Teorie tváření - FMMI

Teorie tváření
Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava
Fakulta metalurgie a materiálového inženýrství
TEORIE TVÁŘENÍ
(studijní opory)
Jiří Kliber
Ostrava 2013
Teorie tváření
Recenzent:
Název:
Autor:
Vydání:
Počet stran:
Ing. Petr Kawulok, Ph.D.
Teorie tváření
Jiří Kliber
první, 2013
87
Studijní materiály pro studijní obor Moderní metalurgické technologie (studijní program
Metalurgické inženýrství) navazujícího magisterského studia Fakulty metalurgie a
materiálového inženýrství.
Jazyková korektura: nebyla provedena.
Určeno pro projekt:
Operační program Vzděláváním pro konkurenceschopnost
Název: ModIn - Modulární inovace bakalářských a navazujících magisterských programů na
Fakultě metalurgie a materiálového inženýrství VŠB - TU Ostrava
Číslo: CZ.1.07/2.2.00/28.0304
Realizace: VŠB – Technická univerzita Ostrava
Projekt je spolufinancován z prostředků ESF a státního rozpočtu ČR
© Jiří Kliber
© VŠB – Technická univerzita Ostrava
Teorie tváření
POKYNY KE STUDIU
TEORIE TVÁŘENÍ
Pro předmět TEORIE TVÁŘENÍ 1. semestru studijního oboru magisterského studia jste obdrželi
studijní balík obsahující integrované skriptum pro kombinované studium obsahující i pokyny ke
studiu. Text v této podobě nezahrnuje celou problematiky teorie tváření.
Prerekvizity
Znalost matematiky
Cílem předmětu a výstupy z učení
Hlavním cílem předmětu "Teorie tváření" je vybavit studenty teoretickým základem a metodikou
k řešení technologií tváření na matematických principech. Úkolem předmětu je studentům poskytnout
znalosti, které jsou nezbytné pro tvůrčí a komplexní inženýrské řešení technologií tvářecích procesů.
Po prostudování předmětu by měl student být schopen:
Samostatně dále rozvíjet poskytnuté matematické vztahy, uplatňovat je při následném zpracovávání
diplomové práce. Orientovat se v teoretické literatuře oboru. Získat dovednost a větší zběhlost při
řešení matematických úloh.
Pro koho je předmět určen
Předmět je zařazen do magisterského studia oborů Metalurgické inženýrství studijního programu
technologie tváření a úpravy materiálu, ale může jej studovat i zájemce z kteréhokoliv jiného oboru,
pokud splňuje požadované prerekvizity.
Při studiu každé kapitoly doporučujeme následující postup:
V prvé řadě je nutné si celou kapitolu zhruba prohlédnout. Následně se podívat na části textu, resp.
rovnice a přiřadit je k obrázkům. Doporučujeme si obrázky samostatně nakreslit a postupně je
doplňovat podle vzoru tak, že si v mnoha případech vytvoříte vlastní mnemotechnické pomůcky.
Následně je nutné probrat rovnice a samostatně je odvodit, případně pokračovat v odvozování.
Způsob komunikace s vyučujícími:
Možnosti komunikace studentů spočívají přednostně ve využívání časového prostoru přednášek a po
domluvě ve vybraných hodinách konzultací. Kontroly zadávaných programů pak na cvičeních
s dalšími detailními pokyny.
e-mail : jiri [email protected]
tel.: +420/595994463
-1-
Teorie tváření
Tváření materiálu
Tato nečíslovaná kapitola je zde vložena proto, že stále více studentů magisterského studia, kteří mají
zájem o tváření materiálu, nemají předchozí bakalářské studium tohoto oboru a dokonce někteří ani
jinou teoretickou a zejména technologickou průpravu v oblasti materiálů. Je to jako byste studentovi
měli vykládat princip spalovacího motoru a on nevěděl (s nadsázkou) co je to auto.
Čas ke studiu: 2 hodiny
Cíl
Po prostudování této nečíslované kapitoly jste se seznámili s anglickou verzí úvodu
do tváření materiálů. Je to zde zařazeno proto, že do magisterského studia se stále
více hlásí studenti, kteří nemají bakalářskou průpravu a seznamovat je s teorií
tváření aspoň bez základního přehledu technologií není příznivé. Ve cvičeních
z předmětu Teorie tváření bude jednou ze základních podmínek splnění zápočtu
studium anglické ( případně jinojazyčné) literatury, (nejčastěji vybraného článku,
nebo části kapitoly knihy). Detaily budou ve cvičení uvedeny. Tyto články popisují
reálný tvářecí proces
a proto pouze orientačně si ověříte znalost technické
angličtiny.
 definovat v českém jazyce základní principy tváření
 popsat a nakreslit některé vybrané metody tváření
Výklad
Introduction
� Practically all metals, which are not used in cast form are reduced to some standard shapes for
subsequent processing.
-2-
Teorie tváření
� Manufacturing companies producing metals supply metals in form of continuous casting methods
which are obtained by casting liquid metal into a square cross section.
� Slab (500-1800 mm wide and 50-300 mm thick)
� Billets (40 to 150 sq mm)
� Blooms (150 to 400 sq mm)
� These shapes are further processed through hot rolling, forging or extrusion, to produce materials in
standard form such as plates, sheets, rods, tubes and structural sections.
Primary Metal Forming Processes
� Rolling
� Forging
� Extrusion
� Tube and wire drawing
� Deep drawing
Fig. 1. Rolling
-3-
Teorie tváření
Rolling is the most extensively used metal forming process and its share is roughly 90%
� The material to be rolled is drawn by means of friction into the two revolving roll gap
� The compressive forces applied by the rolls reduce the thickness of the material or changes its cross
sectional area
� The geometry of the product depend on the contour of the roll gap
� Roll materials are cast iron, cast steel and forged steel because of high strength and wear resistence
requirements
� Hot rolls are generally rough so that they can bite the work, and cold rolls are ground and polished
for good finish. In rolling the crystals get elongated in the rolling direction. In cold
rolling crystal more or less retain the elongated shape but in hot rolling they start reforming after
coming out from the deformation zone
� The peripheral velocity of rolls at entry exceeds that of the strip, which is dragged in if the interface
friction is high enough.
� In the deformation zone the thickness of the strip gets reduced and it elongates. This increases the
linear speed of the at the exit.
� Thus there exist a neutral point where roll speed and strip speeds are equal. At this point the
direction of the friction reverses.
� When the angle of contact α exceeds the friction angle λ the rolls cannot draw fresh strip
� Roll torque, power etc. increase with increase in roll work contact length or roll radius
-4-
Teorie tváření
Fig. 2. Various Roll Configurations (a) Two-high (b) Three-high (c) Four-high (d) Cluster mill (e)
Tandem mill
Fig. 3. Other deformation processes related to rolling
-5-
Teorie tváření
Forging
� Forging is perhaps oldest metal working process and was known even during prehistoric days when
metallic tools were made by heating and hammering.
� Forging is basically involves plastic deformation of material between two dies to achieve desired
configuration. Depending upon complexity of the part forging is carried out as open die forging and
closed die forging.
� In open die forging, the metal is compressed by repeated blows by a mechanical hammer and shape
is manipulated manually.
� In closed die forging, the desired configuration is obtained by squeezing the workpiece between two
shaped and closed dies. On squeezing the die cavity gets completely filled and
excess material comes out around the periphery of the die as flash which is later trimmed.
� Press forging and drop forging are two popular methods in closed die forging.
� In press forging the metal is squeezed slowly by a hydraulic or mechanical press and component is
produced in a single closing of die, hence the
dimensional accuracy is much better than drop forging.
� Both open and closed die forging processes are carried out in hot as well as in cold state.
� In forging favorable grain orientation of metal is obtained
Fig. 4. Open and closed die forging
-6-
Teorie tváření
Direct and Indirect Extrusion
� In direct extrusion metal flows in the same direction as that of the ram. Because of the relative
motion between the heated billet and the chamber walls, friction is severe and is reduced by using
molten glass as a lubricant in case of steels at higher temperatures. At lower temperatures, oils with
graphite powder is used for lubrication.
� In indirect extrusion process metal flows in the opposite direction of the ram. It is more efficient
since it reduces friction losses considerably. The process, however, is not used extensively because it
restricts the length of the extruded component.
Fig. 5. Direct and Indirect Extrusion
-7-
Teorie tváření
Drawing
� Large quantities of wires, rods, tubes and other sections are produced by drawing process
which is basically a cold working process. In this process the material is pulled through a die in order
to reduce it to the desired shape and size.
� In a typical wire drawing operation, once end of the wire is reduced and passed through
the opening of the die, gripped and pulled to reduce its diameter.
Fig. 6. Drawing
Tube drawing
� Tube drawing is also similar to wire drawing, except that a mandrel of appropriate diameter is
required to form the internal hole.
� Here two arrangements are shown in figure (a) with a floating plug and (b) with a moving mandrel
� The process reduces the diameter and thickness of the tube.
Fig. 7. Tube drawing
-8-
Teorie tváření
Deep Drawing
� This operation isextensively used to for making cylindrical shaped parts such as cups,
shells, etc from sheet metal.
� As the blank is drawn into the die cavity compressive stress is set up around the flange and
it tends to wrinkle or buckle the flange.
Fig. 8. Deep Drawing
Shrnutí pojmů kapitoly Tváření materiálu
Tváření materiálu – hlavní typy primárního tváření.
Hlavní technologie tváření – válcování, kování, protlačování, výroba trubek, tažení trubek a drátu,
hluboké tažení.
Válcování – počet válců. směry otáčení, délka pásma deformace, struktura válcovaného materiálu,
spojité válcování, výroba závitů na šroubech, rozválcování kroužků, děrování kosým válcováním.
Kování – volné kování, zápustkové kování, tváření za tepla a za studena.
Protlačování – přímé, nepřímé, zásobník, špalek, třecí podmínky.
Tažení – drátů, trubek, tažení na tyči, plovoucí trn.
Hluboké tažení – materiál, přidržovač.
-9-
Teorie tváření
Otázky k probranému učivu
1. Vysvětlete důvody, proč tváření materiálu patří k základním dokončovacím procesům výroby
2. Vyjmenujte základní typy tvářením získaných polotovarů.
3. Popište, včetně nakreslení základních obrázků jednotlivé technologie tváření.
4. U válcování vysvětlete důvody, proč dochází k záběru kovu válci ( třecí síly ?).
5. Co se děje se strukturou materiálu při válcování?
6. Je výstupní rychlost materiálu z válců totožná s obvodovou rychlostí válců ?
7.
Pokuste se popsat i jiné, zvláštní technologie tváření založené na základě válcování.
8.
Vysvětlete rozdíl mezi volným a zápustkovým kováním.
9. Co je to přímé a nepřímé protlačování, naleznete nějaké příklady z civilního života, kde byste to
vysvětlili?
10. Jaké technologické pojmy vám vyvstanou na mysli, když se řekne tažení?
Znáte nějaký výrobek, který je zřejmě vyroben hlubokým tažením ?
1.
Napětí při tváření
Čas ke studiu: 25 hodin
Cíl
Tato kapitola je základní součástí teorie tváření.
Bude dělena na podkapitoly a ty dále na dílčí části. Pokud to bude nutné, budou za
podkapitolami řešené úkoly, případně shrnutí pojmů.
Seznámíte se s možnostmi působení sil na těleso v prostoru. Možnost další matematické
aplikace vychází z metody řezů. Pochopíte způsob stanovení napětí na souřadných
rovinách, jejich dělení na normálová a tečná napětí a jejich počty. Základní sestavení
rovnic je založeno na rovnicích rovnováhy a tyto budete umět sestavit ve vybraných
- 10 -
Teorie tváření
směrech. Zjistíte, že do výsledných dílčích rovnic musíte zahrnout také tečná napětí pod
stanovenými úhly. Nakonec odvodíte výsledné normálové napětí, které vychází z počátku
souřadnic a je kolmé na oktaedrickou rovinu. Postupně od obecného systému souřadnic
přejdete k hlavnímu systému os a tím se problematika zjednoduší. Odvodíte hlavní
normálové napětí a sestavíte graficky elipsoid napjatosti. Orientačně se seznámíte
s hlavním tečným napětím. Pochopíte způsob sestavování Mohrových kružnic. Napětí se
představuje jako tenzor, který může mít invarianty. Jednoduše budete umět vyjádřit napětí
v oktaedrické rovině a graficky dospět k tečnému napětí. Budete umět vyjádřit intenzitu
napětí matematicky a graficky dvěma způsoby.
Pochopíte význam ukazatele stavu
napjatosti a vyjádříte plošný a prostorový stav napjatosti.
Orientačně se seznámíte
s diferenciálními rovnicemi napětí v pravoúhlém, cylindrickém a sférickém systému os.
Odvodíte si rovnici rovnováhy pro podélné válcování a tím rozložení deformačního
odporu po délce pásma deformace.
Výklad
1.1
Napětí a napjatost
V teorii tváření se hned v úvodu setkáváme se dvěma pojmy. Napjatost a napětí. Napjatostí v tomto
případě v tomto případě rozumíme stav tělesa, které je pod účinkem sil a napětí je pak veličinou
definovanou jako podíl síly na plochu a v dalším průběhu se budeme touto veličinou velmi intenzivně
zabývat. Napjatostí rozumíme a označujeme stav tělesa, která vznikla v důsledku působení sil na
zkoumaný materiál. Tyto síly mohou být buď vnitřní nebo venkovní. Napjatost posléze vyvolá
v tělese deformaci. Druhy sil zejména vnějších jsou způsobeny zejména nástroji případně třecími
silami. Od nástrojů se síly přenášejí na těleso aktivně prvotním způsobem zatěžováním, zatímco síly
třecí jsou následné za aktivními účinky. Vnější síly a jejich účinek způsobují v tělese reakci, které se,
jak jsme již řekli, projevuje většinou změnou tvaru tělesa. Vznikají vnitřní síly. Důležité je pochopit
velikost těchto sil a jejich umístění. Do celého problému vstupuje do hry také čas a ten časový průběh
může být buď statický nebo dynamický. Otázky zkoumání sil se v současnosti řeší metodami řezu.
- 11 -
Teorie tváření
Vraťme se ještě k působení vnějších sil. Ty mohou být buď povrchové nebo objemové. Mohou být
soustředěny rovnoměrně nebo nerovnoměrně rozložené. Mezi síly objemové patří síly, které působí na
všechny body tělesa a jsou úměrné hmotnosti, jako např. tíhová síla. Působení těchto sil při většině
praktických úloh zanedbáváme. Při studiu stavu napjatosti a napětí předpokládáme, že těleso je
izotropní, tedy že ve všech směrech má stejnou strukturu a stejné vlastnosti. Předpokládáme, že těleso
je spojité a homogenní. Pokud je systém těch různých bodů v rovnováze, předpokládáme, že i vnější
síly jsou v rovnováze v tomto systému. Je to princip nebo definice tuhého tělesa. V tuhém elastickém
stavu může existovat rovnováha při různém poměru vnějších sil. Naopak v plastickém vztahu je
zapotřebí určit vztahy a velikosti sil. Metody řezu znamenají proložit zvoleným bodem tělesa myšlený
řez. Bodem tělesa pak proložíme rovinu nebo polorovinu, která je charakterizována normálou n vůči
zvolenému souřadnému systému. Ačkoliv si v průběhu výuky tohoto předmětu se budeme seznamovat
i s jinými souřadnými systémy, jako základní zvolíme pravoúhlý souřadný systém s osami x, y a z.
ΔF´
F1
n
z
Fn
0
x
Fn-1
ΔS
y
Obr. 9. Síly, působící na těleso v prostoru
Na obr. 9. je uprostřed malé plošky proložena rovina, jejíž normála je označena vektorem n. Vnější
síly F, které působí na těleso jsou tlakové nebo tahové. Síla je vektor a je tedy označena nejenom
působištěm velikosti a také směrem. Pokud se jedná o síly tlakové směřuje šipka dovnitř tělesa, síly
tahové jsou označovány šipkou vektoru ven z tělesa. Ploška okolo bodu A je označena jako
Výslednice silového toku F1, F2 až Fn je potom
, působí na plošku
.
. Velikost sil, které se
promítají do napětí resp. napjatosti v bodě A je určena intenzitou, tj jakousi silou na jednotku plochy
řezu, je zde uvedeno v rovnici 1.
- 12 -
Teorie tváření
(1)
(2)
(3)
Označení
p
v rovnici představuje napětí. Hodnota p se velmi často používá jako jakýsi tlak
vyjádřený v poměru síla/plocha (vysvětlení: jednotkou síly je N; jednotkou plochy je m2,
malé p, resp. napětí  je vlastně Pascal). Protože tato jednotka je příliš veliká, používá se v oblasti
tváření materiálů jednotka MPa, což je 10 6 pascalů a je to N/mm2. Předpokládáme rovnoměrně
rozložené napětí
poněvadž je to vektor. Vektor napětí pak představuje obecnou orientaci vůči
zkoumané plošce a obvykle se pak rozkládá do normálového a tečného směru. Každý bod v tělese je
spojen s jinými body a proto v libovolné ploše, která je proložena přes daný bod bude působit napětí,
které má určitou velikost a směr.
V mechanice je znám pojem dokonale tuhé těleso. Toto se působením vnější sil nedeformuje a přenáší
účinek na jiná tělesa. V takovémto případě můžeme přemístit působiště sil do kteréhokoliv bodu ve
směru jejího vektoru. Naproti tomu u plastických těles závisí účinek vnější síly na poloze jejího
působiště. Přeneseme-li toto působiště ve směru její síly její účinek na těleso se změní. Při
deformačních procesech, které jsou základem technologických tvářecích pochodů je materiál
v plastickém stavu a těleso je vystaveno velkým změnám tvaru a rozměrů, ale tak, že celkový objem
tělesa se přitom nemění. Pokud vnější síly působí, vyvolávají v tělese deformace pružné i plastické.
Přestanou-li vnější síly působit, pružné deformace zmizí a zůstanou jen deformace plastické.
V technických úvahách k tomu přistupuje také představa různých modifikací tuhého tělesa:
a) může se jednat o ideálně pružné těleso, které se působením vnějších sil deformuje pouze
pružně. Veškerá energie, která se vynakládá na deformaci a akumuluje se v tělese jako
potencionální energie zvyšuje hladinu energetického stavu. Těleso je po deformaci ve
stavu energeticky nerovnovážném. Přestane-li působit síla, těleso se vrátí do původního
energeticky rovnovážného stavu. Lze učinit obecný předpoklad, že mezi napětím, které je
- 13 -
Teorie tváření
vyvoláno v tělese účinkem vnější síly a deformací je lineární funkční vztah v podobě
Hookova zákona. Existuje lineární závislost mezi napětím a deformací. Jako dodatečný
předpoklad uvádíme, že deformace nezávisí na době zatížení.
b) Ideálně plastické těleso. Jestliže napětí vyvolané účinkem vnějších sil dosáhne určité
mezní hodnoty, vyvolaná plastická deformace udržuje napětí na zmíněné mezní hodnotě.
Nenastává žádné zpevnění kovu. Mezní hodnota napjatosti potřebná pro vyvolání
plastického stavu nezávisí pak na velikosti deformace, ale jak se později dovíme, závisí
na rychlosti deformace. Matematicky pak lze tento vztah mezi napětím a deformací
vyjádřit konstantní hodnotou napětí resp. veličiny intenzity napětí.
c) Reálně tuhé těleso. Je opakem ideálně tuhého tělesa a vyznačuje se tím, že účinkem
vnějších sil se deformuje nejprve pružně a přestoupí-li napětí určitou hranici, deformuje se
trvale, čili plasticky. V reálném tělese jsou tedy vždy plastické deformace doprovázeny
deformacemi pružnými čili elastickými, které jsou však u kovů v oblasti reálného tváření
nepatrné a mnohdy zanedbatelné a navíc zmizí, přestanou-li vnější síly působit. Deformaci
reálného tuhého tělesa odvozujeme z rovnic rovnováhy napětí pomyslných elementárních
částic, přičemž časový průběh deformace lze chápat jako prostorové přemisťování těchto
elementárních částic. Mají stejné fyzikální vlastnosti jako má tváření těleso a vyplňují
spojitě celý jeho objem. Vytvářejí tedy jakési hmotné kontinuum. Z hlediska mechaniky si
tyto částice označujeme jako jakési hmotné body. Zkoumání stavu napjatosti a deformace
je potom zkoumáním, resp. zjišťováním těchto stavů v uvedených hmotných bodech.
Z hlediska kinematiky procesu tváření si pak všímáme drah elementárních hmotných
částic a rychlosti jejich pohybu po těchto dráhách. Při matematickou zkoumání stavu
napjatosti a deformace v hmotném bodě tělesa předpokládáme, že tento bod reprezentuje
průměrné hodnoty fyzikálních vlastností tělesa, těleso je stejnorodé čili izotropní blízko
struktury i mechanických vlastností U kovů, které jsou látkami krystalickými jde tedy
vlastně o jakýsi statistický průměr mechanických vlastností krystalových zrn.
- 14 -
Teorie tváření
1.2.
Napětí na souřadných rovinách
Na ploškách obecného čtyřstěnu, později si spíše představíme krychli, v obecném systému os x, y, z,
které nemusí svírat pravý úhel (opět pro zjednodušení spíše považujeme pravoúhlý souřadný systém),
si znázorníme složky kolmých napětí, jsou tři a na ploškách jsou i napětí tečná, těch je 6. (Tečná
napětí, která směřují do společného bodu středu některé ze stran se nazývají sdružená a mají stejnou
velikost). Pozor, napětí je vektor, takže sice může mít stejnou velikost, ale obvykle různé působiště a
směr.
z
σz
τyz
τxz
τzx
τzy
σy
τxy
τyx
px
σx
x
y
Obr. 10. Základní názor na rozmístění napětí na čtyřstěnu
1.3.

Napjatost v obecné rovině
Hmotný bor A leží v trojúhelníkové ploše označené písmenky A, B, C je to oktaedrická
rovina charakterizovaná normálou n. Směrové úhly x, y, z jsou úhly mezi touto normálou
a osami x, y, a z. Ve směru normály leží vektor označený jako σn , jeho slovní vyjádření je
také normálové napětí. Vektor skutečného napětí τn leží v dané rovině oktaedrické a je kolmý
na směr σn.

Výsledná hodnota p je vlastně napětí a je vektorových součtem σn. a τn
- 15 -
Teorie tváření

Složky napětí jsou naznačeny v obrázku 11.
Ačkoli zde máme obecný systém os, tak v budoucnu se pokusíme přejít na hlavní osy a v nich se pak
napětí stanoví dohodou podle rovnice (4).
Plošku ΔS označíme velikostně jako 1 a další plošky mají velikost podle rovnice (5).
(4)
(5)
z C
σn
σy
τxz
τyz
σx
τzx
ΔSx
τzy
B
x
τyx
τxy
y
τn
ΔSz
A
p
ΔSy
σz
Obr. 11. Znázornění složek napětí na čtyřstěnu
Plošky čtyřstěnu jsou označeny jako ΔSx, ΔSy, ΔSz a jsou stanoveny uvedenou rovnicí. Mezní
projekcí výsledného vektoru p zpět do
jednotlivých směrů získáme hodnoty px, py, pz. (pro
zjednodušení budeme později používat hodnoty p1, p2, p3 ).
- 16 -
Teorie tváření
Pro následný výpočet sestavíme rovnice rovnováhy sil v jednotlivých směrech jako sumu všech napětí
vynásobený danými ploškami. Následný matematický vztah to ve všech třech osách vyjadřuje v tom
smyslu, že pro rovnováhu je zapotřebí, aby tyto síly v jednotlivých osách se rovnaly 0.
(6)
Z této rovnice lze matematicky stanovit hodnoty daných složek px, py, pz v následující podobě.
(7)
Pro zápis se opět obecně přijímá dohoda, že hodnoty napětí σx, , σy a σz jsou umístěny v uhlopříčce
těchto tří pod sebou zapsaných rovnic Tyto tři lineární rovnice pak představují obecný stav napjatosti.
Celková výslednice je pak dána vektorovým součtem v podobě
(8)
Velice významnou veličinou v této oblasti je velikost normálového napětí σn.. Jak jsme již řekli, je to
kolmice na oktaedrickou rovinu (oktaedr je prostorové těleso složené z 8 rovnostranných trojúhelníků,
analyzujeme pouze jeden z nich). Hodnota σn .normálového napětí se také někdy označuje jako σ8 nebo
σokt.. Hodnotu normálového napětí můžeme vyjádřit jakou součet projekcí silových účinků složek px,
py, pz do směru normály n. Takže rovnice má následující tvar
(9)
Při praktické aplikaci této rovnice pak obvykle hodnoty tečných napětí zanedbáváme zejména při
přechodu do systému hlavních os, 1, 2, 3.
Další veličinou, kterou potřebujeme zjistit je velikost tečného napětí
τn , kterou pak jednoduše
spočteme se znalostí hodnoty celkové výslednice p a zjištěné hodnoty σn.
obr. 12.
- 17 -
pomocí rovnice (11) a
Teorie tváření
(10)
(11)
z
σz
τyz
τzx A
τzx
px
τzy
dz
σx
τyx
τxy
σy
0
y
dy
x
dx
Obr. 12. Znázornění výslednice px na ploše kolmé k ose x
1.4.
Hlavní normálové napětí
V každém bodě tělesa, (zůstaneme-li v normálovém systému) můžeme najít tři vzájemně kolmé roviny
na kterých působí pouze normálové napětí a smykové napětí na těchto rovinách se rovnají 0. Tyto
napětí se nazývají hlavní normálové napětí a roviny, na kterých tato napětí působí jsou hlavní roviny a
- 18 -
Teorie tváření
směry hlavních normálových napětí jsou hlavní směry. Označíme si je jako hlavní osy 1, 2, 3.
Zahájíme označování směrů souřadných os tak, aby opravdu směr 0x (počátek
ztotožnil se směrem napětí
→ směr osy x) se
. Pootočíme pak souřadný systém tak, aby vyhovoval následující rovnici
a z ní pak hodnota výslednice vychází v podobě složek a následně i pro hodnotu hlavního
normálového napětí σn zde logicky označeno jako pn – obrázek 13.
3
σ3
pn
σ1
1
2
σ2
Obr. 13. Hlavní osy
Pootočíme-li souřadnicové osy tak, že jsou rovnoběžné s hlavními směry tak v daných rovinách
určených hlavními osami působí tedy pouze napětí normálové, čili hlavní. Z uvedeného vyplývá, že
stav napjatosti v bodě tělesa je úplně určený směry tří hlavních os a velikosti hlavních napětí
označeny jako
(12)
- 19 -
Teorie tváření
(13)
Paralelně s normálou n vytvoříme velikost tzv. radius vektoru podle rovnice
(14)
následně pak projekce vektoru r do os x, y,
a vracíme se k obecným souřadnicím, jsou to vlastně
souřadnice koncového vektoru r podle dané rovnice. Výsledná rovnice je druhého řádu, je to zakřivená
plocha popisovaná ze středu souřadnic. Ať měníme polohu obecných os x, y, z jakkoli, vždy výsledný
konec radius vektoru leží na obalové ploše a určuje napěťový (Cauchy) stav.
(15)
(16)
1.5.
Elipsoid napjatosti
Volme teoretický předpoklad, že mezi úhlem normály n a hlavním směrem 1, 2, 3 mohou být úhly α1
α2 a α3 .
- 20 -
Teorie tváření
3
σ3
p
σ2
σ1
1
2
Obr. 14. Elipsoid napjatosti
Tyto úhly mohou nabývat různých hodnot, takže máme celkem tři možnosti.
(17)
(18)

V prvé podmínce podle pak vychází, že p1 = σ1 .

V druhé a třetí podmínce se pak p2 = σ2 a p3 = σ3 .
(19)
Poněvadž celkově lze změnit polohu plošek, možností měnit směr a napětí v ploškách, vždy ale
koncový bod poloměru čili radius vektoru r nabývá jistého geometrického povrchu a jsou splněny
podmínky podle následujících rovnic (20-23).
- 21 -
Teorie tváření
(20)
(21)
(22)
(23)
Za podmínky, že je onou prostorovou plochou prostorový elipsoid, je to tedy plocha napjatosti
s poloosami σ1 , σ2 , σ3 a napjatost v bodě je určena elipsoidem napjatosti - obrázek 14. Jestliže např.
změníme hodnotu p změnou vnějšího zatížení, budou se měnit hodnoty p1 , p2 , p3 , budou se měnit
poloměry a též σ1 , σ2 , σ3 . (Obvykle, a to jsme si řekli již v úvodu, dodržíme dohodu σ1 > σ2 > σ3 ).
Mohou vzniknout zcela zvláštní případya to kruhový elipsoid, koule, prostor se transformuje do
plochy a nakonec při stanovených podmínkách velikostí hlavních napětí je to dokonce úsečka.
1.6.
Shrnutí základních rovnic
Hlavní tečné napětí leží v oktaedrické rovině a je kolmé na hlavní oktaedrické napětí
.
Vyjdeme-li z možnosti, že α1= α2= α3 a při jejich součtu dostaneme rovnici v následující podobě
- 22 -
Teorie tváření
(vztah pro cos α =
√
), z toho pak α ̇ 55°
(24)
(25)
Tento úhel je sklon normálového napětí vůči souřadným hlavním osám. Matematicky pak vychází
hodnota v následující podobě rovnice (24). Výsledná rovnice vychází z důkladné analýzy napěťových
podmínek napětí na rovinách daného vybraného elementárního tělesa. Došli jsme k ní poměrně
složitou cestou. Nakonec vyznívá velmi jednoduše jako aritmetický průměr všech tří hlavních napětí.
1.7.
Mohrovy kružnice
Jednou z možností jak znázornit vzájemný účinek všech tří napětí do plochy jsou Mohrovy kružnice.
Na kladnou (nebo zápornou osu x) nanášíme velikosti napětí a pomocí polokružnic určujeme velikosti
tečných napětí. Největší tečné napětí podle rovnice (26) a je mezi největším a nejmenším hlavním
napětím.
Znázornění všech 3 hlavních napětí lze touto metodou převést do plochy, kde na ose x je napětí
normálová a na y jsou napětí tečná. Poté je možno vytvořit půlkružnice viz následující obrázek 14.
Daný případ, který je pouze vybraný se všemi 3 hlavními napětími kladnými čili tahovými je
jedinečný, jak později uvidíme, lze tyto Mohrovy kružnice použít na libovolnou kombinaci napětí,
jejich velikostí a jejich směru, čili tahových nebo tlakových. Největší tečné napětí je mezi body
napětí 1, 3 .
- 23 -
Teorie tváření
σn
τn
τ1,2
σ3
τ2,3
σ2 + σ3
τ1,3 =
τ1,3
σ1 - σ3
σ1 + σ3
τ1,2 = σ1 - σ2
σ2
σ1 + σ2
τ2,3 = σ2 - σ3
σ1
Obr. 14. Mohrovy kružnice
(26)
1.8.
Vznik plastické deformace při jednoosém působení síly
Předcházející kapitoly byly teoretické, matematické a domníváme se, že je nutné se zabývat i jakousi
praktickou aplikací a proto si v následující části představíme velikost potřebného tečného napětí, které
způsobuje plastickou deformaci při jednoosém působení síly.
- 24 -
Teorie tváření
F
ϕ
S1
α
S2
τ0
Obr. 15. Napětí při jednoosém působení síly
Cylindrické, čili válcovité těleso na obrázku 15 je zatěžováno v ose silou F a postupně na plochách S1
a S2 vznikají a realizují se daná napětí. V obecně skloněné rovině S2 vůči ose působící síly leží
napětí τ, které způsobuje plastickou deformaci.
(27)
(28)
(29)
Našim cílem bude toto napětí τ v podobě τmax zjistit a rovněž určit úhel sklonu roviny, na které bude
působit vůči působící síle. Využijeme následujících jednoduchých vztahů, provedeme řez nárysnou, na
ní pak rozložíme vektor σ do hodnot σα a τα a vypočteme jejich maximální hodnoty – obrázky 16 a 17.
- 25 -
Teorie tváření
S2
σ
S1 α
Obr. 16. Řez cylindrickým válcem
σ
σα
τα α
Obr.17. Rozložení napětí
(30)
(31)
(32)
- 26 -
Teorie tváření
(33)
Plastická deformace při jednoosém působení síly je způsobena napětím τmax , které se rovná polovině
hodnoty hlavního normálového napětí a rovina, na které dojde k plastické deformaci je skloněna
vůči ose působící síly o 45°.
(34)
(35)
1.9.
Tenzorové vyjádření napjatosti
Stav napjatosti v bodě deformovaného tělesa je definován 9 napětími, z toho jsou 3 normálová a 6
smykových v tom ale 3 sdružená smyková napětí. Těchto 9 veličin je možné znázornit v maticovém
zápise jako tenzor (veličina, která je v daném prostoru konstantní a je pouze jedna se nazývá skalár, je
to např. teplota v uzavřené místnosti; veličina, která má 3 hodnoty např. působiště, velikost a směr, je
nazývána vektorem a je to např. rychlost pohybu tělesa, ale také síla nebo napětí). Pokud těch veličin
je více a to konkrétně 9 můžeme tento maticový zápis označit jako tenzor.
(36)
Tato čtvercová symetrická matrice kde podél hlavní diagonály jsou soustředěny hodnoty normálových
napětí, v řádcích jsou pak hodnoty napětí ve směru dané osy, ve sloupcích jsou napětí na stěnách a
plochách daného elementu. Obecný tenzor napjatosti je tedy nutné vyjádřit následujícím tvarem.
- 27 -
Teorie tváření
(37)
Tenzory lze sčítat, odečítat, násobit i dělit. Zároveň můžeme vyjádřit i kulový tenzor. Pokud stav
napjatosti je definovaný pouze hlavními napětími, tak se tenzor napětí zjednodušší do tzv. tenzoru
hlavních napětí, který vyjadřuje schéma hlavních napětí. Ačkoli jsme v předcházející kapitole odvodili
hodnotu n jako hodnotu součtů tří napětí (1 + 2 + 3)/3) a nazvali jsme ji jako  normálovou,
 oktaedrickou, možná také z hlediska aritmetiky středním napětím, tak se prakticky ukazuje, že tato
hodnota nemá zásadní vliv na přechod kovu do plastického stavu. Tento přechod je lépe sledovat
v bodě napjatosti a ten se sestává ze dvou částí: rovnoměrného všestranného tlaku, resp. tahu, které
vyplývá z napětí vycházející z toho onoho n a z druhé části, která představuje deviátor napjatosti a
tenzor hlavních napětí se pak dá rozepsat ve tvaru kulový tenzor čili objemový, který má ve všech
směrech stejný smysl a velikost a deviátor napjatosti.
(38)
Z této definice a z tohoto rozboru pak vyplývá, že hodnota n představuje vlastně odpor materiálu
proti změně objemu tělesa. Výsledné matematické vztahy pro rozdělení tenzoru napětí na kulový
tenzor a deviátor napjatosti si napíšeme v obou tvarech, jak v obecném systému tak v systému
hlavních os – rovnice (38) až (41).
(39)
(40)
- 28 -
Teorie tváření
(41)
Z matematiky pak vyplývá důležitá vlastnost , že součet deviátorů napětí je roven nule, rovnice (42).
(42)
-σ3
-d3
σn
+σ1
+σ2
σn
d1
d2
σn
σ1 = -3 σ
σ2 = 2 σ
σ3 = 4 σ
0
0
σ1
0
σ8
d1
σ2
Tσ
d2
d3
σ3
Kσ
Dσ
Obr.18. Rozložení tenzoru napjatosti na kulový tenzor a deviátor napjatosti
Předcházející obrázek představuje v levé krychličce obecný stav napjatosti, prostřední krychlička pak
výsledek kulového tenzoru a poslední krychlička vpravo pak deviátorové schéma. Pro jednoduchost
jsou v případě tenzoru stavu napjatosti zvoleny kladné hodnoty a to navíc tak, aby výsledek hodnoty 
normálového tedy 8 byl velmi jednoduchý. Ve spodní části obrázku je pak postupně ve třech
vodorovných osách 1, 2, 3 od počátku souřadnic 0 jsou naneseny hodnoty 1, 2, a také 3, které
představují tenzor hlavního napětí. Tento se pak rovná kulovému tenzoru a k němu se přičítá hodnota
deviátoru napjatosti. Takže kulový tenzor ovlivňuje pouze velikost napětí. Je to vlastně všestranný
prostorový tlak nebo tah a nevyvolává změnu tvaru. Může být chápán jako pouze malé objemové
změny v oblasti pružných deformací. O povaze napjatosti rozhoduje deviátor napětí, který zároveň řídí
kvalitu napjatosti. Těleso mění svůj tvar a to trvale plasticky beze změny objemu z hlediska různých
- 29 -
Teorie tváření
stavů deviátoru napjatosti. Díky dříve stanovené hodnotě 8 v podobě 8 = (1 + 2 + 3)/3 je součet
deviátoru napjatosti ať už v obecném nebo hlavním tvaru roven 0.
1.10. Invariantnost stavu napjatosti
V této kapitole vysvětlíme závislost stavu napjatosti na prostorové orientaci. Volíme si základní
souřadnicový systém v osách 1, 2, 3 a tentokrát nový systém v osách x, y, z.
Nové a staré osy budou svírat úhly 1 , 2 , 3 . Hlavní složky normálových napětí pak lze vyjádřit
těmito třemi rovnicemi a následně rozepsat do obecného tvaru.
(43)
(44)
Řešení nezávislosti spočívá v položení oné matice devíti napětí rovné 0.
(45)
(46)
Řešením je 9 rovnic, které podléhají pravidlům maticového výpočtu. Jako výsledek je pak uvedena
rovnice daného tvaru, která má 3 kořeny x, y a z , které jsou vždy reálné a stanoví se pomocí
součinitelů, které jsou nezávislé na úhlech 1 , 2 , 3 , čili nezávislé na prostorové orientaci. Prvý
lineární invariant tenzoru hlavního napětí po tentoru obecného stavu napjatosti má tuto podobu:
- 30 -
Teorie tváření
(47)
Pokud si vzpomínáme na tzv. oktaedrické napětí n resp. 8 vidíme zde jistou podobnost a prvý
lineární invariant má význam jakéhosi středního hlavního normálového napětí a vyjadřuje odpor proti
změně objemu tělesa.
Druhý kvadratický invariant je subdeterminantem po rozložení determinantu třetího stupně na tři
determinanty druhého stupně, obecně se vyjadřuje v tomto tvaru:
(48)
Poprvé se v teorii tváření dostáváme k výrazu, který má jistou souvislost s intenzitou napětí nebo
intenzitou napěťového stavu, která vyjadřuje odpor proti změně tvaru tělesa.
Konečně třetí kubický invariant určuje polohu tečné složky v rovině kolmé na normálové napětí. Je
blízký hodnotě později definované stavu napjatosti. Stanovuje vlastně druh napětí na základě
napěťového stavu (tah, tlak, smyk).
(49)
- 31 -
Teorie tváření
1.11 Napětí v oktaedrické rovině
σn
Obr. 19. Napětí v oktaedrické rovině
Tato podkapitolka bude vyžadovat vaši vlastní přípravu. Na obrázku vidíte oktaedrickou rovinu a
vektor normálového napětí
– slovně také oktaedrické normálové napětí. (Poznámka: tomuto
vektoru napětí se také někdy říká a označuje se jako
, někdy se také píše
Proč? Protože
těchto oktaedrických rovin je celkem osm, čtyři nad půdorysnou, čtyři pod ní a vytvářejí dohromady
prostorové těleso složené z osmi rovnostranných trojúhelníků, tedy oktaedr. Znáte jiná prostorová
tělesa složená z pravidelných plošně-sférických obrazců ?). Předpokládejme, že vektor napětí svírá
s každou osou stejný úhel, tedy všechny alfy jsou totožné. Pak si sami odvoďte
….a dojděte
k vyjádření pro oktaedrické normálové napětí.
1.11.1.Tečné oktaedrické napětí
Na základě znalosti výslednice p a normálového napětí n můžeme tečné napětí spočítat podle
následujícího vzorce. Uvedeme pouze začátek výpočtu a konečný tvar.
- 32 -
Teorie tváření
(50)
(51)
1.11.2.Grafické určení tečného napětí
Pro tento případ a pro další odvozování a grafické stanovení jiných veličin si musíme představit
základní pravoúhlý systém hlavních os 1, 2, 3 v poněkud jiné podobě. Představme si roh místnosti
s podlahou čili půdorysnou, přední stěnou čili nárysnou a boční stěnou čili bokorysnou. Oktaedrická
rovina svírá řekněme na podlaze v obou osách a ve směru stropu vždy stejnou vzdálenost a tak
vznikne rovnostranný trojúhelník. Z počátku souřadnic, čili kouta místnosti vychází průvodič, který je
kolmý k oktaedrické rovině, je to normála a v ní leží normálové napětí. Položme své oko do normály
v prostoru a podívejme se dolů do rohu místnosti. Uvidíme 3 osy 1, 2, 3 pod 120° .
Tímto způsobem budeme řešit grafické určení tečného napětí. Nejprve je zapotřebí určit hodnoty p1,
p2, p3 jako dílčí části výslednice p, která je dána vektorovým součtem hodnoty normálového a tečného
napětí.
- 33 -
Teorie tváření
2´
p2´
l
τ8
ωτ8
m
p1´
n
1´
p3´
3´
Obr. 20. Grafické určení tečného napětí
(52)
Poté musíme promítnout tyto hodnoty do plošek S1, S2 a S3 vypočítat hodnoty p1 ´ s čarou podle
následujících vztahů.
(53)
Uplatnění Pythagorejských trojúhelníků a znalosti úhlů cosínů dospějeme postupně k vyjádření
hodnoty
resp.
ve tvaru a opět můžeme pokračovat matematickým vyjádřením
- 34 -
Teorie tváření
(54)
(55)
Obdobně jako u výpočtů tečného napětí uvedeme pouze dílčí části a následně konečný výsledek, který
bude svým tvarem shodný s předcházejícím matematickým odvozením.
(56)
Zajímavým úhlem je úhel
který svírá výsledná hodnota tečného napětí s prvou hlavní osou a
určuje nám stav napjatosti v tělese pomocí následujícího vztahu.
Později zjistíme, že chceme-li vyjádřit celkový účinek napětí resp. napěťového vztahu, napjatosti
volíme tzv. intenzitu napětí, která bude mít i matematický soulad s tečným napětím.
(57)
- 35 -
Teorie tváření
Odměna a odpočinek
Nelze přesně stanovit, za jak dlouho jste se dostali k tomuto místu, ale jistě jste již
vyčerpáni neustále se opakujícími rovnicemi. Nelze se je učit nazpaměť. Je to prostě docela
jednoduchá matematika, stačí si uvědomit, z čeho vycházíme a k čemu chceme dospět.
Přesto si myslím, že až tady jste nemohli dojít v jednom zátahu, jistě jste si dělali i
přestávky dříve, ale tady si skutečně déle odpočiňte. Každý student je individualita, takže
neexistuje obecný návod jak se takový předmět učit; doporučuji si samostatně rovnice vždy
po prostudování dílčí kapitoly napsat.
1.12. Schémata hlavních napětí
Každé z hlavních napětí může být tahové + záporné tlakové – nebo jeho hodnota může být nulová.
Z toho vyplývá, že máme celkem 9 možností schémat hlavních napětí a to

4 schémata prostorová a to (+++), (++-), (+--) a konečně (---)

3 schémata plošná (++), (+-) a (--)

2 schémata přímková (+), (-)
Každé napětí může mít hodnotu (+), (-) nebo (0). Přijměme jako dohodu poměru velikostí rovnici (4)
a všechna napětí s nějakou hodnotou.
Všechna napětí a všechny stavy můžeme seřadit do jisté řady od převažujících tahových ( na levé
straně) do převažujících tlakových napětí ( na pravé straně řádku). Ze znalosti hodnot můžete tuto řadu
sestavit. Současně s tím je možné narýsovat tato schémata pomocí Morových kružnic. Interpretace
těchto schémat spočívá ve znalosti maximálního tečného napětí, které může způsobovat vznik
plastické deformace. Zásadní skutečnost je taková, že sestavená schémata hlavních napětí, která jsou
ve své levé části převážně tahová vypovídají o malé schopnosti plastické deformace zatímco napětí
sestavené v pravé části těchto schémat jsou napětí tlaková, která podporují větší a velké plastické
deformace.
- 36 -
Teorie tváření
Tahová napětí jsou většinou nepříznivá, podporují vznik vad v materiálu, zejména trhlin. Tlaková
napětí přispívají k lepší plasticitě, lepší tvařitelnosti materiálu, umožňují větší plastické deformace bez
porušení soudržnosti.
Tato skutečnost bude objasněna při hypotézách plastické deformace v předmětu Fyzikální podstata
plastické deformace.
1.13. Deviátorové schéma napětí
V předcházejících kapitolách jsme se dozvěděli, že tenzor hlavních napětí lze rozdělit na dvě hlavní
části a to kulový tenzor a deviátor napětí. Kulový tenzor vypovídal o odporu proti změně objemu
tělesa, deviátor napětí nám podává nápovědu jak se bude těleso účinkem napětí chovat. Už předběžně
jsme došli k závěru, že napjatost v tělese může být buď tlaková, tahová nebo smyková. Můžeme tedy
kvalitativně rozlišit a posoudit napjatost pomoci deviátoru napětí.
Hodnoty malé d1, d2 nebo d3 mohou mít různá znaménka a velikosti. Teoreticky i prakticky existují
3 případy (výhodou toho je to, že součet deviátorů napětí je roven 0). Představme si, že si můžeme
sestavit nekonečná schémata tenzoru hlavního napětí, ale pouze 3 schémata deviátoru napětí - obr. 21.

Prvý případ je ten, kdy hledáme největší složku deviátoru napětí za podmínky, kdy
předpokládáme, že

. Tento případ charakterizuje tahové deviátorové schéma.
Zvolme v druhém případě hodnotu
a dojdeme k tzv. tlakovému deviátoru schématu.
Druhá možnost je popsána následujícím obrázkem , matematicky vypadá stejně jako vzorec
výše uvedený u prvého případu, proto jsou tam absolutní hodnoty.

Konečně třetí případ d3 = 0 volíme podle tohoto vztahu, zůstanou nám pouze dva deviátory a
dojdeme ke smykovému deviátorovému schématu.
- 37 -
Teorie tváření
d3
Smm
│d3│ = │d1│+│d2│
d1
d1 = -2
d2 = -2
d3 = 4
d2
d3
│d3│ = │d 1│+│d2 │
d1
d1 = 2
d2 = 2
d3 = -4
d2
│d1│ = │d2│
d1
d1 = 3
d2 = -3
d2
Obr. 21. Deviátorová schémata napětí
- 38 -
Teorie tváření
1.14. Invariantnost deviátoru napětí
Obdobně jako při zkoumání normálových složek se můžeme stejným způsobem pokusit o to, aby
deviátor napětí byl invariantní vůči zvoleným osám. Pro jednoduchost v tomto případě napíšeme
pouze matici s hlavními deviátory napětí a normálovým napětím a výslednou rovnici pro prvý, druhý a
třetí invariant deviátoru napětí. Součinitele jsou invariantní ke změnám souřadnic os.
(58)
(59)
(60)
1.15. Intenzita napětí
Touto kapitolou se dostáváme k vrcholu našich úvah o napětí a napjatosti v tvářeném tělese. Intenzita
napětí je souhrnný účinek normálových a tečných napětí. Je to vlastně matematická formulace stavu
napjatosti. K výsledkům a hodnotě velikosti napětí můžeme dojít buď matematickou cestou nebo
grafickým řešením. Intenzita napětí tedy vyjadřuje velikost deformačního odporu proti změně tvaru
tělesa. Celková potenciální energie, která se může označovat Wp potřebná pro změnu tvaru tělesa se
skládá objemové změny Wo a potenciální energie změny tvaru Wtv .Tedy v rovnici
(61)
- 39 -
Teorie tváření
Matematické vyjádření v podobě následující rovnice obdobně jako u druhého invariantu tenzoru
hlavních napětí umožňuje vyjádřit intenzitu napětí buď pomocí normálových napětí nebo pomocí
napětí tečných.
(62)
(63)
Mezi kvadratickým invariantem součinitele deviátoru napětí a intenzitou napětí je následující vztah
(63).
Rovněž tak lze odvodit závislost intenzity tečných napětí v závislosti na kvadratickém invariantním
součiniteli deviátoru napětí.
Na levé straně následujícího obrázku 22. jsou znázorněny krychličky s jednotlivými hodnotami napětí.
Shora dolů se pak jedná nejprve o jednoduchou osovou napjatost. Druhé schéma představuje
jednoduchou tlakovou napjatost, třetí schéma je jednoduchá prostorová napjatost, čtvrté pak
rovnoměrná rovinná tahová napjatost, páté schéma je smyková napjatost a šesté schéma představuje
obecnou možnost nerovnoměrné rovinné tahové napjatosti.
3
σ1 = 3σ
σ1
1
2
- 40 -
Teorie tváření
3
σ1
1
- σ = 3σ
2
σ3
3
σ1
σ2
1
2
σ3
3
Sδ
σ2
1
σ3
2
3
σ1
Sσ
σ2
1
2
σ3
3
Sσ
σ1
1
2
Obr. 22. Schémata napětí a určení intenzity napětí
Jaký je význam, výsledek těchto pokusů, které v každém řádku na konci představují jednoduché
grafické vyjádření intenzity napětí? Možná, že překvapivé z hlediska představivosti, ale správné
z hlediska matematiky a logiky je to, že např. u rovnoměrné prostorové napjatosti, zde uvedeno jako
tahové, je intenzita napětí nulová. Jako další možná trochu překvapivý výsledek je to, že při smykové
napjatosti je intenzita napjatosti obecně největší. Shrneme-li tato schémata tak zjistíme, že nám
- 41 -
Teorie tváření
deviátor napětí pomáhá kvalifikovat vztahy napjatosti , které se i přes obrovskou nekonečnou možnost
kombinace hlavních napětí redukují do prostého tahu, prostého tlaku a prostého smyku.
Grafické řešení intenzity napětí používá stejnou metodu a představu jakou jsme stanovovali velikost
tečného napětí 8 resp. n. Opět si představíme systém tří hlavních os, které svírají mezi sebou úhel
120° s nanesenými hodnotami
napětí
1,
2,
předpokládáme naši dohodu, že
3. Jednotlivé osy (opět pro jednoduchost
a jsou ve všech třech případech napětí kladná.
Grafickým složením vektorů těchto tří napětí a spojením koncového bodu s počátkem souřadnic
dostáváme intenzitu napětí.
2´
σ2
σ2
σ3
Sσ
120°
l
ωσ
σ1
m
n
σ3
1´
3´
Obr. 23. Grafické určení intenzity napětí
Úhel, který svírá osa 1 s intenzitou napětí je označován jako
a představuje nám umístění vektoru
intenzity napětí vůči ose 1 a vyjadřuje stav napjatosti.
(64)
- 42 -
Teorie tváření
(65)
(66)
Druhou možností grafického vyjádření intenzity napětí je tzv. Rosenbergova konstrukce, která vychází
z Mohrových kružnic. Opět pro jednoduchost znázorníme tři hodnoty napětí seřazené podle velikosti
od největší k nejmenšímu
1 , 2 , 3 a uděláme Mohrovy polokružnice. Rozdíl největšího a
nejmenšího napětí, tedy 1 - 3 představuje stranu rovnostranného trojúhelníku , který sestrojíme pod
Mohrovými kružnicemi – obr. 24. Umístění napětí 2 či středního napětí, pak na úsečce A –B
představuje koncový bod intenzity napětí.
(Poznámka pro ty kdož znají goniometrické vztahy v pravoúhlém trojúhelníku je v obr. 24 znázorněna
i metoda stanovení intenzity napětí). Velikost intenzity napětí se tedy mění s úhlem
několika extrémů. Je-li uhel
a dosahuje
= 0 pak intenzita napětí nabývá velikost hrany trojúhelníka, tedy 1 -
3 . Stejná situace nastává když uhel
je 60°. Minimální hodnotu intenzity napětí dostáváme při
úhlu 30°. Dále lze napsat vztah, kde  je tzv. Lodeho součinitel a
√
̇
Velikost intenzity napětí se tedy mění podle vzájemného poměru napětí 1 , 2 , 3 a také se mění její
směrový vektor. V případě, že se změní hodnoty 1 , 2 , 3 o stejnou hodnotu, např. přičtu nebo
odečtu nějakou hodnotu napětí, nezmění se rozdíly a nezmění se ani hodnota intenzity napětí mění se
pouze velikost oktaedrického napětí.
- 43 -
Teorie tváření
τ
σ2 - σ3
σ3
σ
σ1 - σ2
σ2
σ1 - σ3
σ1
B
A
Sσ
E
ωσ
C
σ1 - σ3
σ1 - σ2
σ2 - σ3
σ1 - σ3 τ
= 3
A
N
D
Sσ
C
Obr. 24. Rosenbergrova konstrukce intenzity napětí
- 44 -
B
Teorie tváření
1.16. Porovnání některých dosažených veličin
V teoretické a posléze i technologické oblasti stav napjatosti nejčastěji definuje pomocí intenzity
napětí. V některých případech a některých literárních odkazech se setkáváme i s hodnotou intenzity
tečných napětí případně pouze s hodnotou tečného napětí. Následující vztahy jsou pouze
matematickým vyjádřením vzájemných závislostí.
(67)
1.17. Ukazatel stavu napjatosti
Z grafického vyjádření intenzity napětí jako vektoru C-D podle obrázku 24. vidíme, že sice závisí na
krajních polohách 1 , 3 ale výrazně se uplatňuje hodnota napětí 2 . Bod D je pohyblívý mezi body
A a B a může nastat několik případů, které jsme si již dříve vysvětlili. Bod D se může přesunout
ztotožnit s bodem A, pak napětí 1 je nulové, bod D se může ztotožnit s bodem B , 1 je skutečně
maximální napětí. V obou případech je intenzita napětí maximální. Podíl ND vůčí AN je definován
jako ukazatel stavu napjatosti podle následujících vztahů.
(68)
(69)
Hodnota ukazatele stavu napjatosti může být buď kladná nebo záporná. Kladná je v případě, že se bod
D posouvá doprava, záporná v případě, že se bod D posouvá doleva. Číselně tedy hodnota stavu
napjatosti nabývá následujícího tvaru:
- 45 -
Teorie tváření
(70)
(71)
Se znalosti deviátorů napětí můžeme ukazatel stavu napjatosti také vyjádřit pomocí těchto hodnot
d1, d2 , d3
(72)
(73)
1.18. Stavy napjatosti
1.18.1. Lineární
Lineární stav napjatosti jsme probírali v minulých kapitolách, pouze si zopakujeme, že při jednoosé
tahové napjatosti na cylindrické, tedy válcovité těleso, je hlavní napětí na tento prizmatický prut 1
kolmé na plochu S0, a protože již nyní víme, že deformaci způsobuje napětí tečné, hledáme jeho
maximální hodnotu.
- 46 -
Teorie tváření
δ1
σ
σα
τα
S0
Sα
α
Obr. 25. Lineární schéma napjatosti
Napětí  = jedné polovině hlavního napětí a leží v rovině, která je skloněna vůči ose působící síly
o 45°, tyto vztahy jsme si již jednou představili při zkoumání vzniku plastické deformace při
jednoosém působení síly.
(74)
(75)
(76)
1.18.2. Plošný
Situace při plošné napjatosti, to je při existenci dvou napětí, je složitější.
Rozděluje se na napětí plošné, kdy na ploškách působí pouze normálová napětí, pak z obr. 26. který
následuje, lze učinit matematický závěr.
- 47 -
Teorie tváření
(77)
(78)
(79)
Napětí  potřebné pro vnik plastické deformace se rovná polovině rozdílu dvou napětí. V tomto
případě označených jako 1 a 2.
V případě, kdy na plochách působí jak normálová tak smyková napětí je situace matematicky složitější
a výsledné tečné napětí  ve své základní podobě sice obsahuje polovinu rozdílu dvou napětí, ale také
s dodatkem závislosti na úhlu působení vnější síly.
(80)
- 48 -
Teorie tváření
σ2
τα2
σα2
σα1
σ1
τα1
Obr. 26. Plošné schéma napjatosti bez tečných napětí
σy
τ
σx
τ
Obr. 27. Plošné schéma napjatosti
- 49 -
Teorie tváření
1.18.3. Prostorový
A konečně prostorová napjatost, která je zdánlivě nejsložitější vyúsťuje v názor, že k plastické
deformaci dochází tehdy, když intenzita napětí dosáhne jisté velikosti dané matematickým tvarem
dané pro její velikost.
(81)
σn
p
τ
Obr. 28. Prostorové schéma napjatosti
1.19. Diferenciální rovnice rovnováhy napětí
1.19.1. Pravoúhlé souřadnice
Při aplikaci teoretických znalostí a následujících výpočtech zejména pro počítačovou simulaci je nutné
zavést diferenciální rovnice, které umožňují počítat změnu napětí a obdobně pak i také deformaci
v úhlových bodech, které se používají v metodě konečných prvků. Následující obrázek představuje
změnu napětí mezi body M počátkem souřadnic a M´ s vrcholem na tělesové uhlopříčce.
Dojde tedy k posunu o hodnoty x+dx; y+dy resp. z+dz. Napětí v bodě M´ se liší o malé přírůstky.
Vyjádříme si nejdříve hodnotu tenzoru napjatosti v bodě M.
- 50 -
Teorie tváření
(82)
z
M´
dz
σx
τzx
τyx
M
dy
y
x
dx
Obr. 29. Napěťový diferenciální stav v ose x pravoúhlého systému
Pracujeme tedy obecně v rovinách souřadnicového systému x, y, z. Následné vyjádření tenzoru stavu
napjatosti v bodě M´ dochází ke stanovení rovnic rovnováhy a obsahuje v sobě diferenciální přírůstky.
(83)
- 51 -
Teorie tváření
Soustava musí být v rovnováze takže pokud si vybereme směr, např. po ose x, pak napíšeme součet
všech napětí, které se vyskytují v ose x a položíme je rovno 0.
(84)
Dostaneme soustavu parciálních diferenciálních rovnic, které nám představují obecnou podmínku
prostorové napjatosti.
(85)
Obecné rovnice musí vyhovovat okrajovým podmínkám na vnějším povrchu tvářeného tělesa, je to
tedy staticky neurčený stav. Celkem máme tedy 6 neznámých, uvažujeme-li tečná napětí za párová.
V některých případech můžeme použít rovnice přibližné, zjednodušené, např. všechny derivace podle
y položíme rovny nule a všechny derivace s napětím  , ve kterém se vyskytuje y položíme rovněž
nule. Poté se nám celá sestava rovnic zjednoduší, např. ve tvaru pro případ řešení v rovině y,z , tedy
v nárysně.
(86)
- 52 -
Teorie tváření
1.19.2. Cylindrické souřadnice
Diferenciální rovnice rovnováhy v cylindrických souřadnicích
Reálné tvářecí pochody nemusí vždy probíhat nejčastějším způsobem, tj, smykovou napjatostí, která je
typická pro válcování plochých vývalků. Některé procesy tváření, jako např. ohýbání, děrování i
kování , tažení, zakružování by se velmi obtížně srovnaly do pravoúhlého souřadného systému. Proto
používáme občas i cylindrické souřadnice. Základním určením bodu v prostoru je sestava tří veličin
označená jako
.
dφ
dz
0
dr
Obr. 30. Napěťový diferenciální stav v ose r cylindrického systému
Obrázek ukazuje obecný stav napjatosti včetně parciálních diferenciálních rovnic, které mohou
obdobně jako u pravoúhlých souřadnic sloužit k podkladu řešení simulací tvářecích procesů metodami
konečných prvků. Nastává tady problematika určování plošek a směrů přičemž ve většině případů
přijímáme zjednodušená řešení.
- 53 -
Teorie tváření
1.19.3. Sférické souřadnice
θ
φ
0
Obr. 31. Napěťový diferenciální stav v ose r sférického systému
Některé reálné problémy tváření musíme řešit i ve sférických souřadnicích, kde bod v prostoru je dán
tzv. radius vektorem a dvěma úhly, tedy
. Na obr. 31. e pouze naznačeno stanovení jedné
z hodnot napětí ve směru radius vektoru.
Závěrem k této podkapitole ukazujeme základní souřadnice pro popis v různých souřadných
systémech.
(87)
1.20. Diferenciální rovnice rovnováhy v mezeře mezi válci (podélné
válcování plochých vývalků)
Tato metoda rovnováhy sil se v teoretickém studiu používá ke zjištění deformačních odporů v pásmu
deformace a následně z toho lze pak usuzovat na velikost sil a momentů příp. až potřebného výkonu
pro provedení operace. Válcování je nejrozšířenějším způsobem tváření. Ze světových údajů lze
usuzovat na to, že (pochopitelně podle regionu a tradice) se 80 až 90% veškeré výroby oceli na světě
- 54 -
Teorie tváření
zpracovává primárně válcováním a z tohoto přehledu je opět 60 až 70 % zpracováno na podélné
ploché vývalky, tj. plechy a pásy. Z těchto důvodů přistupujeme v této kapitole k rozboru teoretických
úvah a cílem bude stanovit průběh hodnot deformačního odporu po délce pásma deformace. Tento
způsob je primárně svým matematickým odvozování určen pro válcování za studena.
Definujeme pásmo deformace jako délku pásma deformace, tj. vzdálenost mezi vstupní a výstupní
rovinou a stanovujeme, co je to záběrový úhel .
α
αn
R
dφ
σ
φ
+-μσ
φ
h0
h+dh
h1
σx+dσx
0
h
σx
x
dx
ld
Obr. 32. Pásmo deformace při válcování a vytčený element
Geometrické pásmo deformace začíná pásmem opožďování ( vlevo na obrázku v oblasti vstupní
výšky h0), přechází do pásma přilnutí ( v oblasti vytčeného elementu) a na výstupu se objevuje
pásmo předstihu ( vpravo u výstupní výšky h1). Mimo geometrickou oblast pásma deformace ještě
před vstupem materiálu do válců se objevuje pásmo budící se deformace a po výstupu kovu z válců je
pásmo útlumu. Pro matematické odvození si vytkneme element, který je vzdálen od nulové osy od
počátku souřadnic, která je daná bodem O ve vzdálenosti x a tloušťka daného elementu je dx.
Postupně definujeme hodnoty napětí v ose válcování či v ose x, které jsou dány napětími x , resp.
x + dx . Na površích, které se dotýkají válců působí třecí síla, která může být definována jako
a kolmo na ni pak hodnota deformačního odporu napětí . Pro výpočet je nutné znát také plošky, na
kterých daná napětí působí. Definujme si podmínky, za kterých můžeme tuto matematickou analýzu
provést:

Náš vytčený element je shora i zdola ohraničen povrchy dvou stejných válců o poloměru R
(nejedná se tedy o asymetrické válcování, kde válce mohou mít různý průměr, resp. poloměr).
- 55 -
Teorie tváření

Hlavní napětí x ve směru osy x je na povrchu po obecné výšce h rozděleno rovnoměrně. Tato
podmínka v praxi splněna není, ale pro matematické odvozování z ní musíme vycházet.

Uhel  je v pásmu mezi hodnotou 0° a hodnotou  (záběrovým úhlem)

Deformační odpor tedy napětí  je kolmé na povrch válců.

Třecí síly vyjádřené hodnotou
směřují k výstupu od úhlu n (n je neutrální úhel, který
představuje pásmo přilnutí nebo také neutrální rovinu.

Hodnota

Šířka elementu b = 1.
směřuje ke vstupu od neutrální roviny směrem proti pohybu materiálu.
Na základě těchto zjednodušení můžeme přistoupit k matematické analýze. Nejprve sestavíme rovnici
rovnováhy v bodě x v podobě
(88)
A tuto pak dále upravíme do tvaru
(89)
Vyžijeme znalosti intenzity napětí která definuje odpor proti změně tvaru tělesa a v podstatě nám
znázorňuje velikost napětí potřebné ke startu, k začátku plastické deformace. Tuto hodnotu můžeme
přibližně srovnat s hodnotou mezí kluzu. Je to přirovnání velmi přibližné, ale pro náš účel to postačí.
Předpokládáme dále, že napětí střední 2 je poloviční k napětí 1 a 3 k nejmenšímu a největšímu
normálovému napětí.
(90)
Další odvozování vychází z těchto rovnic
- 56 -
Teorie tváření
(91)
Po derivaci můžeme některé ze získaných veličin dosadit do původně odvozené rovnice rovnováhy.
(92)
Dále nastává problém zjišťování obecné výšky h jako funkce některých reálně zjistitelných veličin.
Hodnota h se nakonec rovná tomuto tvaru
(93)
(94)
Pro další výpočet se jako výhodně jeví zavedení parametru T , ve kterém se objevuje výstupní výška a
ona obecná výška h vytčeného elementu
(95)
Konečně můžeme také určit hodnotu diferenciální šířky elementu dx
- 57 -
Teorie tváření
(96)
Použijeme pro další výpočty novou konstantu A se známými provozními hodnotami
(97)
Základní parametry válcování, tj. poloměr válce R, výstupní výška h1 a koeficient tření  sestavíme
do nově zavedené konstanty A.
Nyní můžeme získané veličiny dosadit do rovnice rovnováhy, kterou roznásobíme hodnotou
exp. ( AT).
(98)
(99)
(100)
Následná matematická úprava spočívá v integraci a našim problémem se stává integrační konstanta C,
pro kterou musíme stanovit okrajové podmínky. Při vstupu pak platí tento vztah z rovnice (100).
Poslední nutnou zavedenou konstantou je B
(101)
- 58 -
Teorie tváření
Dostáváme prvou komplexní rovnici (103) pro oblast předstihu, která platí mezi úhly stanoveným
tímto vztahem (vlevo v rovnici (102))
(102)
(103)
Na levé straně rovnice (103) je hodnota deformačního odporu materiálu v pásmu deformace,
konkrétně v této rovnici v čitateli a dole ve zlomku je vyjádření vztahu pro rovinnou deformaci, kde
napětí 2 je střední napětí, poloviční hodnota součtu 1 + 3 .
V rovnici se kromě konstant A a B, které jsou dány vstupními podmínkami vlastního válcování,
vyskytuje hodnota 1 , která představuje tzv. přední tah používaný při válcování za studena. Obdobně
můžeme odvodit rovnici pro pásmo opožďování, dáno opět v daném úhlovém rozsahu (vpravo
v rovnici (102) v podobě této rovnice
(104)
V ní se vyskytují opět konstanty A a B a navíc ještě hodnota 0 , která představuje hodnotu tzv.
brzdícího neboli zadního tahu. Rovněž se při reálných válcovacích pochodech používá. Navíc je v této
rovnici hodnota délky pásma deformace ld což je veličina snadno odvoditelná z geometrických
podmínek válcování a je to délka pásma deformace jako
√
. Zjednodušení těchto rovnic,
které popisuje běžný způsob válcování bez tahu (jak předního tak zadního) je v podobě rovnice pro
předstih
(105)
- 59 -
Teorie tváření
a rovnice pro opožďování
(106)
Výhodou těchto 4 rovnic (103 až 106) je ta skutečnost, že hodnotu deformačního odporu v pásmu
deformace popisujeme pouze v závislosti na geometrických podmínkách válcování, tzn. na poloměru
válce R, na vstupní a výstupní výšce, které jsou doplněny hodnotou koeficientu tření.
Shrnutí pojmů kapitoly Napětí při tváření
Matematické aplikace metody řezů. Napětí na souřadných rovinách, jejich dělení na normálová a tečná
napětí a jejich počty. Rovnice rovnováhy. Výsledné normálové napětí. Systém hlavních os. Hlavním
tečné napětí. Mohrovy kružnice. Tenzor napjatost a jeho invarianty. Matematické a grafické vyjádření
tečného
napětí a intenzity napětí. Význam ukazatele stavu napjatosti. Orientační seznámení se
s diferenciálními rovnicemi napětí v pravoúhlém, cylindrickém a sférickém systému os. Rovnice
rovnováhy pro podélné válcování a tím rozložení deformačního odporu po délce pásma deformace.
Otázky k probranému učivu
1. Jaké síly mohou působit na těleso v prostoru?
2. Co je to izotropní těleso?
3. V jakých jednotkách se udává napětí a v jakých síla?
4. Jaký je rozdíl mezi ideálně pružným a ideálně plastickým tělesem?
5. Vyjádřete vlastními slovy co je to reálné tuhé těleso.
6. Kolik a jaká jsou napětí na souřadných rovinách?
- 60 -
Teorie tváření
7. Vyjádřete matematicky rovnováhu sil v některé ose.
8. Jak se dospěje k vyjádření normálového napětí?
9. Určete matematicky hlavní normálové napětí a co toto napětí vyjadřuje?
10. Jaká musí být kombinace napětí, aby prostorový elipsoid přešel v jiná tělesa až do úsečky?
11. Existuje nějaká dohoda pro stanovení velikostí hlavních napětí a jejich poměru?
12. Lze znázornit tříosý stav napjatosti v ploše?
13. Zvolte si libovolnou kombinaci napětí s tím, že aspoň jedno bude záporné a sestrojte Mohrovu
kružnici a popište napětí.
14. Jak velké tečné napětí a kde musí působit, aby vznikla plastická deformace při jednoosém
působení síly?
15. Co je to tenzor a lze napjatost takto vyjádřit a jak?
16. Lze tenzor rozdělit na více částí?
17. Jaký je matematický vztah mezi deviátory napětí?
18. Jak se stanovují všechny tři invarianty napětí a co vyjadřují?
19. Odvoďte
….a dojděte k vyjádření pro oktaedrické normálové napětí.
20. Jak se graficky stanoví tečné napětí?
21. Sestavte 9 schémat hlavních napětí do řady.
22. Kolik a jakých deviátorových schémat můžete stanovit?
23. Co je to intenzita napětí a jak se stanoví matematicky i graficky (více způsoby)?
24. Sestavte si libovolné schéma tří hlavních napětí a stanovte napětí normálové a deviátory.
25. Jakou velikost nabývá intenzita napětí pro úhel 30° v Rosenbergrově konstrukci intenzity
napětí?
26. Co je to ukazatel stavu napjatosti a Lodeho součinitel?
27. Jak se stanoví maximální tečné napětí při plošné napjatosti bez přítomnosti tečných napětí?
28. Umíte napsat zjednodušenou diferenciální rovnici rovnováhy pro derivace podle x rovny nule
v základním pravoúhlém systému os?
29. Jak se stanovuje bod v prostoru v různých souřadných systémech?
30. Lze vyřešit průběh deformačního odporu po délce pásma deformace při válcování plochých
vývalků pouze jako závislost na vzdálenosti x od roviny výstupu?
- 61 -
Teorie tváření
2. Deformace při tváření
Čas ke studiu: 6 hodin
Cíl
Seznámíte se s deformací tvářeného tělesa. Definujete základní způsoby
matematického popisu změn při deformaci. Obdobně jako při napětí je i deformace
tenzor. Graficky určíte intenzitu deformace. Objasníte si pojem deformační rychlost.
Orientačně se seznámíte s tahovou zkouškou.
Výklad
Přemísťování částic kovu se děje složitou prostorovou křivkou Vysvětlíme si pouze princip pohybu
částic z bodu M do bodu M´ kdy bod M je definován v čase 0 a bod M´ v čase t .
z
M´
M
w
x
X
v
u
y
Obr. 33. Přemisťování bodu v prostoru
- 62 -
Y
Teorie tváření
Základní rovnice
(107)
V průběhu deformace dochází k přemísťování částic. Většinou se tak děje složitou prostorovou
křivkou a ne takto jednoduše
(108)
Uvedeme nyní stručně základní způsoby vyjádření deformace. Vybereme si k tomu jeden rozměr
tvářeného tělesa, např. výšku h. Tím způsobem je vyjádření tzv. absolutní deformace
v podobě
vzorce, který je doplněn délkovou mírou nejčastěji mm
(109)
Dalším způsobem je relativní změna, tady ji můžeme nazvat poměrný výškový úběr h v podobě, kde
ve jmenovateli může být buď původní výška (Lagrange) nebo konečná výška (Euler)
(110)
Lze také vyjádřit poměrnou procentuální deformaci v podobě
(111)
Teoreticky nejsprávnější je ale tzv. skutečná nebo-li logaritmická deformace eh tedy skutečná
deformace výšky v podobě rovnice (112)
(112)
A konečně posledním způsobem je možnost vyjádřit tzv. součinitel neboli koeficient deformace
definovaný poměrem dvou hodnot a určený řeckým písmenem
- 63 -
Teorie tváření
(113)
Tato problematika bude podrobněji probrána a vysvětlena ve cvičení.
2.1.
Tenzorové vyjádření
Obdobně jako u napětí a z toho vyplývajícího tenzoru napětí můžeme stanovit tenzorové vyjádření
deformace. V obecné podobě má tento tvar
(114)
Při existenci hlavních os pak tenzor deformace nabývá hodnot podle následující matice a stejně jako u
tenzoru napětí jej můžeme rozdělit na kulový tenzor a deviátor deformace
Z hlediska zásadních způsobů vyjádření deformace zjistíme, že při zachování objemu materiálu se
součet skutečných deformací rovná 0, z toho pak vyplývá, že kulový tenzor deformace je rovněž
nulový a deviátor deformace je přímo roven tenzoru deformace.
(115)
(116)
- 64 -
Teorie tváření
Výsledným efektem deformace je intenzita deformace, kterou můžeme teď teoreticky stanovit jako
intenzitu skutečné deformace. Jednotlivé složky e1, e2, e3 nabývají uvedených tvarů (opět ve způsobu
vyjádření 3 hlavních os pod úhly 120°).
(117)
a můžeme stanovit prvý až třetí invariant tenzoru deformace.
(118)
2
-e3
Se
e1
1
-e2
3
Obr. 34. Rovnoměrná deformace
Podle matematického vyjádření kromě v této podobě je možné stanovit intenzitu deformace graficky
podle obrázku 34.
- 65 -
Teorie tváření
Deformace je málokdy rovnoměrná, to platí pouze v případě, kdy přírůstek hodnot e1, e2, e3 zachovává
poměr svých velikostí takže intenzita deformace v grafickém vyjádření pokračuje ve směru původního
úhlu, který svírá vektor intenzity deformace s osou 1.
Častěji však dochází i ke změněn tvaru tělesa k tomu, že přírůstky hodnot deformací e1, e2, e3 nemají
stejný poměr, a proto se nová hodnota intenzity deformace označená Se´ začíná odchylovat od
původně nalezeného úhlu.
│de3│
2
Se´
Se
│de1│
1
│de2│
3
Obr. 35. Nerovnoměrná deformace
V systému hlavních os 1, 2, 3 je, jak bylo již bylo řečeno, deformace stanovená vektorem, který
zachovává svou prostorovou polohu a orientaci a mění svou velikost tak, jak se deformace zvětšuje
nebo zmenšuje. Proto i v nárysné oktaedrické rovině těchto os, které tvoří průměty svazků tří paprsků
svírajících úhly 120° je intenzita deformace určena stálým sklonem svého vektoru. Této deformaci
říkáme homogenní deformace. U deformace nehomogenní mění vektor intenzity deformace svou
polohu a pochopitelně v prostoru hlavních souřadných os tak v rovině jejich průmětů na paprsky po
120°. Intenzita deformace pak nemůže být znázorněna přímkou, ale křivkou která vychází ze
společného začátku. Orientace této nehomogenní deformace odpovídající malému přírůstku
deformace, je pak určena středem tečny uvažovaném v bodě p křivky intenzity a jej velikosti
nekonečně malé oblouku křivky p´ která se shoduje s nekonečně malým úsekem tečny.
- 66 -
Teorie tváření
Musí být dodrženo pravidlo, že se v bodě p, resp. p´ s protínají kolmice k paprskům 1, 2, 3 vymezující
počáteční, resp. koncové body přírůstků deformace de1 , de2, de3
.
Obdobně, jako už jednou
znázorněné deformace e1 , e2, e3 můžeme matematicky stanovit ony přírůstky, které pak následně
dávají přírůstek změny intenzity nehomogenní deformace.
(119)
(120)
2.2.
Stavy deformace
Z podmínky stálosti objemu vychází závěr, že existují pouze 3 reálná schémata deformace. Dvě
schémata jsou prostorová a 1 případ je rovinný. Následující obrázek 36. nám tato 3 schémata
deformace znázorňuje.
2.3.
Deformační rychlost
Mezi částicemi kovů dochází při plastické deformaci k relativnímu pohybu různou rychlostí. Opět
zjednodušeně vycházíme ze změny přírůstků deformace v čase. Z následujícího odvození nám vychází
jednotka rychlosti deformace s-1 .
(121)
- 67 -
Teorie tváření
2
e1 = e
e2 = -2e
e3 = e
│Se│= 2e
e1
1
e3
-e2 = Se
3
2
e1 = 2e
e2 = -e
e3 = -e
-e3
e1 = Se
│Se│= 2e
1
-e2
3
2
e1 = e
e2 = -e
e3 = 0
e1
Se
-e2
3
Obr. 36. Pěchování, tažení, rovinná deformace
- 68 -
1
Teorie tváření
Výrazně upozorňujeme, že tuto deformační rychlost nelze zaměňovat s rychlostí nástroje, např.
rychlostí otáčení válců nebo pohybu beranu při kování čili nějakou postupovou rychlostí, která má
jednotku m/s. Analogicky pak můžeme stanovit i tenzor rychlosti deformace.
(122)
Deformační rychlost u zkoušky tahem (zjednodušeně)
Tahová zkouška je jednou ze základních zkoušek vlastnosti materiálu a to jak pevnostních tak
plastických. U tahové zkoušky je pak nutno počítat se dvěma oblastmi deformací. Ta prvá je rozdělena
rovnoměrně po celé délce zkušební tyče a je to trvalá homogenní deformace. Ta druhá je pak
deformace nerovnoměrná nehomogenní, která je koncentrovaná na úsek délky tyče, kde nastává místní
zúžení, čili krček.
V
ε
vm
L
F
Obr. 37. Tahová zkouška v oblasti rovnoměrné deformace
V prvé fázi, kdy se překročila mez kluzu, ale nenastává ještě místní koncentrace deformace se rychlost
pohybu částeček kovu v jednotlivých příčných průřezech rovnoměrně zvětšuje od nulové hodnoty
v místě upnutí tyče v pevné části až na hodnotu vm , která je rychlostí upínací čelisti na druhém konci
tyče. Tato rychlost v je tedy lineární závislostí délky l
příčného průřezu od upínací hlavy.
Rychlost v je rychlostí relativní. Deformační rychlost lze vypočítat z jednoduchého vztahu podle
následující rovnice.
- 69 -
Teorie tváření
V druhé fázi zkoušky se deformace koncentruje pouze na úsek označený jako l2 . Délka tyče je tedy
rozdělena na 3 úseky, kde v délce od upnuté části čili počátku délky l1 je rychlost nulová, poněvadž
εmax
β
Vm
absolutní rychlost je v tomto úseku také nulová. Příčné průřezy se v daném úseku délky l1 nepohybují.
L
F
l1
l2
l3
Obr. 38. Tahová zkouška v oblasti nerovnoměrné deformace
V úseku l3 se všechny průřezy pohybují stejnou rychlostí vm neboť v tomto úseku se již tyč
neprodlužuje. V úseku l2 se relativní rychlost mění spojitě od nulové hodnoty až po hodnotu vm. .
Křivka má v místě přibližného nejmenšího průřezu inflexní bod. Rychlost deformace v tomto úseku by
bylo možné stanovit derivováním křivky relativních rychlostí v. Přibližná hodnota maximální
deformační rychlosti se dá spočítat také z rychlosti vm pohyblivé části upínací čelisti a délky l2 v krčku,
kterou změříme po přetržení zkušební tyče v podobě rovnice
(123)
(124)
Tento výpočet byl přibližný, poněvadž křivkový průběh relativní rychlosti v v úseku l2 nahrazujeme
křivkovým průběhem podle šikmé spojnice bodu v = 0 a vm = v . Tyto vědomosti můžeme uplatit
- 70 -
Teorie tváření
později, protože se pak dovíme, že přirozený deformační odpor kovu je principiálně závislý na třech
základních parametrech a to teplotě, velikosti deformace a deformační rychlosti.
Deformační rychlost u zkoušky tlakem (zjednodušeně)
Jsou to zkoušky, kdy mezi dvěma čelistmi horní a dolní je pěchováno zkušební těleso, nejčastěji
váleček nebo plochý hranolovitý vzorek
(Zkouška s rovinnou deformací tedy Plane Strain
Compression Testing) V důsledku existence třecích sil dochází u válečku při styku čelní ch ploch
s kovadly, které prakticky můžeme obtížně eliminovat, ihned po začátku pěchování k deformaci
nehomogenní, která narůstá se stupněm deformace. Relativní rychlost na čelní ploše, která je ve styku
s pohyblivou horní čelistí, resp. s horním pohyblivým kovadlem si označíme stejně jako u zkoušky
tahové hodnotou vztahem vm . Pro jednoduchost si vypočteme průměrnou hodnotu deformační
rychlosti ̇ ze známé výšky pěchovaného tělesa a okamžité rychlosti kovadla vm . Tím se úloha převádí
na řešení deformační rychlosti při homogenní deformaci a pak se
̇ = danému vztahu (124) , kde se
pouze nahradí délka l2 výškou h.
Shrnutí pojmů kapitoly Deformace při tváření
Přemisťování bodu v prostoru. Základní způsob matematického popisu změn při deformaci.
Tenzor deformace. Intenzita deformace. Grafické určíte intenzity deformace. Deformace
rovnoměrná a nerovnoměrná. Stavy deformace. Deformační rychlost.
Otázky k probranému učivu
1.
Jak se dá popsat změna polohy bodu v prostoru?
2.
Jaký je rozdíl mezi absolutní a poměrnou deformací?
3.
Proveďte matematické srovnání absolutní a poměrné deformace jako funkční vztah a znázorněte
graficky.
4.
Co je to matematicky skutečná deformace?
5.
Jak se stanoví koeficienty deformace?
6.
Jaký je vztah mezi kulovým tenzorem a deviátorem deformace?
- 71 -
Teorie tváření
7.
Existují invarianty deformace a jak se vyjadřují?
8.
Popište rozdíl mezi rovnoměrnou a nerovnoměrnou deformací.
9.
Jaké stavy deformace znáte a jak se u nich stanovuje intenzita deformace?
10. Jak se odvozuje rychlost deformace a jakou má jednotku?
3. Vztahy mezi napětím a deformací
Čas ke studiu: 3 hodiny
Cíl
Seznámíte se se základními teoretickými úvahami o vztahu napětí-deformace.
Budete umět posoudit rozdíly mezi deformací pružnou, pružně-plastickou a
plastickou.
Výklad
Oba pojmy, napětí a deformace, byly vysvětleny v předcházejících kapitolách. Základem pochopení
vztahů mezi napětím a deformací je rozdělení do 3 základních možností. V technologické praxi se pak
jako jeden z nejdůležitějších úkolů stanovuje deformační odpor za reálných podmínek tváření, tedy
křivka napětí-deformace (stress-strain curve).
Deformace je pouze pružná, čili elastická, tedy mění tvar tělesa a objem.
Druhá deformace je pružně - plastická, části objemu se různě deformují a tělese po skončení
působící síly má trvalou změnu tvaru.
Velké plastické deformace, obecně jsou to deformace nehomogenní, které podstatně mění tvar
tělesa a objem zůstává konstantní.
(Jako příklad, který je praktický a do teorie tváření tedy nepatří, si ale představte plynule litý ocelový
blok o rozměrech 150x150x12000 mm, který je za tepla válcován do podoby drátu o průměru 5,5 mm
- 72 -
Teorie tváření
jehož délka je několik kilometrů a konečná podoba je ve svitku onoho drátu, ze kterého se pak táhne
za studena drát o průměru 0,2 mm v délce několika stovek kilometrů.) Při velkých plastických
deformacích sice teoreticky a částečně i prakticky vždy dochází k jakési počáteční pružné deformaci
ale s ohledem na její velikost ji většinou zanedbáváme. Velké plastické deformace se tedy mohou
odehrávat jednak za tepla, ale také za studena. Tato problematika je sice součástí jiného předmětu
Fyzikální teorie plasticity, ale pro pochopení dalších matematických vztahů se domníváme, že je nutné
ji stručně objasnit. Plastické vlastnosti tvářených látek kladou při tváření odpor, který se mění
s teplotou, což je zásadní termomechanická veličina. Převážně platí, že deformační odpor se snižuje
(je nižší):
-
se zvyšující se teplotou
-
u jednofázové struktury
-
u materiálu, který se snadno a rychle uzdravuje
Kovy mají krystalickou skladbu, a proto pro studium velkých plastických deformací u tvářecích
pochodů mají velký význam fyzikální děje uvnitř krystalových zrn a na jejich hranicích. S tím souvisí
strukturální změny. Tyto děje ovlivňují fyzikální a tím i mechanické vlastnosti tvářeného kovu.
Protože uzdravování materiálu je převážně způsobeno rekrystalizací a její úplný průběh je závislý na
teplotě podle vztahu
, kde Tr je teplota v K, nad níž dochází k rekrystalizaci a Tt je teplota
tavení v K.
Pochody pod Tr jsou označovány jako tváření „za studena“ a pochody nad Tr jako tváření „za tepla“.
Tváření za studena se vyznačuje deformací čili usměrněním struktury čili vznikem textury a změnou
mechanických vlastností a významným jevem jímž je zpevnění kovu. Plastické vlastnosti, čili zásoba
plasticity se postupně vyčerpávají.
Tváření za tepla je charakterizováno současně probíhajícím zpevňováním a uzdravováním, kterým se
většinou mění mechanické i fyzikální vlastnosti. Kov si ponechává velkou zásobu plasticity a je
schopen dosáhnout velkých nehomogenních deformací. Tyto jednoduché pohledy dnes už teoreticky
přesně neobstojí, lze tedy shrnout, že správnější rozdělit tvářecí pochody na ty, při nichž dochází ke
zpevňování, jsou to tedy převážně pochody „za studena“ a na ty při nichž ke zpevňování nedochází.
Vraťme se nyní k těm 3 základním způsobům vztahům mezi napětí a deformací.
Deformace pružná je matematicky stanovena Hookovým zákonem, kde E je modul pružnosti v tahu a
je roven hodnotě 210 000 MPa u oceli (jestliže v této a následujících podkapitolách nebudou použity
- 73 -
Teorie tváření
žádné obrázky, je to proto, že na cvičeních případně konzultacích budou tyto otázky vysvětleny).
Hodnota v rovnici µ je Poissonovo číslo.
(125)
Jinak lze rovnici pro velikost deformace napsat také pomocí tzv. konstanty m, což je Poissonova
konstanta. Pro velké plastické deformace platí, že hodnota µ = 0,5 a pro pružné deformace je hodnota
µ = 0,3 .
(126)
(127)
Kromě modulu pružnosti v tahu existuje modul pružnosti ve smyku podle této rovnice
(128)
Druhou skupinu pružně plastickou můžeme rozdělit do tří skupin. Varianta a, která ním říká, že
směrové tenzory napětí a deformace jsou obdobné, varianta b, která vysvětluje vztah mezi napětím a
deformací tak, že lineární invariant tenzoru napětí je přímo úměrný lineárnímu invariantu tenzoru
deformace. A konečně třetí varianta c říká, že kvadratický invariant deviátoru napětí je funkcí
kvadratického invariantu deviátoru deformace.
Probereme všechny tři varianty pružně - plastické.
Varianta a
Podle následující rovnice můžeme dojít k postupným odvozováním a nahrazováním ke konstantě ψ a
po vzájemném odečítání rovnic a porovnání dojdeme u všech tří zkoumaných skutečných deformací
k následujícím vztahům
- 74 -
Teorie tváření
(129)
(130)
(131)
(132)
(133)
Slovně lze tuto rovnici vyjádřit tak, že směry max. skutečných napětí splývají se směry hlavních
smykových deformací.
Varianta b
Varianta b vychází z následující rovnice a vyjadřuje vztah mezi střední lineární deformací a středním
lineárním napětím, tedy mezi e8 a σ8.
(134)
(135)
Tuto hodnotu můžeme nyní dosadit do rovnic s použitém konstanty ψ
- 75 -
Teorie tváření
(136)
Hencky nahradil tuto konstantu ψ závislostí na modulu pružnosti ve smyku a nové konstantě 
(137)
(138)
a došel k rovnicím pro e1, e2, e3 v následující podobě
(139)
Prvý člen této součtové rovnice představuje pružné deformace, čili se vracíme k Hookovu zákonu a
druhý člen představuje deformace plastické, (upozorňujeme, že  není konstantou je tedy funkcí
odvozené dříve hodnoty ψ a také modulu pružnosti ve smyku G).
Tyto tři výsledné rovnice jsou obecné (např. je-li  = 0 tak z toho vyplývá, že není žádná plastická
deformace, druhý člen v rovnici zanikne a zůstane pouze deformace pružná).
Varianta c
Varianta c se představuje následujícími rovnicemi
(140)
a obecně je intenzita napětí funkcí intenzity deformace nebo naopak. Jejich vzájemný poměr lze
vyjádřit pomocí známých rovnic.
- 76 -
Teorie tváření
(141)
Velké plastické deformace jsou z hlediska popisu vztahů mezi napětím a deformací velmi
komplikované. Nastupuje nehomogenní deformace. V materiálu probíhá zpevnění. Toto je a může být
následně provázeno odpevněním, tedy změkčením, nebo se tomu také říká uzdravování. Uzdravování
probíhá buď zotavováním nebo rekrystalizací a to ještě principiálně staticky nebo dynmicky. Dochází
ke strukturálním změnám fází a mění se struktura. V materiále nastupují precipitační jevy. Hodnoty
modulů E a G nejsou s teplotou konstantami, ….
Z toho vyplývá enormní složitost pro stanovení reálných křivek napětí-deformace. Úhel sklonu 
rostoucí křivky napětí, tedy deformačního odporu se mění na ´ , napětí je pak funkcí proměnného
modulu pružnosti E´ a ve své konečné podobě
(142)
(143)
(144)
Úhel sklonu  rostoucí křivky napětí, tedy deformačního odporu se mění na ´ , napětí je pak funkcí
proměnného modulu pružnosti E´ a ve své konečné podobě
(145)
Shrnutí pojmů kapitoly Vztahy mezi napětím a deformací
Deformace pružná, pružně – plastická a velká plastická.
- 77 -
Teorie tváření
Otázky k probranému učivu
1. Jaký je rozdíl mezi „deformací za studena“ a „deformací za tepla“?
2. Co je to modul pružnosti E a modul pružnosti ve smyku G?
3. Jaký je mezi těmito moduly vztah?
4. Co je to pružná deformace?
5. Co je to pružně- plastická deformace?
6. Co je to velká plastická deformace?
7. Které veličiny, dříve odvozené v kapitole o napětí a deformaci, se dostávají do vztahu napětídeformace?
8. Co se děje v materiálu při velkých plastických deformacích?
Řešené úlohy
Je uveden příklad, vycházející z teoretické podkapitoly 1.20.
4. Válcování s tahy
4.1. Teoretický úvod
Metody výpočtu deformačních odporů v pásmu deformace při podélném válcování vycházejí obvykle
z analýzy pásma deformace a ve svých důsledcích různými formami směřují k sestavení teoretické
rovnice rovnováhy sil ve válcovací mezeře. Postupně by tedy bylo nutné vzít v úvahu délku styku
kovu s válci a obecněji tvar kontaktní křivky respektive plochy, šířku provalku a její změny po délce
pásma deformace, ale zejména velikosti a rozložení napětí na povrchu styku deformovaného materiálu
s válci. Kromě těchto několika vyjmenovaných a mnoha dalších geometrických parametrů existuje
celá řada činitelů, kteří ovlivňují výslednou hodnotu deformačního odporu a následně pak výpočet sil,
momentu (práce) a potřebného výkonu. Patří tady zejména chemické složení a metalurgické
charakteristiky, teplota, tření, zpevňovací a uzdravovací mechanizmy, rychlost deformace a pod.
Velikost a průběh hodnoty deformačního odporu po délce pásma deformace lze vyjádřit principiálně
vztahem
- 78 -
Teorie tváření

 k


h
 1  0
h






  1




(4.4.1)
kde tato rovnice platí pro pásmo opožďování (od roviny vstupu po neutrální rovinu), obdobná rovnice
platí pro pásmo předstihu; při akceptaci tahů, to jest předního a zadního osového , kdy
0
k
 1 1
1
k
kde
 je deformační odpor v MPa
resp.
 2 1
(4.4.2)
k je mez kluzu v MPa
1 je přední tah v MPa
0 je zadní tah v MPa
h0 ,h1 ,h jsou vstupní, výstupní a obecná výška provalku v mm
 je koeficient, obvykle   2
R
h
1 , 2 jsou součinitelé předního a zadního tahu
pak může rovnice pro pásmo opožďování nabýt podoby

 k

 h0  

   1  1  1
 h 

(4.4.3)
Obdobně řeší úlohu Bland a Ford, kteří podle teorie Orovana navrhují pro totéž pásmo opožďování
rovnici
  k
h
h0
 0
1 
 k

 exp  h1  h 

(4.4.4)
Prakticky všechny publikované rovnice obsahují jako proměnnou obecnou výšku h, jejíž výpočet je
možný na základě znalosti geometrických podmínek válcování, ale celková použitelnost a
jednoduchost výpočtu se komplikuje. Proto cílem práce je uvést rovnice pro obě oblasti jak
opožďování, tak předstihu, kde jedinou proměnnou bude vzdálenost x jako souřadnice od roviny
výstupu zpět k rovině vstupu po hodnotu délky pásma deformace ld, tedy
0  x  ld
(4.4.5)
- 79 -
Teorie tváření
Tyto nové rovnice musí vycházet z rovnice rovnováhy na vytčený element. Výsledné rovnice mají
následující tvary:




2
 exp B . x   1  2  1
2 k
2 k
A


3
3

 2
  2  1 B . x
 A





2
 exp Bl d  x   1  2 1  B . l d   0
2 k
2 k
A


3
3


 2
  2  1 B . x
 A


2
 exp B . x   2 exp B . x  1  B . x 
2 k
A
(rov.6)
(4.4.6)
(rov.7)
(4.4.7)
(rov.8)
(4.4.8)
(rov.9)
(4.4.9)
3

2

 2
 exp Bl d  x   1  2 1  B . l d   2  1  B . x 
2 k
A

 A
3
A2 
R
h1
B
2
h1
takže skutečně je průběh poměrného napětí
(4.4.10)

2 k
3
pro dané geometrické podmínky, to jest poloměr
válce R, vstupní a výstupní výška h0 a h1 a koeficient tření  pouze funkcí vzdálenosti x. Platnost
jednotlivých rovnic je podle následujícího obrázku obr. 4.4.1.
4.2. Zadání
4.2.1.
Znázorněte graficky průběh tlaků na válce od roviny vstupu po rovinu výstupu za těchto podmínek:
h0 = 2,5 mm; h1 = 2,02 mm; R = 75 mm;
pro zadání 4.4.2.1.a
je  1 = 0,11;
pro zadání 4.4.2.1.b
je  2 = 0,13;
pro zadání 4.4.2.1.c
je  3 = 0,18;
- 80 -
Teorie tváření
určete hodnoty špičky tlaku s přesností na dvě desetinná místa a x-ovou souřadnici neutrální roviny
(graficky i analyticky).
4.2.2.
Zjistěte, jak veliký přední (c2) tah nebo zadní (c1) tah musíte použít, aby při použitém zadním, resp.
předním tahu byla špička tlaku o 20 % nižší, než při válcování bez tahů. Určete x-ovou souřadnici
neutrální roviny (graficky). Volba předního, resp. zadního tahu je v % velikosti

2 k
3
. Zadávané
hodnoty jsou v tab. 4.1.
4.2.3.
Předpokládejte nutnost posunutí neutrální roviny ve směru k výstupu o ….% délky pásma deformace.
Vycházejte z výsledků zadání 4.2.1. Určete aspoň jednu kombinaci předního a zadního tahu tak, aby
byla splněna předpokládaná nutnost. Pokuste se o matematické vyjádření všech kombinací předních a
zadních tahů ve tvaru
c1  k1 Y  q1
c2  k 2 Y  q2
kde
c1 je přední tah v % hodnoty
(4.4.11)


; c2 je zadní tah v % hodnoty
2 k
2 k
3
3
k1 , k2 jsou směrnice, pro daný předpoklad konstanty, q1 , q2 jsou průsečíky
Y je hodnota špičky tlaku (y –ová souřadnice)
4.2.4.
Předpokládejte možnost změny špičky tlaku a tím též změny polohy neutrální roviny bez použití tahů
změnou koeficientu tření. Vycházejte ze základního zadání 4.2.1. Špička tlaku musí být snížena na
……% základní hodnoty (tuto označte Y). Nalezněte žádaný koeficient tření a polohu neutrální roviny
(označte X).
- 81 -
Teorie tváření
Tab. 4.1. Hodnoty pro zadávání
1.4.2.2
 = 0,13
 = 0,11
1.4.2.1
c1
5
c1
c1
10
15
c1
c1
20
25
c1
30
c2
c2
c2
c2
c2
 = 0,18
5
10
15
20
10
c1
5
c1
c1
10
15
c1
c1
20
25
c2
c2
c2
c2
 = 0,11
1.4.2.3
posunutí špičky ve směru k výstupu o
posunutí špičky ve směru k výstupu o
posunutí špičky ve směru k výstupu o
posunutí špičky ve směru k výstupu o
posunutí špičky ve směru k výstupu o
posunutí špičky ve směru k výstupu o
5
10
15
20
+ 10 %
+ 20 %
+ 30 %
- 10 %
- 20 %
- 30 %
 = 0,18
1.4.2.4
na
na
na
na
na
na
na
70% Y
80% Y
90% Y
100% Y
110% Y
120% Y
130% Y
140% Y
4.3. Návod
ad 4.2.1.
Dosaďte do rovnic, které vyjadřují průběh bez použití tahů. Zvolte škálu x nejméně po 0,5 mm.
Sestavte si tabulku hodnot, narýsujte graf a odečtěte hodnoty polohy neutrální roviny a špičky tlaku.
Obr. 4.1. Platnost rovnic
- 82 -
Teorie tváření
Obr. 4.4.1 Platnost rovnic
Obr. 4.2. Přehledný graf pro řešení 4.2.
ad 4.2.2.
Ujasněte si nejprve podle konkrétního (individuálního ) zadání, který tah
Obr. 4.3. Stanovení průsečíku x při použití zadního tahu c0 = 0,05
a snížení špičky tlaku o 20 %
používáte. Dosaďte do této rovnice s daným tahem, (řekněme se zadním) kde místo hodnoty
0
2 k
3
uvedete onu číselnou velikost a rovnici vyřešte pro proměnnou x. Vypočtěte velikost snížené špičky
tlaku o 20%. Určete x – ovou souřadnici. Upravte druhou rovnici pro stanovení výpočtů s tahy
- 83 -
Teorie tváření
(řekněme tedy zde s předním) pro výpočet do tvaru
1
= ……
2 k
3
a dosaďte zjištěnou hodnotu x -
ové souřadnice a stanovte hodnotu (zde c1). Sestavte postupné grafy.
ad. 4.2.3.
Nejprve si stanovte hodnotu x1, kde má být neutrální rovina. Z rovnic, v nichž je použit tah, vypočtěte
c1 a c2 pro danou x1 a tím stanovíte konstanty k1 , k2 , q1 a q2. Sestavte graf.
Obr. 4.4. Kombinace tahů při zvolené velikosti špičky tlaku při posunutém rameni
válcovací síly k rovině výstupu o délku 10 % délky pásma deformace
ad. 4.2.4.
Zřejmě dospějete ke dvěma algebraickým rovnicím o dvou neznámých, jejichž řešení
je v daném případě nejlépe provádět iterací. Zadejte si x odhadem, řešte.
- 84 -
Teorie tváření
Příklad zadání 4.2.1.
µ
A
B
R [mm]
X [mm]
h0 [mm]
h1 [mm]
0,11 1,340533 0,108911
75
6
2,5
2,02
0,13 1,584267 0,128713
75
6
2,5
2,02
0,18
75
6
2,5
2,02
2,1936 0,178218
 Řešení
Vychází z matematických vztahů, uvedených v kapitole 4.4.1. Jako výsledek je uveden obrázek se
třemi různými koeficienty tření. Bod 0 na x-ové souřadnici představuje rovinu výstupu kovu z válci,
bod označený 6 vlevo na téže ose je vzdálenost x od roviny výstupu k rovině vstupu, je to tedy délka
pásma deformace. Křivky na obrázku představují rovnice (4.4.6) a (4.4.8).
Průběh tlaků
1,7
1,65
1,6
pro µ 0,18
p.n.= 1.59, x= 2,45
1,55
1,45
1,4
pro µ 0,13
p.n.= 1.36, x= 2,18
1,35
1,3
1,25
1,2
1,15
1,1
1,05
1
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
x [mm]
2,5
- 85 -
2
1,5
1
0,5
0
poměrné napětí
1,5
µ 0,11
µ 0,11
µ 0,13
µ 0,13
µ 0,18
µ 0,18
Teorie tváření
Použitá literatura, kterou lze čerpat k dalšímu studiu
Kliber, J. Základy teorie tváření materiálu, sylaby katedry tváření materiálu FMMI, VŠB-TU Ostrava,
1999.
Kliber, J. Základy teorie tváření, sylaby katedry tváření materiálu FMMI, VŠB-TU Ostrava, 1997.
Kliber, J. Tváření kovů, sylaby katedry tváření materiálu FMMI, VŠB-TU Ostrava, 2001.
Petržela, Z. Teorie tváření, skriptum VŠB, Ostrava, 1981.
Kliber, J.
Základy tváření kovů, skriptum VŠB-TU Ostrava, Ostrava, 1998, II. vydání,
ISBN 80-7078-978-6.
Jones, R. M. Deformation theory of plasticity, 2009, 978-0-9787223-1-9.
Žídek, M. Metalurgická tvařitelnost ocelí za tepla, skriptum VŠB, Ostrava, 1982, I. vydání.
Elfmark, J. Tváření kovových materiálů, skriptum VŠB , Ostrava, 1990, I. vydání, ISBN 80-7078-0428.
Elfmark, J. Plasticita kovů, skriptum VŠB, Ostrava, 1986, I. vydání.
Kliber, J. New approaches in describing stress-strain curves. In: Proceedings Inter. Conf. Formability
94, October 1994, Tanger Steel, Ostrava, pp. 77-83.
Kliber, J. Teoretické aspekty průběhu deformačního odporu v pásmu deformace. In: Mez. konference
Nové poznatky v tváření kovů. VŠB-Pol. Slaska, Frýdlant n./Ostr., 1995, s. 77-84.
Greger, M. a kol. Tváření kovů (sbírka úloh a příkladů pro cvičení), Skriptum VŠB-TU Ostrava, ISBN
80-7078-656-8, 1999.
Chaktrabarty, J. Theory of plasticity, 3.rd.,13:978-0-7506-6638-2.
Počta , B. Teorie tváření kovů, Skriptum VŠB, Ostrava, 1973.
Počta , B. Základy teorie tváření kovů, Skriptum VŠB, Ostrava, 1971.
Nikel, Z. Teorie tváření, I. díl Skriptum VŠB, Ostrava, II. vydání 1990.
Nikel, Z. Teorie tváření, II. díl Skriptum VŠB, Ostrava, II. vydání 1990.
Wagoner, R.H., Chenot, J.L. Fundamentals of Metal Forming, 0-471-57004-4.
Pernis, R. Teória tvárnenia kovov, skriptum, Trenčianská univerzita, 2007.
Forejt, M. Teorie tváření a nástroje, skriptum VÚT Brno, 1991.
- 86 -
Teorie tváření
Tváření materiálu ............................................................................................... 2
1. Napětí při tváření ................................................................................. 10
1.1. Napětí a napjatost ........................................................................................................ 11
1.2. Napětí na souřadných rovinách .................................................................................... 15
1.3. Napjatost v obecné rovině ............................................................................................ 15
1.4. Hlavní normálové napětí ............................................................................................... 18
1.5. Elipsoid napjatosti ........................................................................................................ 20
1.6. Shrnutí základních rovnic ............................................................................................. 22
1.7. Mohrovy kružnice ........................................................................................................ 23
1.8. Vznik plastické deformace při jednoosém působení síly ............................................... 24
1.9. Tenzorové vyjádření napjatosti ..................................................................................... 27
1.10. Invariantnost stavu napjatosti ..................................................................................... 30
1.11. Napětí v oktaedrické rovině ........................................................................................ 32
1.11.1. Tečné oktaedrické napětí ................................................................................... 32
1.11.2. Grafické určení tečného napětí .......................................................................... 33
1.12. Schémata hlavních napětí ........................................................................................... 36
1.13. Deviátorové schéma napětí ......................................................................................... 37
1.14. Invariantnost deviátoru napětí .................................................................................... 39
1.15. Intenzita napětí ........................................................................................................... 39
1.16. Porovnání některých dosažených veličin ..................................................................... 45
1.17. Ukazatel stavu napjatosti ............................................................................................ 45
1.18. Stavy napjatosti ........................................................................................................... 46
1.18.1. Lineární ............................................................................................................. 46
1.18.2. Plošný ............................................................................................................... 47
1.18.3. Prostorový ........................................................................................................ 50
1.19. Diferenciální rovnice rovnováhy napětí ...................................................................... 50
1.19.1 Pravoúhlé souřadnice ......................................................................................... 50
1.19.2. Cylindrické souřadnice ....................................................................................... 53
1.19.3. Sférické souřadnice ........................................................................................... 54
1.20. Diferenciální rovnice rovnováhy v mezeře mezi válci
(podélné válcování plochých vývalků) ........................................................................ 54
2. Deformace při tváření .......................................................................... 62
2.1. Tenzorové vyjádření .................................................................................................... 64
2.2. Stavy deformace .......................................................................................................... 67
2.3. Deformační rychlost ..................................................................................................... 67
3. Vztahy mezi napětím a deformací ....................................................... 72
4. Válcování s tahy .......................................................................................................... 78
Literatura ...................................................................................................................... 86
- 87 -