Polynomiáln´ı redukce 3SAT na k

Polynomiálnı́ redukce 3SAT na k-CLIQUE.
Definice problému 3SAT.
Instance problému 3SAT je formule ϕ napsaná v konjunktivnı́ normálnı́
formě jako C1 ∧. . .∧Cm , kde každá klauzule Ci = vi1 ∨vi2 ∨vi3 obsahuje právě
tři literály. Formule ϕ patřı́ do jazyka 3SAT právě tehdy, je-li splnitelná
(tedy pokud existuje takové ohodnocenı́ proměnných x1 , . . . , xn , pro které
je logická hodnota ϕ rovna true.
Definice problému k-CLIQUE.
Instance problému k-CLIQUE je dvojice hG, ki, kde G = hV, Ei je neorientovaný graf (zadaný množinou vrcholů V a množinou hran E) a k je
kladné celé čı́slo. Dvojice hG, ki patřı́ do jazyka k-CLIQUE právě tehdy,
když v grafu existuje tzv. klika velikosti k (tj. úplný podgraf velikosti k,
tj. podmnožina W ⊆ V taková, že |W | = k a každý vrchol z W je spojen
hranou se všemi ostatnı́mi vrcholy z W ).
Stručné shrnutı́ důkazu.
• Dokazujeme, že problém k-CLIQUE je NP-úplný. Vı́me, že 3SAT je
NP-úplný problém.
• Nejdřı́ve je potřeba zdůvodnit, že k-CLIQUE patřı́ do třı́dy NP. k
vrcholů, které tvořı́ kliku lze nedeterministicky uhodnout a v polynomiálnı́m čase ověřit, že je to skutečně klika v grafu G (na toto ověřenı́
potřebujeme k 2 -krát ověřit přı́tomnost hrany v grafu (což je dokonce
konstantnı́ vzhledem k velikosti grafu, velikost konstanty záležı́ na k)).
• Najdeme polynomiálnı́ redukci problému 3SAT na problém k-CLIQUE
(tj. ke každé instanci 3SAT najdeme v polynomiálnı́m čase nějakou
instanci problému k-CLIQUE, která je v k-CLIQUE právě tehdy, když
původnı́ instance 3SAT byla v jazyku 3SAT).
• Pokud se NP-úplný problém 3SAT dá redukovat pomocı́ polynomiálnı́
redukce na k-CLIQUE (pı́šeme 3SAT ≤p k − CLIQU E), je problém
k-CLIQUE také NP-úplný.
Algoritmus redukce.
Redukce bude probı́hat tak, že ke každé formuli ϕ = C1 ∧ . . . ∧ Cm
(instanci 3SAT) zkonstruujeme následujı́cı́ graf:
• množina vrcholů V = {[i, j] | i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, 2, 3}} (jeden
vrchol za každý literál každé klauzule - celkem 3m vrcholů),
• množina hran E = {{[i, j], [p, q]} | ∀i 6= p, vij 6= ¬vpq } (spojı́me hranou vždycky takové dva vrcholy, které reprezentujı́ literály v různých
klauzulı́ch a nejde o literál a negaci toho stejného literálu (¬x je negace
x, ale také y je negace ¬y)). Počet hran, jejichž existenci otestujeme
(každou v konstantnı́m čase) je v O((3m)2 ).
Čas, který zabere konstrukce grafu je v O(9m2 + 3m), jde tedy o polynomiálnı́ redukci.
* Tvrdı́me, že ϕ je splnitelná formule právě tehdy, když v grafu G =
hV, Ei existuje klika velikosti m.
Důkaz ekvivalence *.
⇒
Předpokládejme, že ϕ je splnitelná formule. Pak existuje ohodnocenı́
proměnných x1 , . . . xn takové, aby ϕ platila, tj. aby v každé klauzuli Ci
byl alespoň jeden z literálů ohodnocen true. Vybereme-li z každé klauzule
jeden splňený literál, určitě se nám nemůže stát, že by byl vybrán literál i
jeho negace (při jakémkoli daném ohodnocenı́ platı́ bud’to literál, nebo jeho
negace, ale nikdy oba). Takže těchto m literálů označuje v grafu m vrcholů
kliky (jsou z různých klauzulı́ a nenı́ tam literál zároveň se svou negacı́).
⇐
Předpokládejme, že v G existuje klika velikosti m. Jistě je v nı́ právě
jeden vrchol označujı́cı́ literál z každé klauzule, nebot’ každý vrchol je s
každým spojen hranou (a vrcholy odpovı́dajı́cı́ literálům ze stejné klauzule
nejsou spolu nikdy spojeny hranou). Také se v nı́ nemůže vyskytovat žádná
dvojice literál-negace (opět by mezi nimi nebyla hrana).
Uvažujme ohodnocenı́ proměnných, které
1. přiřadı́ true každé proměnné, jejı́ž vrchol je ve W ,
2. přiřadı́ false každé proměnné, jejı́ž negace vrchol je ve W ,
3. ostatnı́ proměnné (které nejsou ve W , ani jejich negace nenı́ ve W )
můžeme ohodnotit libovolně, např. false.
Potom je v každé klauzuli alespoň jeden splňený literál, tedy celá formule
je při tomto ohodnocenı́ splněná. Tedy ϕ je splnitelná formule.
Přı́klad formule a přı́slušného grafu.
Necht’
ϕ = (x1 ∨ x2 ∨ ¬x1 ) ∧ (¬x3 ∨ x2 ∨ ¬x1 ) ∧ (x1 ∨ ¬x1 ∨ ¬x2 ).
Pak graf vypadá takto:
Formule je splnitelná – v grafu je klika velikosti 3 (např. W = {v11 , v22 , v31 })
a existuje např. ohodnocenı́
x1 , x2 7→ true, x3 7→ false.