Petrickova-Obecny oscilator ve dvou dimenzich

Periodický pohyb obecného oscilátoru
ve dvou dimenzı́ch
Šárka Petřı́čková
(A05221, [email protected], Matematické metody ve vědách a ve vzdělávánı́, FAV, ZČU)
Matematické modelovánı́
7. 2. 2008
Abstrakt
Předmětem této práce je kvalitativnı́ analýza periodických řešenı́ nelineárnı́ soustavy dvou diferenciálnı́ch rovnic druhého řádu
00
x + k(x)x = 0,
y 00 + l(x)y = 0,
kde k(x) a l(x) jsou po částech konstantnı́ funkce takové, že k(x) ≡ k1 , l(x) ≡ l1 pro
x > 0 a k(x) ≡ k2 , l(x) ≡ l2 pro x < 0. V úvodu je popsán harmonický oscilátor, který
vznikne volbou k(x) ≡ k a l(x) ≡ l. Pozornost je dále věnována aplikaci oscilátorů
splňujı́cı́ výše uvedenou soustavu. Cı́lem je zformulovat nutné a postačujı́cı́ podmı́nky
pro existenci periodických řešenı́.
1
1
Úvod
1.1
Motivace
• Kmitánı́ se vyskytuje v různých oblastech vědy. Pravděpodobně nejznámějšı́ je mechanické kmitánı́ (též kmitavý pohyb, oscilačnı́ pohyb nebo vibrace), což je takový
mechanický pohyb hmotného bodu (popř. tělesa), při kterém je tento hmotný bod
vázán na určitou rovnovážnou polohu. Hmotný bod se při svém pohybu vzdaluje
od této rovnovážné polohy pouze do určité konečné vzdálenosti. Kmitajı́cı́ veličinou
nemusı́ být pouze poloha tělesa, ale např. hustota látky, tlak (hovořı́ se o pulzaci)
nebo jiná mechanická veličina. Kmitánı́ se také často vyskytuje u elektrických obvodů
(viz např. elektronický oscilátor). Kombinace elektrických a mechanických kmitů se
využı́vá v mikrofonu. S kmitánı́m se lze setkat také v optice nebo kvantové fyzice, dále pak při studiu klimatických změn, v chemii, v biologických nebo sociálnı́ch
systémech.
• Motivacı́ této práce je dvourozměrný mechanický oscilátor s tuhostı́ pružin měnı́cı́ se
v závislosti na znaménku souřadnic x, y okamžité výchylky. Ten představuje kmitánı́
tyče mezi čtyřmi stěnami různých tuhostı́.
l1
k1
k2
l2
1.2
Harmonický oscilátor
• Popis systému
Uvažujme netlumený oscilátor jednotkové hmotnosti bez přidané budı́cı́ sı́ly,
který kmitá okolo stabilnı́ rovnovážné pozice. Podle Hookova zákona pro něj
platı́ nı́že uvedené vztahy.
2
x00 + kx = 0
y 00 + ly = 0
√
x(t) = A sin(√kt)
y(t) = B sin( lt + ϕ)
• Lissajousovy obrazce
Grafem řešenı́ výše uvedených rovnic jsou tak zvané Lissajousovy křivky (obrazce).
Křivky tohoto typu objevil v roce 1815 americký matematik Nathaniel Bowditch
(1773-1838) a později, v roce 1857, detailněji zkoumal francouzský matematik Jules
Antoine Lissajous (1822-1880).
√
Tvar těchto křivek závisı́ na poměrů úhlových frekvencı́, tzn. na √kl , a na fázovém
posuvu ϕ. Velikosti
amplitud ovlivňujı́ rozšiřovánı́ nebo zužovánı́ obrazce podél dané
√
k
osy. Např. pro √l = 1 se jedná o elipsu, která pro A = B a ϕ = π2 přecházı́ v kružnici
a pro ϕ = zπ, kde z ∈ Z, přecházı́ v úsečku.
Lissajousova křivka je uzavřená, pokud je poměr
√
√k
l
racionálnı́m čı́slem. Je-li tento
poměr iracionálnı́, je křivka otevřená. Nenı́ těžké dokázat, že v přı́padě
pohyb periodický, nezávisle na tvaru počátečnı́ch podmı́nek.
√
√k
l
∈ Q je
Lissajousovy křivky jsou obvykle vytvářeny na počı́tači nebo pomocı́ osciloskopu
a to nejen v rovině, ale také v prostoru.
2
Speciálnı́ typ obecného oscilátoru
• Mějme systém dvou nelineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic druhého řádu se speciálnı́mi,
po částech konstantnı́mi, funkcemi k(x) and l(x)
x00 + k(x)x = 0,
y 00 + l(x)y = 0,
k1
k2
pro x > 0,
pro x ≤ 0,
l1
l2
pro x > 0,
pro x ≤ 0.
k(x) =
l(x) =
3
• Tento systém může být přepsán jako
x00 + k1 x+ − k2 x− = 0,
y 00 + l1 χ(x+ )y − l2 χ(x− )y = 0,
x+ := max{x, 0},
x− := max{−x, 0},
+
χ(x ) =
1
0
prox > 0,
pro x ≤ 0,
(1)
(2)
−
χ(x ) =
1
0
pro x < 0,
pro x ≥ 0.
• Vlastnosti Rovnice (1) je nezávislá na y a je pozitivně homogennı́ (Fučı́kova rovnice).
Rovnice (2) je dokonce lineárnı́ (Meissnerova rovnice). Obě rovnice (1)+(2) jsou autonomnı́.
⇒ Homogenita ⇒ Pozitivnı́ homogenita
Linearita ⇒ Lipschitzovská spojitost v y
2.1
Analytické řešenı́ pro x
• Prvnı́ rovnice
x00 + k1 x+ − k2 x− = 0
spolu se svými periodickými podmı́nkami reprezentuje periodické Fučı́kovo spektrum, které studovali S. Fučı́k (CR, 1944-1979) a E. N. Dancer (AUS, 1946 - ).
Toto spektrum je definováno jako množina všech dvojic (k1 , k2 ) ∈ R, pro které má
tato rovnice netriviálnı́ periodické řešenı́. K vyřešenı́ tohoto problému se použı́vá analytická metoda střelby. Ta spočı́vá v tom, že řešı́me nejprve rovnici x00 + k1 x = 0 pro
x > 0 (řešenı́m je kladná půlvlna na intervalu délky √πk1 ) a poté x00 +k2 x = 0 pro x < 0
(řešenı́m je záporná půlvlna na intervalu délky √πk2 ). Protože je systém autonomnı́
a pozitivně homogennı́, můžeme bez ztráty na obecnosti volit x(0) = 0, x0 (0) = 1.
Řešenı́ má tedy pro n = 1 tvar
(
x(t) =
√1
k1
√1
k2
√
sin( k1 t)
√
sin( k2 ( √πk1 − t))
for
for
t ∈ (0, T0 ),
t ∈ (T0 , T ),
4
T0 = √πk1
T = √πk1 +
√π ,
k2
n∈N
2.2
Analytické řešenı́ pro y
• Řešenı́ pro proměnnou y (pro l1 > 0, l2 > 0) hledáme ve tvaru:
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
t ∈ (0, T0 )
y(t) =
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )), t ∈ (T0 , T ).
• S využitı́m periodických podmı́nek
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
dostáváme systém čtyř rovnic o čtyřech neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
• Eliminujeme A,B,C,D a tı́m zı́skáváme implicitnı́ předpis křivek F (l1 , l2 ) = 0, kde
√
√
√
√
F (l1 , l2 ) = 2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l1+l√2l2 − 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 )
2.3
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
1. Zvolı́me n-tou křivku Fučı́kova spektra a jeden z parametrů k1 , k2 pro předem
zadanou periodu T .
5
2. Použitı́m předpisu pro Fučı́kovo spektrum určı́me druhý parametr.
3. Vybereme bod na křivce zadané implicitně F (l1 , l2 ) = 0 v (l1 , l2 )-rovině.
4. Určı́me počátečnı́ podmı́nky pro proměnnou y.
5. Zı́skáváme periodické řešenı́ a můžeme vykreslit požadované grafy.
6
Obrázek 1: T -periodická řešenı́ pro vybrané body F (l1 , l2 ) = 0.
2.4
Dalšı́ cı́le
• V budoucnu bude vytvořen obecného řešič úlohy pro libovolnou křivku Fučı́kova
spektra.
• Bude zkoumáno chovánı́ oscilátoru po přidánı́ tlumenı́ a budicı́ sı́ly.
7
Reference
• E. A. Coddington, N. Levinson, Theory od Ordinary Differential Equations, McGrawHill Inc., 1955, Chpt. 1., pp. 1 - 41.
• E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.
• S. FUČÍK; Solvability of Nonlineae Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.
• E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98.
• P. NEČESAL, Nonlinear boundary value problems with asymmetric nonlinearities periodic solutions and the Fučı́k spectrum, Ph.D. thesis, University of West Bohemia,
Pilsen, 2003.
8