AUTOMATICKÉ GENEROV´ANÍ SÍTÍ 1. Simpliciálnı pokrytı a
Transkript
AUTOMATICKÉ GENEROV´ANÍ SÍTÍ 1. Simpliciálnı pokrytı a
AUTOMATICKÉ GENEROVÁNÍ SÍTÍ RUDOLF HLAVIČKA 1. Simpliciálnı́ pokrytı́ a triangulace Necht’ S = {Pi }ni=1 je konečná množina bodů v Eukleidovském prostoru Rd . Fyzikálnı́ význam majı́ ◦ předevšı́m přı́pady d = 1, 2, 3, 4. Symbolem U značı́me vnitřek a symbolem U uzávěr množiny X ⊂ Rd . Definice Konvexnı́ kombinacı́ bodů z množiny S rozumı́me bod P , který vznikne speciálnı́ lineárnı́ kombinacı́ n n X X P = ti Pi , ti = 1, ti ≥ 0 pro i = 1, . . . , n. i=1 i=1 Definice Konvexnı́m obalem C(S)množiny S se rozumı́ množina všech konvexnı́ch kombinacı́ C(S) = {P : P je konvexnı́ kombinacı́ bodů z množiny S} . Poznámka Konvexnı́ obal obsahuje s každými dvěma body rovněž úsečku tyto body spojujı́cı́. Obrázek 1. Konvexnı́ obal množiny bodů v rovině d d d ’ Definice Necht’ S je množina d + 1 bodů S = {Aj }d+1 j=1 ⊂ R , Aj = (aij )i=1 ∈ R . Necht A je matice obsahujı́cı́ souřadnice těchto bodů jako sloupce, které jsou do dimenze d + 1 doplněny jedničkami. a11 a12 . . . a1,d+1 a21 a22 . . . a1,d+1 A= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 ... 1 Necht’ je matice A regulárnı́, konvexnı́ obal Π = C(S) budeme nazývat d−simplexem, body množiny S jsou jeho vrcholy. Uvažujme následujı́cı́ soustavu rovnic Aλ = x, x = (x1 , . . . , xd , 1)T , kde (xi )di=1 jsou kartézské souřadnice obecného bodu v Rd . Protože má tato soustava regulárnı́ matici, je d-simplexem Π zadána nová soustava souřadnic, tzv. barycentrické souřadnice bodu λ = (λi )ni=1 . Pro body ležı́cı́ v Π zřejmě platı́ λi ≥ 0, i = 1, . . . , d + 1, takže jsou to právě koeficienty konvexnı́ kombinace vrcholů simplexu. 1 AUTOMATICKÉ GENEROVÁNÍ SÍTÍ 2 Obrázek 2. 2-simplex (trojúhelnı́k) a 3-simplex (čtyřstěn) Matici 1 0 ... 0 0 0 1 . . . 0 0 . A= . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 0 1 1 ... 1 1 odpovı́dá tzv. referenčnı́ simplex. V tomto přı́padě splývá prvnı́ch d barycentrických souřadnic s kartézskými. Definice Necht’ Ω = C(S), kde S ⊂ Rd je jako dřı́ve konečná množina bodů. Simpliciálnı́m pokrytı́m uzavřené oblasti Ω je množina d-simplexů T splňujı́cı́ch následujı́cı́ vlastnosti: • (H1) Množina všech vrcholů d-simplexů T je právě S. • (H2) Ω je sjednocenı́m všech simplexů pokrytı́ [ Ω= T. T ∈T ◦ • (H3) Každý simplex T ∈ T má neprázdný vnitřek T 6= ∅. ◦ ◦ • (H4) Vnitřky simplexů majı́ prázdný průnik T 1 ∩ T 2 = ∅, T1 , T2 ∈ T . Obrázek 3. Simpliciálnı́ pokrytı́ a konformnı́ pokrytı́ Poznámka Podmı́nku (H3) lze psát jako det A 6= 0, protože absolutnı́ hodnota determinantu matice A je násobkem objemu simplexu 1 vol(Π) = | det A|. d! Definice Fazetou dimenze k rozumı́me pro k = −1 prázdnou množinu ∅, pro k = 1 bod a pro k = 2, . . . , d − 1 je to k−simplex v Rd . Definice Řekneme, že simpliciálnı́ pokrytı́ T je konformnı́ pokrytı́, pokud splňuje podmı́nku AUTOMATICKÉ GENEROVÁNÍ SÍTÍ 3 Obrázek 4. Konformnı́ sı́t’ • (H5) T1 ∩ T2 je fazeta dimenze < d T1 , T2 ∈ T . 2. Sı́tě Nynı́ budeme uvažovat obecnou uzavřenou ohraničenou oblast Ω ⊂ Rd pro d = 2, 3. Definice Termı́nem geometrický element budeme rozumět podmnožinu Rd , která nemusı́ být nutně simplexem. Systém geometrických elementů T nazveme sı́tı́, jsou-li splněny následujı́cı́ podmı́nky • (H2) Ω je sjednocenı́m všech elementů sı́tě [ Ω= T. T ∈T ◦ • (H3) Každý element T ∈ T má neprázdný vnitřek T 6= ∅. ◦ ◦ • (H4) Vnitřky elementů majı́ prázdný průnik T 1 ∩ T 2 = ∅, T1 , T2 ∈ T . Definice Řekneme, že sı́t’ T je konformnı́, pokud splňuje podmı́nku • (H5) T1 ∩ T2 je fazeta dimenze < d T1 , T2 ∈ T . Reference [1] Paul-Louis George Houman Borouchaki. Delaunay Triangulation and Meshing Application to Finite Elements. Editions HERMES, Paris, 1998. [2] P. L. George. Automatic Mesh Generation: Applications to Finite Element Methods. John Wiley & Sons, Inc., New York, NY, USA, 1992. [3] Paul-Louis George Pascal Jean Frey. Mesh Generation application to finite elements. HERMES Science Publishing, Oxford & Paris, 2000. [4] Jonathan Richard Shewchuk. Triangle: Engineering a 2D Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator. In Ming C. Lin and Dinesh Manocha, editors, Applied Computational Geometry: Towards Geometric Engineering, volume 1148 of Lecture Notes in Computer Science, pages 203–222. Springer-Verlag, May 1996. From the First ACM Workshop on Applied Computational Geometry. [5] Jonathan Richard Shewchuk. Delaunay Refinement Mesh Generation. PhD thesis, School of Computer Science, Carnegie Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania, May 1997. Available as Technical Report CMU-CS-97-137. [6] Jonathan Richard Shewchuk. Lecture notes on delaunay mesh generation, 1999.