
Přı́klad 8
Přı́močarý pohyb se koná z klidu se zrychlenı́m, které rovnoměrně roste tak, že v okamžiku t1 = 90 s
má hodnotu a1 = 0,5 m.s−2 . Určete:
a1 3
a1 2
t
t
a) závislost rychlosti a dráhy na čase, v =
2t1
6t1
i h
i
h
a1
a1
s(t1 ) = t21 = 675 m
c) rychlost a uraženou dráhu pro čas t = t1 , v(t1 ) = t1 = 22,5 m.s−1
2
6
a1 2
a1 3
−1
d) rychlost a uraženou dráhu pro čas t = t2 = 10 s. v(t2 ) =
t = 0,26 m.s
t = 0,92 m
s(t2 ) =
2t1 2
6t1 2
Přı́klad 9
Setrvačnı́k se otáčı́ s frekvencı́ n = 1500 ot.min−1 . Brzděnı́m přejde do pohybu rovnoměrně zpožděného
a zastavı́ se za čas t0 = 30
Určete
s od začátku brzděnı́.
5 −2
a) úhlové zrychlenı́ ε
− π s = −5, 24 s−2
3
b) počet otáček N , které vykoná od začátku brzděnı́ až do zastavenı́ [375 ot]
Přı́klad 10
Železničnı́ vagón se pohybuje po vodorovné přı́mé trati. Brzdı́me jej silou, která se rovná jedné desetině
jeho tı́hy. V okamžiku začátku bržděnı́ má vagón rychlost 72 km.h−1 . tı́hové zrychlenı́ je rovno g =
9, 81 m.s−2 Vypočı́tejte
a) čas t měřený od začátku bržděnı́ za který se vagón zastavı́ [20 s]
b) dráhu s, kterou urazı́ od začátku bržděnı́ do zastavenı́. [200 m]
Přı́klad 11
Kbelı́k zavěšený na provázku omotaném kolem rumpálu o poloměru R padá do studny. Jeho dráha je
dána vztahem s = 21 kt2
"
#
r
4 t4
k
Jaká je velikost zrychlenı́ malého pavoučka o hmotnosti m který sedı́ na rumpálu? a = k 2 + 2
R
Přı́klad 12
Určete, jakou silou působı́ na kolejnici následkem rotace Země vlak hmotnosti m = 500 tun, jedoucı́
rychlostı́ v 0 = 72 km.h−1 po polednı́ku od severu k jihu na severnı́ polokouli v mı́stě zeměpisné šı́řky
ϕ = 50o . [1114, 2 N]
Přı́klad 13
Jakou práci je třeba vykonat, aby vlak hmotnosti m=300 t, pohybujı́cı́ se po vodorovné trati, zvětšil
svou rychlost z v1 =36 km.h−1 na v2 =54 km.h−1 ? Neuvažujeme ztráty třenı́m a vliv odporu vzduchu.
[18, 75 MJ]
Přı́klad 14
Vypočı́tejte práci proměnné sı́ly F~ = (x2 −2xy)~i+(y 2 −2xy)~j po dráze dané parametrickými
rovnicemi
14
2
J
x = t, y = t (parabola) z bodu A1 (1, 1) do bodu A2 (−1, 1). (Sı́la je zadaná v newtonech)
15
Přı́klad 15
Sáňky jedou z kopce rovnoměrně zrychleně po dráze AB a pod svahem rovnoměrně zpožděně po
vodorovné dráze BC, na které se zastavı́. Určete koeficient třenı́. Úhel α = 10o , dráhy AB=s1 = 1000 m,
BC=s2 = 100 m. [0, 16]
Přı́klad 16
Po zachycenı́ střely se poloha těžiště balistického kyvadla zvýšı́ o l = 2 cm. Určete rychlost střely v.
Hmotnost střely je rovna m = 20 g, hmotnost balistického kyvadla je rovna M = 10 kg.
[313, 8 m.s−1 ]
Přı́klad 17
Na ocelovou podložku upustı́me z výšky h =1 m dvě ocelové koule. Hornı́ koule má hmotnost m1 =100
g, dolnı́ m2 =300 g.
#
"
2
3m2 − m1
h= 4 m
a) Do jaké výšky h1 se odrazı́ hornı́ (lehčı́) koule? h1 =
m1 + m2
"
2 #
m2 − 3m1
b) Do jaké výšky h2 se odrazı́ dolnı́ (těžšı́) koule? h2 =
h
m1 + m2
c) Pro jaký poměr hmotnostı́ k = m2 /m1 vyskočı́ hornı́ koule nejvýše? [k → ∞]
d) Jaká je tato maximálnı́ výška? [9h= 9 m]
Přı́klad 18
Dvě lod’ky plujı́ na klidné (neproudı́cı́) vodě proti sobě rovnoběžným směrem. Když se mı́jejı́, vyměnı́
si vzájemně stejně těžký pytel hmotnosti M =50 kg. Následkem toho se druhá lod’ka zastavı́ a prvnı́ se
pohybuje dále v původnı́m směru rychlostı́ u1 =8,5 m.s−1 . Stanovte rychlosti v1 a v2 lod’ek před tı́m, než
si vyměnily pytle. Hmotnosti lod’ek i s pytlem jsou m1 =1000 kg, m2 =500 kg.
[9 m.s−1 ]
[−1 m.s−1 ]
Přı́klad 19
4
Částice α (jádro hélia 2 He) se ve srážkovém experimentu odrazila od neznámého atomového jádra. Při
srážce ztratila tato částice 75% své kinetické energie. Srážka byla pružná a probı́hala po přı́mce.
Jakou hmotnost M má neznámé atomové jádro?
[M = 3m]
Přı́klad 20
Clověk o hmotnosti m=75 kg stojı́ na lod’ce o délce l= 2m a hmotnosti M =25 kg. O jakou vzdálenost
s se posune vzhledem ke břehu, když přejde z jednoho konce lod’ky na druhý? Předpokládejte, že odpor
vody je možné zanedbat.
[0, 5 m]
Přı́klad 21
Homogennı́ nosnı́k hmotnosti m = 5 tun a délky l = 10 metrů spočı́vá na dvou podpěrách. Ve
vzdálenosti x = 2 metry od jednoho konce je zatı́žen hmotnostı́ m1 = 1 tuna. Určete sı́ly reakce v
obou podpěrách na koncı́ch nosnı́ku, tı́hové zrychlenı́ je rovno g = 9, 81 m.s−2 .
[32373 N]
[26487 N]
Přı́klad 22
Závažı́ o hmotnosti m je zavěšeno na laně podepřeném vodorovnou vzpěrou. Pro úhel, který svı́rá
vzpěra a lano, platı́ α = 30o . Hmotnost lana a vzpěry lze zanedbat. Vypočı́tejte
a) velikost tahové sı́ly, Tn , kterou je napı́náno lano nad hvzpěrou [Tn i= 2mg]
√
b) velikost tlakové sı́ly Tv , kterou je namáhána vzpěra Tv = 3mg
c) velikost tahové sı́ly Tp , kterou je natahováno lano pod vzpěrou [Tp = mg]
Přı́klad 23
U stěny je postaven žebřı́k. Jeho koeficient třenı́ o stěnu je f1 = 0, 55, o zem f2 = 0, 8. Určete minimálnı́
úhel vzhledem k horizontálnı́ rovině, při kterém žebřı́k nespadne působenı́m vlastnı́ váhy.
[19, 29o ]
Přı́klad 24
Určete polohu těžiště homogennı́ polokoule poloměru R = 2 m.
3
0, 0,
4
Přı́klad 25
Určete moment setrvačnosti homogennı́ tyče délky d = 1 m a hmotnosti m = 1kg vzhledem k ose
.
1
kg.m2 = 0, 0833 kg.m2
a) která procházı́ středem tyče kolmo na
12
1 jejı́ směr
.
b) na konci tyče kolmé na jejı́ směr
kg.m2 = 0, 33 kg.m2
3
Přı́klad 26
Vypočtěte moment
setrvačnosti
J homogennı́ koule poloměru R a hmotnosti m vzhledem k ose procházejı́cı́
2
jejı́m středem. J = m R2
5
Přı́klad 27
Rotor elektromotoru s hmotnostı́ m=110 kg má moment setrvačnosti J=2 kg.m2 a koná f =20 otáček
za sekundu. Jak velkou má kinetickou energii? [15, 8 kJ]
Přı́klad 28
Z bodu A nakloněné roviny úhlu α se začne valit beze
Určete jeho rychlost
" smyku
# válec.
r homogennı́
r
g s sin α
3s
t=
v bodě B a čas potřebný k proběhnutı́ dráhy s = AB. v = 2
3
g sin α
Přı́klad 29
Vypočı́tejte oběžnou rychlost a vzdálenost od Země pro stacionárnı́ družici. Hmotnost Země M =
5, 983.1024 kg, poloměr Země R = 6378 km, gravitačnı́ konstanta κ = 6, 67.10−11 N.m2 .kg−2 .
[3076 m.s−1 = 35 810 km]
Přı́klad 30
Jupiterův měsı́c Io obı́há po trajektorii s velkou poloosou aI =421800 km s periodou TI =1,769 dne.
Zemský Měsı́c obı́há po trajektorii s velkou poloosou aM =2,55.10−3 AU s periodou TM =27,322 dne. Určete
z těchto údajů poměr hmotnostı́ Jupitera a Země. Astronomická jednotka 1 AU je rovna 149,598.106 km.
[315]
Přı́klad 31
Vzdálenost Měsı́ce od středu Země se měnı́ od rM P =363300 km v perigeu do rM A =405500 km v apogeu,
perioda oběhu Měsı́ce kolem Země je TM =27,322 dne. Umělá družice se pohybuje po eliptické dráze nad
rovnı́kem tak, že v perigeu je ρDP =225 km nad povrchem Země a v apogeu je ρDA =710 km. Rovnı́kový
poloměr Země je RZ =6378 km. Určete periodu oběhu umělé družice TD .
[0, 0649 dne = 1,56 h = 1 h 34 min]
Přı́klad 32
V jaké vzdálenosti od středu Země r1 je na spojnici Země-Měsı́c velikost gravitačnı́ sı́ly působı́cı́ na
těleso
m nulová? Vzdálenost Země-Měsı́c je d, pro hmotnost Měsı́ce použijte MM = MZ /81.
o hmotnosti
9
r1 = d
10
Přı́klad 33
Jaká je frekvence netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu hmotnosti m =2 g, je-li amplituda A = 10 cm a celková energie hmotného bodu W = 1 J ? [50, 35 Hz]
Přı́klad 34
Jaký je logaritmický dekrement útlumu Λ tlumeného harmonického oscilátoru, jestliže za čas 10 s trvánı́
pohybu hmotný bod ztratı́ 50 % své mechanické energie. Perioda tlumeného pohybu je T =2 s. [0, 0693]
Přı́klad 35
Těleso visı́ na pružině a kmitá s periodou T = 0,5 s. O kolik se pružina zkrátı́ odstraněnı́m tělesa?
[6, 2 cm]
Přı́klad 36
Kruhová deska koná ve svislém směru kmitavý harmonický pohyb s amplitudou A = 0,75 m. Jaká
může být maximálnı́ frekvence kmitánı́ desky, aby se předmět volně uložený na desku od nı́ neoddělil?
[0, 575 Hz]
Přı́klad 37
Pozorovánı́m tlumeného harmonického kmitavého pohybu se zjistilo, že po dvou za sebou následujı́cı́ch
výchylkách na stejnou stranu se amplituda kmitů zmenšila o 6/10 a že doba kmitu T = 0,5 s. Určete
součinitel tlumenı́ δ a logaritmický dekrement útlumu Λ. [1, 833 s−1 ]
[0, 916]
Přı́klad 38
Nalezněte amplitudu A a fázi ψ výsledného harmonického pohybu u = A sin(ωt + ψ), který vznikne
složenı́m dvou kmitavých pohybů ve stejné přı́mce se stejnou periodou, u1 = A1 sin(ωt + ϕ1 ), u2 =
A2 sin(ωt + ϕ2 ) amplitudami A1 = 3 cm, A2 = 5 cm a fázemi ϕ1 = 0o , ϕ2 = 60o
[7
cm] o
0
00 .
38, 2132 = 38o 12 47 = 0, 667 rad
Přı́klad 39
Nalezněte amplitudu a fázi výsledného harmonického pohybu u = A cos(ωt+ϕ), který vznikne složenı́m
dvou kmitavých pohybů ve stejné přı́mce u1 = A1 cos(ω t + ϕ1 ), u2 = A2 cos(ω t + ϕ2 ) A1 = A2 = 5 cm,
fázeh ϕ1 = 30o , ϕ2i= 60o . [9, 66 cm]
π
45o = rad
4
Přı́klad 40
Na pružnou spirálu zavěsı́me na spodnı́m konci závažı́ hmotnosti značně většı́ než je hmotnost spirály.
Při tom se spirála protáhne o 4 cm. S jakou frekvencı́ bude soustava kmitat, udělı́me-li jı́ ve svislém směru
impuls ? [2, 51 Hz]
Přı́klad 41
Mobilnı́ telefon spadne do kanálu, který ústı́ na druhé straně Země. Za jak dlouho se telefon vrátı́?
střednı́ poloměr Země je roven RZ = 6373 km , hmotnost Země je rovna Mz = 6.1024 kg . Hustotu Země
budeme pokládat za konstantnı́, gravitačnı́ konstanta je rovna κ = 6, 672.10−11 N.m2 kg−2
[5059 s = 1 h 24 min19 s]
Přı́klad 42
Určete dobu kmitu kapaliny, která je nalita do trubice tvaru U tak, že celková délka sloupce kapaliny
je l = 1 m. g = 9, 81 m.s−2 [1, 42 s]
Přı́klad 43
Za jak dlouho se energie kmitavého pohybu ladičky s frekvencı́ f = 435 Hz zmenšı́ n = 106 krát? Jaký
je činitel jakosti ladičky? Logaritmický dekrement útlumu je roven Λ = 8.10−4 . [19, 84 s]
[3927]
Přı́klad 44
Určete vlnovou délku de Broghliovy vlny elektronu, který byl urychlen průchodem potenciálnı́m rozdı́lem
U =100 V. Hmotnost elektronu je me = 9, 101.10−31 kg, náboj elektronu je e = 1,602.10−19 C, Planckova
konstanta je h = 6, 62607.10−34 J.s . [1, 23.10−10 m]
Přı́klad 45
Vypočtěte energii fotonu o vlnové délce λ=700 nm. Výsledek vyjádřete v Joulech a v elektronvoltech.
Planckova konstanta je h = 6, 62607.10−34 J.s , rychlost světla ve vakuu je c = 3.108 m.s−1
[2, 84.10−19 J = 1, 77 eV]
Přı́klad 46
Elektron v urychlovači zı́ská energii W =100 MeV. Vypočı́tejte jeho vlnovou délku λ a kmitočet f
Planckova konstanta je h = 6, 62607.10−34 J.s , rychlost světla ve vakuu je c = 3.108 m.s−1 , náboj
elektronu je e = −1, 602.10−19 C
[1, 24.10−14 m]
[2, 42.1022 Hz]
Přı́klad 47
Za přı́znivých okolnostı́ může lidské oko zaregistrovat E = 10−18 joulů elektromagnetické energie.
Vypočı́tejte, kolik je to fotonů světla oranžové barvy (s vlnovou délkou λ=600 nm).
Planckova konstanta je h = 6, 62607.10−34 J.s , rychlost světla ve vakuu je c = 3.108 m.s−1 , náboj
elektronu je e = −1, 602.10−19 C
[3]
Přı́klad 48
Radiový vysı́lač o výkonu P =1000 W pracuje na kmitočtu f =880 kHz. Kolik fotonů za vteřinu emituje?
Za přı́znivých okolnostı́ může lidské oko zaregistrovat E = 10−18 joulů elektromagnetické energie.
Vypočı́tejte, kolik je to fotonů světla oranžové barvy (s vlnovou délkou λ=600 nm). Planckova konstanta
je h = 6, 62607.10−34 J.s . [1, 71.1030 ]
Přı́klad 49
Kolik fotonů za vteřinu emituje destiwattová žlutá žárovka? Předpokládejme monochromatické světlo
s vlnovou délkou λ = 580 nm.
Planckova konstanta je h = 6, 62607.10−34 J.s rychlost světla ve vakuu je c = 3.108 m.s−1
[2, 919 ]
Menšı́ část přı́kladů převzata s laskavým svolenı́m autora z M. Červenka: 263 problémů z mechaniky,
elektřiny a magnetismu. Sbı́rka je dostupná na http://herodes.feld.cvut.cz/sbirka/sbirka/spapzmem.pdf