1. přednáška

Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Úpravy výraz·
P°edpokládané znalosti
Matematika I
1. PEDNÁ’KA
26. 2. 2016
Nutná je shopnost orientovat se ve sloºit¥j²íh výrazeh a upravovat je,
1 P°edpokládané znalosti
tedy nap°.
Úpravy výraz·
Funke
upravovat zlomky,
Analytiká geometrie
2 Cyklometriké funke
ovládat pravidla typu rozdíl £tver· , umo¬ování dvoj£lenu , . . .
Inverzní funke
praovat s exponenty,
Cyklometriké funke
3 Roz²í°ená reálná £ísla
Zavedení
R∗
Aritmetiké operae v
4
ovládat pravidla pro po£ítání s logaritmy,
R∗
...
Limita funke
...
Limity n¥kterýh základníh funkí
Asymptoty grafu funke
Limity dosazovaí
Neur£ité výrazy
p·dorys
nárys
bokorys
Funke
P°edpokládají se znalosti
a
P°edpokládané znalosti
deni£níh obor·, obor· hodnot, graf·
základníh hodnot elementárníh funkí, p°edev²ím funkí
moninnýh,
exponeniálníh,
logaritmikýh,
goniometrikýh,
yklometrikýh.
Analytiká geometrie
P°edpokládané znalosti
V druhé £ásti semestru bude nezbytná znalost analytiké geometrie
v rovin¥ a v prostoru, nap°.
práe s vektory,
popis základníh útvar· (bod, p°ímka, rovina) v rovin¥ i v prostoru,
popis kuºelose£ek v rovin¥ (kruºnie, elipsa, parabola, hyperbola),
shopnost °e²it základní geometriké úkoly po£etn¥ (pr·se£ík p°ímky
s rovinou, m¥°ení vzdáleností, popis útvar· danýh vlastností).
...
1
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Cyklometriké funke
Inverzní funke
8
f (x) : y = x3
y
f
7
f −1 (x) : y =
√
3
8
x
→
→
→
→
→
→
y
−8
−1
0
1
8
4
3
2
1
x
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0 1
−1
2
3
4
5
6
7
8
y
−2
−1
0
1
2
←
←
←
←
←
←
x
−8
−1
0
1
8
5
4
3
2
0 1
−1
−3
nárys
bokorys
−5
←
←
←
←
←
←
7
x
8
−5
−7
−8
−8
y
f
7
x
−8
−1
0
1
8
6
−6
y=x
6
y
−2
−1
0
1
2
5
Cyklometriké funke
8
x
4
−4
−7
Inverzní funke
√
3
3
−3
p·dorys
−6
f −1 (x) : y =
2
−2
−4
bokorys
f −1
1
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−2
nárys
f
6
5
p·dorys
y
7
6
x
−2
−1
0
1
2
Cyklometriké funke
Inverzní funke
5
4
3
2
f −1
1
−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
f (x) : y = x3
√
3
y = x
√
3
x = y
√
−1
f (x) : y = 3 x
p·dorys
nárys
bokorys
0 1
−1
2
3
4
5
6
7
x
8
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
2
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Inverzní funke:
Cyklometriké funke
y = x2
Inverzní funke:
f (x) : y = x2
Cyklometriké funke
y = x2
f (x) : y = x2
y
Df = R
Hf = h0, + ∞)
f
4
y
Df = R
Hf = h0, + ∞)
y=x
y=x
3
p·dorys
Funke
nárys
3
y = x2 není
prostá,
2
Funke
f je
p·dorys
❩
✚
f −1
✚
❩
proto k ní jako elku
bokorys
nelze sestrojit inverzní
funki!
1
nárys
prostá
práv¥
tehdy, kdyº
2
pro kaºdé bokorys
b ∈ Hf existuje práv¥ jedno
tak, ºe
f (a)1= b.
0
−2
Inverzní funke:
1
3
2
4
x
−2
f
−1
1
−1
−1
−2
−2
Cyklometriké funke
y = x2
Inverzní funke:
2
3
4
x
Cyklometriké funke
y = x2
f (x) : y = x2
y
Df = R
Hf = h0, + ∞)
Funke
❩
✚
f −1
✚
❩
a ∈ Df
0
−1
f (x) : y = x2
1
f
4
f
4
Df = R
Hf = h0, + ∞)
y=x
3
je prostá
1
(rostouí) na
Funke
f
y
f
4
y=x
3
je prostá
(rostouí) na
h0, + ∞).
√
f −1 (x) : y = x.
2
intervalu
h0, + ∞).
√
f −1 (x) : y = x.
2
intervalu
f −1
1
1
0
p·dorys
−2
nárys
−1
0
1
bokorys
−1
−2
2
3
4
x
2
Funke
f
p·dorys
je prostá
(klesajíí) na
−1
1
2
3
4
x
bokorys
(−∞,0i.
√
f −1 (x) : y = − x.
intervalu
−2
nárys
−1
−2
f −1
3
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Funke
Cyklometriké funke
arcsin x
Hledáme inverzní funki k funki
Funke
sin x
je periodiká, tedy není prostá!
sin x
je rostouí na intervalu
Cyklometriké funke
arcsin x
f (x) : y = sin x
E
D
π π
x∈ − ;
2 2
y ∈ h−1 ; 1i
y = sin x.
Omezíme deni£ní obor:
Funke
D
E
π π
− ;
.
2 2
y
1
p·dorys
p·dorys
nárys
nárys
bokorys
bokorys
y
−
π
2
x
0
π
2
1
x
−
3π
2
−π
−
π
2
π
2
0
π
−1
3π
2
−1
,
Funke
Cyklometriké funke
arcsin x
f (x) : y = sin x
E
D
π π
x∈ − ;
2 2
y ∈ h−1 ; 1i
Funke
Cyklometriké funke
arcsin x
f (x) : y = sin x
E
D
π π
x∈ − ;
2 2
y ∈ h−1 ; 1i
y
π
2
y
π
2
1
f −1 (x) : y = arcsin x
Df −1 = h−1 ; 1i
D
E
π π
Hf −1 = − ;
2 2
p·dorys
nárys
bokorys
1
f −1 (x) : y = arcsin x
−
π
2
x
−1
0
1
−1
−
π
2
π
2
Df −1 = h−1 ; 1i
D
E
π π
Hf −1 = − ;
2 2
p·dorys
nárys
bokorys
−
π
2
x
−1
0
1
π
2
−1
−
π
2
4
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Funke
Cyklometriké funke
arccos x
Hledáme inverzní funki k funki
Funke
cos x
y = cos x.
Cyklometriké funke
arccos x
y
f (x) : y = cos x
je periodiká, tedy není prostá!
x ∈ h0 ; πi
y ∈ h−1 ; 1i
Omezíme deni£ní obor:
cos x
Funke
je klesajíí na intervalu
h0 ; πi.
p·dorys
nárys
bokorys
y
1
1
p·dorys
nárys
bokorys
x
−
−π
3π
2
−
π
2
π
2
0
π
π
3π
2
0
x
π
2
−1
−1
Funke
Cyklometriké funke
arccos x
y
f (x) : y = cos x
Funke
Cyklometriké funke
arccos x
y
f (x) : y = cos x
π
π
x ∈ h0 ; πi
y ∈ h−1 ; 1i
x ∈ h0 ; πi
y ∈ h−1 ; 1i
π
2
f −1 (x) : y = arccos x
Df −1 = h−1 ; 1i
Hf −1 = h0 ; πi
1
p·dorys
nárys
bokorys
π
−1
0
−1
π
2
f −1 (x) : y = arccos x
1
π
2
x
Df −1 = h−1 ; 1i
Hf −1 = h0 ; πi
1
p·dorys
nárys
bokorys
π
−1
0
1
x
π
2
−1
5
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Funke
Cyklometriké funke
arctg x
Funke
Cyklometriké funke
arctg x
y
y
f (x) : y = tg x
Funke
tg x
f (x) : y = tg x
je
Funke
3
rostouí na intervalu
π π
− ;
.
2 2
1
p·dorys
nárys
x
bokorys
−
Funke
3π
2
−π
−
0
π
2
tg x
je
3
rostouí na intervalu
π
2
π
3π
2
π π
− ;
.
2 2
π π
x∈ − ;
2 2
y∈R
1
p·dorys
nárys
x
bokorys
−
3π
2
−π
−
0
π
2
−1
−1
−3
−3
Cyklometriké funke
arctg x
Funke
tg x
3π
2
y
f (x) : y = tg x
je
Funke
3
rostouí na intervalu
π π
− ;
.
2 2
π π
x∈ − ;
2 2
y∈R
π
Cyklometriké funke
arctg x
y
f (x) : y = tg x
Funke
π
2
π
2
1
p·dorys
nárys
x
bokorys
f −1 : y = arctg x
Df −1 = R
π π
Hf −1 = − ;
2 2
−
3π
2
−π
−
0
π
2
−1
−
−3
tg x
je
3
rostouí na intervalu
π
2
π
2
π
3π
2
π π
− ;
.
2 2
π π
x∈ − ;
2 2
y∈R
π
2
1
p·dorys
nárys
x
bokorys
f −1 : y = arctg x
Df −1 = R
π π
Hf −1 = − ;
2 2
−
3π
2
−π
−
0
π
2
−1
−
π
2
π
3π
2
π
2
−3
6
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Funke
Cyklometriké funke
arccotg x
Funke
Cyklometriké funke
arccotg x
y
y
f (x) : y = cotg x
f (x) : y = cotg x
4
Funke
cotg x
Funke
3
klesajíí na
intervalu
4
je
(0 ; π).
intervalu
1
nárys
x
bokorys
−π
Funke
−
0
π
2
je
3
klesajíí na
2
p·dorys
cotg x
π
2
π
3π
2
(0 ; π).
x ∈ (0 ; π)
y∈R
2
1
p·dorys
nárys
x
bokorys
−π
2π
−
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
Cyklometriké funke
arccotg x
Funke
je
2π
y
4
Funke
π
cotg x
je
π
klesajíí na
(0 ; π).
x ∈ (0 ; π)
y∈R
3π
2
f (x) : y = cotg x
klesajíí na
intervalu
π
Cyklometriké funke
4
cotg x
π
2
arccotg x
y
f (x) : y = cotg x
Funke
0
π
2
intervalu
2
π
2
1
p·dorys
nárys
bokorys
x
−π
f −1 : y = arccotg x
Df −1 = R
Hf −1 = (0 ; π)
−
π
2
0
−1
−2
−3
−4
π
2
π
3π
2
(0 ; π).
x ∈ (0 ; π)
y∈R
2
π
2
1
p·dorys
nárys
bokorys
x
−π
2π
f −1 : y = arccotg x
Df −1 = R
Hf −1 = (0 ; π)
−
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
−1
−2
−3
−4
7
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Roz²í°ená reálná £ísla
Roz²í°ená reálná £ísla
p·dorys
Roz²í°ená reálná £ísla
S£ítání
+
A∈R
+∞
−∞
B∈R
A+B
+∞
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞ + ∞
−∞
−∞
+∞ − ∞
−∞
Jako roz²í°ená reálná £ísla ozna£ujeme mnoºinu
nárys
R∗ = R ∪ {−∞ ; +∞}
bokorys
√
− 52 − 2
−∞
−3
−2
e π
−1
0
1
2
3
+∞
Zvýrazn¥né jsou tzv.
Roz²í°ená reálná £ísla
Násobení
neur£ité výrazy.
Roz²í°ená reálná £ísla
D¥lení
÷
A>0
A<0
0
+∞
−∞
B>0
A
B
A
B
0
+∞
−∞
×
A>0
B>0
A·B
A·B
0
+∞
−∞
B<0
A·B
A·B
0
−∞
+∞
B<0
A
B
A
B
0
−∞
+∞
0
0
0
0
+∞ · 0
−∞ · 0
0
+∞
+∞
−∞
0 · (+∞)
+∞
−∞
+∞
0
0
0
−∞
−∞
+∞
0 · (−∞)
−∞
+∞
+∞
+∞
−∞
+∞
−∞
0
0
0
+∞
−∞
−∞
−∞
A<0
0
+∞
−∞
8
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Limita funke
Limita funke
lim f (x) = A
Limita funke
x→a
f (x) pro x blíºíí se k a
a ∈ R∗ , A ∈ R∗ .
je rovna
A.
Limita funke
lim f (x) = A
x→a−
a = −∞ nebo a = +∞ hovo°íme o limit¥ v nevlastním bod¥.
Pokud A = −∞ nebo A = +∞ hovo°íme o nevlastní limit¥.
lim f (x), a ∈ R
pro
x
Pokud
Funke
f
f
nemusí být denována v
n¥jakém jeho
lim f (x)
okolí,
a,
(a − δ ; a) ∪ (a ; a + δ),
kde
Limita funke
lim f (x) = A
pro
x→a+
δ ∈ R+ .
f
Funke
musí být denována na n¥jakém intervalu
f
A.
x
f (x)
a zprava je
a ∈ R, A ∈ R∗ .
blíºíí se k
rovna
A.
musí být denována na n¥jakém intervalu
(a ; a + δ), δ ∈ R+ .
x→−∞
Funke
f
(k ; +∞), k ∈ R.
lim f (x)
rovna
(a − δ ; a), δ ∈ R+ .
x→+∞
Funke
a zleva je
a ∈ R, A ∈ R∗ .
blíºíí se k
ale musí být denována na
tedy na n¥jakém intervalu
f (x)
musí být denována na n¥jakém intervalu
x→a
Funke
Limita funke
Jednostranná limita funke
lim f (x) = A
x→a
musí být denována na n¥jakém intervalu
⇐⇒
lim f (x) = A ∧
x→a−
lim f (x) = A
x→a+
(−∞ ; ℓ), ℓ ∈ R.
Limity n¥kterýh základníh funkí
Limita funke
y
1
f (x) =
x
lim
1
lim
x→0 x
neexistuje
1
lim
= −∞
−
x→0 x
1
lim
= +∞
+
x
x→0
y
f (x) = ex
Df = (−∞,0) ∪ (0, + ∞)
Hf = (−∞,0) ∪ (0, + ∞)
1
=0
x→−∞ x
1
lim
=0
x→+∞ x
Limita funke
Limity n¥kterýh základníh funkí
0
x
Df = R
Hf = (0, + ∞)
lim ex = 0
x→−∞
p·dorys
nárys
bokorys
lim ex = +∞
x→+∞
1
p·dorys
nárys
0
x
bokorys
9
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Limity n¥kterýh základníh funkí
Limita funke
Limity n¥kterýh základníh funkí
Limita funke
y
f (x) = ln x
y
f (x) = arccotg x
Df = (0, + ∞)
Hf = R
π
0
Df = R
Hf = (0,π)
x
1
lim ln x = −∞
x→0+
p·dorys
π
2
nárys
lim ln x = +∞
lim arccotg xbokorys
=π
x→+∞
x→−∞
0
x
lim arccotg x = 0
p·dorys
x→+∞
nárys
bokorys
Limity n¥kterýh základníh funkí
Limita funke
y
1
f (x) = 2
x
Df = (−∞,0) ∪ (0, + ∞)
Hf = (0, + ∞)
1
=0
x→−∞ x2
1
lim
=0
x→+∞ x2
lim
1
= +∞
x→0 x2
lim
1
= +∞
x2
1
lim 2 = +∞
+
x
x→0
lim
p·dorys
nárys
0
x
bokorys
x→0−
10
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Limita funke
Vodorovné asymptoty
A∈R
Pokud je
y
a platí, ºe
nárys
lim f (x) = A,
potom °íkáme, ºe funke
B∈R
π
2
p·dorys
x→+∞
Pokud je
Limita funke
Vodorovné asymptoty p°íklad
bokorys
f má u +∞
y = A.
x
− π2
vodorovnou asymptotu
lim arctg(x) = −
x→−∞
a platí, ºe
Funke
lim f (x) = B ,
arctg(x)
π
2
lim arctg(x) =
x→+∞
má
x→−∞
potom °íkáme, ºe funke
f
má u −∞
y = B.
vodorovnou asymptotu
Limita funke
Svislé asymptoty
π
2
u
−∞
vodorovnou asymptotu
y=−
u
+∞
vodorovnou asymptotu
y=
π
,
2
π
.
2
Limita funke
Svislé asymptoty p°íklad
y
lim ln(x) = −∞
x→0+
a∈R
a platí, ºe
x→a−
+∞
−∞
V
lim f (x) =
potom °íkáme, ºe funke
Funke
nebo
f
má v
lim f (x) =
x→a+
+∞
,
−∞
V
Pokud je
a svislou asymptotu
ln(x) má svislou
x = 0.
asymptotu
0
1
x
x = a.
p·dorys
nárys
bokorys
11
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Limita funke
Asymptoty p°íklad
1
=0
x→−∞ x
1
lim
=0
x→+∞ x
1
= −∞
lim
x→0− x
1
lim
= +∞
x→0+ x
y
lim
Funke
u
1
x má
+∞ i −∞
Limita funke
Limity dosazovaí
3x + 2
x→1 4 − x
lim
y
3x + 2
x→4 4 − x
lim
0
x
x
4
0
p·dorys
stejnounárys
bokorys
vodorovnou asymptotu
y=0
p·dorys
nárys
a svislou asymptotu
x = 0.
bokorys
Limita funke
Limity dosazovaí
∞−∞
y
3x + 2
lim
x→1 4 − x
Limita funke
Neur£ité výrazy
∞
∞
0·∞
zadání
5x − 2x2 − 2
lim
x→2
(x − 2)3
3x + 2
x→4 4 − x
lim
cotg x
lim
x→π x − π
0
π
x
4 − x2
lim √
x→2
2x − 2
dosadit
p·dorys
výsledek
nárys
lim (ln(x + 1) − ln(x))
x→+∞
0
0
neur£itý výraz
upravit
bokorys
upravený výraz
dosadit
p·dorys
nárys
bokorys
výsledek
neur£itý výraz
12
Matematika LS 2015/16 – 1. přednáška
Limita funke
Polynomy
lim
x→−∞
lim
1
x + x = lim x · 1 +
= −∞ · (1 + 0) = −∞
x→−∞
x
1
2
2
x − x = lim −x · − + 1 = −∞ · (−0 + 1) = −∞
x→+∞
x
3
x→+∞
2
3
Limita funke
Raionální lomené funke
f (x) =
P (x)
,
Q(x)
P (x)
a
Q(x)
jsou polynomy
3x2 + 5x − 1
x→+∞ 3x + 4 − 5x2
lim
4x2 + 1
x→−∞ 2x − x3
lim
O limit¥ polynomu
v nevlastním bod¥
(tj. u
+∞
nebo
rozhoduje £len s nejvy²²ím exponentem.
−∞)
Limita funke
Raionální lomené funke
f (x) =
P (x)
Q(x)
Pro limity raionálníh lomenýh funkí v
nevlastníh bodeh
platí:
pokud je stupe¬ £itatele stejný jako stupe¬ jmenovatele, pak je
výsledkem limity podíl koeient· u nejvy²²íh monin,
pokud je stupe¬ £itatele men²í neº stupe¬ jmenovatele, pak je
výsledkem limity 0,
pokud je stupe¬ £itatele v¥t²í neº stupe¬ jmenovatele, pak je
výsledkem limity
+∞
nebo
2x3 − 3
x→−∞ x + 5 − x2
lim
p·dorys
nárys
bokorys
Bobby MFerrin Wanna Be
http://youtu.be/4fgAjmRuS1w
−∞.
13