docPrůřezové veličiny
download 
Stížnost Transkript
Průřezové veličiny
Statika 1 M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Statika 1 2. přednáška Průřezové veličiny Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Miroslav Vokáč [email protected] ČVUT v Praze, Fakulta architektury 7. března 2016 Statika 1 Průřez M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment ◮ Prut je konstrukční prvek, u kterého je délka L mnohem větší než šířka b i výška h. ◮ Prutem je např. trám, sloup, průvlak nebo prvek příhradové soustavy. ◮ Průřez je tvar příčného řezu prutu. D L L h b Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Plocha průřezu M. Vokáč Základní jednotka: m2 Průřez Plocha ȳ ȳ Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti dA Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky A3 A2 x̄ A= Z A dA A1 x̄ A= X i Ai Statika 1 Statický moment průřezu M. Vokáč Průřez Základní jednotka: m3 Plocha ȳ ȳ Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti ȳ t3 y¯t3 y¯t Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti dA Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky t y¯t y¯t2 y¯t1 x̄ x¯t x̄ Sx̄ = A y¯t = Sȳ = A x¯t = R A R A ȳ dA x̄ dA t t2 t1 x¯t x̄ x¯t1 x¯t3 x¯t2 X Ai y¯ti Sx̄ = A y¯t = i X Ai x¯ti Sȳ = A x¯t = i Statika 1 Těžiště průřezu M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment y ȳ t3 y¯t3 y¯t y¯t2 y¯t1 Poloha těžiště se u složeného průřezu vypočte: x t t2 t1 x¯t x¯t1 x¯t3 x¯t2 x¯t = Sȳ A = P ¯ PAi xti Ai y¯t = Sx̄ A = P ¯ PAi yti Ai Do těžiště umist’ujeme počátek x̄ těžišt’ového systému souřadnic xy. Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Těžiště průřezu M. Vokáč Průřez Plocha ◮ ◮ ◮ ◮ Statický moment k těžišt’ové ose je nulový. Pokud má průřez 1 osu symetrie, leží těžiště na této ose. Pokud má průřez 2 a více os symetrie, leží těžiště v průsečíku těchto os. U průřezu středově symetrického leží těžiště ve středu symetrie. t t t t t Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti průřezu Základní jednotka: m4 M. Vokáč Průřez Plocha ◮ y dA y ◮ x x t ◮ Momenty setrvačnosti: R Ix = y 2 dA A R Iy = x 2 dA A DeviačníRmoment: Dxy = xy dA A Moment setrvačnosti plochy (A > 0) k těžišt’ovým osám je vždy kladný (Ix ∈ ℜ+ , Iy ∈ ℜ+ ). Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Deviační moment Elipsa setrvačnosti k těžišt’ovým osám může Kontrolní otázky být kladný, záporný i nulový (Dxy ∈ ℜ). Pro základní geometrické obrazce (čtverec, obdélník, trojúhelník, kruh, půlkruh, čtvrtkruh, . . . ) jsou integrály spočítány a tabelovány. Viz odborná literatura nebo viz http://15122.fa.cvut.cz. Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Čtverec y Statický moment y ȳ Těžiště x x a t y¯t x̄ x¯t Momenty setrvačnosti A = a2 x¯t = y¯t = 21 a 1 4 Ix = Iy = 12 a Dxy = 0 a Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Obdélník Statický moment y ȳ Těžiště Momenty setrvačnosti x h t y¯t x̄ x¯t A = bh x¯t = 12 b y¯t = 12 h 1 bh3 Ix = 12 1 Iy = 12 hb3 Dxy = 0 b Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Kruh Těžiště y y Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti x r t x d A = πr 2 = 41 πd 2 Ix = Iy = 41 πr 4 = Dxy = 0 Elipsa setrvačnosti 1 4 64 πd Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Pravoúhlý trojúhelník Statický moment Těžiště y ȳ Momenty setrvačnosti h x t y¯t x̄ x¯t A = 21 bh x¯t = 13 b y¯t = 13 h 1 bh3 Ix = 36 1 Iy = 36 hb3 1 2 2 b h Dxy = − 72 b Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Rovnoramenný trojúhelník ȳ Momenty setrvačnosti h x t y¯t Těžiště y x̄ x¯t b 1 2 bh 1 2b 1 3h 1 3 36 bh 1 3 48 hb A= x¯t = y¯t = Ix = Iy = Dxy = 0 Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Těžiště Půlkruh Momenty setrvačnosti y ȳ r r y¯t x t x̄ x¯t d A = 21 πr 2 x¯t = 12 d = r 4r y¯t = 3π Ix = r 4 ( π8 − Iy = 18 πr 4 Dxy = 0 Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti 8 9π ) Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Čtvrtkruh Těžiště y ȳ x t r Momenty setrvačnosti r y¯t x̄ x¯t r A = 41 πr 2 4 x¯t = r (1 − 3π ) 4r y¯t = 3π 8 ) Ix = Iy = 21 r 4 ( π8 − 9π 1 4 4 Dxy = +r ( 9π − 8 ) Při natočení průřezu nebo souřadného systému xy o 90◦ je třeba zaměnit výrazy pro Ix a Iy a změnit znaménko výrazu pro Dxy ! Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Ocelové válcované průřezy Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Pro ocelové válcované průřezy jsou tabulky s polohou těžiště, plochou a momenty setrvačnosti v odpovídajících normách, statických tabulkách nebo ocelářských tabulkách. Statika 1 Momenty setrvačnosti průřezu M. Vokáč Steinerova věta Průřez Plocha Steinerova věta: Moment setrvačnosti k mimotěžišt’ové ose x̃ rovnoběžné s těžišt’ovou osou x se rovná těžišt’ovému momentu setrvačnosti Ix zvětšenému o součin plochy A 2 a čtverce vzdálenosti obou os y˜t . Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Kontrolní otázky ỹ y˜t Těžiště Elipsa setrvačnosti y ỹ Statický moment 2 Ix̃ = Ix + Ay˜t dA y t x x Analogicky platí: Iỹ = Iy + Ax˜t x˜t x̃ x̃ 2 Dx̃ ỹ = Dxy + Ax˜t y˜t Statika 1 Momenty setrvačnosti průřezu M. Vokáč Steinerova věta - důkaz Průřez y Plocha ỹ Statický moment Těžiště Transformační vztahy při posunu souřadných os: x x̃ = x + x˜ t ỹ = y + y˜t dA ỹ y y˜t t x Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky x˜t x̃ x̃ Důkaz Steinerovy věty: Ix̃ = R ỹ 2 dA = A = R A y 2 dA + 2y˜t R 2 y dA + y˜t R R 2 (y + y˜t ) dA = A dA = A A 2 = Ix + 2y˜t Sx + Ay˜t = Ix + Ay˜t 2 2 Podobně lze odvodit: Iỹ = Iy + Ax˜t a Dx̃ ỹ = Dxy + Ax˜t y˜t Statika 1 Momenty setrvačnosti průřezu M. Vokáč Těžišt’ové momenty setrvačnosti složeného průřezu Průřez Plocha Statický moment y Těžiště Momenty setrvačnosti y3 x3 t3 [xt3 , yt3 ] t y1 x1 t1 [xt1 , yt1 ] y2 x2 t2 [xt2 , yt2 ] PodleX Steinerovy věty platí: (Ixi + Ai yti 2 ) Ix = x Iy = i X Dxy = (Iyi + Ai xti 2 ) iX (Dxi yi + Ai xti yti ) i Při výpočtu Dxy pozor na znaménka Dxi yi , xti a yti ! Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Hlavní těžišt’ové osy průřezu M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti ◮ ◮ ◮ ◮ Těžišt’ových souřadných systémů je nekonečně mnoho. Nejdůležitější jsou těžišt’ové osy, ke kterým je moment setrvačnosti maximální a minimální. Tyto osy nazýváme hlavní těžišt’ové (centrální) osy setrvačnosti a budeme je označovat xc a yc . Je třeba najít úhel natočení těžišt’ových os α0 , pro který jsou momenty setrvačnosti maximální, resp. minimální. Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Hlavní těžišt’ové osy průřezu M. Vokáč Transformace momentů při natočení těžišt’ových os Průřez y Plocha v Statický moment y u v t x Těžiště u dA Momenty setrvačnosti +α S využitím transformačních vzorců x u = x cos α + y sin α v = y cos α − x sin α R R 2 platí: Iu = v 2 dA = (y cos α − x sin α) dA = A R R RA = cos2 α y 2 dA − 2 sin α cos α xy dA + sin2 α x 2 dA = A A = Ix cos2 α + Iy sin2 α − Dxy sin 2α Podobně lze odvodit vzorce pro Iv a Duv . A Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Hlavní těžišt’ové osy průřezu M. Vokáč Transformace momentů při natočení těžišt’ových os Průřez y Plocha v Statický moment Těžiště u dA y u v Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti +α x t x Pro natočené osy u a v platí: Iu = Ix cos2 α + Iy sin2 α − Dxy sin 2α Iv = Ix sin2 α + Iy cos2 α + Dxy sin 2α Duv = 21 (Ix − Iy ) sin 2α + Dxy cos 2α Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Hlavní těžišt’ové osy průřezu Maximalizace, resp. minimalizace, momentu setrvačnosti Iv ◮ Úhel natočení hlavních centrálních os setrvačnosti α0 se určí např. maximalizací, resp. minimalizací, transformačního vztahu pro Iv , který derivujeme podle α a položíme rovno nule. Iv = Ix sin2 α + Iy cos2 α + Dxy sin 2α Iv′ (α) = 2Ix sin α cos α − 2Iy cos α sin α +2Dxy cos 2α = 0 Iv′ (α) = 2 12 (Ix − Iy ) sin 2α + Dxy cos 2α = 2Duv (α) = 0 Řešením této rovnice získáme úhel natočení hlavních těžišt’ových os setrvačnosti α0 . tg 2α0 = 2Dxy Iy − Ix Z rovnice Iv′ (α) = 2Duv (α) = 0 také plyne, že deviační moment k hlavním těžišt’ovým osám je nulový. M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti y Statika 1 M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment yc Těžiště Momenty setrvačnosti Úhel natočení hlavních centrálních os setrvačnosti: x t −α0 2Dxy tg 2α0 = Iy − Ix xc Hlavní centrální momenty setrvačnosti: Ixc = Ix cos2 α0 + Iy sin2 α0 − Dxy sin 2α0 Iyc = Ix sin2 α0 + Iy cos2 α0 + Dxy sin 2α0 Dxc yc = 0 Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Hlavní těžišt’ové osy a momenty setrvačnosti y ◮ yc ◮ x t −α0 ◮ xc ◮ Pokud platí Ixc ≥ Iyc a Ix ≥ Iy , potom musí platit Ixc ≥ Ix ≥ Iy ≥ Iyc . Součet momentů setrvačnosti je invariantní veličina, proto se otočením souřadného systému jeho hodnota nemění. Musí tedy platit Ixc + Iyc = Ix + Iy . Deviační moment k hlavním těžišt’ovým osám je nulový (Dxc yc = 0). Hlavní centrální momenty setrvačnosti lze vypočítat i podle vzorce s 2 Ix − Iy Ix + Iy 2 + 4Dxy ± Ixc ,yc = 2 2 M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Hlavní těžišt’ové osy a momenty setrvačnosti M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment ◮ Pokud má průřez 1 osu symetrie, leží na této ose jedna hlavní těžišt’ová osa průřezu. Těžiště Momenty setrvačnosti ◮ Pokud má průřez 2 osy symetrie, jsou tyto osy také hlavní centrální osy setrvačnosti. ◮ Pokud má průřez 3 a více os symetrie, je každý těžišt’ový souřadný systém také hlavní centrální. Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti yc yc yc t xc yc t yc yc xc yc yc xc xc t t xc xc t xc xc Kontrolní otázky Statika 1 Elipsa setrvačnosti průřezu M. Vokáč Průřez ◮ ◮ Poloměr setrvačnosti průřezu ix k těžišt’ové ose x je definován jako vzdálenost od těžiště, kde má hmotný bod, do kterého je soustředěna veškerá hmota průřezu, stejný moment setrvačnosti k ose x jako průřez. Množina takových bodů pro všechny těžišt’ové osy průřezu je nazývána elipsa setrvačnosti. Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky ix x t Ix = Aix2 Statika 1 Elipsa setrvačnosti průřezu M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Těžiště yc ◮ ixc t i yc xc Hlavní poloosy elipsy setrvačnosti jsou poloměry setrvačnosti k hlavním centrálním osám setrvačnosti: r Ixc ixc = A r Iyc iyc = A Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Elipsa setrvačnosti průřezu M. Vokáč Průřez Natočení elipsy setrvačnosti odpovídá znaménku deviačního momentu Dxy . Plocha Statický moment Těžiště Dxy > 0 y Dxy < 0 y Momenty setrvačnosti Dxy = 0 y x x Elipsa setrvačnosti x y y y x x y x y y x y x x y x Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti x x ≡ xc y ≡ yc Kontrolní otázky Statika 1 Elipsa setrvačnosti průřezu M. Vokáč Průřez ◮ ◮ ◮ ◮ Pokud má průřez 3 a více os symetrie, elipsa setrvačnosti má tvar kružnice. Pokud elipsa setrvačnosti má tvar kružnice, potom každý těžišt’ový systém souřadnic je hlavní centrální. Hlavních centrálních souřadných systémů souřadnic je v takovém případě nekonečně mnoho. Příkladem může být kruhový průřez, čtverec nebo pravidelný n-úhelník. yc yc yc yc xc yc yc xc t t xc xc t xc xc Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Kontrolní otázka M. Vokáč Který průřez má větší moment setrvačnosti Ix ? Průřez y Plocha Statický moment Těžiště y Momenty setrvačnosti x t Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti x t Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky y y x t x t Statika 1 Kontrolní otázka M. Vokáč Průřez Určete, zda pro daný průřez platí: a) Dxy = 0 b) Dxy < 0 Plocha c) Dxy > 0 Statický moment Těžiště y y t Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti x t x y y t x t x Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Statika 1 Konec přednášky M. Vokáč Průřez Plocha Statický moment Těžiště Momenty setrvačnosti Hlavní těžišt’ové osy a hlavní centrální momenty setrvačnosti Elipsa setrvačnosti Kontrolní otázky Děkuji za pozornost. Vysázeno systémem LATEX. Obrázky vytvořeny v systému .
Podobné dokumenty
Kombinace namáhání N+My+Mz, Jádro průřezu
Jádrová čára je množina
působišt’ sil odpovídající
množině N.O., které tvoří tečny
k obvodu průřezu.
Přímé straně obvodu průřezu
odpovídá v jádrové čáře vrchol.
Vrcholu na obvodu průr...
Statika 2 - 1. prednáška Prosté prípady pružnosti: Prostý ohyb Prosté
Na http://15122.fa.cvut.cz lze na stránkách Statiky I
nalézt výklad pro úvod k prostým případům pružnosti, napětí
v průřezu, vnitřní síly, hlavní těžišt’ové osy setrvačnosti,
momenty setrva...
Roční zpráva o činnosti: Česká společnost chemická za rok 2011
Česká společnost chemická je zakládajícím členem Asociace českých chemických společností a
Asociace evropských chemických společností EuCheMS(FECS), kde má má zastoupení v Executive Committe a
v od...
l "¨ e$ "
b (9MZ= b A C b M§(J? {EF?9\H(| =M§\NIYD b C : C,?sE?)= X!CM§IY?)A=AA C`EF?sc ÊY¡ ?FI]c ( b (9M,= b : = \N*>=,XÆC¡ K
A C b '*H(D b C,c$b =£A CSKNM§*HI]\H(s')(J*Ò J ¤ ×
b
bGE =@e*N=...
Předmět: STAVEBNÍ KONSTRUKCE 2014/2015
ešení staticky ur itých nosník obecn zatížených. Vnit ní síly na
chto nosnících (zadání vlastního p íkladu – vykreslení pr
M,V,H). Nap tí v tahu,
tlaku, ohybu, smyku za ohybu. Pr ezové
veli iny, ob...
Stabilita tlačených prutů a smyk za ohybu
Vzpěrná (kritická) délka u tlačených prutů je definována takto:
a) Vzpěrná délka je dvojnásobek délky prutu.
b) Vzpěrná délka je vzdálenost kloubových podpor.
c) Vzpěrná délka tlačeného prut...
