Kruskaluv algoritmus - Seminární práce z predmetu Algoritmy

Kruskalův algoritmus
Seminárnı́ práce z předmětu Algoritmy
Michal Řepı́k
Pedagogická fakulta
Univerzita Karlova v Praze
ZS 2013/2014
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
1 / 10
Definice (Neorientovaný graf)
Neorientovaný graf je dvojice G = [V, E], kde V je množina uzlů
(vrcholů) a E ⊆ {[x, y]; x, y ∈ V, x 6= y} je množina hran.
Definice (Ohodnocený graf)
Ohodnocený neorientovaný graf (G, ψ) je neorientovaný graf G spolu
s reálnou funkcı́ ψ : E → h0, ∞). Je-li h ∈ E hrana, pak se čı́slo ψ(h)
nazývá ohodnocenı́ nebo váha hrany h.
Definice (Minimálnı́ kostra grafu)
Minimálnı́ kostra souvislého ohodnoceného grafu G je takový podgraf
na množině všech uzlů V , který je stromem, a součet ohodnocenı́
jednotlivých jeho hran je minimálnı́.
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
2 / 10
Algoritmus (Kruskalův)
Je dán souvislý neorientovaný ohodnocený graf (G, ψ) s m vrcholy a n
hranami. Úkolem je nalézt minimálnı́ kostru. Očı́slujme hrany
h1 , h2 , . . . , hn ∈ E tak, aby
ψ(h1 ) ≤ ψ(h2 ) ≤ . . . ≤ ψ(hn ).
Označme E0 , E1 , . . . ⊆ E množiny hran jenž konstruujeme následovně:
1
E0 = ∅
2
Ei = Ei−1 ∪ {hi }, jestliže graf (V, Ei−1 ∪ {hi }) neobsahuje kružnici.
Ei = Ei−1 jinak.
Algoritmus se zastavı́ v okamžiku, kdy |Ei | = m − 1, nebo i = n.
Necht’ Ek je množina hran na konci algoritmu. Potom [V, Ek ] je
minimálnı́ kostra grafu G.
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
3 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
4 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
5 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
6 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
7 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
8 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
9 / 10
DG
2
CF
3
GC
4
CE
4
AB
5
BF
5
FE
6
BC
7
AG
8
AC
9
GE
10
DE
15
B
5
5
7
9
A
F
3
6
4
8
2
G
C
10
4
E
15
D
Michal Řepı́k (BM)
Kruskalův algoritmus
Algoritmy
10 / 10