Změřte mez pevnosti nitě v tahu. S

Fyzikální korespondenční seminář UK MFF
http://fykos.mff.cuni.cz
11 . V . E
11. ročník, úloha V . E . . . pevnost nitě (8 bodů; průměr ?; řešilo 38 studentů)
Změřte mez pevnosti nitě v tahu. S řešením nám pošlete 1 m dlouhý vzorek vaší nitě.
Teorie
Pro izotropní materiál je mez pevnosti v tahu definována coby kritické napětí σ K , při
kterém dochází k trvalé deformaci materiálu tahem. Existuje celá složitá teorie, popisující
chování látky při působení vnější síly — někteří řešitelé rozvedli na toto téma široké úvahy,
což jsem ocenil, zvláště pokud to mělo také co do činění s nitěmi. Nit bohužel není izotropní,
ba dokonce ani příliš homogenní (tím míním „stejnáÿ ve všech bodech měřeného úseku). Mezí
pevnosti nitě budeme definovat normálové napětí σ N , které se v niti nachází v okamžiku, kdy
dochází k trvalé deformaci — praskání nitě, porušení vláken. Toto napětí lze určit jako podíl
σN =
FK
,
S
kde FK je velikost kritické síly, která ve zmíněném okamžiku nit napíná v normálovém směru,
S je obsah průřezu nitě v témže okamžiku. σ N nelze chápat jako mez pevnosti materiálu,
z něhož je nit vyrobena. Nit totiž může mít složitou vnitřní strukturu — zpravidla je vyrobena
z více paralelních vláken, v lepším případě rovnoběžných a přibližně stejných (v horším případě
různých a různě zašmodrchaných — existují i nitě pletené, kde vlákna nejsou rovnocenná a při
napínání nitě působí na různá vlákna různé síly).
Metody
K měření σ N je třeba změřit kritickou sílu FK a průřez nitě S. Předpokládejme, že nit
má na měřeném úseku konstantní průřez. Na nit budeme působit silou, jejíž velikost budeme
pomalu zvyšovat. Změříme tak mez pevnosti nejméně odolného úseku měřené nitě.
Nit lze napínat různými silami. Můžeme nit přivázat ke stropu, na její dolní konec upevnit
siloměr a za siloměr ručně tahat ve vhodném směru. Špatným nápadem není ani použití nitě
coby závěsu matematického kyvadla; při průchodu rovnovážnou polohou působí na nit největší
síla (součet tíhové síly závaží a reakční síly na sílu dostředivou). Osobně jsem se přidržel
klasičtějšího řešení — na nit jsem zavěsil láhev, do níž jsem velmi pomalu přiléval vodu.
Působící síla byla tedy pouze tíhová.
Dále je třeba změřit průřez nitě S. To se dá udělat s poměrně velkou odchylkou pravítkem
nebo mikrometrem. Nebo lze užít následující postup: do kapaliny v odměrném válci ponoříme
větší množství nitě známé délky. Změříme tak objem nitě a z předpokladu konstantního průřezu
máme
V
S=
,
(1)
d
d je délka nitě, V je objem nitě. Oběma postupy se však měří průřez nitě v nenapjatém stavu.
Abychom se vyhnuli problematickému měření napnuté nitě, stanovíme relativní prodloužení ε
nitě mezi nenapnutým a napnutým (praskajícím) stavem. Ve vztahu (1) pak použijeme délku
d0 = εd > d místo d.
Vlastní měření
Použil jsem nit, která nebyla pletená. Na nit jsem zavěsil láhev a do lahve jsem pomalu
přiléval vodu. Po překročení kritické síly nit praskla. Láhev s vodou jsem následně zvážil na
kuchyňské váze. Deset měření je v tabulce 1
-1-
Fyzikální korespondenční seminář UK MFF
http://fykos.mff.cuni.cz
11 . V . E
Tabulka 1
č. m.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
m [kg]
1,71
2,08
2,12
2,20
1,84
1,90
2,16
1,78
2,13
2,01
Fk [N]
16,8
20,4
20,8
21,6
18,1
18,6
21,2
17,5
20,9
19,7
∆Fk [N] (∆Fk )2 [N2 ]
+2,8
7,84
−0,8
0,64
−1,2
1,44
−2,0
4,00
+1,5
2,25
+1,0
1,00
−1,6
2,56
+2,1
4,41
−1,3
1,69
−0,1
0,01
Systematická chyba měření bude vyžadovat diskusi. Nejprve chyba použitého zařízení — kuœ
chyňské váhy — ta činí 10 g (jeden dílek měřidla je sice 10 g, avšak jistou toleranci vyžaduje
též nepřesné vyvažování). Do systematické chyby se započítávají i chyby metody. Metoda má
následující chyby: dodávání vody se děje po jistých dávkách, aby byla láhev naplněna v konečœ
ném čase. Tyto dávky jsou přibližně 50 g. Měření může ovlivnit setrvačná síla pomalu přilévané
vody. Nit si dále „pamatujeÿ, pokud byla již jednou namáhána, a praská dřív. Celkově tudíž
systematickou chybu odhaduji na 0,8 N. Pro výpočet celkové chyby užijeme přibližný vzorec
scelk = 3sstat + ssyst . Odtud scelk = 2 N.
Měření průřezu
Průřez nitě jsem měřil ponořením do vody. Odměrný válec měl 1 dílek 0,5 ml. Naměřené
objemy a jim odpovídající délky nití jsou v tabulce. Relativní prodloužení jsem změřil 1/ε =
= (0,90 ± 0,03).
Tabulka 2
č. m.
1
2
3
4
5
d [m] d0 [m]
11,4 12,7
9,5
10,5
10,4 11,5
9,0
10,0
10,0 11,1
V [cm3 ]
1,50 · 10−6
1,25 · 10−6
1,50 · 10−6
1,25 · 10−6
1,25 · 10−6
S [cm2 ]
∆S [m2 ]
1,2 · 10−7 0,0 · 10−7
1,2 · 10−7 0,0 · 10−7
1,3 · 10−7 −0,1 · 10−7
1,3 · 10−7 −0,1 · 10−7
1,1 · 10−7 0,1 · 10−7
Systematická chyba je značná — je to způsobeno nepatrným objemem nitě i při značné délce.
Museli bychom nořit kilometry nití, aby byly výsledky přesnější. Chyba měřidla (válce) je
0,25 ml. Chyba při měření délky nitě byla 5 cm (měřeno metrem). Při měření objemu byl navíc
problém zbavit se všech vzduchových bublin, které se v niti vytrvale držely. Odtud plyne
systematická chyba cca 20 %, tj. ssyst = 0,2 · 10−7 m2 a celková chyba scelk = 5 · 10−7 m2 .
Průměr nitě jsem zkusil též měřit přímo — namotáním více nití těsně vedle sebe na pravítko.
Dospěl jsem k hodnotě poloměru r = 0,2 mm, což odpovídá průřezu S = 1,3 · 10−7 m2 , přičemž
statistická chyba činí 5 % a systematická chyba není známa (nelze určit, do jaké míry jsou nitě
těsně u sebe).
-2-
Fyzikální korespondenční seminář UK MFF
http://fykos.mff.cuni.cz
11 . V . E
Závěr
Mez pevnosti určíme jako σ N = FK /S, po dosazení naměřených hodnot
σ N = (160 ± 80) MPa .
Diskuse
Přestože mnoho z vás neměřilo lépe, vycházely vám odchylky optimističtěji. Zpravidla jste
si dost věřili, co se týče systematické chyby. Největší chyba vznikla jistě měřením průřezu nitě.
Mohli bychom ji snížit např. tak, že vezmeme větší a užší odměrný válec a do něj nacpeme
několik kilogramů nitě. Pak ale budeme mít nejspíš problémy s bublinami vzduchu. Při měření
se potvrdily obavy z nehomogenity nitě, je tedy otázkou, do jaké míry má smysl počítat
statistické odchylky při měření kritické síly. Nit se trhá v různých místech při jiné zátěži,
navíc lze pozorovat, že při delším zatížení nit praskne, aniž by bylo dosaženo síly, při které
praskla, když jsme přilévali vodu rychleji. Pokus o vysvětlení: nit je složena z více vláken
zamotaných okolo sebe. Po zavěšení závaží se některá vlákna napínají, vnitřní struktura se
mění (pozorujeme např. rotaci nitě) a mění se i rozložení tíhové síly mezi jednotlivá vlákna.
Při těchto změnách se může stát, že nosných nití je málo. Měření vadí i jiné věci, např. vlhkost
apod., pokud však nit nepolijeme sami, nepovažuji tyto jevy za majorantní.
Filosofický závěr
Přesností naše měření neoplývá. Zjistili jsme však, že kolem chování nití lze nadělat spoustu
teorie, která rozhodně nebude jednoduchá. Nicméně teprve s dobrým fyzikálním modelem
budeme znát správnou interpretaci výsledků měření.
Matouš Jirák
Fyzikální korespondenční seminář je organizován studenty UK MFF. Je zastřešen Oddělením
pro vnější vztahy a propagaci UK MFF a podporován Ústavem teoretické fyziky
UK MFF, jeho zaměstnanci a Jednotou českých matematiků a fyziků.
-3-