ve formátu PDF - Geometrie

Transkript

Západočeská univerzita v Plzni
Fakulta pedagogická
Katedra matematiky
Diplomová práce
Sférická geometrie
Martin Hložek
vedoucí diplomové práce RNDr. Světlana Tomiczková
Plzeň, 2. srpna 2005
Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma Sférická geometrie vypracoval samostatně pod
vedením RNDr. Světlany Tomiczkové a s použitím zdrojů uvedených v seznamu literatury.
V Plzni dne 2. srpna 2005
..........................................
Obsah
Úvod
4
1 Stručný historický vývoj
1.1 Počátky sférické geometrie . . . . . . . . . . .
1.2 Sférická geometrie v období antického Řecka .
1.3 Orient po úpadku řecké společnosti . . . . . .
1.4 Rozvoj matematiky v západní Evropě . . . .
1.5 Osmnácté a devatenácté století . . . . . . . .
1.6 Riemannova geometrie . . . . . . . . . . . . .
1.7 Geometrie ve 20. století a současnost . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
6
6
7
8
10
2 Základní pojmy
2.1 Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Přímky a úsečky na sféře, délka úsečky
2.2.1 Hlavní a vedlejší kružnice . . .
2.2.2 Délka s-úsečky . . . . . . . . .
2.3 Diametrálně protilehlé body . . . . . .
2.4 Sférický dvojúhelník . . . . . . . . . .
2.5 Sférický trojúhelník . . . . . . . . . . .
2.5.1 Polární trojúhelník . . . . . . .
2.6 Sférická kružnice . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
12
12
15
15
16
17
17
3 Sférická trigonometrie
3.1 Základní věty sférické trigonometrie
3.1.1 Sinová věta . . . . . . . . . .
3.1.2 Kosinová věta pro stranu . .
3.1.3 Kosinová věta pro úhel . . . .
3.2 Řešení sférického trojúhelníku . . . .
3.2.1 Úloha SSS . . . . . . . . . . .
3.2.2 Úloha UUU . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
20
21
21
22
22
1
.
.
.
.
.
.
.
OBSAH
3.3
2
3.2.3 Úloha SUS . . . . . . . . . . .
3.2.4 Úloha USU . . . . . . . . . . .
3.2.5 Pravoúhlý sférický trojúhelník
Znázornění řešených příkladů . . . . .
4 Zobrazení kulové plochy do roviny
4.1 Azimutální projekce . . . . . . . .
4.1.1 Gnómonická projekce . . .
4.1.2 Ortografická projekce . . .
4.1.3 Stereografická projekce . . .
4.2 Kuželové projekce . . . . . . . . .
4.3 Válcové projekce . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Modely sférické geometrie
5.1 The Geometer’s Sketchpad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Cinderella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Spherical Easel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Cabri Geometry II Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Model v ortografické projekci v Cabri II Plus . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Konstrukce s-přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Konstrukce s-kolmice k dané s-přímce . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Výpočet délky s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Sestrojení s-kružnice dané středem a bodem na obvodu . . .
5.5.5 Sestrojení s-kružnice dané středem a poloměrem . . . . . . .
5.5.6 Výpočet velikosti úhlu daného třemi body . . . . . . . . . . .
5.5.7 Konstrukce sférické osy úhlu daného třemi body . . . . . . .
5.5.8 Nalezení středu s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.9 Konstrukce s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.10 Nedostatky modelu v ortografické projekci . . . . . . . . . . .
5.6 Model ve stereografické projekci v Cabri II Plus . . . . . . . . . . . .
5.6.1 Diametrálně protilehlý bod . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2 Konstrukce e-přímky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.3 Konstrukce e-úsečky a e-trojúhelníku . . . . . . . . . . . . .
5.6.4 E -kolmice k dané e-přímce daným bodem na e-přímce . . . .
5.6.5 E -kolmice k dané e-přímce daným bodem mimo e-přímku . .
5.6.6 Velikost úhlu daného třemi body, součet úhlů v trojúhelníku
5.6.7 E -osa úhlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.8 E -vzdálenost dvou bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.9 Osa e-úsečky, střed e-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.10 E -kružnice daná středem a bodem na obvodu . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
24
24
27
.
.
.
.
.
.
28
29
29
31
31
35
36
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
38
39
40
41
42
43
45
46
46
47
49
50
51
52
53
54
55
56
57
57
58
59
59
60
61
62
63
OBSAH
6 Ověřování některých vět
6.1 Trojúhelníková nerovnost . . . . . . . . .
6.2 Kružnice opsaná sférickému trojúhelníku .
6.3 Kružnice vepsaná sférickému trojúhelníku
6.4 Průsečík výšek – ortocentrum . . . . . . .
6.5 Součet vnitřních úhlů ve sf. trojúhelníku .
6.6 Thaletova věta . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64
64
64
65
66
67
68
Závěr
69
Resumé
70
Úvod
Cílem práce je seznámit čtenáře, který má základní poznatky z elementární geometrie a rovinné trigonometrie, s problematikou geometrie na kulové ploše. Jednotlivá témata týkající
se geometrie na kulové ploše již byla zpracována, ale při shromažďování podkladů potřebných k zpracování diplomové práce byla velkým problémem útržkovitost získaných informací.
Mojí snahou proto bylo získané podklady sjednotit do přehledného celku. S využitím programu dynamické geometrie Cabri Geometry II Plus bylo možné práci doplnit množstvím
náčrtků, které by měly přispět k lepšímu pochopení teorie1 . Těžištěm práce pak bylo vytvoření rovinných modelů sférické geometrie (potažmo i geometrie eliptické). Na přiloženém
CD je k dispozici „zásuvný modulÿ pro Cabri Geometry II Plus, který rozšiřuje nabídku
základních nástrojů programu a umožňuje tak čtenáři získané teoretické poznatky uplatnit
při praktických konstrukcích.
Diplomová práce je rozdělena do pěti kapitol, které jsou dále děleny do menších významových celků. První kapitola přibližuje význam geometrie na kulové ploše v historii
matematiky. Je zde také nastíněna příbuznost geometrie na kulové ploše s neeukleidovskou
geometrií. V druhé kapitole jsem se snažil přehledně vyložit základy geometrie na kulové
ploše a připravit tak základ pro studium vlastností objektů na kulové ploše – především
sférického trojúhelníku. Řešení sférického trojúhelníku je popisováno v kapitole třetí, která
se zabývá sférickou trigonometrií. V této části je možné nalézt odvození sinové a kosinové
věty, s jejichž využitím jsou řešeny čtyři ze šesti možných zadání sférického trojúhelníku.
Následující kapitola je věnována zobrazení kulové plochy do roviny a úzce souvisí s kapitolou další. V té je přiblíženo vytvoření rovinného modelu sférické geometrie v programu
Cabri Geometry II Plus. Záměrně jsem vynechal popis programu, neboť ten je velmi dobře
zpracovaný například v české verzi manuálu k programu od Antonína Vrby.
V závěrečné kapitole jsou aplikovány věty rovinné geometrie na geometrii na kulové ploše.
S využitím modelu vytvořeného v předchozí části je možné demonstrovat některé základní
vlastnosti sférické geometrie a provést základní porovnání geometrie Eukleidovské a sférické.
1 Symbol
označuje obrázky, které jsou k dispozici na přiloženém CD ve formě dynamické konstrukce. Konstrukce byly vytvořeny v programu Cabri II Plus, jehož demoverze je nabízena ke stažení na
http://www.cabri.com.
4
Kapitola 1
Stručný historický vývoj
sférické geometrie
1.1
Počátky sférické geometrie
Sférická geometrie se utvářela, stejně jako celá matematika, již od dávnověku u orientálních
národů, a to na základě praktických potřeb a zkušeností. U prvních primitivních kmenů se
setkáváme se studiem astronomie, která je díky tvaru Země a Měsíce se sférickou geometrií
úzce spjata. V počátcích astronomie se jednalo hlavně o dělení času, s kterým jsou spojeny
určité poznatky o pohybu Slunce, Měsíce a hvězd.
1.2
Sférická geometrie v období antického Řecka
Koncem 2. tisíciletí před n. l. se v oblasti kolem Středozemního moře odehrály výrazné
ekonomické a politické změny. V závěru tohoto revolučního období (přibližně kolem roku 900
př. n. l.) se značně zmenšila moc Egypťanů a Babyloňanů a na scénu vstoupily nové národy.
Nejvýznamnějšími z nich byli Židé, Asyřané a hlavně Řekové. Právě u starověkých Řeků
se poprvé setkáváme s geometrií jako s abstraktní vědou. Poučky byly logicky odvozovány
a ne pouze konstatovány na základě pozorování a zkušeností, jak tomu bylo u Egypťanů a
Babyloňanů.
Nejstarší známý příspěvek k teorii astronomie z oblasti Řecka pochází od matematika
Eudoxa z Kindu, který se pokusil vysvětlit pohyb planet. V jeho teorii se projevuje snaha po
objasnění nebeských jevů, která je typicky řecká a nahrazuje dosavadní pouhé popisné časové
seřazení údajů. Na Eudoxa navázal Aristarchos ze Samu, jemuž je připisována hypotéza, že
nikoli Země, ale Slunce je středem pohybu planet. Mladší řecký astronom Hipparchos se však
postavil proti této myšlence. Hipparchova autorita (byl pokládán za největšího starověkého
5
KAPITOLA 1. STRUČNÝ HISTORICKÝ VÝVOJ
6
astronoma) způsobila, že se na heliocentrickou hypotézu zapomnělo. O Hipparchově díle se
zachovalo málo přímých zpráv a dovídáme se o něm zprostředkovaně až od Ptolemaia, který
o jeho objevech píše ve Velké sbírce, známější pod arabským jménem Almagest. Ve sbírce
připomíná i skutečnost, že již v 8. století př. n. l. Babyloňané vyvinuli souřadný systém pro
nebeskou sféru1 . Tyto „sférické souřadniceÿ byly užívány přibližně 2000 let před Kartézskými
souřadnicemi. V jiné Ptolemaiově práci Planisphaerium je rozebírána stereografická projekce
a v díle Geographia je určována poloha měst na Zemi s pomocí délky a šířky zemské sféry.
O něco starší než Ptolemaios byl Menealos, jehož práce Sférika obsahuje geometrii koule
včetně diskuse sférického trojúhelníku. Obsahuje „Menealovu větuÿ pro trojúhelníky a její
rozšíření na kulovou plochu.
Již od šestého století před n. l. vznikalo souborné dílo řecké matematiky – Základy.
Konečnou podobu dal dílu Euklides v alexandrijském Múseiu kolem roku 300 před n. l.
Soubor tvoří 13 knih, jež shrnují planimetrii, geometrickou algebru, aritmetiku a stereometrii.
Euklidovy Základy jsou prvním pokusem o axiomatický výklad matematiky. Euklides celou
geometrii odvozuje z 9 axiómů, 5 postulátů a 23 definic. Pátý Euklidův postulát měl později
zásadní vliv na vznik neeuklidovských geometrií, k nimž geometrie na kulové ploše jistým
způsobem také patří.
1.3
Orient po úpadku řecké společnosti
S úpadkem řecké společnosti a rozšířením islámu se přesouvají střediska matematického
bádání do Indie. Prvním dochovaným indickým vědeckým dílem jsou Siddhántás. Dílo se
zabývá hlavně astronomií a je zřejmě ovlivněno řeckou matematikou. Z tohoto textu můžeme
například zjistit, že již v 5. století bylo číslo π aproximováno hodnotou 3, 1416.
Dalším centrem studia matematiky byla Mezopotámie. Arabští učenci vycházeli z opisů
prací Apollonia, Archiméda, Euklida a Ptolemaia. Arabská astronomie se obzvláště zajímala
o trigonometrii. Značnou část trigonometrie nalezneme v díle al-Battáního, jednoho z největších arabských astronomů, který již znal kosinovou větu pro sférický trojúhelník. Pozdější
arabský astronom Abu-l-Vafá odvodil sinovou větu sférické trigonometrie a vypočítal tabulky
sinů s intervalem 150 , jejichž hodnoty mají 8 desetinných míst správně.
1.4
Rozvoj matematiky v západní Evropě
Na počátku druhého tisíciletí se západní učenci v oblasti Španělska a Sicílie seznamují s arabskou vědou. Díky Arabům tak zprostředkovaně poznávají i práce řeckých klasiků. Vývoj v západní Evropě však již postoupil natolik, že nyní bylo možné správně využít tyto znalosti. Ve
Španělsku na přelomu 1. a 2. tisíciletí vzniká v Cordobě první středisko astronomů.
1 Myšlená
sféra nekonečného poloměru, v jejímž středu je Země. Na sféru promítáme polohu nebeských
těles, takže to vypadá, jako by všechna tělesa byla ve stejné vzdálenosti od Země.
7
Po pádu Cařihradu v roce 1453 zanikla byzantská říše a mnoho řeckých učenců se uchýlilo
do západních měst. Středisky vědeckého života se stávají italská města a ve střední Evropě
Norimberk, Vídeň a Praha. Na univerzitách se studují původní řecké texty, přičemž profesoři
do studia zapojují i vzdělané laiky. Typickým příkladem byla osobnost Johannese Müllera,
který byl vůdčím matematikem 15. století. Jeho hlavní dílo De triangulis omnimodus libri
quinque je systematickým úvodem do trigonometrie. Obsahuje i sinovou větu pro sférické
trojúhelníky. Tehdy ještě ale neexistovala matematická symbolika, všechny věty jsou proto
vyjádřeny slovně.
V 16. století došlo k zjednodušení matematických výpočtů díky objevu logaritmů. Objevitelem byl Skot John Napier (resp. Neper), který mimo jiné pracoval i v oboru sférické
trigonometrie. Shrnul vzorce pro řešení pravoúhlého sférického trojúhelníku v důmyslné pravidlo a objevil dvě z tzv. analogií o sférickém trojúhelníku. Další dvě později objevil Henry
Briggs, který se podílel na vzniku dekadických logaritmů.
1.5
Osmnácté a devatenácté století
Nejvýkonnějším matematikem 18. století byl bezesporu Leonhard Euler. Euler přispěl významnými objevy ke všem odvětvím matematiky, která v jeho době existovala. Sférické
geometrii (a hlavně trigonometrii) dal dnešní jednoduchý a přehledný tvar – například systematicky značil úhly a strany sférického trojúhelníku. Trigonometrické hodnoty chápal jako
poměry a dodnes používaná forma zápisu pochází z díla Introductio in analysin infinitorum.
S osmnáctým stoletím je spojen rozvoj infinitesimálního počtu, geometrie byla zkoumána
především analyticky.
Na přelomu osmnáctého a devatenáctého století se začíná rodit neeuklidovská geometrie.
Prvním, kdo znal tuto geometrii, ale nikdy k této otázce nic neuveřejnil, byl věhlasný německý matematik Karl Friedrich Gauss. Jen v několika dopisech přátelům hodnotil pokusy
o důkaz Euklidova postulátu, sám se však nechtěl pouštět do otevřené diskuse.
K vyřešení problematiky důkazu 5. postulátu přispěli nejvíce ruský matematik N. I.
Lobačevskij a Maďar Janoš Bolyai. Prvním, kdo publikoval své myšlenky byl Lobačevskij.
Jeho práce O načalech geometrii vyšla roku 1829 a byla psána rusky. Seznámilo se s ní však
příliš málo lidí. Ani pozdější německé vydání pod názvem Geometrische Untersuchungen zur
Theorie der Parallellinien nezískalo dostatečnou pozornost, přestože o knihu projevil zájem
i Gauss. Bolyai uveřejnil své úvahy roku 1832 jako dodatek knihy svého otce pod titulem
Appendix scientiam spatii absolute veram exhibens. Neeuklidovská geometrie přesto zůstala
ještě několik desetiletí nesrozumitelnou vědeckou tématikou.
Lobačevskij a Bolyai objevili jen jednu z neeuklidovských geometrií – tzv. hyperbolickou
geometrii. V této geometrii je např. součet vnitřních úhlů v trojúhelníku menší než úhel
přímý. Logicky by při řešení problému pátého Euklidova postulátu měla zbýt ještě možnost prozkoumat geometrie, kde součet vnitřních úhlů v trojúhelníku je větší než přímý
8
úhel. Skutečně i taková geometrie existuje. Lze zde například sestrojit trojúhelník, jehož
všechny vnitřní úhly jsou pravé, neexistují tu rovnoběžky, přímky mají v tomto prostoru
konečnou délku. O podrobné rozpracování této geometrie, již označujeme jako eliptickou, a
o prozkoumání vzájemných vztahů mezi jednotlivými geometriemi se zasloužil matematik
B. Riemann.
1.6
Riemannova geometrie
Protože geometrie na kulové ploše je jedním ze speciálních případů Riemannovy geometrie,
zmíníme zde blíže Riemannův přístup. V roce 1854 vystoupil Riemann s habilitační přednáškou O hypotézách tvořících základy geometrie (Über die Hypothesen, welche der Geometrie
zu Grunde liegen), kde zavedl pojem n-rozměrná varieta (n-rozměrný prostor), který má dvě
základní charakteristiky:
1. počet veličin, potřebných k určení polohy bodu na varietě (v prostoru);
2. specifickou metriku, která je dána jistou kvadratickou formou.
V tomto tzv. Riemannovu prostoru lze definovat křivost prostoru v bodě.2 Křivost plochy lze určit v každém bodě plochy, podobně jako měříme křivost rovinné čáry. Křivost
rovinné křivky v daném bodě udává v geometrii převrácená hodnota poloměru křivosti R,
tj. poloměru kružnice (tzv. oskulační), jež má mimo daný bod ještě dva nekonečně blízké
body s křivkou společné. Je-li hodnota 1/R větší (tj. R je menší), říkáme, že křivka má větší
křivost; je-li 1/R velmi malé (tj. R velmi velké), je čára málo křivá. Přímka mající křivost
rovnu nule má hodnotu R nekonečně velkou, protože by bylo třeba nekonečně velké kružnice,
aby měla 3 zmiňované body společné s přímkou.
U plochy rozeznáváme v každém bodě dva poloměry křivosti – jsou to poloměry dvou
na sebe kolmých tzv. hlavních normálních řezů (řez plochy je křivkou). Gauss ve svém díle
Disquisitiones generales circa superficies curva zavádí pojem tzv. míry křivosti K. Ta je dána
převrácenou hodnotou součinu obou poloměrů křivosti. Například kulová plocha (poloměry
křivosti jsou tu poloměry dvou kolmo se protínajících hlavních kružnic, tedy poloměry koule)
je plochou o kladné křivosti. Míra křivosti roviny je rovna 0, neboť řezem roviny je vždy
přímka, mající R rovno nekonečnu. Pro míru křivosti roviny dostáváme K = lim R1 · R1 = 0.
R→∞
Míra křivosti K se může měnit v každém bodě plochy – pak říkáme, že plocha má proměnnou
křivost. Jestliže je hodnota K v každém bodě plochy stejná, tj. součin poloměrů křivosti je
stejný (poloměry samy se však mohou měnit), říkáme, že plocha má konstantní křivost.
Plochy o konstantní křivosti (např. koule a rovina) mají jisté důležité vlastnosti. Jednou
z nich je možnost posouvat objekt po této ploše, aniž se objekt „roztrhneÿ. Stejně důležité
místo mezi varietami zaujímají tzv. prostory s konstantní křivostí. V množině variet, pro
2 Pojem
křivosti není pro zjednodušení výkladu popisován naprosto exaktně.
9
něž je počet veličin potřebných k učení polohy bodu roven dvěma (popřípadě třem), můžeme nalézt jak euklidovskou rovinu, tak hyperbolickou rovinu. Navíc pomocí těchto úvah je
možné dospět i k novému druhu roviny, jež se nazývá eliptická. V eliptické rovině se uplatňuje nová geometrie, nazývána Riemannova. Jako model eliptické roviny se uplatňuje právě
kulová plocha se ztotožněnými protilehlými body. Riemannova geometrie má s euklidovskou
geometrií ještě méně společných vět než geometrie Lobačevského. „Neobětujemeÿ tu pouze
pátý postulát, tak jak to udělal Lobačevskij, ale musíme ještě uvažovat první a druhý postulát v pozměněné formě. Postuláty pro Riemannovu geometrii pak budou mít následující
znění:
1. Dvěma body lze vždy vést alespoň jednu přímku.
Např. póly na kouli neurčují jednu, ale nekonečně mnoho přímek – poledníků.
2. Úsečku lze neomezeně prodloužit.
Přímka je na kulové ploše tvořena hlavní kružnicí – má tedy konečnou délku, ovšem při prodlužování úsečky se neustále pohybujeme po téže kružnici. Můžeme tak úsečku po téže kružnici
prodloužit nekonečně mnohokrát.
3. Z libovolného středu lze libovolným poloměrem sestrojit kružnici.
4. Všechny pravé úhly jsou shodné.
5. Každé dvě přímky ležící v téže rovině se protínají právě v jednom bodě.
Dvě hlavní kružnice se na kulové ploše sice protnou ve dvou protilehlých bodech, ty však ztotožňujeme v jeden.
Odlišnosti v prvním a druhém postulátu byly také důvodem, proč Lobačevskij a Bolyai
objevili „ jenÿ hyperbolickou, a ne i eliptickou geometrii. I při hledání modelu eliptické geometrie (stejně jako u geometrie hyperbolické) došlo k mnoha omylům. Například italský
matematik Beltrami interpretoval eliptickou rovinu jako kulovou plochu, avšak bez ztotožněných protilehlých bodů, a z tohoto modelu vyvodil řadu nesprávných tvrzení. Teprve Klein,
který rozdělil geometrie na základě studia grup, ukázal, že tato interpretace je nesprávná.
Felix Klein se roku 1872 stal profesorem v německém Erlangenu. Ve své nástupní přednášce vyložil význam pojmu grupy pro klasifikaci různých oblastí matematiky. Jeho přednáška se stala známou pod jménem Erlangenský program. Geometrii chápal Klein jako
zkoumání invariantů vůči určité transformační grupě. Za charakteristické vlastnosti každé
geometrie (eukleidovská, hyperbolická, projektivní apod.) vzal Klein ty vlastnosti, které jsou
invariantní vůči určité grupě geometrických zobrazení. Pomocí grupové terminologie provedl
klasifikaci jednotlivých geometrií a ukázal jejich vzájemné vztahy a souvislosti. Obdržel tak
vedle geometrie Euklidovy a Lobačevského také geometrii Riemannovu. Podle Kleina se pro
Lobačevského geometrii užívá také název hyperbolická geometrie, pro Riemannovu název
eliptická geometrie.
1.7
10
Geometrie ve 20. století a současnost
Na přelomu 19. a 20. století došlo na základě nových poznatků ke zpřesňování geometrie.
Roku 1899 vyšla kniha německého matematika Davida Hilberta Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie). Přestože dílo nemá přímou souvislost se sférickou geometrií, lze
myšlenky aplikovat jak na rovinnou, tak na prostorovou geometrii.
Ve 20. století dochází k další specializaci jednotlivých odvětví matematiky. Pro rozsáhlost vědecké matematiky ji není ani dále možné studovat v celkovém objemu. Lze říci, že
v novodobých dějinách nebylo již ve sférické geometrii objeveno nic převratného, přesto význam geometrie na kulové ploše nezmizel. V dnešní době její uplatnění nacházíme například
v letecké či lodní navigaci, využívá se i v astronomii, robotice a podobně. Není již tedy tolik
zkoumána po vědecké stránce, ale uplatňuje se spíše v praxi.
Kapitola 2
Základní pojmy sférické
geometrie
V této kapitole zavedeme základní pojmy, jejichž znalost a pochopení je nutným předpokladem pro další studium objektů na kulové ploše.
2.1
Kulová plocha
Kulovou plochou nazýváme množinu všech bodů v prostoru E3 , jejíž každý bod X má
od pevně zvoleného bodu O, který nazýváme střed kulové plochy, konstantní vzdálenost
|OX| = r > 0 (tzv. poloměr). Pro zjednodušení úvah budeme v mnoha případech uvažovat
|OX| = r = 1. Kulovou plochu o poloměru r = 1 nazýváme jednotková kulová plocha.
Obrázek 2.1: Kulová plocha
11
KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ POJMY
2.2
12
Přímky a úsečky na sféře, délka úsečky
V rovinné geometrii rozumíme úsečkou nejkratší spojnici dvou bodů. Přímku chápeme jako
úsečku nekonečně prodlouženou na obě strany. Stejně zavádíme pojem úsečky a přímky i na
kulové ploše (s-přímka, s-úsečka).
2.2.1
Hlavní a vedlejší kružnice
Nechť jsou dány dva libovolné body A, B na kulové ploše a bod O, střed kulové plochy.
Rovina proložená body A, B a středem O protíná kulovou plochu v kružnici k, která se
nazývá hlavní kružnice.
Všechny ostatní kružnice na kulové ploše vzniklé řezem roviny, která neprochází středem kulové plochy, nazýváme vedlejší kružnice. Pro jednotkovou kulovou plochu je poloměr
libovolné hlavní kružnice roven jedné, vedlejší kružnice mají poloměr r menší než 1.
Obrázek 2.2: Hlavní kružnice
Později dokážeme, že část hlavní kružnice (kruhový oblouk), procházející body A, B, je
jejich nejkratší spojnicí, a tudíž ji chápeme jako úsečku na kulové ploše. K provedení důkazu
však nejprve potřebujeme zavést pojem délky úsečky na kulové ploše. Za přímku na kulové
ploše považujeme celou hlavní kružnici (ta má sice na rozdíl od rovinné přímky konečnou
délku, ale nemá koncové body – viz poznámka u druhého axiomu na straně 9).
2.2.2
Délka s-úsečky
Pro měření délek na sféře využijeme obloukové míry. Na tomto
místě proto připomeneme jak pojem obloukové míry, tak definici
radiánu.
Velikost úhlu α vyjádříme v obloukové míře jako délku oblouku l,
který je vyťat rameny úhlu α na jednotkové kružnici se středem ve
vrcholu úhlu. Radiánem nazýváme úhel ρ, jehož oblouková míra je
.
rovna 1; jeho velikost ve stupňové míře je ρ◦ = 180◦ /π = 57◦ 170 .
13
Vzdálenost d(A, B) mezi dvěma body A, B na sféře S definujeme jako délku nejkratšího
kruhového oblouku, který tyto body spojuje. Zobrazíme-li si kružnici, kterou nám vytvoří
libovolná rovina procházející středem jednotkové kulové plochy, vidíme, že délka oblouku
v obloukové míře odpovídá velikosti příslušného středového úhlu.
Obrázek 2.3: Délka s-úsečky
Nyní můžeme přistoupit k důkazu, že nejkratší spojnicí bodů A, B na kulové ploše je vždy
část hlavní kružnice, která těmito body prochází.
Obrázek 2.4: Hlavní a vedlejší kružnice
Na obrázku 2.4 jsou naznačeny roviny Λ a Π. Rovina Λ je určena body A, B, O, rovina
Π prochází body A, B, ale bod O jí nenáleží. Průnikem kulové plochy a roviny Λ je hlavní
kružnice k(O, 1), řez roviny Π kulovou plochou vytváří vedlejší kružnici l(E, r < 1). Body
A, B na obou kružnicích vytínají tětivu stejné délky. Naším cílem je porovnat délky oblouků, určených tětivou stejné délky, na kružnicích různého poloměru. Pro větší názornost
si přeneseme obě kružnice z obrázku 2.4 do roviny.
Jelikož za délku s-úsečky vždy považujeme nejkratší vzdálenost bodů A, B(A 6= B), je
zřejmé, že hodnoty γ, θ budou náležet intervalu (0; πi. Polovina délky oblouku pak bude
14
Obrázek 2.5: Délka oblouku AB
náležet intervalu (0; π/2i, kde je funkce sinus monotónní, a proto je zachován vztah mezi
proměnnými γ, θ při provádění následujících úprav. Chceme ukázat, že γ < r · θ.
γ <r·θ
⇔
⇔
⇔
⇔
γ <r·θ
⇔
γ <r·θ
⇔
γ
θ
<r
2
2
γ θ
sin
< sin r
2
2
θ
x
< sin r
2
2
x
θ
< sin r
r
2r
2
θ
θ
r sin
< sin r
2
2
θ
sin r 2
θ
0<
− sin
r
2
|
{z
}
sin(r·α)
−sin α=f (α)
r
Pro zjednodušení dalších výpočtů provedeme substituci θ2 = α (viz svorka).
Označme výraz na pravé straně nerovnosti jako funkci f (α), kde α ∈ (0, π/2i, r ∈ (0, 1).
Chceme ověřit, zda v daném intervalu funkce skutečně nabývá hodnot větších než 0. První
derivace funkce má tvar
πE
f 0 (α) = cos (r · α) − cos α,
α ∈ 0,
2
π
r · α ∈ (0, α) ⊂ 0,
.
2
Poloměr vedlejší kružnice r náleží intervalu (0, 1), tudíž platí nerovnosti 0 < r · α < α ≤ π/2.
Funkce kosinus je na intervalu (0, π/2i klesající, a proto na základě předchozí věty můžeme
napsat
cos (r · α) > cos α.
Hodnota první derivace je v intervalu (0, π/2) vždy kladná, z čehož plyne, že funkce f (α) je
v příslušném intervalu rostoucí. Nulové hodnoty může funkce f (α) nabýt pouze při α = 0.
15
My však požadujeme, aby nerovnost platila na intervalu (0, π/2i, který je zleva otevřený.
Pro všechny hodnoty α > 0 ∧ α ≤ π/2 tak již platí f (α) > 0.
Dokázali jsme, že γ < r · θ, což znamená, že oblouk AB hlavní kružnice je vždy kratší než
oblouk AB libovolné vedlejší kružnice. Jinak řečeno, nejkratší spojnicí dvou bodů na kulové
ploše je část hlavní kružnice, procházející těmito dvěma body. Část hlavní kružnice spojující
dva body na kulové ploše má proto na kulové ploše stejnou úlohu jako úsečka v rovině.
2.3
Diametrálně protilehlé body
Na kulové ploše je přímka určena dvěma body, stejně jako v rovině. Zvolíme-li však na kulové
ploše tyto dva body tak, že jsou protilehlé, můžeme jimi vést nekonečně mnoho přímek,
přičemž všechny oblouky spojující protilehlé body budou stejně dlouhé. Na zeměkouli je
možné si tyto přímky představit jako poledníky, protilehlými body jsou severní a jižní pól.
Ztotožníme-li protilehlé body, dostaneme stejnou situaci jako v rovině – jedním bodem může
vést nekonečně mnoho přímek, zatímco dva body již určují přímku jednoznačně.
2.4
Sférický dvojúhelník
Sférický dvojúhelník souvisí s pojmem klínu, a proto si nejprve připomeneme definici klínu.
Mějme pA, pB dvě různé poloroviny (se společnou hraniční přímkou p), které nejsou
navzájem opačné. Klínem ApB (nebo BpA) nazýváme průnik poloprostorů pAB, pBA.1
Poloroviny pA, pB jsou stěny klínu, přímka p se nazývá hrana klínu. Ramena úhlu klínu
tvoří polopřímky se společným počátkem O na hraně klínu, které leží ve stěnách klínu a jsou
kolmé na jeho hranu. Velikost úhlu ω zjevně nezáleží na poloze bodu O na hraně p.
Obrázek 2.6: Klín
1 Poloprostor pAB je určen hraniční rovinou pA a bodem B ležícím mimo ni. Poloprostor pBA je určen
hraniční rovinou pB a bodem A ležícím mimo ni.
16
S využitím pojmu klín definujeme sférický dvojúhelník :
Průnik klínu a kulové plochy, jejíž střed O leží na hraně klínu, se nazývá sférický dvojúhelník.
Má dva vrcholy P , P 0 , v nichž hrana klínu protíná kulovou plochu, a dvě strany, což jsou
hlavní polokružnice, ve kterých kulová plocha protíná stěny klínu. Sférický dvojúhelník má
dva úhly ω, ω 0 . Úhel ω (ω 0 ) je úhel sevřený polopřímkami s počátkem ve vrcholu P (P 0 )
dvojúhelníku, které leží ve stěnách příslušného klínu a jsou kolmé na jeho hranu P P 0 . Oba
úhly ω, ω 0 dvojúhelníku jsou úhlem stejného klínu, a proto jsou navzájem shodné.
Obrázek 2.7: Sférický dvojúhelník
2.5
Sférický trojúhelník
Podobně jako sférický dvojúhelník souvisí s pojmem klínu, opírá se sférický trojúhelník
o teorii trojhranu.
Mějme dán 4A0 B 0 C 0 v rovině ρ a bod O, který neleží v rovině ρ. Množinu všech bodů
všech polopřímek s počátkem O, které protínají rovinu ρ v bodech trojúhelníku A0 B 0 C 0 ,
nazýváme trojhran. Bod O je vrchol, polopřímky OA0 , OB 0 , OC 0 jsou hrany trojhranu.
Úhly B 0 OC 0 , C 0 OA0 , A0 OB 0 jsou stěny trojhranu. Velikosti těchto úhlů se nazývají strany
trojhranu. Úhel klínu β = A0 (OB 0 )C 02 je úhel trojhranu při hraně OB 0 . Obdobně se definují
úhly trojhranu při hranách OA0 , OC 0 .
Obrázek 2.8: Trojhran s vyznačeným úhlem při hraně OB 0
2 OB 0
je hrana klínu, body A0 , C 0 určují stěny klínu.
17
Průnik trojhranu O(A0 B 0 C 0 ) a kulové plochy, jejíž střed je ve vrcholu O trojhranu, se
nazývá sférický trojúhelník. Má tři vrcholy A, B, C, v nichž protínají kulovou plochu po_
_
_
lopřímky OA0 , OB 0 , OC 0 . Jeho strany tvoří oblouky BC= a, CA= b, AB= c, ve kterých
kulová plocha protíná stěny trojhranu.
Obrázek 2.9: Sférický trojúhelník
_
Zároveň rozumíme stranami sférického trojúhelníku i délky příslušných oblouků BC,
_
_
AC, AB hlavních kružnic. Délky stran (jsou určeny úhly ∠BOC, ∠AOC, ∠AOB) měříme
v obloukové míře nebo ve stupních. Sférický trojúhelník ABC má tři úhly α, β, γ, což
jsou úhly příslušného trojhranu. Takto definovaný trojúhelník se nazývá konvexní nebo také
Eulerův. Leží celý v jedné z obou polovin kulové plochy, na které ji dělí rovina obsahující
kteroukoli jeho stranu. Každý z jeho základních prvků, tj. stran a úhlů, je menší než π.
2.5.1
Polární trojúhelník
Krajní body průměru kulové plochy, kolmého na rovinu dané hlavní kružnice, se nazývají
póly této kružnice. Mějme na kulové ploše sférický trojúhelník ABC. Nechť A0 je pól hlavní
kružnice určené body B, C, ležící na stejné polokouli jako bod A. Analogicky získáme i body
B0 , C0 . Říkáme, že trojúhelník A0 B0 C0 je polární k danému trojúhelníku ABC.
Dále platí následující tvrzení: Jestliže trojúhelník A0 B0 C0 je polární k trojúhelníku ABC,
pak také obráceně trojúhelník ABC je polární k trojúhelníku A0 B0 C0 . Strany polárního
trojúhelníku jsou a = 180◦ − α, b = 180◦ − β, c = 180◦ − γ; jeho úhly jsou α = 180◦ − a, β =
180◦ − b, γ = 180◦ − c. Důkaz lze nalézt např. v [12, str. 17].
2.6
Sférická kružnice
Sférická kružnice (kružnice na kulové ploše) je množinou všech bodů kulové plochy, které
mají od daného bodu C na kulové ploše sférickou vzdálenost r,
M = {X ∈ S; d(XC) = r},
kde d(XC) je sférická vzdálenost bodů X, C.
Bod C je sférický střed kružnice, vzdálenost r nazýváme (sférický) poloměr kružnice.
18
Obrázek 2.10: Polární trojúhelník
Všechny body sférické kružnice se středem v bodě C mají shodnou vzdálenost také od bodu
C 0 , který je diametrálně protilehlý k bodu C. Jestliže má s-kružnice se středem v bodě C
poloměr r, pak vzhledem k bodu C 0 má poloměr r0 = 180◦ − r [ ◦ ].
Obrázek 2.11: Sférická kružnice
Kapitola 3
Sférická trigonometrie
Sférická trigonometrie poskytuje matematický základ pro řešení problémů, které se vyskytují v geodézii, kartografii, astronomii a podobně, kde se řeší úlohy na kulové ploše nebo
na plochách, které lze sférou aproximovat. V této kapitole nejprve odvodíme tři vztahy,
které jsou základními větami sférické trigonometrie. Dále uvedeme možná zadání sférických
trojúhelníků včetně ukázky výpočtu zbývajících prvků trojúhelníku.
3.1
3.1.1
Základní věty sférické trigonometrie
Sinová věta
Z libovolného bodu B na hraně trojhranu O(ABC) s vrcholem O spustíme kolmice na obě
zbývající hrany (BA⊥OA, BC⊥OC) a na protější stěnu (BS⊥OAC). Potom také platí, že
SA⊥OA, SC⊥OC. Úhly BAC ≡ α, BCA ≡ γ jsou úhly trojhranu a ∠BOC = a, ∠COA =
b, ∠AOB = c jsou úhly odpovídající velikostem stran sférického trojúhelníku příslušného
trojhranu O(ABC).
Obrázek 3.1: Sinová věta – odvození
19
KAPITOLA 3. SFÉRICKÁ TRIGONOMETRIE
20
Z trojúhelníků na obrázku 3.1 dostáváme s využitím rovinné trigonometrie rovnosti:
BS = BA · sin α ∧ BA = BO · sin c ⇒ BS = BO · sin c · sin α
BS = BC · sin γ ∧ BC = BO · sin a ⇒ BS = BO · sin a · sin γ
porovnáním a po úpravě
sin c · sin α
sin a
sin α
=
=
sin a · sin γ
sin c
sin γ
cyklickou záměnou obdržíme zbývající vztahy
sin b
sin c
=
,
sin β
sin γ
sin a
sin b
=
.
sin α
sin β
Odvozený vztah se nazývá sinová věta:
Jsou-li a, b, c strany a α, β, γ úhly sférického trojúhelníku, pak platí
sin a : sin b = sin α : sin β
3.1.2
(a cyklické rovnosti).
Kosinová věta pro stranu
Při odvození sférické kosinové věty provedeme podobnou konstrukci jako u sinové věty. Nyní
libovolným bodem B na hraně trojhranu s vrcholem O proložíme rovinu kolmou k hraně OB.
Rovina protne zbývající hrany trojhranu v bodech A, C. Z bodu B dále spustíme kolmici na
hranu AC.
Obrázek 3.2: Kosinová věta – odvození
Podle kosinové věty rovinné trigonometrie platí pro 4ABC resp. 4ACO:
AC 2
= AB 2 + BC 2 − 2AB · BC · cos β
AC 2
= OA2 + OC 2 − 2OA · OC · cos b
Pravé strany rovnic dáme do rovnosti a využijeme Pythagorovu větu pro 4OAB resp.
4OBC:
OB 2
2OA · OC · cos b
OB 2
z
}|
{ z
}|
{
= OA2 − AB 2 + OC 2 − BC 2 +2AB · BC · cos β
2OA · OC · cos b
=
21
2OB 2 + 2AB · BC · cos β
Rovnici zkrátíme dvěma a obě strany vydělíme délkami stran OA a OC. Za poměry stran
můžeme následně dosadit odpovídající goniometrické funkce rovinné trigonometrie:
cos b
=
cos b
=
OB OB
AB BC
·
+
·
· cos β
OC OC
OA OC
cos a · cos c + sin c · sin a · cos β
Cyklickou záměnou obdržíme vztahy pro zbývající strany a úhly. Tento vztah nazýváme
kosinová věta pro stranu ve sférickém trojúhelníku:
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α
3.1.3
(a cyklické rovnosti).
Kosinová věta pro úhel
Při odvozování kosinové věty pro úhel využijeme vlastností polárního trojúhelníku. Nechť
A0 B0 C0 je polární sférický trojúhelník k trojúhelníku ABC. Pro 4A0 B0 C0 podle kosinové
věty pro stranu platí:
cos a0 = cos b0 cos c0 + sin b0 sin c0 cos α0
Podle vztahu pro polární trojúhelník (strana 17) lze rovnost přepsat na tvar
cos (π − α) = cos (π − β) cos (π − γ) + sin (π − β) sin (π − γ) cos (π − a)
tedy
− cos α = cos β cos γ − sin β sin γ cos a
Vynásobíme-li rovnici číslem −1, dostaneme výslednou rovnost, která se nazývá kosinová
věta pro úhel sférického trojúhelníku:
cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a (a cyklické rovnosti).
3.2
Řešení sférického trojúhelníku
Při řešení sférického trojúhelníku nás nebude zajímat jeho umístění na sféře, ale budeme
se snažit určit jeho prvky a, b, c, α, β, γ. Řešení sférického trojúhelníku, jak uvidíme dále,
je mnohem pracnější než řešení rovinného trojúhelníku, ačkoli u obou je třeba znát tři výchozí prvky. Z důvodu omezeného rozsahu práce je zde předloženo řešení pouze čtyř zadání
trojúhelníku. Řešení zbývajících dvou úloh je možné nalézt např. v [4, str. 30] nebo [12, str. 84].
Při řešení úloh předpokládáme, že pro prvky a, b, c, α, β, γ sférického trojúhelníku platí nutné
podmínky řešitelnosti, tj.
a, b, c ∈ (0, π),
α, β, γ ∈ (0, π).
3.2.1
22
Úloha SSS
Sférický trojúhelník je jednoznačně určen třemi stranami, platí-li1
• 0◦ < a + b + c < 360◦
• a < b + c, b < c + a, c < a + b
Úhly sférického trojúhelníku určíme jednoduchou úpravou z kosinové věty
cos α =
cos a − cos b cos c
sin b sin c
(a cyklické nerovnosti).
Příklad:
Jsou dány úhly a = 74◦ 220 , b = 51◦ 30 , c = 80◦ 150 ; existuje-li sf. trojúhelník se stranami a, b, c,
určete jeho úhly.
Řešení: Dané úhly a, b, c splňují výše uvedené nerovnosti a tedy existuje jediný sférický
trojúhelník (až na polohu) s danými stranami. Dosadíme-li velikosti stran ze zadání do
upravené kosinové věty, dostáváme hodnoty
cos α
α
3.2.2
=
=
0, 2127,
◦
cos β
0
77 43 ,
β
=
0, 6143,
=
◦ 0
52 6 ,
cos γ
=
0,
γ
=
90◦ .
Úloha UUU
Sférický trojúhelník je jednoznačně určen třemi úhly, platí-li
• 180◦ < α + β + γ < 540◦
• α + β < γ + 180◦ , β + γ < α + 180◦ , γ + α < β + 180◦
Při řešení úlohy využijeme vlastností polárních sf. trojúhelníků a dosazením do vztahů
a0 = 180◦ − α,
b0 = 180◦ − β,
c0 = 180◦ − γ
převedeme zadání UUU na úlohu typu SSS. Použitím vztahů pro polární sférické trojúhelníky
je možné odvodit i podmínky určenosti sférického trojúhelníku o úhlech α, β, γ:
• vyjdeme-li z podmínky 0◦ < a0 + b0 + c0 < 360◦ a za velikosti stran dosadíme příslušné
rovnosti pro polární trojúhelník, tj. 0◦ < (180◦ − α) + (180◦ − β) + (180◦ − γ) < 360◦ ,
dostaneme po úpravě nerovnice první z uvedených podmínek;
1 Podmínky
určenosti vyplynou při hledaní předpokladů pro platnost sinové a kosinové věty. Podrobný
rozbor určenosti sf. trojúhelníků je uveden např. v [12, str. 43].
23
• v druhém případě dosadíme například do nerovnosti a0 + b0 > c0 vztahy pro polární
trojúhelník a získáme nerovnost 180◦ − α + 180◦ − β > 180◦ − γ, po úpravě α + β <
γ + 180◦ (a cyklické nerovnosti).
Příklad:
Jsou dány úhly α = 74◦ 230 , β = 75◦ 140 , γ = 84◦ 340 ; existuje-li sférický trojúhelník s úhly
α, β, γ, určete jeho strany.
Řešení: Dané úhly α, β, γ splňují požadované nerovnosti, a proto existuje jediný sférický
trojúhelník (až na polohu) s danými úhly. Ze zadaných velikostí úhlů dopočteme strany
odpovídajícího polárního trojúhelníku:
a0 = 180◦ − α = 107◦ 440 ,
b0 = 180◦ − β = 107◦ ,
c0 = 180◦ − γ = 100◦ 50 .
Nyní vyřešíme úlohu SSS pro trojúhelník a0 , b0 , c0 :
cos α0
α0
= −0, 378,
=
◦
cos β0
0
112 12 ,
β0
= −0, 369,
◦
cos γ0
0
= 111 38 ,
γ0
= −0, 29,
= 106◦ 520 .
Z úhlů polárního trojúhelníku již určíme strany zadaného trojúhelníku:
a = 180◦ − α0 = 67◦ 480 ,
3.2.3
b = 180◦ − β0 = 68◦ 220 ,
c = 180◦ − γ0 = 73◦ 80 .
Úloha SUS
Pro jednoznačnou určenost sférického trojúhelníku stačí, aby všechny velikosti úhlů (strany
a, b a úhel γ) byly z intervalu 0 až 180◦ . Důkaz tvrzení lze provést rozborem konstrukce
trojhranu, jehož dvě stěny mají velikosti a, b a úhel jimi sevřený má danou velikost γ. Stranu c
sférického trojúhelníku vypočteme z kosinové věty pro stranu
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos γ.
V okamžiku, kdy známe strany a, b, c sférického trojúhelníku můžeme přistoupit k řešení
úlohy SSS, které je popsáno v části 3.2.1.
Příklad:
Jsou dány úhly a = 76◦ 440 , b = 120◦ 310 , γ = 108◦ 120 ; existuje-li sférický trojúhelník o stranách a, b a úhlu γ, určete jeho stranu c a úhly α, β.
Řešení: Stranu c určíme užitím kosinové věty pro stranu
cos c =
c =
0, 229 · (−0, 508) + 0, 973 · 0, 861 · (−0, 312) = −0, 378
112◦ 140 .
Nyní bychom řešili úlohu SSS pro strany a = 76◦ 440 , b = 120◦ 310 , c = 112◦ 140 .
3.2.4
24
Úloha USU
Stejně jako v případě SUS pro jednoznačnou určenost sférického trojúhelníku stačí, aby
všechny velikosti úhlů (úhly α, β a strana c) byly z intervalu (0, 180◦ ). Úhel γ sférického
trojúhelníku vypočteme z kosinové věty pro úhel
cos γ = − cos α cos β + sin α sin β cos c.
Získáme tak zadání úlohy UUU, jejíž řešení již bylo zmíněno (úlohu UUU převedeme s využitím vlastností sférických polárních trojúhelníků na úlohu SSS).
Příklad:
Jsou dány úhly α = 48◦ 480 , β = 74◦ 340 , c = 74◦ 590 ; existuje-li sférický trojúhelník s úhly
α, β a se stranou c, určete jeho zbývající základní prvky.
Řešení: Úhel γ určíme užitím kosinové věty pro úhel
cos γ
γ
= −0, 685 · 0, 266 + 0, 729 · 0, 964 · 0, 259 = 0
=
90◦ .
Dále bychom řešili úlohu UUU pro úhly α = 48◦ 480 , β = 74◦ 340 , γ = 90◦ , resp. úlohu typu
SSS pro strany a0 = 180◦ − α = 131◦ 120 , b0 = 180◦ − β = 105◦ 260 , c0 = 180◦ − γ = 90◦ .
3.2.5
Pravoúhlý sférický trojúhelník
Podobně jako rovinné, tak i sférické trojúhelníky rozdělujeme na různé typy. Speciálními
typy jsou především trojúhelníky
• pravoúhlé – mají jeden úhel pravý, strana proti pravému úhlu se nazývá přepona,
zbylé strany jsou odvěsny;
• rovnoramenné – mají dvě strany shodné, tyto strany nazýváme ramena, zbývající
strana je základna;
• rovnostranné – mají všechny strany shodné;
• polární – byly popsány na straně 17.
Základní věty sférické trigonometrie mají obecnou platnost pro libovolný sférický trojúhelník. V případě pravoúhlého trojúhelníku se však věta sinová a kosinová výrazně zjednoduší. Položme γ = 90◦ (sin γ = 1, cos γ = 0):
• věta sinová pro pravoúhlý sférický trojúhelník bude mít tvar:
sin a = sin c · sin α,
sin b = sin c · sin β
25
• věty kosinové pro pravoúhlý sférický trojúhelník se změní na:
cos α = sin β · cos a,
cos β = sin α · cos b
cos c = cos a · cos b
kos. věta pro úhel
kos. věta pro stranu
Poslední tvar kosinové věty pro stranu se nazývá sférická věta Pythagorova. Použijeme-li
2
4
6
rozvoj funkce kosinus v mocninnou řadu cos x = 1 − x2! + x4! − x6! + . . ., dostaneme tvar
1−
c2
c4
a2 + b2
a4 + 6a2 b2 + b4
+
− ... = 1 −
+
− ...
2
24
2
2
Pro „velmi maláÿ čísla a, b vyjde i „velmi maléÿ číslo c a platí přibližně vztah c2 = a2 +b2 . Pro
„velmi maléÿ sférické trojúhelníky tak přibližně platí Pythagorova věta rovinné geometrie.
Další vztahy pro pravoúhlý sférický trojúhelník je možné odvodit z vět sinových a kosinových pro pravoúhlý sférický trojúhelník:
i. Vypočteme-li cos a a cos b z kosinové věty pro úhel sf. pravoúhlého trojúhelníku a dosadíme pak do kosinové věty pro stranu sf. pravoúhlého trojúhelníku, dostaneme
cos c = cotg α · cotg β.
ii. Dělíme-li dvě rovnice z věty sinové pro pravoúhlý sférický trojúhelník a dosadíme při
tom vždy jednu z rovnic kosinové věty pro úhel sf. pravoúhlého trojúhelníku, dostaneme
vztahy
sin a = tg b · cotg β, sin b = tg a · cotg α.
iii. Užijeme-li postupně kosinové věty pro úhel, kosinové věty pro stranu a sinové věty pro
pravoúhlý sférický trojúhelník, dostaneme
cos α = tg b · cotg c,
cos β = tg a · cotg c.
Rovnice v případech ii. a iii. ztrácejí smysl pro a = 90◦ , b = 90◦ . V těchto situacích
však pro řešení stačí použít přímo sinové a kosinové věty pro pravoúhlý sférický trojúhelník.
Dostali jsme tak všech 10 možných vztahů, kterými jsou vázány vždy tři z pěti prvků pravoúhlého sférického trojúhelníku. Vztahů je právě tolik, kolik je kombinací 3. třídy z 5 prvků2 .
Kterýkoli z těchto deseti vztahů je možné nalézt mechanicky pomocí Neperova pravidla.
Neperovo pravidlo pro pravoúhlý trojúhelník:
Do kruhového schématu zapíšeme nejprve přeponu c, po stranách přilehlé úhly α, β a proti
nim rozdíly 90◦ − a, 90◦ − b, kde a, b jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníku. Dle Neperova pravidla platí, že kosinus každého prvku v kruhovém schématu je roven součinu sinů
protilehlých prvků a zároveň součinu kotangent sousedních prvků.
2 Kombinace
3. třídy z 5 prvků:
` 5´
3
= 10, počet prvků je pět: a, b, c, α, β, vytváříme skupiny po 3 prvcích.
Například:
=
sin β · sin(90◦ − a) = cotg c · cotg 90◦ − b
cos c =
sin 90◦ − a · sin(90◦ − b) = cotg β · cotg β
cos α
26
Příklad:
Jsou dány úhly a = 98◦ , b = 48◦ 160 ; existuje-li sférický trojúhelník o odvěsnách a, b určete
jeho zbývající základní prvky.
Řešení: První část Neperova pravidla říká, že „kosinus každého prvku v kruhovém schématu
je roven součinu sinů protilehlých prvkůÿ, matematickým zápisem pak
cos c =
sin (90◦ − a) · sin (90◦ − b)
cos c = −0, 139 · 0, 666
c =
95◦ 190 .
Nyní můžeme buď přistoupit k řešení úlohy typu SSS nebo znovu použít Neperovo pravidlo,
tentokrát jeho druhou část, tj. „kosinus každého prvku v kruhovém schématu je roven součinu
kotangent sousedních prvkůÿ. (Šipky ve schématu jsou naznačeny pro výpočet úhlu α.)
cos α
cos α
α
= cotg (90◦ − b) · cotg c
= 1, 121 · (−0, 093)
= 96◦
cos β
cos β
β
= cotg (90◦ − a) · cotg c
= −7, 115 · (−0, 093)
= 48◦ 330
Na přiloženém CD je v části Kapitola 2 interaktivní formulář, který byl naprogramován na
základě výše popsaných výpočtů. Umožňuje řešení úloh SSS, U U U, SU S a U SU , přičemž
vstupní prvky mohou být zadány ve stupních, radiánech nebo jejich kombinaci. Řešení je vypsáno
vždy jak ve stupních, tak v radiánech.
3.3
27
Znázornění řešených příkladů
Případné odchylky naměřených hodnot jsou způsobeny zaokrouhlením při výpočtech v programu Cabri.
Obrázek 3.3: Úloha SSS
Obrázek 3.4: Úloha UUU
Obrázek 3.5: Úloha SUS
Obrázek 3.6: Úloha USU
Obrázek 3.7: Pravoúhlý trojúhelník
Kapitola 4
Zobrazení kulové plochy
do roviny
V mnoha případech je výhodné kulovou plochu zobrazit do roviny, neboť ta je pro zkoumání
vlastností jednodušší plochou. Kulová plocha ale nepatří mezi plochy rozvinutelné do roviny
– to vyplývá z rozdílné Gaussovy křivosti kulové plochy a roviny. O křivosti plochy jsem
se již zmiňoval na straně 8. Německý matematik Gauss při zkoumání křivosti ploch objevil
tzv. „Theorema Egregiumÿ. Jedním z jejích důsledku je tvrzení, že dvě plochy, které lze na
sebe rozvinout, mají v odpovídajících si bodech tutéž Gaussovu křivost. V první kapitole jsme
ukázali, že rovina má křivost rovnu nule, zatímco kulová plocha má vždy křivost větší než
nula. Při zobrazování kulové plochy do roviny proto vždy dochází ke zkreslení. Dle zkreslení
rozeznáváme zobrazení:
a) ekvidistantní (délkojevná) – nezkreslují se délky určitých čar (nelze však zachovat nezkreslené všechny délky)
b) ekvivalentní (plochojevná) – zachovávají se plošné vztahy
c) konformní (stejnoúhlá) – nejsou zkresleny úhly.
Existuje mnoho zobrazení kulové plochy do roviny, my se zde omezíme jen na tzv. perspektivní projekce (někdy označované jako centrální projekce). Kulovou plochu promítneme na zobrazovací plochu, kterou může představovat rovina, kuželová plocha nebo válcová
plocha. Podle druhu plochy, na níž zobrazujeme, tak rozlišujeme perspektivní projekce na:
a) azimutální projekce – zobrazuje se přímo na rovinu
b) kuželové projekce – zobrazuje se na plášť kužele, který se rozvine do roviny
c) válcové projekce – zobrazuje se na plášť válce, který se rozvine do roviny.
28
KAPITOLA 4. ZOBRAZENÍ KULOVÉ PLOCHY DO ROVINY
29
Obrázek 4.1: Azimutální, kuželová a válcová projekce
Abychom mohli jednotlivá zobrazení blíže charakterizovat, budeme dále na kulové ploše
předpokládat soustavu rovnoběžek a poledníků. Uvažujme rovinu procházející středem kulové plochy – dále jen základní rovina. Řez kulové plochy základní rovinou nazveme rovník.
Průnik rovin rovnoběžných se základní rovinou a kulové plochy nám určí rovnoběžky. Poledníky získáme jako průnik kulové plochy a rovin kolmých na základní rovinu procházejících
středem kulové plochy. Průsečíky poledníků nazýváme póly. Podle umístění průmětny vzhledem k poledníkům a rovnoběžkám rozlišujeme polohu:
a) normální (pólovou) – průmětna se dotýká kulové plochy v jednom z pólů (osa kužele
nebo válce prochází póly)1
b) příčnou (rovníkovou, transverzální) – průmětna se dotýká kulové plochy v bodě rovníku
(osa kužele nebo válce leží v rovině rovníku)
c) obecnou (šikmou) – průmětna je v jiném bodě než v předešlých situacích (osa kužele
nebo válce prochází středem kulové plochy, ale neprochází póly ani neprotíná rovník)
4.1
Azimutální projekce
Útvary na kulové ploše při azimutální projekci promítáme na rovinu pomocí paprsků, vycházejících z daného středu promítání. Střed promítání leží na tzv. hlavním paprsku, což
je paprsek procházející středem kulové plochy kolmo na průmětnu. Podle umístění středu
promítání lze rozlišit další druhy azimutálních projekcí, z nichž největší význam mají gnómonická, ortografická a stereografická projekce.
4.1.1
Gnómonická projekce
Střed promítání je u gnómonické projekce totožný se středem kulové plochy, zobrazovací
rovina se dotýká kulové plochy v jediném bodě S.
1V
závorce je popsáno umístění válce a kužele pro případ kuželové nebo válcové projekce.
30
Obrázek 4.2: Princip gnómonické projekce, poloměr obrazu rovnoběžkové kružnice
V normálním průmětu se poledníky zobrazí jako svazek přímek. Střed svazku S je obrazem bodu, v němž se průmětna dotýká kulové plochy. Obrazem rovnoběžek je soustava
soustředných kružnic se středem v bodě S. Poloměr obrazů rovnoběžek narůstá se zvětšující
se vzdáleností rovnoběžky od bodu S, rovník se „zobrazí v nekonečnuÿ. Mezi poloměrem
vzoru a obrazu rovnoběžky platí vztah ρ = r · tg δ, kde r je poloměr kulové plochy, δ je
sférický poloměr2 rovnoběžkové kružnice. K nejmenšímu zkreslení dochází v okolí bodu S
(pólu), gnómonické projekce v normální poloze se proto využívá při konstrukci map v okolí
pólů. V příčné poloze je obrazem rovníku přímka kolmá na obrazy poledníků. Poledníky
se zobrazí jako soustava rovnoběžných přímek. Obrazem rovnoběžek je soustava hyperbol.
V poloze obecné se poledníky promítnou jako svazek paprsků vycházejících z obrazu pólu,
obrazem rovníku je přímka kolmá na obraz poledníku, procházejícího bodem dotyku. Rovnoběžky se směrem od pólu jeví nejprve jako elipsy, poté se objeví parabola, ostatní se zobrazí
jako hyperboly.
Obrázek 4.3: Příklad gnómonické projekce v poloze normální, příčné a obecné
Gnómonická projekce není plochojevná, úhlojevná ani délkojevná. Zobrazit je možné
nanejvýš polovinu kulové plochy (vyjma rovníku), přičemž obraz polokoule vyplní celou
rovinu. Předností gnómonické projekce je vlastnost, že všechny hlavní kružnice se do roviny
zobrazí jako přímky.
2 Sférickým poloměrem v tomto případě rozumíme délku s-úsečky spojující libovolný bod rovnoběžkové
kružnice s bodem dotyku S – viz obrázek 4.2.
4.1.2
31
Ortografická projekce
Ortografickou projekci můžeme definovat jako pravoúhlý průmět kulové plochy na tečnou
rovinu z bodu ležícího v nekonečnu.
Obrázek 4.4: Princip ortografické projekce
V normální poloze se poledníky opět zobrazují jako svazek přímek. Obrazy rovnoběžek
jsou soustředné kružnice, jejichž poloměry jsou shodné v rovině i na sféře. V poloze příčné
se poledníky zobrazují jako půlelipsy nebo půlkružnice, rovnoběžky jako přímky. V poloze
obecné se poledníky i rovnoběžky zobrazují jako části elips.
Obrázek 4.5: Příklad ortografické projekce v poloze normální, příčné a obecné
Projekce není úhlojevná ani plochojevná. Nezkreslené jsou pouze obrazy kružnic rovnoběžných s promítací rovinou. Promítnout můžeme vždy pouze jednu polovinu kulové plochy,
kdy nám obraz vyplní kruh o poloměru r. Ortografické projekce se využívá především tam,
kde je třeba získat prostorovou představu kulové plochy.
4.1.3
Stereografická projekce
Stereografická projekce vznikne jako průmět sféry na tečnou rovinu z bodu, který leží na
kulové ploše a je protilehlý k dotykovému bodu tečné roviny. V normální poloze je střed
promítání totožný s jedním z pólů. Poledníky se zobrazí jako svazek přímek, obrazy rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v bodě S, jejich poloměry jsou dány rovnicí3
ρ = 2r · tg 2δ . Poloměry kružnic se zvětšují s narůstající vzdáleností rovnoběžek od bodu
dotyku. Poloměr kružnice představující rovník nabývá hodnoty 2r.
3 Význam
proměnných je stejný jako u gnómonické projekce.
32
Obrázek 4.6: Princip stereografické projekce
V poloze příčné se zobrazí rovník a poledník procházející bodem S jako přímky na sebe
kolmé. Ostatní poledníky a rovnoběžky se jeví jako kruhové oblouky. V poloze obecné se
jako přímka promítne pouze poledník procházející bodem S, ostatní rovnoběžky a poledníky
se zobrazí jako kružnice (kruhové oblouky). Ve stereografické projekci můžeme na průmětnu
zobrazit celou kulovou plochu vyjma středu promítání, který leží v nekonečnu (zobrazí se
na nevlastní bod). Obraz kulové plochy vyplní celou rovinu. Vnitřek kruhu o poloměru 2r
je obrazem jedné poloviny kulové plochy (viz obrázek 4.7), vnějšek kruhu je obrazem druhé
poloviny.
Obrázek 4.7: Příklad stereografické projekce v poloze normální, příčné a obecné
Stereografická projekce má některé důležité vlastnosti, které využijeme při konstrukcích
v následující kapitole:
1. Stereografickým obrazem (průmětem) každé kružnice na kulové ploše, která neprochází
středem promítání, je opět kružnice (avšak o jiném poloměru).
2. Stereografickým obrazem každé kružnice na kulové ploše, která prochází středem promítání, je přímka. Každá přímka je ve stereografické projekci průmětem kružnice procházející středem promítání.
3. Úhel stereografických průmětů dvou libovolných křivek má tutéž velikost jako úhel odpovídajících křivek na kulové ploše.
33
Důkaz všech tří vlastností provedeme geometricky (uvažujeme jednotkovou kulovou plochu):
1. Na obrázku 4.8-vlevo je znázorněna kružnice na kulové ploše, která prochází body A, B. Ve
stereografické projekci se zobrazí na křivku procházející body D, E. Křivka procházející
body D, E vznikne jako řez kuželové plochy s vrcholem v bodě N průmětnou (tečné
roviny ke kulové ploše v bodě S). Naším cíle je dokázat, že řez určený průmětnou vytváří
na kuželové ploše kružnici, ačkoli obecně je rovinným řezem kuželové plochy kuželosečka.
N
N
A
A
H
S
B
F
G
H
E
C
B
D
D
I
E
S
Obrázek 4.8: Stereografická projekce – kružnice → kružnice
Obrázek vpravo ukazuje průřez kulové a kuželové plochy rovinou určené body N, S, H,
kde N je střed promítání, S bod dotyku kulové plochy s průmětnou a H je střed sférické kružnice, které náleží body A, B. Bod A leží „nejvýšeÿ od průmětny, bod B je
_
_
naopak nejblíže k průmětně. Oblouky AH a HB jsou stejně dlouhé, neboť oba jsou sférickým poloměrem téže kružnice. Délka oblouku navíc odpovídá velikosti středového úhlu
∠ACH = ∠BCH. Podle věty o obvodovém úhlu je obvodový úhel roven polovině příslušného středového úhlu, tudíž ∠AN H = ∠BN H. Kuželová plocha je tedy souměrná
podle roviny kolmé k rovině N SH a procházející body N, H. V souměrnosti podle této
roviny se s-kružnice procházející body A, B zobrazí na s-kružnici procházející body F, G4
a úhel ∠ABN na úhel ∠GF N téže velikosti. Pokud bychom dokázali, že rovina v níž leží
s-kružnice procházející body F, G, je rovnoběžná s průmětnou, pak křivka procházející
body D, E je stejnolehlá s kružnicí procházející body F, G, a tudíž jde také o kružnici.
Pro důkaz rovnoběžnosti stačí ukázat, že ∠N F G = ∠N DS.
1. N S⊥DS ⇒ ∠N DS = 90◦ − ∠DN S
2. ∠ACS + ∠N CA = ∠N CS = 180◦
(∠ACS a ∠ACN jsou vedlejší úhly)
3. ∠DN S = ∠AN S = 12 ∠ACS
4. ∠N BA =
1
2 ∠N CA
(podle věty o obvodovém úhlu)
◦
= 90 − ∠DN S
5. ∠N F G = ∠N BA
6. ∠N F G = ∠N BA =
4 Body
(podle věty o obvodovém úhlu)
(vzor a obraz v rovinové souměrnosti)
1
2 ∠N CA
◦
= 90 − ∠DN S = ∠N DS, což jsme chtěli dokázat.
F, G jsou obrazy bodů A, B v rovinové souměrnosti.
34
2. Uvažujme rovinu určenou přímkou BD a bodem N . Řez této roviny kulovou plochou
vytvoří kružnici ACN . Naopak mějme dánu na kulové ploše třemi body A, C, N kružnici, která prochází středem promítání (bodem N ). Rovina řezu vytvářející na kulové
ploše sférickou kružnici (ACN ) protne průmětnu v přímce BD, která je obrazem sférické
kružnice.
N
A
C
S
D
B
Obrázek 4.9: Stereografická projekce – kružnice → přímka
3. Zvolme za střed promítání N je severní pól. Průmětna π je rovnoběžná s tečnou rovinou
ρ, která se dotýká kulové plochy v severním pólu N . Dále mějme dvě libovolné křivky na
kulové ploše κ1 , κ2 , které se protínají v bodě P . Úhel α křivek κ1 , κ2 je stejný jako úhel
jejich tečen v průsečíku P . Přímka t je tečnou křivky κ1 v bodu P , přímka u je tečnou
křivky κ2 v bodu P . Přímky t a u protnou rovinu ρ v bodech K a L. Průsečíky s průmětnou π pojmenujme K 0 a L0 . Průmětem bodu P ve stereografické projekci se středem
promítání v bodu N je bod P 0 , který získáme jako průsečík přímky N P s rovinou π.
∼ ∠KP L.
Nejprve dokážeme, že trojúhelníky KLN a KLP jsou shodné a tedy i ∠KN L =
Úsečka KN je shodná s úsečkou KP , protože N, P jsou dotykové body tečen ke kulové
ploše z téhož bodu (z bodu K). Ze stejného důvodu jsou shodné i úsečky LN a LP . Ze
shodností úseček plyne, že 4KLN ∼
= 4KLP podle sss. Jestliže jsou shodné trojúhelníky
KLN a KLP , pak musí být shodné i úhly KN L a KP L.
Křivky κ1 , κ2 na kulové ploše se zobrazí do průmětny jako křivky s průsečíkem v bodě
P 0 . Úhel těchto křivek je roven úhlu jejich tečen t0 , u0 . Tečny t0 =↔ P 0 K 0 , u0 =↔ P 0 L0
jsou obrazy tečen t =↔ P K, u =↔ P L a tedy jsou i průsečnicemi rovin N KP a N LP
s průmětnou. Roviny N KP a N LP však protínají i rovinu ρ rovnoběžnou s průmětnou π a
můžeme tak tvrdit, že P 0 K 0 k N K, resp. P 0 L0 k N L. Tudíž ∠K 0 P 0 L0 ∼
= ∠KN L ∼
= ∠KP L
a velikost úhlu tak zůstává zachována.
ρ
N
35
K
α
t
L
α
κ2
S
u
P
L'
κ1
u'
α
t'
π
P'
K'
Obrázek 4.10: Důkaz konformity stereografické projekce
4.2
Kuželové projekce
U kuželových zobrazení využijeme jako průmětnu kuželovou plochu. Kuželová plocha patří
mezi rozvinutelné plochy, a tak ji můžeme bez dalších zkreslení zobrazit do roviny. Plášť
kužele se kulové plochy obvykle dotýká v některé z vedlejších kružnic nebo ji ve dvou kružnicích protíná. Poloha přiloženého kužele může být opět normální, příčná nebo obecná, osa
kuželové plochy prochází ve všech případech středem kulové plochy.
Obrázek 4.11: Princip kuželové projekce
Při tvorbě map se nejčastěji volí normální poloha kužele. Poledníky se pak zobrazují jako
svazek přímek se společným bodem ve vrcholu kužele. Rovnoběžky se zobrazují jako části
soustředných kružnic opsaných z vrcholu kužele. Rozvinutá kuželová plocha tvoří kruhovou
výseč. V kartografii se kuželová zobrazení dosud používají, protože podávají poměrně přirozený obraz zemského povrchu. Obvykle jsou v kuželové projekci vytvářeny mapy jednotlivých
států, případně skupina států (např. mapa Evropy).
36
Obrázek 4.12: Příklad kuželové projekce v normální poloze
4.3
Válcové projekce
Mezi válcové projekce zařazujeme všechna zobrazení, u nichž se kulová plocha zobrazuje
na tečný nebo sečný válec. Pro geografické účely se volí válcový plášť nejčastěji v poloze
normální, střed promítání obvykle leží ve středu kulové plochy.
Obrázek 4.13: Princip válcové projekce
Poledníky se v této poloze zobrazují jako povrchové přímky válce. Rovnoběžky se promítají do kružnic válcové plochy. Po rozvinutí válcové plochy dostaneme dvě navzájem kolmé
soustavy rovnoběžných přímek. Nejmenší zkreslení vykazují ty oblasti, kde se válcová plocha
nejvíce přibližuje ke kulové ploše (nebo se jí dotýká).
Obrázek 4.14: Příklad válcové projekce v normální poloze
37
Obraz kulové plochy ve válcové projekci má vždy obdélníkový tvar. Z výše uvedené
základní charakteristiky válcové projekce plyne, že válcové mapy se nejlépe hodí pro zobrazení území podél rovníku nebo podél některé jiné hlavní kružnice. V kartografii se používá zejména pro tvorbu tzv. tématických map světa (např. map lidnatosti, teplotních pásů
apod.).
Válcová projekce je v podstatě mezním případem plochy kuželové, která má svůj vrchol
v nevlastním bodě své osy. Obdobně lze přejít od kuželové projekce k projekci azimutální,
jestliže výšku kužele zkrátíme na nulu.
Kapitola 5
Konstrukce rovinného modelu
geometrie na kulové ploše
Geometrie na kulové ploše klade velké nároky na prostorovou představivost. Z tohoto důvodu
bylo třeba doplnit text mnoha obrázky, které by měly přispět k lepšímu pochopení teorie.
Prvotním úkolem bylo nalezení vhodné metody, která umožňuje zobrazit situaci na kulové
ploše do roviny (resp. na plochu papíru). Jako nevhodnější se jeví ortografická projekce,
která poskytuje dobrou představu o objektech na kulové ploše. Jistým omezením je možnost zobrazit v této projekci pouze jednu polovinu kulové plochy. Naopak ve stereografické
projekci lze zobrazit do roviny celou kulovou plochu, ale vzniklý obraz je méně „přirozenýÿ.
Čtenář se proto nejprve musí seznámit se základními principy stereografické projekce, aby
byl schopen průmět do roviny správně interpretovat.
Dalším úkolem byl výběr softwaru, který by umožňoval vytvořit obraz kulové plochy
v ortografické (případně i stereografické) projekci a zároveň poskytoval kvalitní výstup pro
další zpracovaní (nejlépe ve vektorovém formátu). Výběr jsme zúžili na programy dynamické
geometrie. Jejich výhodou je možnost dodatečně měnit vlastnosti již sestrojených objektů při
zachování vzájemných vazeb objektů a korektnosti konstrukce.1 Nejrozšířenějšími programy
dynamické geometrie jsou Cabri Geometry II (Plus), The Geometer’s Sketchpad a Cinderella.
Pokud se omezíme pouze na sférickou geometrii pak musíme ještě zmínit program Spherical
Easel, v němž ale nelze provádět konstrukce rovinné geometrie. V následujících oddílech
blíže popíšeme vyjmenované programy dynamické geometrie2 .
1 Popis charakteristických vlastností dynamické geometrie je např. na http://romeo.pf.jcu.cz/cabri/
temata/dynamgeo/dyngeo.htm
2 Na přiloženém CD jsou k dispozici demoverze všech popisovaných programů.
38
KAPITOLA 5. MODELY SFÉRICKÉ GEOMETRIE
5.1
39
The Geometer’s Sketchpad
The Geometer’s Sketchpad je určený především pro konstrukce v rovinné geometrii. Stejně
jako Cabri Geometry je možné jej doplnit o vlastní nástroje a rozšířit tím možnosti jeho
použití. Na domovské stránce programu je možné stáhnout soubor, který obsahuje „Elliptic/Spherical Toolkitÿ – sadu nástrojů pro konstrukce v rovinném modelu sférické geometrie.
Autorem je Brad Findell z University of Georgia, který v dokumentaci k souboru uvádí:
Soubor obsahuje sadu nástrojů pro konstrukce v kruhovém modelu eliptické geometrie. Kulová plocha je zobrazena ve stereografické projekci se středem promítání v severním pólu. Vnitřek kruhu je obrazem jižní polokoule, vnějšek kruhu
představuje průmět severní polokoule.3
Obrázek 5.1: Geometer’s Sketchpad s rozšířením Spherical Toolkit
Nabídka nástrojů pro konstrukce na kulové ploše je velmi omezená – je možné sestrojit
pouze s-úsečku, s-přímku, kolmici k dané s-přímce a s-kružnici danou středem a bodem na
obvodu. Dále je možné změřit velikost úhlu a určit délku s-úsečky. Konstrukce vytvořené
ve stereografické projekci nejsou dostatečně názorné pro definování základních objektů na
kulové ploše, problémem je i malá nabídka nástrojů. V kapitole Sférická trigonometrie se
3 volně
přeloženo
40
ukázalo, že měření úhlů nefunguje vždy správně (při měření úhlů vně kruhu je v některých
případech naměřená hodnota doplňkem do přímého úhlu).
5.2
Cinderella
Cinderella je program dynamické geometrie postavený na multiplatformním jazyce Java.
Prostředí aplikace není možné rozšiřovat o další nástroje, již v základní nabídce je však
možné zobrazit konstrukci ve „Spherical viewÿ. V tomto pohledu je kulová plocha zobrazena
v ortografické projekci. Díky barevnému odlišení je vidět situace na obou polovinách sféry.
Obrázek 5.2: Cinderella – Spherical View
Kulovou plochou je možné otáčet kolem jejího středu a nahlížet na ni z různých pohledů.
K dispozici je široká paleta nástrojů pro konstrukce objektů na kulové ploše – lze sestrojit
střed s-úsečky, kolmici, jednoduše vytvoříme kružnici opsanou trojúhelníku apod. Nevýhodou je nemožnost kombinovat Eukleidovskou a sférickou geometrii. Například u sférického
trojúhelníku nelze vyznačit polopřímkou hrany odpovídajícího trojhranu.
Kladem je přímý export do formátu PostScript4 . Konstrukci lze exportovat jednoduchým
4 PostScript
je jazyk určený pro popis stránek dokumentu a to tak, aby popis byl nezávislý na rozlišení
výstupního zařízení. Tvůrcem jazyka je firma Adobe.
41
kliknutím na tlačítko, přičemž do souboru bude uložena část nárysny, která je viditelná
v okně aplikace. Poněkud problematická je úprava vzhledu objektů. Je nutné otevřít speciální
okno (Edit Appereance), ve kterém je možné vybrat tloušťku čar, barvu objektu apod. Editor
vzhledu je možné nechat při rýsování stále otevřený, pak ale zabírá značnou část nákresny.
5.3
Spherical Easel
Jedná se zřejmě o nejpropracovanější program dynamické geometrie na kulové ploše. Program je omezen pouze na sférickou geometrii a uživatelské rozhraní je díky tomu velmi
přehledné. K vytvoření aplikace byl použit programovací jazyk Java a program je nabízen
ve dvou variantách. V prvním případě je možné program spustit přímo z webové stránky5 ve
formě Java apletu. V druhém případě je nutné nejprve si nainstalovat balíček JavaWebStart
a poté si z Internetu stáhnout knihovnu s programem Spherical Easel (ke stažení knihovny
dojde automaticky po kliknutí na příslušný odkaz na www stránce). Výhodou druhé verze
je možnost následného spuštění aplikace i bez připojení k Internetu.
Obrázek 5.3: Spherical Easel
Kulová plocha je stejně jako v Cinderelle zobrazena v ortografické projekci, barevně je
5 Viz
odkaz [1] v seznamu literatury.
42
odlišena „viditelnáÿ a „neviditelnáÿ část hlavní kružnice na kulové ploše. Nabídka nástrojů
je velmi rozsáhlá. K dispozici jsou nástroje pro konstrukce základních objektů na sféře: súsečka, s-přímka, kružnice daná středem a bodem na obvodu, diametrálně protilehlý bod,
střed s-úsečky, kolmice, osa úhlu, kružnice opsaná. Pokud máme stisknutou klávesu Ctrl,
pak lze sestrojit objekty i na „odvrácenéÿ polovině kulové plochy. Na objekty na kulové
ploše lze aplikovat základní geometrická zobrazení – osovou souměrnost, kde osou souměrnosti je hlavní kružnice, středovou souměrnost a posunutí po kulové ploše dané orientovanou
s-úsečkou. Ve verzi spouštěné bez připojení k Internetu je možné konstrukce i ukládat a tisknout. Program umožňuje přímé uložení souboru ve formátu PostScript. Do apletu spuštěného
z Internetu není možné tyto funkce zahrnout kvůli bezpečnostním omezením Java apletů.
Nedostatkem, který zabránil využít program pro tvorbu ilustračních obrázků, byla chybějící možnost konstruovat objekty Eukleidovské geometrie (např. přímou úsečku nebo
přímku). Opět není možné například vyznačit hrany trojhranu nebo klínu apod. Řešením by
byl import obrázku ve formátu PostScript do programu pro úpravu vektorové grafiky, pak
se ale ztrácí výhody dynamické geometrie.
5.4
Cabri Geometry II Plus
Program Cabri Geometry II se řadí ke špičce mezi programy dynamické geometrie. V roce
2003 byla vydána verze Cabri Geometry II Plus, kde došlo k rozšíření možností grafické
úpravy konstrukce. Výhodou je česká lokalizace programu, která byla k nové verzi přepracována a doplněna, což přispívá k lepší orientaci v programu. Program umožňuje exportovat
konstrukce ve vektorovém formátu wmf. Export však probíhá poněkud „nestandardněÿ zkopírováním do schránky a následným vložením do jiné aplikace. Formát wmf je produktem
firmy Microsoft a proto export bohužel funguje spolehlivě jen s produkty téže firmy. Výstup
do PostScriptu je možné realizovat instalací virtuální postscriptové tiskárny6 . Cabri umožňuje nastavit vlastní velikost stránky a před tiskem zobrazuje náhled, kde je možné umístit
nákresnu tak, aby se na výstupu vytiskl požadovaný výřez.
Velkým kladem programu Cabri je tvorba makrokonstrukcí. Makrokonstrukce umožňují
rozšířit nabídku výchozích nástrojů – program lze doplnit o další konstrukce složené z konstrukcí primárních (tj. z těch, které již program umí). Hlavním záměrem je možnost zautomatizovat rutinní a pomocné konstrukce (např. kružnice opsaná, tečny z bodu ke kružnici apod.). Díky makrokonstrukcím můžeme také vytvářet nástroje zcela nové, založené na
komplexních konstrukcích. Program se dá rozšířit například o nabídku nástrojů umožňující
konstrukce v Poincarého kruhovém modelu hyperbolické geometrie. Uživatel s takto rozšířenou základnou nástrojů může provádět konstrukce v kruhovém modelu stejně snadno jako
v geometrii Eukleidovské, pro niž je Cabri ve výchozím nastavení určeno.
V následující části bude zhotovena sada makrokonstrukcí, které umožní vytvořit v Cabri
6 Místo
k vytisknutí na skutečné tiskárně dojde k uložení do souboru ve formátu .ps nebo .eps
43
Obrázek 5.4: Cabri Geometry II Plus
Geometry II model geometrie na kulové ploše. Po seznámení s ostatními programy dynamické
geometrie byl za výchozí zvolen model kulové plochy v ortografické projekci. Jak bude patrné
dále, realizace modelu narazí na jistá omezení vyplývající z použití programu určeného pro
konstrukce v rovinné geometrii. Nedostatky modelu v ortografické projekci odstraňuje model
v projekci stereografické, jehož implementace do programu Cabri Geometry II je přiblížena
v části Model ve stereografické projekci.
5.5
Model v ortografické projekci v Cabri II Plus
Model geometrie na kulové ploše v ortografické projekci budeme v programu Cabri Geometry
II sestrojovat na základě analytické geometrie. Proto si zavedeme souřadnicovou soustavu
tak, jak je naznačeno na obrázku 5.5.
Za průmětnu zvolíme souřadnicovou rovinu x1 x2 , směr promítání uvažujeme kolmý na
tuto rovinu. Základní vlastností ortografické projekce je, že libovolná kružnice na kulové
ploše (jak hlavní tak vedlejší) se zobrazí jako část elipsy, případně jako celá elipsa, pokud
zobrazujeme na průmětnu celou kulovou plochu (v našem případě část „před průmětnouÿ i
„za průmětnouÿ). Ve speciálním případě, kdy je rovina řezu určující kružnici na sféře kolmá
na průmětnu, se kružnice zobrazí jako úsečka.
44
Obrázek 5.5: Souřadnicová soustava pro model v ortografické projekci
Na tomto místě uvedeme dva vzorce analytické geometrie, které jsou podstatné pro další
postup. Pro zpřehlednění zápisu se na rovnice budeme později odvolávat pouze čísly. Nebudeli řečeno jinak, budeme uvažovat souřadnice bodů v eukleidovském prostoru E3 vztaženy ke
kartézské soustavě souřadnic, která má počátek ve středu kulové plochy, a jednotky na osách
jsou určeny poloměrem kulové plochy.
Jednotkovou kulovou plochu můžeme ve zvolené soustavě souřadnic popsat rovnicí
x21 + x22 + x23 = 1.
(5.1)
Obecnou rovnici roviny zapisujeme ve tvaru
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0,
(5.2)
kde vektor ~n = (n1 , n2 , n3 ) je normálový vektory roviny. Získáme jej jako vektorový součin
dvou lineárně nezávislých směrových vektorů roviny.
Za průmětnu jsme zvolili souřadnicovou rovinu x1 x2 , která má rovnici
x3 = 0.
(5.3)
Výchozím objektem na nákresně bude vždy kruh, který vznikne jako řez kulové plochy
promítací rovinou. U libovolného bodu, který vytvoří uživatel v programu Cabri, můžeme
přímo určit souřadnice x1 a x2 , souřadnici x3 vypočteme z rovnice 5.1. V rovnici se však
vyskytují druhé mocniny a hodnota souřadnice x3 proto může být kladná (bod leží před
průmětnou) i záporná (bod leží za průmětnou). Při konstrukcích budeme uvažovat pouze
kladné hodnoty a uživatel tak má možnost sestrojovat body jen na polovině kulové plochy,
která leží před průmětnou (na „viditelnéÿ polokouli).
Na závěr každé konstrukce je uvedeno shrnutí jak daný postup uložit jako makrokonstrukci, tj. které objekty označit jako vstupní a výstupní. Ještě poznamenejme, že základní
kružnici (kruh), která je řezem kulové plochy promítací rovinou, budeme označovat písmenem k a její střed O.
5.5.1
45
Konstrukce s-přímky
Výchozími (vstupními) objekty konstrukce jsou základní kružnice k se středem O a dva
libovolně zvolené7 body A, B, které leží uvnitř základní kružnice. Body A, O, B určují rovinu
řezu, která na kulové ploše tvoří hlavní kružnici. Víme, že v ortografické projekci se tato
kružnice zobrazí na elipsu, přičemž k sestrojení elipsy je třeba v Cabri zadat pět různých
bodů. Nalezneme-li hlavní osu elipsy můžeme sestrojit body A0 , B 0 v osové souměrnosti podle
hlavní osy. Jeden z průsečíků základní kružnice k s hlavní osou označíme jako potřebný pátý
bod.
Hlavní osu elipsy nalezneme jako průsečnici roviny určené body A, O, B s průmětnou.
Normálový vektor roviny AOB získáme jako vektorový součin jejích směrových vektorů:
−→
−→
~nAOB =AO × BO. Koeficient n0 v obecné rovnici roviny bude roven nule, neboť rovina
prochází počátkem souřadnicové soustavy. Rovnici průsečnice získáme jako řešení soustavy
rovnic 5.2 a 5.3, proto nemusíme počítat ani koeficient n3 v obecné rovnici roviny AOB.
Rovnice průsečnice bude mít tvar n1 x1 + n2 x2 = 0, kde n1 , n2 jsou příslušné prvky normálového vektoru roviny AOB. Abychom mohli sestrojit průsečnici v Cabri musíme zadat
dva její body. Jedním bodem bude střed O základní kružnice O. Druhý bod dostaneme
například po dosazení x1 = 1 do rovnice průsečnice a vypočtení odpovídající hodnoty x2 .
Bod o souřadnicích [1, x2 ] zakreslíme do souřadnicové soustavy. Tím jsme jednoznačně určili
průsečnici a můžeme i sestrojit elipsu, která je obrazem hlavní kružnice, procházející body
A, B.
Obrázek 5.6: S -přímka
Za vstupní objekty označíme základní kružnici k a body A, B, které jednoznačně určují
hlavní kružnici. Výstupním objektem je sestrojená elipsa, která je obrazem hlavní kružnice.
7 Body
nesmí být diametrálně protilehlé, protože pak by neurčovaly hlavní kružnici jednoznačně (str. 15).
5.5.2
46
Konstrukce s-kolmice k dané s-přímce
Zadanými prvky jsou základní kružnice k, hlavní kružnice daná body A, B a bod C, jímž
má kolmice procházet8 . Cílem je nalézt rovinu κ, která je kolmá k rovině AOB a prochází
bodem C. Ze vstupních objektů můžeme určit normálový vektor ~u roviny AOB. Hledáme-li
rovinu kolmou k rovině AOB, bude vektor ~u jedním z jejích směrových vektorů. Za druhý
−→
−→
směrový vektor hledané roviny položíme vektor CO= O − C. Vektorovým součinem ~u× CO
vypočteme normálový vektor ~n roviny κ. Průsečnice nalezené roviny s průmětnou určuje
hlavní osu elipsy, která je obrazem hlavní kružnice kolmé k s-přímce AB a zároveň prochází
bodem C. Abychom mohli elipsu sestrojit musíme nalézt pět jejích bodů. Protože známe
hlavní osu elipsy můžeme bod C zobrazit v osové souměrnosti podle hlavní osy. Zároveň
víme, že bod O je středem elipsy a bod C zobrazíme ve středové souměrnosti se středem O.
Další dva body získáme jako průsečíky hlavní osy elipsy se základní kružnicí k.
Obrázek 5.7: S -kolmice
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k, s-kružnice procházející body
A, B a bod C, který má náležet hledané kolmici. Výstupem je s-kolmice, kolmá k s-přímce
AB procházející bodem C.
5.5.3
Výpočet délky s-úsečky
Při výpočtu délky s-úsečky spojující body A, B na kulové ploše využijeme trojúhelník znázorněný na obrázku 5.8. Body A, B leží na jednotkové kulové ploše, strany AO, BO proto
mají délku rovnu jedné a trojúhelník AOB je rovnoramenný. Velikost úhlu ]AOB je rovna
8 Konstrukce
je provedena natolik obecně, že bod C můžeme zvolit jak na s-přímce tak mimo ni.
47
délce oblouku AB. Sestrojíme-li výšku z bodu O vzniknou dva pravoúhlé trojúhelníky, přičemž výška rozdělí úhel u vrcholu O na dva shodné úhly.
Obrázek 5.8: Výpočet délky s-úsečky
Známe-li souřadnice bodů A, B určíme snadno vzdálenost |AS| = |SB| jako velikost vektoru
−→
|AB|
2 .
V pravoúhlém trojúhelníku OSA následně vypočteme velikost úhlu α = 2 arcsin |AS|.
Obrázek 5.9: Délka s-úsečky
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body A, B. Výstupem je
pouze výsledek výpočtu.
5.5.4
Sestrojení s-kružnice dané středem a bodem na obvodu
Stejně jako v rovině je i na kulové ploše kružnice množinou všech bodů, které mají od daného
bodu danou s-vzdálenost. Této vlastnosti využijeme v programu Cabri, který umožňuje
vykreslovat množiny bodů jako souvislou křivku. Rovnici, která popisuje hledanou s-kružnici,
získáme řešením soustavy rovnic
x21 + x22 + x23
2
2
2
(x1 − c1 ) + (x2 − c2 ) + (x3 − c3 )
=
1
= r2 .
48
První rovnice vyjadřuje podmínku, že body s-kružnice mají ležet na kulové ploše, druhá
rovnice je analytickým vyjádřením množiny bodů, které mají od daného bodu C vzdálenost
r = |AC|. Tato množina je kulovou plochou se středem v bodě C a poloměrem r. Řešením
soustavy získáme rovnici průniku dvou kulových ploch.
Obrázek 5.10: S -kružnice (střed – bod)
Abychom zjednodušili postup řešení soustavy, umístíme souřadnicovou soustavu tak, aby
osa x1 procházela bodem C (středem hledané kružnice). Tím z druhé rovnice eliminujeme
p
souřadnici c2 (souřadnice bude rovna nule). Z první rovnice vyjádříme x3 = 1 − x21 − x22 ,
což je vzorec, který jsme používali při výpočtu „prostorovéÿ souřadnice bodů. Po vyjádření
x3 z první rovnice a dosazení do rovnice druhé dostáváme následující rovnost:
2
2
r = (x1 − c1 ) +
x22
q
2
2
2
1 − x1 − x2 − c3 .
+
Po provedení úprav
c1
1 + c21 + c23 − r2
− x1 =
2c3
c3
|
{z
}
q
1 − x21 − x22 .
ϕ
Pro zpřehlednění dalších výpočtů provedeme substituci naznačenou svorkou.
ϕ2
x2
1 − x21 − x22
q
= ± 1 − x21 − ϕ2
=
(5.4)
Jak vidíme, je hodnota x2 závislá na proměnné x1 . Program Cabri disponuje nástrojem
Množina, který umožňuje vykreslit množinu bodů v závislosti na pohybu jiných objektů.
Umístíme proto bod P na úsečku, jejíž koncové body mají souřadnice [−1, 0, 0] a [1, 0, 0].
49
Při pohybu bodu po úsečce bude souřadnice p1 nabývat hodnot od −1 do +1. Tuto hodnotu
dosadíme do rovnice za proměnnou x1 . Nakonec sestrojíme dvojici přímek ve vzdálenost x2
od osy x1 a vztyčíme kolmici k ose x1 v bodě P . Průsečíky dvojice přímek s kolmicí jsou
body hledané s-kružnice – v Cabri vykreslíme množinu, kterou tvoří průsečíky při pohybu
bodu P .
Zvolíme-li libovolně pět bodů na výsledné množině, můžeme sestrojit elipsu, která je
těmito body určena a ověřit, že obrazem vedlejší kružnice je skutečně elipsa. Vstupními
objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k, střed s-kružnice C a bod A, který určuje
poloměr hledané s-kružnice. Výstupním objektem je elipsa, procházející body ležícími na
množině, kterou jsme nalezli v průběhu konstrukce.
5.5.5
Sestrojení s-kružnice dané středem a poloměrem
Předpokládejme, že uživatel zadá poloměr kružnice ve stupních – tj. pro konstrukci na
obrázku 5.10 zadá délku s-úsečky AC. Abychom mohli využít postupu pro sestrojení skružnice z části 5.5.4, potřebujeme určit Eukleidovskou vzdálenost bodů A, C. Výpočet
Eukleidovské vzdálenosti provedeme analogicky jako při odvození délky s-úsečky v části
5.5.3. Při výpočtu využijeme opět pravoúhlého trojúhelníku a při známé délce s-úsečky
dostáváme pro její Eukleidovskou délku vztah r = 2· d2 = 2·sin α2 . Jestliže známe souřadnice
středu C s-kružnice a máme vypočtenu hodnotu r, můžeme dosadit do rovnice 5.4. Postup po
dosazení do rovnice je naprosto totožný s postupem při konstrukci s-kružnice dané středem
a bodem na obvodu, z toho důvodu jej zde nebudeme znovu vypisovat.
1 x2
30,00 °
k
P2
O
C
P1 = 0,31
C [ 0,65; 0,00 ]
c3: 0,76
1
x1
r: 0,52
L2: 0,77
P2: 0,37
Obrázek 5.11: S -kružnice (poloměr)
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k, střed s-kružnice C a číslo
udávající poloměr kružnice9 . Výstupním objektem je elipsa procházející body ležícími na
množině, kterou jsme nalezli v průběhu konstrukce.
9 Při
použití makrokonstrukce je nutné v Cabri označit, že daná hodnota je uvedena ve stupních. Pomocí
nástroje Čísla vložíme na nárysnu číselnou hodnotu. Vložené číslo označíme a stiskneme kombinaci kláves
Ctrl+U. V kontextové nabídce, která se objeví, vybereme položku ’stupně’.
5.5.6
50
Výpočet velikosti úhlu daného třemi body
Mějme na kulové ploše dány tři různé nekomplanární body A, B, V , z nichž žádné dva nejsou
diametrálně protilehlé. Naším cílem je určit velikost úhlu, který svírají s-přímky AV a BV .
Jak je naznačeno na obrázku, s-přímky vedené body AV a BV určují sférický dvojúhelník,
jehož úhel ve vrcholu V chceme změřit. Z části 2.4 víme, že úhel dvojúhelníku je roven
úhlu, který svírají stěny odpovídajícího klínu. Úlohu určení úhlu sférického dvojúhelníku
tak převedeme na úlohu určení úhlu, který svírají roviny AV O a BV O.
Obrázek 5.12: Velikost s-úhlu – odchylka rovin
Odchylku roviny ρ1 = n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 a ρ2 = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m0 = 0
v eukleidovském prostoru E3 určíme jako odchylku normál ~n, m
~ obou rovin:
cos ](ρ1 , ρ2 ) = cos ](~n, m)
~ =
|m
~ · ~n|
,
|m|
~ · |~n|
kde 0 ≤ ](ρ1 , ρ2 ) ≤
π
.
2
(5.5)
Rovina ρ1 je v našem případě určena body AV O, rovina ρ2 je určena body BV O. Ze zadání
známe souřadnice bodů A, B, V, O („prostorovouÿ souřadnici x3 pro každý z bodů vypočteme
ze vzorce 5.1). Normálový vektor roviny AV O určíme jako vektorový součin jejích směrových
−→
−→
−→
−→
vektorů, tj. ~n =OA × OV , analogicky pro normálový vektor roviny BV O: m
~ =OB × OB.
Vektory ~n, m
~ dosadíme do vzorce 5.5. Výsledek udává úhel dvojúhelníku určeného body
A, V, B na jednotkové kulové ploše.
Obrázek 5.13: Velikost s-úhlu
51
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body A, V, B. Při vyvolání makrokonstrukce je nutné zadat body v odpovídajícím pořadí, tj. bod na jedné straně
dvojúhelníku, vrchol dvojúhelníku a bod na druhé straně. Výstupem je číselná hodnota ve
stupních udávající velikost úhlu dvojúhelníku.
5.5.7
Konstrukce sférické osy úhlu daného třemi body
Při realizaci této makrokonstrukce vyjdeme z úvah v předchozí části (určení velikosti úhlu
daného třemi body). Opět budeme uvažovat na kulové ploše tři nekomplanární body A, V, B,
z nichž žádné dva nejsou diametrálně protilehlé. Dále budeme pracovat s rovinou ρ1 = AV O,
v níž leží s-přímka AV , a s rovinou ρ2 = BV O, jíž náleží s-přímka BV . Rovnice rovin půlících
úhly dvou různoběžných rovin mají tvar:
a1
a2
b1
b2
c1
c2
d1
d2
x1 + √ ± √
x2 + √ ± √
x3 + √ ± √
= 0, (5.6)
√ ±√
ε1
ε2
ε1
ε2
ε1
ε2
ε1
ε2
kde ε1 = a21 + b21 + c21 , ε2 = a22 + b22 + c22 .
Koeficienty a1 , b1 , c1 (resp. a2 , b2 , c2 ) v obecných rovnicích rovin AV O, BV O získáme přes
vektorový součin směrových vektorů jednotlivých rovin:
−→
−→
−→
−→
(a1 , b1 , c1 )
= OA × OV
(a2 , b2 , c2 )
= OB × OV .
Koeficienty d1 , d2 jsou rovny nule, protože obě roviny procházejí počátkem soustavy souřadnic. K vyřešení úlohy zbývá pouze dosadit hodnoty koeficientů do rovnice 5.6 a nalézt
průsečnice výsledných rovin s průmětnou. Průsečnice určují hlavní osy elips, které jsou obrazem hlavních kružnic, půlících příslušný dvojúhelník na dva shodné dvojúhelníky.
Obrázek 5.14: S -osa úhlu
52
Pro sestrojení elipsy potřebujeme znát pět jejích bodů. Prvním je vrcholem úhlu V ,
druhým bod diametrálně protilehlý k bodu V . Dalšími dvěma body jsou průsečíky průsečnice
(hlavní osy elipsy) se základní kružnicí k. Známe-li hlavní osu elipsy, získáme potřebný pátý
bod např. jako obraz bodu V v osové souměrnosti podle hlavní osy elipsy.
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body A, V, B. Při vyvolání makrokonstrukce je nutné zadat body v odpovídajícím pořadí, tj. bod na jedné straně
dvojúhelníku, vrchol dvojúhelníku a bod na druhé straně. Výstupem jsou dvě hlavní kružnice, které dělí čtyři dvojúhelníky na kulové ploše vždy na dva shodné dvojúhelníky (tj. po
aplikování makrokonstrukce je na kulové ploše celkem osm dvojúhelníků).
5.5.8
Nalezení středu s-úsečky
Středem s-úsečky nazveme bod, který rozdělí s-úsečku (kruhový oblouk) na dva úseky shodné
s-délky. S-úsečka je v našem případě zadána dvěma různými body A, B na kulové ploše, které
nejsou diametrálně protilehlé. Je částí s-přímky, která leží v rovině AOB. V této rovině
hledáme polopřímku, která středový úhel příslušný s-úsečce AB rozdělí na dva shodné úhly.
Obrázek 5.15: Nalezení středu s-úsečky
Na obrázku 5.15 je naznačen princip řešení úlohy. V prvním kroku nalezneme eukleidovský střed úsečky AB (na obrázku označen S 0 ). Dále parametricky vyjádříme přímku OS 0
a určíme konkrétní hodnotu parametru, která odpovídá průsečíku přímky s jednotkovou
kulovou plochou. Dosazením konkrétní hodnoty do parametrické rovnice přímky získáme
souřadnice sférického středu s-úsečky AB.
Euklidovský střed úsečky AB má souřadnice S 0 = A+B
2 . Směrový vektor přímky určíme
−→
z rovnice OS 0 = S 0 − O = (s01 − 0, s02 − 0, s03 − 0) = (s01 , s02 , s03 ). Parametrickou rovnici přímky
OS 0 rozepíšeme do souřadnic a dostáváme:
x1 = ts01 ,
x2 = ts02 ,
x3 = ts03 .
(5.7)
Průsečík přímky s kulovou plochou nalezneme řešením soustavy rovnic 5.1 a 5.7. Po vyjádření
parametru t ze soustavy rovnic dostáváme rovnici:
t2 =
s0 21
1
.
+ s0 22 + s0 23
(5.8)
53
Protože body A, B může uživatel zadat pouze na „viditelnouÿ polovinu kulové plochy,
mají body A, B kladné souřadnice a3 resp. b3 . Po odmocnění rovnice proto budeme uvažovat pouze kladnou hodnotu parametru t. Tuto hodnotu dosadíme zpět do rovnice 5.7 a
vypočteme souřadnice bodu S, které jsou řešením úlohy. Vypočtené hodnoty naneseme na
odpovídající osy a do nákresny programu Cabri zakreslíme bod S.
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body A, B. Výstupem je
bod S. Správnost konstrukce můžeme ověřit pomocí makrokonstrukce z části 5.5.3 – určení
délky s-úsečky.
Obrázek 5.16: Střed s-úsečky
5.5.9
Konstrukce s-úsečky
Makrokonstrukce pro sestrojení s-úsečky byla vytvořena pouze pro zvýšení přehlednosti
konstrukcí v rovinném modelu geometrie na kulové ploše. Obrazem úsečky na kulové ploše
v ortografické projekci je eliptický oblouk. Ten však není možné v programu Cabri sestrojit
– k dispozici je pouze kruhový oblouk. Využijeme proto nástroj Množina, který umožňuje
vykreslit množinu bodů v závislosti na pohybu bodu.
Obrázek 5.17: Konstrukce s-úsečky
Nejprve sestrojíme pomocí makrokonstrukce s-přímku AB a s využitím základních ná-
54
strojů Cabri polopřímky OA, OB. Polopřímky protnou základní kružnici k v bodech A0 , B 0
– na obrázku 5.17 je naznačena popsaná situace. Eliptickému oblouku AB odpovídá kruhový
oblouk (část základní kružnice) A0 B 0 . Sestrojíme kruhový oblouk A0 B 0 a libovolně na něj
umístíme bod P 0 . Nástrojem Množina vykreslíme eliptický oblouk, který vytvoří průsečíky
polopřímky OP 0 s s-přímkou AB při pohybu bodu P 0 po kruhovém oblouku A0 B 0 .
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou body A, B a základní kružnice k. Výstupním
objektem je výše popsaná množina. Z pojetí objektu množina v Cabri plynou i některé
nevýhody konstrukce. Například nelze sestrojit průsečík dvou množin. Proto je nutné při
konstrukci průsečíku dvou s-úseček sestrojit nejprve odpovídající s-přímky, nalézt jejich
průsečík a následně s-přímky skrýt a místo nich sestrojit s-úsečku.
5.5.10
Nedostatky modelu v ortografické projekci
Program Cabri Geometry je primárně určen pro konstrukce v planimetrii. Konstrukce „trojrozměrnýchÿ obrázků, navíc s využitím analytické geometrie, proto naráží na jistá omezení
programu. Jeden z problémů si ukážeme na příkladu konstrukce kružnice opsané sférickému
trojúhelníku s využitím vytvořených makrokonstrukcí.
Ve sférické geometrii platí věta: „Sférické osy stran sférického trojúhelníku se protínají
v bodu, který je sférickým středem opsané kružnice.ÿ Sférickou osu strany sestrojíme obdobně
jako osu úsečky v rovinné geometrii – tj. sestrojíme kolmici středem s-úsečky.
C
a)
k
4
C
1
A
4
3
1
B
2
k
b)
A
3
B
2
Obrázek 5.18: Nedostatky modelu v ortografické projekci
Na obrázku 5.18a jsou sestrojeny sférické osy stran AB a AC trojúhelníku ABC. Osy
stran (v ortografické projekci dvě elipsy) se protnou celkem ve čtyřech bodech – jsou označeny čísly 1 až 4. Na obrázku a) je středem sférické kružnice opsané bod 1. Avšak při pohybu
naznačeném šipkou na obrázku b) dochází k „záměněÿ bodů 1 a 4 a středem sférické kružnice
opsané trojúhelníku ABC se stává bod 4. Lze tak vyslovit závěr, že se nejedná o dynamickou
konstrukci, neboť při pohybu bodů nejsou zachovány vazby mezi objekty. Problém spočívá
v tom, že v Cabri nelze odlišit „viditelnouÿ a „neviditelnouÿ část elipsy (s-přímky). Uživatel proto musí na základě situace rozhodnout, který ze čtyř bodů je průsečíkem dvou
„viditelnýchÿ s-přímek a je tedy „správnýmÿ středem sférické kružnice opsané10 .
10 Jak
bylo řečeno výše, uživatel může zadávat body pouze na „viditelnéÿ polokouli, proto musí i střed
sférické kružnice opsané ležet na „viditelné ÿpolokouli.
55
Ve vytvořeném modelu sférické geometrie v ortografické projekci není možné ověřovat
platnost některých vět rovinné geometrie, protože ze ztráty dynamičnosti některých konstrukcí by mohly vyplynout chybné závěry. Nedostatky tohoto modelu vedly k vytvoření
modelu nového – tentokrát ve stereografické projekci. Model geometrie na kulové ploše ve
stereografické projekci je sice méně názorný, nicméně vytvořené konstrukce si zachovávají
dynamiku ve všech situacích. Navíc je možné tento model použít i pro demonstraci eliptické
geometrie.
5.6
Model ve stereografické projekci v Cabri II Plus
Výhodou stereografické projekce je možnost zobrazit do roviny celou kulovou plochu (vyjma
středu promítání), přičemž obraz kulové plochy vyplní celou průmětnu. Za střed promítání N zvolíme „severní pólÿ. Průmětnou π je tečná rovina kulové plochy, která se jí dotýká
v jižním pólu S. Celá kulová plocha v tomto případě leží v jednom z poloprostorů rozdělených průmětnou. Základní kružnicí k nazveme kružnici, která je obrazem rovníku. Dle jejího
poloměru lze určit poloměr zobrazované kulové plochy. Při popisu vlastností stereografické
projekce ve čtvrté kapitole (str. 31) jsme uvedli, že mezi poloměrem obrazu rovníku a kulové
plochy platí vztah ρ = 2r – tj. základní kružnice má poloměr rovný dvojnásobku poloměru
kulové plochy. Dle polohy bodu vůči základní kružnici (resp. kruhu) můžeme určit jeho polohu na kulové ploše – náleží-li bod vnitřku základní kružnice k, leží na „ jižní polokouliÿ,
naopak leží-li obraz bodu vně základní kružnice, je jeho vzor na severní polokouli. Na obrázku 5.19 vlevo je zobrazen princip stereografické projekce a naznačen průmět rovníku,
jehož obrazem je základní kružnice. Obrázek vpravo zachycuje tutéž situaci v řezu rovinou,
která je kolmá k průmětně a prochází bodem X. Základní kružnice k je výchozím objektem
všech konstrukcí v modelu ve stereografické projekci.
Obrázek 5.19: Stereografická projekce
Objekty ve stereografické projekci sestrojené v Cabri budeme pojmenovávat s předponou
„e-ÿ (např. e-kružnice), aby nedocházelo k záměně s objekty sestrojenými v předchozí části
v ortografické projekci (pojmenovávány s předponou s, např. s-kružnice). Předpona e byla
zvolena z důvodu možného využití modelu pro demonstraci eliptické geometrie.
5.6.1
56
Diametrálně protilehlý bod
Nalezení diametrálně protilehlého bodu je základní konstrukcí, kterou budeme využívat
téměř ve všech následujících úlohách. Na obrázku 5.20 je zobrazen způsob nalezení diametrálně protilehlého bodu. Mějme sestrojenu základní kružnici k, která je obrazem rovníku
a libovolně zvolme bod A1 , který je průmětem bodu A kulové plochy (na obrázku bod
A1 náleží vnitřku základního kružnice). Chceme nalézt bod B1 , který je obrazem bodu B
diametrálně protilehlého k bodu A.
Obrázek 5.20: Diametrálně protilehlý bod
Na obrázku vlevo je vidět řez kulové plochy rovinou AON , kde A je libovolně zvolený bod
na kulové ploše, O je střed kulové plochy a N je střed promítání. Protilehlý bod k bodu A
náleží průniku přímky AO s kulovou plochou. Průmět bodu B nalezneme jako průsečík paprsku N B s průmětnou – průsečík označíme B1 . Díky souměrnosti koule můžeme konstrukci
v rovině řezu bez újmy na obecnosti sklopit do průmětny11 .
Na pravém obrázku je situace po sklopení do průmětny. Trojúhelník A0 N 0 B 0 je pravoúhlý,
neboť úsečka A0 B 0 je průměrem kružnice κ0 a bod N 0 leží na této kružnici. Pak ale musí být
pravoúhlý i trojúhelník A1 N 0 B1 , protože úhel u vrcholu N 0 je společný pro oba trojúhelníky.
Zároveň víme, že přímka SN je kolmá k průmětně a proto po sklopení bude kolmá i přímka
SN 0 k přímce A1 S. V Cabri při konstrukci diametrálně protilehlého bodu sestrojíme přímku
A1 S, ke které vedeme kolmici bodem S. Kolmice protne základní kružnici k v bodu N 0 ,
který je vrcholem pravoúhlého trojúhelníku. Kolmice k přímce A1 N 0 protne přímku A1 S
v hledaném bodě B1 .
V Cabri Geometry uložíme postup jako makrokonstrukci, která umožní protilehlý bod
nalézt „automatickyÿ. Vstupními objekty budou základní kružnice k a bod A1 . Jako výstupní
objekt vybereme bod B1 .
11 naznačeno
šipkou
5.6.2
57
Konstrukce e-přímky
Výchozími prvky úlohy jsou základní kružnice k a dva body A, B, které nejsou diametrálně
protilehlé. Navíc přidáme ještě požadavek, aby žádný z bodů A, B neležel ve středu základní
kružnice k. Úkolem je sestrojit obraz hlavní kružnice (e-přímky), která prochází body A, B.
Při konstrukci vyjdeme z následujících vět12 :
1. Každé hlavní kružnici procházející daným bodem X na kulové ploše náleží i bod diametrálně protilehlý k bodu X.
2. Stereografickým průmětem každé kružnice na kulové ploše, která neprochází středem
promítání, je opět kružnice.
3. Stereografickým průmětem každé kružnice na kulové ploše, která prochází středem promítání, je přímka.
Z tvrzení 1. plyne, že pokud e-přímka prochází body A, B, musí procházet i body A0 , B 0 ,
které jsou k nim diametrálně protilehlé. S využitím makrokonstrukce z předchozí části nalezneme jeden z bodů A0 , B 0 . Pokud nejsou body A, B, S kolineární, pak můžeme využít
tvrzení 2. a e-přímku sestrojíme jako kružnici opsanou trojúhelníku ABA0 (resp. trojúhelníku ABB 0 ). Ve speciálním případě, kdy jsou body A, B, S kolineární, budou ležet v přímce
i body A, B, A0 , B 0 a e-přímkou bude eukleidovská přímka AB.
oA'B
A'
B
S
A
oAB
k
Obrázek 5.21: E -přímka
Makrokonstrukci uložíme pro situaci, kdy body A, B, S nejsou kolineární a řešením je
kružnice. Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body A, B. Výstupním objektem je kružnice procházející body A, B, a k nim diametrálně protilehlými
body A0 , B 0 .
5.6.3
Konstrukce e-úsečky a e-trojúhelníku
V okamžiku, kdy máme uloženu makrokonstrukci pro sestrojení e-přímky, můžeme snadno
sestrojit e-úsečku. Obrazem hlavní kružnice ve stereografické projekci je kružnice a částí
12 Věty
2. a 3. jsou dokázány na straně 33.
58
e-přímky je tedy kruhový oblouk. Uživatel nechť zadá dva body A, B, které jednoznačně
určují e-úsečku. Pro konstrukci e-úsečky použijeme nástroj Oblouk, kterým vytvoříme oblouk s koncovými body A, B. Třetí bod, potřebný pro konstrukci oblouku v Cabri, zvolíme
na e-přímce, kterou jsme sestrojili s využitím předchozí makrokonstrukce. Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a koncové body e-úsečky A, B. Výstupním
objektem je kruhový oblouk spojující body A, B.
Konstrukce e-trojúhelníku spočívá v opakovaném použití makrokonstrukce pro sestrojení e-úsečky. E-úsečkami spojíme vrcholy trojúhelníku a jako výstupní objekty konstrukce
uložíme kruhové oblouky tvořící strany e-trojúhelníku.
B
B
k
A
k
A
C
Obrázek 5.22: E -úsečka a e-trojúhelník
5.6.4
E -kolmice k dané e-přímce daným bodem na e-přímce
Úkolem je sestrojit e-přímku (kružnici), která je kolmá k e-přímce (kružnici) AB a prochází
daným bodem C, který leží na e-přímce AB. Má-li procházet hledaná kružnice bodem C,
musí procházet i bodem diametrálně protilehlým. Ten sestrojíme pomocí makrokonstrukce
a označíme jej C 0 . Množinou M1 středů všech kružnic, které procházejí body C, C 0 je osa
úsečky CC 0 . Zároveň požadujeme, aby výsledná kružnice protínala e-přímku AB pod pravým
úhlem. Množinou M2 středů všech kružnic, které ortogonálně protínají e-přímku AB v bodě
C, je tečna k e-přímce v bodě C. Střed S hledané kružnice leží v průniku M1 a M2 , tj.
S ∈ M1 ∩ M2 . Poloměr kružnice je dán velikostí úsečky SC.
C'
t
A
oCC'
S
B
k
C
Obrázek 5.23: E -kolmice bodem na přímce
Za vstupní objekty makrokonstrukce zvolíme základní kružnici k, e-přímku AB a bod
C. Výstupním objektem je kružnice se středem v bodě S a poloměrem SC.
5.6.5
59
E -kolmice k dané e-přímce daným bodem mimo e-přímku
Jedná se o podobnou úlohu jako je předchozí – v řešení úlohy opět využijeme množiny
bodů dané vlastnosti a navíc i kruhové inverze. Předpokládejme, že máme zadánu základní
kružnici k, e-přímku AB a bod C mimo danou e-přímku. Má-li kolmice procházet bodem
C, musí procházet i diametrálně protilehlým bodem C 0 . Osa oCC 0 je množinou M1 středů
všech kružnic, které procházejí body C a C 0 . Dále hledáme množinu středů všech kružnic,
které ortogonálně protínají e-přímku AB a zároveň procházejí bodem C. V kruhové inverzi
podle e-přímky AB nalezneme obraz bodu C, na obrázku 5.24 je označen Cinv . Z vlastností
kruhové inverze plyne, že všechny kružnice, které prochází body C, Cinv , budou ortogonálně
protínat e-přímku AB. Množinou M2 středů všech těchto kružnic je osa úsečky CCinv (na
obrázku označena oCCinv ). Střed S hledané kružnice je průnikem množin M1 , M2 , tj. leží
v průsečíku os oCC 0 a oCCinv .
Cinv
oCCinv
k
C
A
B
oCC'
S
C'
Obrázek 5.24: E -kolmice bodem mimo přímku
Výslednou konstrukci uložíme jako makro. Vstupními objekty jsou základní kružnice k,
e-přímka AB a bod C. Výstupním objektem je kružnice k se středem S a poloměrem SC.
5.6.6
Velikost úhlu daného třemi body, součet úhlů v trojúhelníku
Stereografická projekce zachovává velikost úhlů, proto je tato úlohu relativně jednoduchá.
Mějme zadány tři body A, V, B, které neleží na jedné e-přímce. Chceme určit úhel dvojúhelníku AV B, kde body AB leží na stranách trojúhelníku a bod V je jedním z vrcholů
dvojúhelníku (druhým vrcholem je bod V 0 , který je diametrálně protilehlý k bodu V ). Ve
stereografické projekci se úloha mění na problém určení úhlu, který svírají e-přímky (kruhové
křivky) AV a BV . Určení úhlu kruhových křivek obvykle převádíme na změření úhlu jejich
tečen v jednom z průsečíků. Pro nás je však tato metoda nevýhodná, neboť pro změření úhlu
je třeba v Cabri označit tři body. Po sestrojení tečen bychom museli zvolit body na tečnách
a tím by konstrukce ztratila obecnost (⇒ nebylo by ji možné uložit jako makrokonstrukci).
Z tohoto důvodu využijeme kruhové inverze, která zachovává velikost úhlů. Za řídící
60
kružnici kruhové inverze zvolíme kružnici ω se středem v bodě V a poloměrem V O. V takto
zvolené kruhové inverzi se e-přímka AV zobrazí na eukleidovskou přímku pAV a e-přímka
BV na eukleidovskou přímku pBV . Body A, B se zobrazí na body A0 ∈ pAV , B0 ∈ pBV .
Průsečík e-přímek V se sice zobrazí na nevlastní bod, avšak diametrálně protilehlý bod V 0
(v němž je úhel křivek stejný) se převede na bod V00 , který je průsečíkem přímek pAV , pBV .
Nástrojem Velikost úhlu nakonec změříme velikost úhlu A0 V00 B0 a výsledek vyneseme na
nákresnu. Postup uložíme jako makrokonstrukci – vstupními objekty jsou základní kružnice
k a body A, V, B. Výstupem je číselná hodnota udávající velikost úhlu AV B.
pBV
ω
A
k
A
A0
V
V0'
B0
123,4 °
S
V'
B
pAV
C
125,2 °
118,7 °
B
součet vnitřních úhlů
v trojúhelníku: 367,29 °
velikost úhlu: 136,3 °
Obrázek 5.25: Velikost úhlu a součet vnitřních úhlů v e-trojúhelníku
Uloženou makrokonstrukci můžeme využít pro určení součtu vnitřních úhlů trojúhelníku.
Postupně určíme velikosti úhlů ABC, ACB a BAC, naměřené hodnoty sečteme a výsledek
vyneseme na nákresnu. Pro urychlení práce můžeme i tyto kroky uložit jako makrokonstrukci.
5.6.7
E -osa úhlu
Při konstrukci využijeme kruhovou inverzi stejným způsobem jako v předchozí úloze. Nechť
jsou opět dány tři body A, V, B, které neleží na jedné e-přímce a základní kružnice k. Střed
řídící kružnice ω kruhové inverze zvolíme v bodě V , poloměr kružnice je dán úsečkou V O.
E-přímky AV, BV se v kruhové inverzi podle kružnice ω zobrazí na eukleidovské přímky
pAV , pBV . Ze základní nabídky Cabri vybereme nástroj Osa úhlu a sestrojíme osu úhlu
daného body A0 XB0 , kde X je průsečík přímek pAV , pBV . V kruhové inverzi podle kružnice
ω se osa o0 (přímka) zobrazí na kružnici o, která je hledanou osou úhlu AV B.
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body A, V, B. Výstupním
objektem je kružnice (e-přímka) o.
61
pAV
ω
V
X B0
o0
A
A0
S
pBV
B
k
o
Obrázek 5.26: E -osa úhlu
5.6.8
E -vzdálenost dvou bodů
Stereografická projekce zachovává velikost úhlů, avšak zkresluje délku úsečky. Proto se budeme snažit převést úlohu určení vzdálenosti na úlohu určení úhlu. Mějme dánu kulovou
plochu a na ní dva libovolně zvolené body A, B. Krajními body sférické úsečky AB proložíme roviny, které jsou k ní kolmé a procházejí středem kulové plochy. Vznikne tak klín, jehož
hrana prochází středem kulové plochy. Průnikem kulové plochy a takto sestrojeného klínu
je sférický dvojúhelník, jehož velikost úhlu je rovna délce sférické úsečky AB (ve stupních).
Situace je naznačena na obrázku 5.27.
Obrázek 5.27: Délka sférické úsečky a sférický dvojúhelník
Analogicky budeme postupovat při určení délky e-úsečky v modelu ve stereografické
projekci. Krajními body e-úsečky AB vedeme kolmice qA , qB . Kolmice se protnou ve dvou
diametrálně protilehlých bodech X, X 0 . Nyní stačí použít dříve vytvořenou makrokonstrukci
a změřit velikost úhlu AXB (nebo AX 0 B). Výsledná hodnota udává délku e-úsečky AB ve
stupních.
X'
qB
62
qA
d = 124,3 °
k
A
S
B
X
Obrázek 5.28: E -vzdálenost dvou bodů
5.6.9
Osa e-úsečky, střed e-úsečky
V rovinné geometrii platí, že osa úsečky je zároveň její osou souměrnosti. Stejnou úvahu použijeme i v modelu geometrie na kulové ploše ve stereografické projekci. Protože ale pracujeme
s kruhovými křivkami, plní zde roli osové souměrnosti kruhová inverze.
o
k
τ
A
r
P B
k
A
O
SAB
T
B'
E
A'
s
B
oAB
Obrázek 5.29: Osa e-úsečky, střed e-úsečky
Nechť je dána základní kružnice k a dva libovolně zvolené body A, B, které nejsou diametrálně protilehlé. Chceme nalézt e-přímku o, která ortogonálně protíná e-úsečku AB a
zároveň pro libovolný bod X přímky o platí |XA| = |XB|. Předpokládejme, že bod B je
obrazem bodu A v kruhové inverzi podle hledané e-přímky o. V kruhové inverzi platí, že
střed řídící kružnice kruhové inverze, vzor a obraz jsou kolineární. Sestrojíme proto přímku
r = ↔ AB. Pokud jsou body A, B obraz a vzor v kruhové inverzi, pak musí platit totéž i
pro jejich diametrálně protilehlé body. S využitím makrokonstrukce sestrojíme diametrálně
63
protilehlé body A0 , B 0 k bodům A, B a dále přímku s = ↔ A0 B 0 . Průsečík O přímek r, s je
středem řídící kružnice inverze, v které se bod A zobrazí na bod B. Má-li být úsečka AB
samodružná, pak ji musí řídící kružnice kruhové inverze protínat pod pravým úhlem. Pomocí
Thaletovy kružnice nalezneme bod P (resp. dva body), ve kterém kružnice se středem v bodě
O protíná ortogonálně e-přímku AB. Makrokonstrukcí pro změření vzdálenosti dvou bodů
ověříme, že nalezená e-přímka o má požadovanou vlastnost, tj. pro každý bod X ∈ o platí
|XA| = |XB|. Postup opět uložíme jako makrokonstrukci. Vstupními objekty jsou základní
kružnice k a body A, B. Výstupním objektem je e-přímka (kružnice) o.
Sestrojení středu e-úsečky AB, který je na obrázku 5.29 vpravo, je s použitím poslední
uložené makrokonstrukce snadné. Bod SAB získáme jako průsečík e-úsečky AB a osy eúsečky AB, protože jsme v předchozím kroku ověřili, že e-osa úsečky AB je množinou všech
bodů, které mají od bodů AB stejnou vzdálenost.
5.6.10
E -kružnice daná středem a bodem na obvodu
Předpokládejme, že máme sestrojenu základní kružnici k. Uživatel zvolí libovolně bod C,
který je středem e-kružnice a bod A, který určuje její poloměr (r = |AC|). Chceme sestrojit
e-kružnici, která má střed v bodě C (není totožný s eukleidovským středem kružnice) a
prochází bodem A.
Sférická kružnice musí být v prostoru souměrná podle roviny CN S, která je kolmá k průmětně (bod C je vzorem bodu C na kulové ploše). Stereografickým průmětem této roviny
(resp. průmětem hlavní kružnice, která prochází body CN S) je přímka CS. Souměrnost
podle roviny ve stereografické projekci přejde na osovou souměrnost. Proto sestrojíme obraz
bodu A v osové souměrnosti podle přímky CS. Obraz bodu A pojmenujeme Ao . Osa úsečky
AAo je množinou M1 středů všech kružnic, které procházejí body A a Ao . Zároveň musí
být e-kružnice souměrná podle svého libovolného průměru. Jedním z takových průměrů je
e-přímka AC. Aby byla e-kružnice souměrná podle e-přímky (kruhové křivky) AC, musí
ji protínat ortogonálně. Tečna t k e-přímce AC v bodě A je množinou M2 středů všech
kružnic, které protínají ortogonálně e-přímku (kružnici) AC. Eukleidovský střed P hledané
e-kružnice se středem v bodě C a poloměrem AC náleží průniku množin M1 a M2 .
κ
A
P
S
C
t
k
M1
Ao
Obrázek 5.30: E -kružnice
Vstupními objekty makrokonstrukce jsou základní kružnice k a body C, A. Výstupním
objektem je kružnice se středem v bodě P a poloměrem P A.
Kapitola 6
Ověřování některých vět
V této kapitole nastíníme ještě několik vlastností sférického trojúhelníku. Ověření prvních
čtyř vět je ukázkou analogie mezi sférickou a rovinnou geometrií. Naopak další dvě věty jsou
pro sférickou geometrii specifické. Při ověřování vět se projevuje význam modelů sestrojených
v předchozí části. Jejich prostřednictvím získáváme názornou představu o vlastnostech sférického trojúhelníku, o kterých bychom pochybovali vzhledem k dosavadní zkušenosti pouze
s rovinnou geometrií (např. že součet vnitřních úhlů ve sférickém trojúhelníku leží v rozmezí
π až 3π).
Na tomto místě ještě zdůrazněme, že nebudeme provádět důkaz, ale pouze ověření vět.
Na základě experimentu potvrdíme nebo zamítneme hypotézu, že daná věta platí. Ověření
experimentem nelze zaměnit za důkaz, neboť při konstrukci nemůžeme postihnout všechny
možné polohy vstupních prvků.
6.1
Trojúhelníková nerovnost
Věta: Součet dvou stran trojúhelníku je vždy větší než strana třetí. Rozdíl dvou stran trojúhelníku je vždy menší než strana třetí.
V modelu v ortografické projekci sestrojíme s využitím nástroje s-úsečka sférický trojúhelník. Dále využijeme makra pro určení s-vzdálenosti dvou bodů na kulové ploše. Naměřené
s-délky vložíme do kalkulátoru, pomocí něhož vypočteme součty a rozdíly stran. Při pohybu
body A, B, C ověřujeme, že tvrzení věty platí.
6.2
Kružnice opsaná sférickému trojúhelníku
Věta: Osy stran trojúhelníku se protínají v jediném bodu, který je středem kružnice opsané
trojúhelníku.
64
KAPITOLA 6. OVĚŘOVÁNÍ NĚKTERÝCH VĚT
65
Před provedením konstrukce uvedeme definici sférické osy strany sférického trojúhelníku:
Sférická osa oa strany BC sférického trojúhelníku ABC je hlavní kružnice, která prochází
středem A1 strany (oblouku) BC a je kolmá k hlavní kružnici určené body BC. Osa oa je
množinou všech bodů kulové plochy, které mají stejné sférické vzdálenosti od bodů B, C.
|BC|+|AC|= 132,36 °
A
|AB|+|AC|= 135,94 °
|AB|+|BC|= 130,17 °
B
||BC|-|AC||= 5,77 °
C
> |AB| = 66,87 °
> |BC|= 63,30 °
> |AC|= 69,07 °
||AB|-|AC||= 2,19 °
< |AB|= 66,87 °
< |BC|= 63,30 °
||AB|-|BC||= 3,58 °
< |AC|= 69,07 °
Obrázek 6.1: Trojúhelníková nerovnost
V modelu ve stereografické projekci sestrojíme sférický trojúhelník (nástroj e:trojúhelník).
Dále použijeme makrokonstrukci e:osa úsečky a sestrojíme osy všech tří stran sférického trojúhelníku. Sférické osy oa , ob , oc se protínají ve dvou diametrálně protilehlých bodech kulové
plochy. Písmenem S označíme ten bod, který má od bodů A, B, C menší sférickou vzdálenost. Bod S má stejnou sférickou vzdálenost r od vrcholů A, B, C sférického trojúhelníku a
je středem kružnice opsané sférickému trojúhelníku (sférická vzdálenost r je její sférický
poloměr).
C
A
oc
S
oa
B
ob
Obrázek 6.2: Kružnice opsaná sf. trojúhelníku
6.3
Kružnice vepsaná sférickému trojúhelníku
Věta: Osy úhlů trojúhelníku se protínají v jediném bodu, který je středem kružnice vepsané
trojúhelníku.
Obdobně jako u kružnice opsané uvedeme nejprve definici - tentokrát sférické osy úhlu:
Sférická osa oα úhlu α sférického trojúhelníku ABC je hlavní kružnice, která dělí příslušný
66
dvojúhelník s úhlem α na dva shodné dvojúhelníky. Sférická osa úhlu je množinou všech
bodů příslušného dvojúhelníku, které mají stejné sférické vzdálenosti od hlavních kružnic
určených body AB, AC.
Stejně jako při konstrukci kružnice opsané sestrojíme sférický trojúhelník v modelu ve
stereografické projekci. S využitím makrokonstrukce e:osa úhlu narýsujeme osy úhlů α, β, γ.
Sférické osy úhlů sférického trojúhelníku se protínají ve dvou diametrálně protilehlých bodech. Označíme písmenem V ten, který leží uvnitř sférického trojúhelníku ABC. Bod V
má shodné sférické vzdálenosti od hlavních kružnic AB, BC, AC. Hlavní kružnice, vedené
kolmo bodem V k hlavním kružnicím AB, BC, AC, protnou strany AB, BC, AC sférického
trojúhelníku v bodech K, L, M . Bod V má tutéž sférickou vzdálenost ρ od bodů K, L, M , je
tedy středem sférické kružnice k, která prochází body K, L, M . Kružnice k se nazývá kružnice vepsaná sférickému trojúhelníku ABC. Bod V je jejím sférickým středem a sférická
vzdálenost ρ jejím sférickým poloměrem.
C
M
A
L
uα
V
K
B
uγ
uβ
Obrázek 6.3: Kružnice vepsaná sf. trojúhelníku
6.4
Průsečík výšek – ortocentrum
Věta: Výšky trojúhelníku se protínají v jediném bodu, který se nazývá ortocentrum.
Pro ověření platnosti věty zvolíme rovinný model geometrie na kulové ploše ve stereografické projekci. S využitím makrokonstrukce e:trojúhelník sestrojíme sférický trojúhelník
ABC. Poté nástrojem e:kolmice z bodu sestrojíme kolmice ze všech tří vrcholů A, B, C trojúhelníku k protějším stranám a, b, c. Zjišťujeme, že výšky va , vb , vc se protínají v jediném
bodě V (resp. ve dvou diametrálně protilehlých bodech, které ztotožňujeme v jeden). Pohybováním vrcholy trojúhelníku můžeme ověřit, že věta platí.
6.5
67
Součet vnitřních úhlů ve sf. trojúhelníku
Věta: Jsou-li α, β, γ úhly sférického trojúhelníku, pak platí 180◦ < α + β + γ < 540◦ .
Dosud jsem ověřovali věty, které jsou shodné jak v Eukleidovské geometrii, tak v geometrii
na kulové ploše. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku je však ve sférické geometrii odlišný.
C
va
vb
V
A
B
vc
Obrázek 6.4: Průsečík výšek – ortocentrum
Větu ověříme v modelu v ortografické projekci, kde můžeme demonstrovat i „hraničníÿ
případy. Opakovaným použitím nástroje s-úsečka sestrojíme sférický trojúhelník a následně
použijeme makro pro určení odchylky dvou s-úseček na kulové ploše. Naměřené hodnoty
vyneseme na nákresnu, vložíme do kalkulátoru v Cabri a sečteme je. Při pohybu vrcholy
trojúhelníku se přesvědčíme, že nerovnost platí.
C
α = 68,12 °
β = 55,97 °
γ = 89,33 °
γ
A
α
β
B
α + β + γ = 213,43 °
180° < 213,43 ° < 540°
Obrázek 6.5: Součet vnitřních úhlů trojúhelníku
Umístíme-li všechny tři vrcholy trojúhelníku co nejblíže k základní kružnici k (tak,
aby ještě konstrukce měla smysl), vidíme, že součet vnitřních úhlů trojúhelníku se blíží
k mezní hodnotě 540◦ . Naopak přesuneme-li vrcholy co nejblíže k sobě (snažíme se vytvořit
co nejmenší trojúhelník), součet se blíží k hodnotě 180◦ .
6.6
68
Thaletova věta
Věta: Všechny obvodové úhly nad průměrem jsou pravé.
V modelu v ortografické projekci sestrojíme libovolnou kružnici se středem S a její libovolný průměr AB. Na s-kružnici zvolíme libovolný bod C, různý od bodů A, B. Podle
Thaletovy věty by mělo platit |]ACB| = 90◦ , avšak změřením úhlu zjišťujeme, že tomu tak
není. Při pohybu bodu C po s-kružnici navíc můžeme pozorovat, že velikost úhlu ]ACB se
mění. Čím blíže je bod C krajnímu bodu průměru, tím více se blíží velikost úhlu ]ACB 90◦ .
Se zvětšující se vzdáleností bodu C od krajních bodů průměru se zvětšuje i velikost úhlu
ACB. Velikost úhlu ACB je závislá také na poloměru sférické kružnice – pokud její poloměr zmenšíme, bude se blížit velikost obvodového úhlu 90◦ . V případě, kdy by se velikost
poloměru kružnice blížila nule, by pro všechny úhly ACB platilo |]ACB| ≈ 90◦ .
C
γ
A
S
τ
γ = 104,41 °
B
Obrázek 6.6: Thaletova kružnice
Již u kosinové věty pro stranu v pravoúhlém sférickém trojúhelníku jsme ukázali, že
pro „malýÿ sférický trojúhelník platí přibližně Pythagorova věta rovinné geometrie. Uvedený příklad tak potvrzuje domněnku, že při zmenšování objektů na kulové ploše (resp. při
zvětšování kulové plochy) objekty vykazují stejné vlastnosti jako v rovinné geometrii.
Závěr
Téma Sférická geometrie je natolik široké, že během zpracování bylo mnohokrát nutné se
rozhodnout, které oblasti do práce zahrnout a které vynechat. Diplomová práce je nakonec
pojata jako „učebniceÿ, která má čtenáře seznámit se základy geometrie na kulové ploše.
Důraz je kladen na popis základních objektů na kulové ploše – hlavní a vedlejší kružnice,
sférického dvojúhelníku a trojúhelníku. Popis základních objektů je v mnoha zdrojích (jak
tištěných tak elektronických) opomíjen.1
V kapitole Sférická trigonometrie jsme se omezili pouze na čtyři ze šesti možných zadání
sférického trojúhelníka. Pro přiblížení významu sférické trigonometrie by měl být rozbor úloh
sss, uuu, sus a usu dostačující. Sférická trigonometrie je velmi podrobně a srozumitelně
zpracována v literatuře [12].
Při studiu vlastností objektů na kulové ploše je velmi důležitá názornost, proto práce
obsahuje množství obrázků. Při tvorbě „učebniceÿ bylo však nutné situace prostorové geometrie převést na plochu papíru. Tento problém byl motivací ke konstrukci rovinných modelů sférické geometrie. Popis věnovaný vytvoření modelů je stěžejní částí práce, do které je
možné zahrnout i kapitolu Zobrazení kulové plochy do roviny, objasňující teorii potřebnou
pro konstrukci modelů.
Pro realizaci modelů byl zvolen program Cabri Geometry II Plus. Díky možnosti ukládání
makrokonstrukcí lze zjednodušit i komplikované postupy a shrnout je do několika málo kroků.
Vytvořené modely posloužily jak při tvorbě dalších ilustračních obrázků, tak především při
zkoumání a ověřování vlastností objektů na kulové ploše. Vzhledem k dalším možnostem
využití vytvořených modelů (např. ve sférické trigonometrii pro ověření správnosti řešení
sférického trojúhelníka nebo pro demonstraci vlastností eliptické geometrie) je k diplomové
práci přiloženo CD, které obsahuje všechny konstrukce označené v textu ikonou. Na CD
jsou k dispozici i soubory typu .men, které po otevření v programu Cabri Geometry II Plus
rozšíří základní nabídku o nástroje pro konstrukce v rovinném modelu geometrie na kulové
ploše. Uživatel tak nemusí znát princip, na kterém jsou nástroje založeny a přesto je může
používat.
1Z
vlastní zkušenosti mohu říci, že mi to v některých případech velmi ztížilo pochopení vykládané látky.
69
Resumé
The work presents a comprehensive explanation of spherical geometry, including metric
characteristics, spherical trigonometry and curves on a surface. The introduction deals with
the significance of spherical geometry and the close relationship between spherical geometry
and Non-Euclidean geometry. After that there is a clear description of principles of spherical
geometry, including a description of the spherical biangle and triangle. A separate chapter
is devoted to the spherical triangle and spherical trigonometry. The second half of the work
describes methods of projection of a spherical surface on a plane. This part is complemented
with constructions created in the Cabri Geometry II Plus program, which are available on
the included CD.
70
Literatura
[1] Austin, D. – Dickinson, W.; Spherical Easel – A spherical drawing program; 2005;
[online], dostupný na www: <http://merganser.math.gvsu.edu/easel/>
[2] Bainville, E.; Cabri Geometrie II plus – Příručka pro uživatele, přel. Vrba A.;
Cabrilog S.A.S., 2003; [online], dostupný na www: <www.pf.jcu.cz/p-mat/texty/vrba/
manual CabriPlus.pdf>
[3] Bartsch, H.-J.; Matematické vzorce, přel. Tichý Z.; Mladá fronta Praha, 2000;
ISBN 80-204-0607-7
[4] Burešová, J. – Vospěl, Z.; Sférická trigonometrie – doplňkové skriptum; Ediční
středisko ČVUT, 1989; 53 s.
[5] Drábek, J. – Votrubová, R.; Geneze filozofického a matematického pojmu prostor ;
Pedagogické centrum Plzeň, 2002; ISBN 80-7020-106-1
[6] Eagleton, K.; Spherical Trigonometry; Dep. of History and Philosophy of Science of
the University of Cambridge; [online], dostupný na www: <http://www.hps.cam.ac.uk/
starry/sphertrig.html>
[7] Findell, B.; Elliptic Geometry Drawing Tools – MAA Sketchpad Session;
[online], dostupný na www: <http://mathforum.org/sketchpad/maa96/findell/>
[8] Findell, B.; Elliptic/Spherical Toolkit; [online], dostupný na www:
<http://www.keypress.com/sketchpad/general resources/advanced sketch gallery/>
[9] Chvátalová, H.; Diplomová práce – Geometrie na kulové ploše; PF JČU České Budějovice, 2001; vedoucí práce doc. RNDr. Jan Strobl, CSc.
[10] Hojovec, V. a kol.; Kartografie; GKP Praha, 1987
[11] International Union of Crystallography; Geometrical Construction of a Stereographic Projection; [online], dostupný na www: <http://www.iucr.org/iucr-top/comm/
cteach/pamphlets/11/node3.html>
71
LITERATURA
72
[12] Kůst, J.; Sférická trigonometrie; SPN Praha, 1964
[13] Lávička, M.; Geometrie I. – Základy geometrie v rovině ; Západočeská univerzita
v Plzni, 2002; ISBN 80-7082-861-7
[14] Lávička, M.; KMA/G1 Geometrie 1 – Pomocný učební text; Západočeská univerzita
v Plzni, 2004; [online], dostupný na www: <http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/G1/
texty/>
[15] Macháček, M.; Diplomová práce – Lobačevského geometrie a řešení vybraných úloh
v těchto modelech; Západočeská univerzita v Plzni, 2002; vedoucí práce RNDr. Miroslav
Lávička, Ph.D.
[16] Novák, V. – Murdych, Z.; Kartografie a topografie; Státní ped. nakladatelství, 1988
[17] Pavlíček, Jan B.; Základy neeukleidovské geometrie Lobačevského; Přírodovědecké
nakladatelství Praha, 1953
[18] Polking, John C.; The Geometry of the Sphere; Rice University, Houston, leden 2000;
[online], dostupný na www: <http://math.rice.edu/~pcmi/sphere/>
[19] Rektorys, K. a spol.; Přehled užité matematiky; SNTL Praha, 1973
[20] Sekanina M. – Boček, L. – Kočandrle, M. – Šedivý, J.; Geometrie II ; Státní
pedagogické nakladatelství v Praze, 1988
[21] Struik, Dirk J.; Dějiny matematiky; Orbis Praha, 1963
[22] Tichý, O. – Švec, R.; Matematický zeměpis a kartografie – učebnice pro ped. fakulty;
Státní pedagogické nakladatelství v Praze, 1970
Seznam obrázků
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
Kulová plocha . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hlavní kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . .
Délka s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hlavní a vedlejší kružnice . . . . . . . . . . .
Délka oblouku AB . . . . . . . . . . . . . . .
Klín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sférický dvojúhelník . . . . . . . . . . . . . .
Trojhran s vyznačeným úhlem při hraně OB 0
Sférický trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . .
Polární trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . .
Sférická kružnice . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
12
13
13
14
15
16
16
17
18
18
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
Sinová věta – odvození . .
Kosinová věta – odvození
Úloha SSS . . . . . . . . .
Úloha UUU . . . . . . . .
Úloha SUS . . . . . . . .
Úloha USU . . . . . . . .
Pravoúhlý trojúhelník . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
20
27
27
27
27
27
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Azimutální, kuželová a válcová projekce . . . . . . . . . . . . . . . .
Princip gnómonické projekce, poloměr obrazu rovnoběžkové kružnice
Gnómonická projekce v poloze normální, příčné a obecné . . . . . .
Princip ortografické projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ortografická projekce v poloze normální, příčné a obecné . . . . . .
Princip stereografické projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stereografická projekce v poloze normální, příčné a obecné . . . . . .
Stereografická projekce – kružnice → kružnice . . . . . . . . . . . . .
Stereografická projekce – kružnice → přímka . . . . . . . . . . . . .
Důkaz konformity stereografické projekce . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
30
30
31
31
32
32
33
34
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
73
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
SEZNAM OBRÁZKŮ
74
4.11
4.12
4.13
4.14
Princip kuželové projekce . . . . . .
Kuželová projekce v normální poloze
Princip válcové projekce . . . . . . .
Válcová projekce v normální poloze .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
36
36
36
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
5.21
5.22
5.23
5.24
5.25
5.26
5.27
5.28
5.29
5.30
Geometer’s Sketchpad s rozšířením Spherical Toolkit . .
Cinderella – Spherical View . . . . . . . . . . . . . . . .
Spherical Easel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cabri Geometry II Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Souřadnicová soustava pro model v ortografické projekci
S -přímka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S -kolmice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Výpočet délky s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Délka s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S -kružnice (střed – bod) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S -kružnice (poloměr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Velikost s-úhlu – odchylka rovin . . . . . . . . . . . . .
Velikost s-úhlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S -osa úhlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nalezení středu s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Střed s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstrukce s-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nedostatky modelu v ortografické projekci . . . . . . . .
Stereografická projekce . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diametrálně protilehlý bod . . . . . . . . . . . . . . . .
E -přímka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E -úsečka a e-trojúhelník . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E -kolmice bodem na přímce . . . . . . . . . . . . . . . .
E -kolmice bodem mimo přímku . . . . . . . . . . . . . .
Velikost úhlu a součet vnitřních úhlů v e-trojúhelníku .
E -osa úhlu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Délka sférické úsečky a sférický dvojúhelník . . . . . . .
E -vzdálenost dvou bodů . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Osa e-úsečky, střed e-úsečky . . . . . . . . . . . . . . . .
E -kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
39
40
41
43
44
45
46
47
47
48
49
50
50
51
52
53
53
54
55
56
57
58
58
59
60
61
61
62
62
63
6.1
6.2
6.3
6.4
Trojúhelníková nerovnost . . . .
Kružnice opsaná sf. trojúhelníku
Kružnice vepsaná sf. trojúhelníku
Průsečík výšek – ortocentrum . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
65
66
67
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
SEZNAM OBRÁZKŮ
6.5
6.6
Součet vnitřních úhlů trojúhelníku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Thaletova kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
67
68

ve formátu PDF - Geometrie

Transkript

Podobné dokumenty

TP-8A-2013-12-16

č. 3 - Podpora výuky a vzdělávání na GVN J. Hradec

TP-8B-2013-12-16

Zobrazit - K. Dvořáčka

7.5.03 Hledání kružnic II