Finanční matematika

rnancnl
ln
.v2
matematika
pro kaŽdého
5. zcela přepracolz né vyd,ání
Iafm
a RadoÝá, Petr Dvořák,
Jiří Máek
Obsah
zálei
3'
F]ny
Kmb id@
jeúdudso a Júreho
36 vtpd4ldu
37 sreWád ]édrc dso
3'9
Úreh€
3'Í Nrubý
odpo{dDý
mzb
á
a
Jo}nso
idéíl'...''
ío]1é úrce
č3ý vtr6
úďd h! ví.h! M!ód csc
D(Md od @st
, 'r DeMd 'en'
5
..
6' spá* Úérusbiným ýáhn lbisbd aub) .'''".'''
6' Ué i!dÚ pfudéň eďd bBb n
03 Úmoe&umds]aýni9áúami''''..
]4
F
NANčŇ MATEMAT kAPRo kA'nÉNo
Předmluva
l matenaiky pfu každéhoÝycnázize
p'eo'' 07 oz' cl " É
b}la7oo'é""\]oal
íd
eq''
lr
oi'''oi
-lcn'
7esesnažisrzumlenýňzpúsobemvysýét]ilzákaduimalemalické po'
Pátó. pÍepEcovaí. ýydán] F''a'ód
kiižk3 nab]zi spo
ehlivélrÓ pdVodce při pÍVnrch kÍoci.h do la]ú íinán'_
'rn,,oo.i.d,in.
]
]asněnifialemalickéhozákukifinanan]ch pÍodJklů.
ó
'; 'ó7|' 'óo'la'o']p'''|
' ' ** ňb;bmm "e Pl.'- "Dolo'lodn"p. 'lo"'/']
é'' odo'
oopI
'.'.r*oo'o'-.ál'
'.-',
v {lnešídobě nezbyhé naoí]saňoslud em
u
rr v'íoa4 [
''.l..n".a
'
*.ooo'"o.'t'o' e'"io j|z''J"
ooď
'
lo'1 ld1'J'illpo'
hooÓ Loi - '!e.no:e i'
' h t"Pc
'b"
a
' ' No'e..ó"- FoÝ.
,.,n..*,i "" ozo-
É"P |J'o
M.nový ruE
a
dryLová o!ďody
""
''
pÍobe '
" IL 7"d
é 'polladol7d
''1.'".o'ro'"-'"o..''."
kiižka Vémý rejířik
l]' ie Finánón]maleňálika p.o každéhoposkytíe skulečně kaŽ'
ure
r€ h
rcd mtro4lUz
Vi
'
'/ll! ov.ii
V
podnikani či spnivě svých 9ÚkrcmýchínanĎi'
zák|adnípojmy
Finančni maiemalika nenl nic j ného neŽvyuŽii matemaliky vr fi nanón
oblasl V lexiÚ sa prolobudeme se|káVal s něktérym]malenaÍckými
pDjmy a poslupy PÍo ly kleři poiřeb Jji _pa kÓval zákady nalemaliky
!oliebnóVe ínánÓni natemaljce. e uÍóéna Ůýodnikápiloa
1l
Procentový počet
sovo prccento]o álinŠkéhopúvodJ a znafiéná selinu ceku nebo
Zák adem pÍocenlového poélu]e skuteónosl že vel]kosldané Ve ény
rcUV ád jmé ábso ulně V danýcb je dnolkádh ále lé al vně (poměÍně) Ťo
Íámona, Že uvedeme jeiipoméÍ k Ve kosli odpovidajicivelič]ny (Vyjá
l lené Ve ďeiných iednolkách), ktéÍouisme zvolilizazákad
l]o]edno proceniÓ potoň plati:
.roo.
1l
r
]edno p@enloje]edna
'
),!
= l
cr,k
Vjodnoduchých
!
.
r
=
corý
Ú
slina
2é zákadu = o'01základu;pÓlom]
'lrád
ohách s pÍocenty se objevu]itřizákad.]ve]ény]
základ (budeme
Doěel pÍoceni (b
ou
naóoval'i
ňe oznaóovalp);
pÍocenlováóást kleÍá jeq'rádienimóásI'odpÓv
v absÓ
Jd
e
ulnichjednolkách (bud€ňé oznaóovat
daj cipoěluprccent
l)'
1!lvýpočlu znáfié dÝa úda]e a lřeli údaj poóitáňá' Podlé toho ÍozlišU
l
výpočel pÍocenlové óast r;
l
vhoaelpoólu pÍocenl/
FiNANČNl MATEMAÍ KÁ PRo ]<AŽDÉBÓ
e'í,-4
ý;aa
e
Přiklad 1'2 výprée| Žákladu
ír)
.
=r.iq,
!,
I1-2)
kde ]
l
pÓUŽiLj
Pii
o-3)
Krcměvýše uvedených worců je moáÓ pÓUž liÍojčlenku
'5
%
odpouidá 117oRé:
:KÓ
]00%ÓdpÓVdá
je plocenlová óás|;
jepoóelprcÓenl
úňěry nebol' ircj.lenlý
ad 1-1 v'počel pfuCentavé éáslj
,o'r :r' !PďáÍj ooo
n"
?s
l !e
ýi! lr \.p'ooéit Fn' T..
e!€4l
. Lďorc-o'éaá(ipodÁ\/"l
.=
pÍacentovén pačlu
Daň z pii]mu ěD a pň sazbě daně 27 5 '/" čáslkÚ ] 170 Kó Jakvysoký
l]y při]€m (od odpoĎilalé ných poloŽekábstráhu]eme)?
?7
.
v
!!=r
J l'IDo.do1e
/ooo
''5!o
llubý
l)l Vs' nežbudéňeŽednodušenědelinoval po]emfJnkce'seŽnámime
pBmenná "-''é''v' " r" c.ll o'a ý' o 2boŽ' z;!is
'. poŤén
|trjoho množíVi' pák pÍoměnnéisou mnoŽslvia Éková cena, kon
íllrLa (konslanlniVe čna)]ecenaza ednolkovémnožství.oaačlme-li
I
Prode]nicenáóin a23ooKě
l
zj's]i lol'l.in'pod na z]sku ve v'ši 15 % z pÍodej'
ni(env opél po.lame pÍo(enloVou (ásl Nyni dosadiméP .]5 %'
=
Kč
1.2 Funkce
mu
-r=zooo
př]]em Óin 4 255
'oon' - c"l' jlpoíoíov"n'oŽ5ln
l.rjsouvlomlopiipaděproňědĎéá.j€konstánta'
l]Úrkci budeme Íozumět předph' kleÍ'm jednoznaěně pnřadime U.čjté
]nolěpÍoměonéjuÍčilouhodnoluproměonélPišemepolom]
Nyni polňebqeme
p'oměnnáápo'ět'o'''d7'
vŇrc závisle proměnňá' Hodnola p.oměonér závisi na hodnÓlě pÍo.
NČN M/TE AT kA PRoNAŽoEHo
řimkÓu' Konďanla
r
Podc výše Wed aho pi kad! bude ledy lrmolnosl zbozl
Jnezávisle
proneína a ce|ková .cna l zavisle pÍoméniá
Funkce bude nil v
tom10
l ]', l
l
l ! !! ll
jednodu.héň piipad. lvar
Ú.u]epÍúsediksNoul
iÚčUie směr
a na přik.du DopalkÚ za le efon
!'xvisánápoótulskulečněnýchlrovoÍú']ekonslánla
.l'l]rUu ieden impÚls a rezáv S e pÍÓméMou \ ]e počď
závis e pÍÓňěnnaI]e oolom Výše ce kového
].
''é '' p''Í. Jřě'.
scme. nebol nám bÚdoI pozdé] užileanó
li
]
.nyFoupřmoúméme ieíliŽepodirkaždýclrdrc|
" ' !! 'Í][ind]
/tr Frcrenkomb ě Tedy:
FUnkanipředD s pro
í4l
,.
|' a l
f
L
0,5)
i | \'])Íodl.Zel. pon1lkem (prúseikÚr os] a j)
' !,!,!r ' rrr
Zname
Dalbu
l / ,/ ll!,vljoosá hyperbola
l' lL L, ! ] l l{ 1n.kýcr úValrá.h selkáVáme se záVÉ oslizva.o!
o p o á é
'!
l
odpoýida]ickh sihÓdnol ' L Ljercvmkon
' '1ry.rdrcu
oblázek 1.1 GÍaf
F NANČN
MAIEMATlAFPo hA2DElro
Glaleň nepiimé úméÍnosliielrypeÍbola
1'2'3 Exponenciálni f! nkce
Exponencé ni funkci budeme rozumél funkci'
s vyskýU]e iako expone To znam8ná Že jr
0-7)
kde
{> 0
lje
ÉdiÓná niďslo1'
]cdíézlohomůžemeprcexpÓnoncá nikiVkyodVodilza]imaýouýlagl
Ňsl P.oVšechnaopLati'ŽepÍoi=0seÍovnád= 1'zlohoVypývá'
že VŠechny expon
e
n.iáln i křýky pÍocházeji bÓdem (0'])' klerý eži na
spéciaLnlpÍúbéhmáexpÓnenc]áln]lunkce' je! aÍovnÓ]edné(.=1)
Pak pro VŠechna J plál. že],se Íovná bkéFdnó 0,= ])' nebolóislo
]ednaUmocněnénar borclnéóisro jéopélčislojedna Gralem jávtomto
pi oadé přlmka ÍovĎÓbĚžná s osou }.
oblázék1'2 Grafrovnoosé hypeÍbo y
)LÝ4o:"oJ
r!o\''oopLe| ŽJFeb'
' """' o'
ll)apo.luuŠlueůnénv.hmpusú( )' o e'"e 'F''
*rloli pop ncl |-.qa np Í/t'p dirnpu\úi
crlkový pop ďekrF piimo
ooL
'd
b'oeTé.
á]-*.
kcá
"p'''
ňériý @néza]edrn impu s r
"r mp4Íď'" 04pooá-!c
r budou pro ib.Volné hÓdnoly
speciálnim připadém jé Íunkce:
kde s pledslaýu]e
lu v
EUlerovÓ čislo' delno!án€pomo.'
mlť jálo:
é''iPo1Ó|o'T.
oz budene polieboval v odd' u
l9pi de[n.
uÍolové inlenzity
.qa ?it.ds irnelr5
Vd
me_
re po@l
mpÚlsú je
h
daném .e]loVem pop al}U) neplmD
Ri.oiátl ddqie |5o
keé jénq:nov'di{Fko
d@ trryď .Ée{.Lb n&bláh ) Epl i,
zde€iéd!áolm]fu !6o4rcn 1ýzMdll 4)
pdido! eýď.tse
c€ á
F
NANaNlMAŤEMATkÁ PBo KAŽDÉHo
Exponen.iálni íUnkci použlene Ý oddí! 3'1 pii odvozovani pÍob/emal ky
omÍ'msr
je dÉlo kleÍým když Umocnimé Žáklad
|ÍilnoÝanéó]s
Piikad exponeíciáln] funkce]e
zn
ázÓrněn
gÍafem na obráz
k
Ú
oJ
To znamená Žé pal:
l'
tjosIaneme
13
llodnoiyneáVseprménnérloga.jh ckéfunkÓeňÚse]ibýtVŽdykad
]. neboL
Ódpovida]i lrodnolám záV s e prÓménné exponenciá ni fUnk.e'
lLcÍJre nveuniíunkcikfJnkc ogailmcké JakismeVděli byyfunkan
.]áln
".1
Vjclhny logailnické
]
lJ nkce vŽdy klá.]né
kř Vky ana ogicky ]ako kÝ ýky
exponencá nipÍo-
Šlejnýmbodem' kieý v připadě oqalil
!'[nue]iprcvšechny lrodnoly 4
.ký.h kňVck ezina osel' bodem (1'0)
.,1
,,1
.
li((=
10). hovořime
odekadickóm
obÍázek].3 eÍa'exponencá n ÍÚnk.el ť\
1'2'4 LÓgaritmická funkcé
Logailm cká íÚnkÉie funkc inwzn kfunk. e:ponenc]áln]
nverzn'
Visle pÍoměnnou a naopak Logalitm.kou Íunkci zapisuieme
íl)
I.
(0.o) óh
o ]o(]áÍilmovanéi
základ ogal'mU;
PÍŮbéh logartňicke íunkce pÍo i =
!]e Ždázorněn qÍaÍem na obÍaz'
pPo l AŽDENo
F|NANťN] MAŤÉMAT l A
/ (lnodUšeně řeóeno. aÍihel cký púň&Žiskáme kdyz souóétdaných
.i]
'.
u'
Vydé
'me
je]ch poÓlem
mez danyň čisly o někletá.Éá ýeiná napi mějmo:
I
"t--
l
oblázék 1.4 Gráf ogaÍih cké íUnkce) - ll
PÍo Ó9aÍlmy plálipro]bovoná óhra Ú,ý€
(0
')a
rcáLna
!
]k
múžemevýpoóel ŽrednodUšit a
]e]
ch an
mej.l7 pÍúněÍbude rcJPn:
(1.r1)
l
rc
a
(1í0)
V lomlo pipadó hovoiime o váŽéném arihelickéfi prúméru' ČGa
l ,.. 'l'
se oznáóUj
Fko Váhyčisel!j'!.. ' o'
s aílm6lickýmpÍůměÍeňsesetkámepňVýpo.lu
t1-12)
3
ňameÚd1lol
d
íÍednidobyspalnŇli
l.3'2 Geoňetrickýprůmér
Vede obecné známého adlmelrckého pÍúmérÚ exis(uie
é Úrolo€
'l'3 Průměry
1'3l AritmětickÝ
sazbeldobÚ
uložs'
' 0 Llád1i'l : e
l'
průměr
AÍheíckýpÍúňéÍ4je pr l óhe
Š"
a
'd]'
Debor ]ednodÚše ieóenÓj3ko
o"deínován ]ako:
(r-1r)
o
l
ie oeon
]
pÍúmérgeo
qÍ'L\ o' .é' '
dé''' o'd'
lá odmocn ná souč nU, čhel
FlNANČN] MATEMAŤ kA pRo
JsoÚ imezidanýmió'sy4, néklerá ěh
a
{Á'DFHÓ
'r!
sl.]ná nápÍ méjm€
,
o"t ]7o?' o'o i-ii'l
9eo1
"Í'.j p' i' _''er"
opq 7áp.
J
úa<o.
'.. r "[É.o'
cnná kaŽdého nenuového čsla je
v š nsžnuá Předpoklad'žé aÍihel]ckýplÚméÍje ňenšinež geome
dokázáli Že plaliopak
1l ťky ]e ledychybný a spo.em]9m€
bt'
1.4 Posloupnostia řady
Č Šb,,se nazýVá vážený geom€lrický
lÝ i3d me likáždáňu přirozenému (lj céémukladnému)čislu, uÍčrc
pÍúměr
'Llinéóislo4",páksouhmó]se.,{.,'
VýÍaz Gouěel Všech ólenů posoupnosli):
1'3'3 vztah mezi arilmelickýn
a geometrickým průměrem
LzédokáŽl žeprosoběÓdpovida]iciprúměryp ali
m&]e VélŠinež geomel.ický pdňěr
žéarnmet cký
pí]'
Dokažme nyni' Že aÍ lmelický pÍúm& ie VélŠlnéžgeomet]cký' a
MlýVáme řadou a ě
Ml'.
iad a kon ečný poóél
1o
budeňe Upra!oVa '
ólenú nazýVá Se konéénál má linekoíečný
a řady
\$Loupnosi u n]Ž rczdil (dfeÍenÓe) klerýchko dvou posobé jdo!.hh
rkJnůrc konstanlni' se nazývá aÍitmél!cká.
l Í,l
e
člényřadý
1.4l AíiiméticképosloÚPnosti
ood.;L dd';:'.aa a ' oj.d7p'oreoeae 'poFn B'd"Tép'ed
oo láoal''ó oL' opc''éot 7P J' lT"' l} o'iTel,e..N'P] s"o
ileni dá
sla,L.a]'
ÚÓel črenú'nazývá sé nekon€čná.
symboicky múŽeméténlo vzbh zapsat:
Ťo tedy znamená že má p alil vzIah
nazývámepogloupnosť
+!,=a
+(.l
!d)+(oj+2d)+@+j/)r..+ta
+('
])rl
F NANéNl MAjEMAT KÁ PRÓ
kA'Dř-Ho
se nazý!á koneóná áÍilmeIická iadá
kdó o'
a'
'
Pro
1.4'2 Geometrické řady
l\6oupnosl, Ú niž podi!klérýchko dvou po sobějdoucidh č]enúje
loníantni se nazývá geom.tÍická'
je pNn i č en řády;
je posler]ni ,_lý ólen řády;
je pÓóetčlenú|
bovÓlný [
1ý
člen koneóné arilmelcké
(rrs)
P'o lvedeml á'
"
'n
pÍÚměrem ze lousédn
.h
i enú ledv:
'let jé ďrř-
.jT
je kvoc]enl' kleÍý se Íovná podiU dvou po sobě jdoucíclr
nazveme koneóná géometlická řadá'
JD_ i a = 1.
Prosoučelpflnich^členúarhelickéládypaii:
. ,
(q+o,)
,
Je'lia> 1 jořadabsloucí'
(r-r61
Logika vŽÓre vypývá z loho že múžeme spárcVál (seóisq Vždy dva
členyiady-pNniá posledni d.uhýa
obsahuje řada slejné óleny
přédpos]edni ald' piióemžlylo
souáy]sou konstanhi (sule sle]né) Takových dvoiic múžemelo9 cky
sésbvilpo]ovinu 2 celkoÝého počlu čenúřady (/, / 2)
Je a.
(0.1).]e radá kl€sajici.
Je'i'<
o,j€ iada slřidavá (se s|řidaýými aménky)
alen
,'
potÓm vypoóleme pÓdle VzoÍce:
^Ltý
(1.r7)
řady s z čeny je
Dosádimé iza a zeworce(1-15) podlenějŽplatl:
pro' -
] dán Vzorcám:
í_13)
do
V-Íre í
16) múŽeme součetli ó]enú iady Vyjádř l:
l(aždý člen geomelÍ cké řady ]€ gáÓňelriokým
sousednich ólénú' což múžéménapsáljako:
.,
Tylo pozna&y budeme poliebova(v kap lo]e 4o spořeni.
=
'F..^'
T'{o poznalky bÚdámé potřeboval v lr.p Lola.h 4 a 5 krere FoÚ Věno
F NÁNčNl MATEMAT|KA PRo
xAŽDÉHo
2. Úročení
Finanóíi rÓzhodováni palři k velm di] éžrýmpÍocesúm]€jchž podstátu ]e noŽno charakteÍizovál poňoci nás edujiciDh lřiinvésliónich
]
'
2
Kažtlý inveíoÍ p€féÍÚ]á vlce peněz než méně'
Každý investoÍ preíeruje méně Í z ka néŽ vlce
3' KaŽdýinv€slorpÍ€feruiesté]némnoŽstvipenadnesspiše
TřeIizUvedenýchmoŽnoďiiespojena
lype1AŽ'Ťoeíful''
s pÍÓbleňalikou
po]mýsékleďmj sepi píác sbuiomelÓdÓu
neŽzitE
óásovéhodno_
setkáVáme. jsou úroková
Úrok]eVeičina' klenj hÍa]e dÚleŽilou úlohu ďiJzavnán obchodú bank
a ]e významnýň fak{orem' kl€rý ov Úniie]ch výhodnoďjak z hlediská
věňiele lák d užnika' Na báziúÍokovéhÓ poótu]e zoložena celá iáda
propoětúm podÍobně Věnovát
2.1 základnípojmy
peněŽ.j pÍoslied ký b udé poŽadova|
- zl'c( t"pljJ' 2 '7 o .ooi"' é
(s
inflaci)aza néjislolu Že kap1álnebJde
se změnami10hÓlo kapila u
9p acen v dáná húlě á Výši. To1oodmĚna sr nazý!á úrok'
zapů]či-li]e den subjekt
d
rJh
é mU
VéřtéliedyzlskáVáúÍokzalo'žepÓskyllsVé penizedoóasnĚ (nékomu)
Naopakz pohledÚ dluŽnikaje úrck Ená, kleÍou platizazískániŮvé.u'
oooL. po
l e'o'
i-Fnái- ú{'..tcp dl,L'o-nár'bo-éo]j''é'd'
tedy Ž kleÍou pÓčilame ú.ok' nazýváme doba sp]atnoslr {úÍoková
dobá, doba.xlstencé smruvnihovztahu).
V'rLdi me. úrckV prccenlechzbod
''' n' e 'rlolovou sa:bu (U'oloýou m tL)' r'e l -4ni''eol c ob
|x íUre něko kdfu hŮ úÍokovýchměLVnašemVýkladu bJdemepÍaco
ýllce kem se ólyřmizákadnimidruhy:
.
.
zýaŽovánou úrckovou
v
nilřn im
m
Íou požadova nou výnosn osii
'
výnosovým pÍo.enlem
Nominalniutokova nrá p éo 'á't " s'ed c 'o- i'olo\o_ h 1-7
vý)ú doválelem a poskýovalelem kapiá u a iako lakoýá je' ÚVedena
v úVéroVésmlouvě' vytšlěna dá plášt] d uhopisu . jiným zpúsobem
/'bÍazena ý plahéň dokumenlu' nebo]e přineimeošim m óky ÉSpek
l
lina
úěaslniky dohody Nejdůlež iéjšimije]imi dvěma Žnaky jsou dé ka
jÓ.aÍá'a'_Dn dd;1i'oL(
lbdle pnnihD uvédénéhoznak0 rozeznáVáme roěninominá niúrcko
VoU mÍÚ, klórá se znaóip a' (z lalnského pe. ar"fr) oznáméni žé
l fukoÝá sazba peněŽniho úslavu č ni 3% pa znaňéná' Ee zkaŽdé
'
Ílokorunydoslaneme na konc rckU úfuk 3 Kč' Můžemése dáleselkal
n Úrokovou sazbÓu pÓ]Ólélnl kteÉ sé onaóuje ps (pe.sen€dre)'
llý lelni- p'q (pél qué'lale)' mésičnip m (pďmsnssň)á den_
l,t lÓm plali, Že Íoan nom
nál.iúíoková mÚa:
365 (366)' denni nom]nálni úÍoková miÍa
jéóe1n6tplpisovániúrokúnebo frekvence
'!hýmdÚeži'ýmzmkeň
i Ío čcn i N é]částéjšim zpúsobem ]e Íočni pň pisováni úÍokú Podlé tÓh o1o
4úsobu s'é úÍokvk zúíalkubankovniho úólU ol oÓělláýa] l lak. že se
Vánrc! ý!ď $ ŇÉm eďova gzba
F NÁNčŇl MAÍEMÁŤ!KA pRo
KAŽDÉlo
na konc Íoku prcVedeVýpoÓetúrokú zezústalku ná úó1Ú aty se polom
k němu přčlou Jesiže bychÓm timlo způŠobempřipoóitáVa iÚÍoky
n kol ru konc ÍokÚ aenákoncikaŽdého měsice'jednaobyseomésió-
n]plp sovániúrokú obdobné
býlúrckypřp
osl se selkáýime
mohÓÚ
s
ován y i poloLetné,
s pojm em úrokové
ólvl1letně' denně ald ' V télo sou Vis
je
pEVidé
ně připisÚj'
období, což doba. 2á klerou se Úroky
Lléh vnl úlokoýa milJ p'-o d'L-d
1''
i'olo'o
'
náhí úrokovémiÍy' poměřované
kteÍá umožňU]e poÍovnát rúŽnó nom '1A..Jpoi'"
ste]né obdobi' avšaks.úznou čelnosiipňpjsováriúÍokůŤak
sce
např ÍočíiéfeklivniúÍoková
miE nám řiká jakVélká Íoóninomináni
'o(
Ž
úrcková miŤa př ÍočnimpřipisovániÚrkú odpovidá roóninomnáni
úrokové miř€ př měsičnim' dennin č]jnémpip sováni
ÚÍokÓVou mÍu' kleÍou bud€me pÓUživálpÍÓ diskontováni' resp aku
m u ovánr peněžn ích loků íázýVáme požadovaná úroková mira n€bo
požad ovaná vý ňosová m íla, p oža dÓvaná výnos nÓsl' Posled n i dva
VýÉŽy se pouŽ]va]izqména V soJvislÓsl s cénnýňipap]ry V podglalě
]sou dvě možnos( jakým způsoben jimúžemeslanovil BJd nĚ]áké
p€nize máme a poloň jésliŽébudeme urěilou jnveslici realizÓVa t' bu.
deme něco zlÍácei, á 1o noŽnost investovat lýo penize někdéjinde'
přlpadé za poŽado
napi je U ožr ý ban€ na terminovi účelV
'Ómlo
se Všakjednal poJze
o ŽlÍátu úrckúz
bankovniho vkladJ a
e
Ó
miÍU budóme
zvlášlniň dÍuhem úrckové míry]e vnitřni výňosovó pÍoc.nlo' vnitini
míá Ýýnosu6' V podslalé se]edná Ó tákovou uvaŽovanou úrokovou
ňlru, př niž se cena nveslice Íoýná souóaŠné(diskonlované) hodnolě
' p.pooéooJhooob' ' '"n'' 'pao i oz 'a:!
výnosnosl
do dobysplalnosl]''
ieme iako
z 9j*éM em€ Ráe d RdÚi 1RR)
Ž gLďóhoYdd ú MdUir (YÍM)'
z hlediska délky časovéhoúseku' na kle.ý
](]'l]imáno' dělina kÍálkodobé a dlouhodobé a v sÓuvislosl stlm]e
ap .a.e 1éloo/ :. ole \odt o ' pet á7
'r' 'o'e'ho oi loToi
'o'l€''
2'2 Íypy Úrcčeni
l: J!jidvá
'
Žákadnizpůsoby úrcóeni:
ojodnoduchémúloaenihovořimelehdxjesližeSevypárénĚúr'
ky k púVodnímu kapitjlu nepřóilajia dálé ŠgnéúÍoól-iinýmiŠlovy'
Úmky se poĎilájislálé Ž púVodnlho kápitá u;
'
ú'oř.nlsP ed '; lel d
"'ožend
čáslce a spo J s ni sedále ůÍoói
L]loóeniděÍm€
!
.
láŽood]e loho. kdý docházik pacenjúÍokJ z loholo
úÍoóeni Polhútňlň naboli
d.kuŽivním
V
připadě. ž€ se úrcky plalí
úÍoóenl pi.dlhúhim neboli anli
kú na zaÓálku úrokového období
zlrálu
úÍokůzd]Uhooisú nebo z1rá1u Výnosů z něiaké ] né invesli.e' Takovoulo
úÍokoÝou mi.u' kleÍá V podslalě představuje 21řálu našichpolenciá niÓh
výnosů' nazýVámé náklady oběrov.né přilěžitGti' Druhá moŽnosl je
že žádně penlze nemáme' a abychom mohl]namipánovanou nvest ci
lea zoval musimes Vypůjóil za poŽadovanou ú.okovou
oolom dosazovatúÍokovou miru z našipůičký
l MičniÍozhodováni se
2.3 Jednoduché úročenípolhůtní
' olJse ''''ept''dj
{.é poL2e Z;tlddl j;{Ld \'pl; "1ó
T,..dj lédJ no.' ?J'o.] Utl/' oL.).
|3róaŠté]vlpoóiláme pod € VzoÍce
bi,kékteÉmuseVzlahu]i Úrok pak
t?'1t
jé Íoč^lúrÓková sazba V procenlech]
je doba splahosti kapilá U ve dneclr (Óbvyk e 0
<
l < 360)|
FlNANčŇl MAÍEMÁŤjkA PRo KAŽDÉHo
JeslliŽe vyiádřime vé ťoÍcl(2l
)
úokovou
9áU
jako déselinné číslo
12.2)
ne]čaŠiějiVyužlval slandad 30EE60
V uýódĚných pňklade.h bud€me
(t.]ňána pb jednoduohoý)'
aohomaliďyje výše ůÍÓk0 v ŽVislosli ná době splalnoŠ Vyjádňena na
je úÍoková sázba, !,yjádřenájako désélhné
číslo(značlúrckz l XÓ Žjédénrck)|
je doba splatnosli ýyjádLná V lelech
oélku Bku ]smé vé EoÍci (2-i ) uvedlijako 360 dnl' zaslávme se u pfu_
blému Vyjádlénl doby splahosti'' oož nénlv zásadě ob1ížné'Dělimé
počéldnl €xislenÉ smluvního Elahu l (dobu sp ahoíive díéch)délkou
rku Ve dneoh. PÍo uÍčeniiÓholo podilu se t'yvinu o nĚko] k slándá.dú'
Poéet dni v óilalél] múž€ býl uveden podlé násl.duíclch kódú]
.
AcÍ -
.
3oE-€léměsl@sezapoÓí|ávájíbá2ohledunaskulečnýpoě€tdni
.
30A
zapoělláVá se skuléčnýpoěel dní smluvniho vnáhÚ
a
obvyk e
l
ší
Dá ka bku Ve imenovaleLi je uvád€na:
.
rok iako 365 dni (Íésp'366 v přestupném
.
.
n.loda)je
oJ L'oloÝáhoÓboob (iElel, d dP''a'o.J J55'E5p )6b j d.l
sladdáÍd AcT/360 {Íancouzská či m.zlná.odn' nétodá)je zale
založénna skot€čném poĎiu
slándard ACTE65 (aňgllcká
žénÓpél ná skuleiném poau dnl v
álále i zlomku, álá délka rcku (ve
jako 360 dni;
závislosl úÍokuna dobĚ splálnoslikapitá u
l
obézku i z uved€nýdh Vzorcú je zřejmé' že ve ]kÓst úrckU závisi nejen
n. úmkovésabě a na výši kapi(áLÚ' álé téžná době sPlalnoŠl]' ÚÍok
(|!6p. kon€čný, zú.oÓený kápiuD]á př dané úrckové9ázbě lnaáÍni
rc.);
Kombinaoí uvéddných moŽnosti dost]jváňá Íúznéslánda'ly pfu slano_
ven i doby spláhosli V pÉxi nejužíÝá nější kombinaoe jsou:
.
obá*k2'1
*
od 3{E mďiňálně o jeden dén, klaď ]e apoolen pouu
V připadě' žékon.c smluwiho wbhÚ pňpadne ná 31. den V měsicl
á sÓučásně zadálek smlumihd ýááhu neni 30. nebo 31' dán V měsid'
-
]monovál€ ) seŽpďitáVá
slandaÍd 30EEB0 (nán..ká či obchÓdnl m.toda) je záloŽén ná
kÓmb]náci započllávéni oélýdh měslcú jako 30 dní (v čllalel0 a dé ky
rcku (Ve]menovaIelo jáko 360 dni'
Nrkdv se sel*áms l s Výpoělem úrckúpomocí lzý' úřokových čisél
U
mková ěls]o (Uc) ]e
LN:
d
efnová
n
o
lako:
=L!,
Úrckový dělile (./') ]a dáí nován
ja
ko:
u, =:!!.
L]lolovydéjilelznac' zakol'kdn]énlú'orze]00Kč1Kč'
c-1)
FINANČN] MATEMAT KÁ PRo
n
lGŽDÉHo
lrulovóm ná9Ób el
/Ž'dni
F Tozto./orcc
p|o
lloÓie jo|U
h-I
3Al360=A112=2t3
|r|' VýpočolÚÍoku (využleme Vzláh (2
uD
-e
l2-5)
rcÝ7.re..éFod' oŤ4podP
Lllů/r e1.''e\}G.dpL|L
úíolovéhoobdobi pn noménne wši úb}oÝe sarbý
belrem
l]l
sazbep'pa! úDiová čhla Fou podle v'ahu l2.]J
=!.r Ú. =!
UL
1):
J:
,,.
-!.!
)
oVé nákédy
óinl12ooo Kč.
Fllk],d 2-2 výpačal úfukt padle úmých standadó
vI' / _'le vé toí Ío.i prc
Ýé
|oo ooo {'' j'ozé-épi
I L'LU\ \ a'bě / Óo p a t dob_
^"o/
L'ed..ol' lcoLl e ooo P,lanod o']
AcTi36o 1ÓFrrÁo
^(|l/]65
"''
d"lle ss 1err1 núr6FPie'!).
10L'otL ňL'"Te Ý'
Ž,",
"o.il 'ák
(r.6)
-o
'o
o
Přjk]ad
/ojboL Š.s,..á lao.kád 01
'/oo.lL L'o.] 'á b".
2'1 výpačel úÍoku piijodh
*" fě.''U
;"]:;:': -
'2ó0dn'jv(olnÉ
'.h
||.o ýýpÓóet úrckU vyuŽi]emó
r)Nadime,(
L'o|L
Éešerl
Ža jednollťé Veiéidydosadime náŠedujicr hodnoly:
= 100 000, r=
Ýlálr
(2'2)]
0.02
/| ! dosadime hodnoly podle niže ÚVedáné labulky.
F|NANČN MAŤEMAT KA PRo KÁŽDÉHÓ
zUvedeného přlkladJVidime Ženeze]édnoznačnéiici. kIerýslandáÍd
]r pÍo Výpočel ú.oku nó]výhodnějši
VkaŽdémplipadéplati.žepoěiláme. úÍokpomoci slandáÍduAcT/36o,
bUde vý9ledek pí,inak slejných podminkách VyŠŠinež
piipouž tislan_
dafuU AcT/365' coŽ vidine v káždémřádku labu]ky' ŘádkylabJlkyse
lí |.ň
bude fakluÍÓvá^Ó penále Ve Výši6176
Ťd" i- ooi u' ,álo
'ln
'
l
'
Kěv plipádé, Že poěel
e vy' oďe' p'o
]éi ! 'é1o zp]soo
l'tr]odběEle€ jeVýhÓdnějšjdobu rczhodnouproýýpoěelpená epodilal
( LodDU 30E. neboízaplalipenále oÓuze 5 9s3 Kč
sÍovnáme. výpoóét ú.okJ pomocislándaÍdu AcT/360 a íandaldÚ
7"e1' d oooob'' v {. el P '. dd Lo'et
Je_lioloŽen po králkou dobu
'á jejlž óáslije měsic únoÍje Úrk poĎilaný
2'4 základní rovnice pro jednoduché
polhůtníúročeni
Velieiim řádku Vidíme. ž€ výše úrcku múžébýlpř výpoau pod|eslandardÚ 30E/360 AcT/360 siejná
Vú]epřipadú kdypoéilámevýš úrckÚzaÚói'éobdobi'FoUčaíépii
kdy zriŠl'U]émevýšizÚÍočenéhokapiláLu (kapiLiLU Včelně úÓkú)po
|'
'ry'
ÚÓilémobdobi
Koneónou ŽúÍÓóenou výš kap]lálu (,(.)za obdobi''Jo'
reme jako součel poóáleěniho kápilá U (d) a úrckúŽ bb obdobl
pomoci standáÍdÚ 30E/36o VyššjneŽ úfuk poóitaný podle slandáÍdU
AcŤ/360 (viz řádek 2labulky)
P iíklad 2-3 výpÓóet penále z lak|uÍy
l
odběÍatelVám nezap ali]fakluÍJ' znějicina Óáslku 193 000 Kč' sp al:
noÚ7 óeNen@ 2004 Podlé smlouvy účIu]elepenálé ve výšio'05 yo
z íákluÍovanéčáslky za každý den prcdeni. Jak veka bude oenále
Pená e Vypočnáfiejako úÍokza obdobiÓd
77
200,4 do 9'
9
p
'
62 pÓdle lo ho' zda počiláme skuteóný poóel
d n
i
(AcŤ) nebo pÓčet
DobJsplahost Vlomlo piipaděvyjadirrjemeVednech' prciož'éúrcková
Úrckvypoč lámepodbVaahu (2_2) kdéÍÓóniúÍokovou sazbu náhÍá_
dimedenniúrokoýÓÚ Šázbou ida dobu splálnoslia'vyjádřeno! V' lelech.
nahÉdime dobou splatnosli /, vy]ádřenou Ve dneď
Í=íidl=l9r000'0.000562=j9']
o Žú rcóeném ka
pi6lu
{
jako
'do
V^ah zúrcčenéhokapilá u á poiáleóniho kapilálu € pÍolo vzlah 5!u
.lEné a bUdouc] hodnolykaptá]u
2oo4'
Dosadime:f=]93000, /=0'0005pd (denn úÍokÓvásazba)'i.64'
.es
V nelodě čásovéhÓd noly penéz hovo řime
l l od' o ě|ápJd J Jo oo d
''i'
l)osadim+li do loholÓ VýÍazu zeVfuhU
^
. {o+ro
r,=r! (+' 4,
je počáeřni
lz'1')
peněžnifáslla
]00 je íoč.iúroková sazbá vyjádřená jako dselinné čislo;
'=2/
l/]ó0
"
("
ie doba
p|alnosli
ka o lálu V]eléÓh:
jé slav kapÉlu za dobu tr' budoucihodnolá kapiláu
s
F NANČNl MAIEMAŤ kA pŘÓ
Přikkd 2-1 vlpÓčél šlavu vaadu
kA'DFlo
l]'kL d sé]edná o záýis e pÍoměnnoJ nebo nezav s]e orcněnnou' kleni
za .1ané ÓbdÓbi
d
Jaký je slav Vk adu 1420000 Kózasedm měsicú (2r0dnů)piiúrokové
l||lklad
oosádhe: Á;=
1
420
00o;'"
0
0]5
r
=21al360-7 l12
Ú
'ovýno9no
i' "boon
i
'
2'5 ýýpačet púvallni Výše kapilálu
Velký počáiečnjVkad Vzfust€
pii2% úlokové$zbě
p
a
od 12 4
Podre vzlahu (2_7) Vypočiláme slav Vkladu za daně Óbdobi]ako
r -&
t..,.tr)=r4:00@ (r+0,015.?/tr)=14r215
/| ]ednollivé Velióiny dosadime dLe zaíláni: i= P 1 1ao = o'a2' | = 1 saa|
l l/360 = 72 / 360 (poóeldni]Sňé zckálipodle slanda'nu 309360)
PúvodniVklád Ercsle na ] 432425l(ó
ze zjkladnl loýnicé pm jednoduché polhůlni úrÓóédi múŽ€me Vypoč lal
klerouko z uýedených vélióin
Poéá1éĚní(základní) kapilál núŽeme vyjádňl jako:
' : ".
kde ,(,
r,-,r
jé poóáleóni peněŽni óaslká (kap'ál). současná hod'
nolakapiláU;
l00 je roón úrcková sazba Vyjádřená]akodeselinnéóhÓ]
'=2/
, = l l 160 je doba sp alnosl kápilá U V lete.h
,(
budÓÚcilrodnob kaplálu]
]e sláý kapilá u za dobu
''
Doba splatňosli (úÍoĎení)]e dána
vý€zeň
l!d
^
e
Vzblru (2 3) Vypočiláne {"]
!= 'oo
=rr;om
|)iVodnivýše ýk adu by]a 375 000 Kč
Piikla.] 2.6 výpčet doty Šp]anaslip řj jednoduchén úročeÓ ]
k'ésazbě2% pa
"'
Že '/o5l oi |
pňpsánim úÍokúnakonci obdobi na 4 000 Kč?'D
DÓsadime:,( = 3 96o r =4 000 i=0 02 Wpoóiláme dobÚsplalnošli
| (V let€ch)a l(ve dnech) Využijeme Ýzlah (2_9):
{2E
sazbu (Výnosnosi mÍU výnosu) Vyjádřime:
Ůrok
t24o)
pÍoměnná pelné daná n.zýÝa sé
bý přpsánŽa l32 dni'
Přikhd 2-7 výpočel úrokavé ýzby
Pi jaké úÍokovésazbé (pň]aké m ř€ výnosu)bude ón r úrk z vkadu
lo0 0o0 Kč zasedm máďcú 1 500 Ké?
F NÁNť Nl MATEMAT
kA PRÓ hÁzDÉHo
Dosadime za jednotliýé ýe óíy. l = ] 5oo;' 7 / ]2i ,(" = r00 000
"
Podle ýzlahu (210)VypočMmeúÍokovÓU sazbu i
l'načinÓ ]jako
(
(,
'
Ňučaýou hodndu
budÓÚcihodnolu;
úrckovou sazbJ vyjádfunoujako deselnné čislo
|'|k symbolickyvy]ádiime současnou hodnÓlÚ vztahem (2-3):
Přiklád 2'a výpoěel pačálečrlVýše úvěfu přj jednoduchen úfrčéÓi
VyrcčelsoJčasnéhodnÓly z hodnoly budolci se nazývá téŽ diskon.
nÓŠlpolé1odobépouŽlna splaÉni úVěru aúrokú]0o0oo]<a?Úrcková
Ées@Pouz éme vz]ah 12 3) Dosad'ň. Á.
vypoi )me souiasnou hodnolu
= ]00
(hrcpÍonásVýhodnéjšípřkÓupidáfu dáI-néjnyniholově48 500]<ó
l bozapaliizaÍok51 000Kč?!VedenoJlrolovostňáňemožnostin
u'dovat pi úÍokovémiie 4.2 yq p a
^
V 1omlo připadě]e ňÓžňÓ
lúúžéme
s] pújčitmaximálné 97 7]9 Kó
2'5 současná a budoucí hodnota
při jednoduchém úročení
Velm čaíoseVbankovniclvia v ekonom vúbec múžemeselkals lim
Ž€ poliebÚjeté navzájem poÍovnal dVě čáíkyvóase Např piirozho_
dováni zda plál( ý holovosli či zda Vyu Ž]l moŽnÓsli ú vě fu a plaliltedy
v bÚdoucnosi srovná. óástek bezohledJ na čas nenipřesné' pÍolo_
že penj2e V.ase májirúznou hodn
1imdřive]emůŽemeinvesloýal áponesoJnámledyúÍok'Anaopak.
K lomu' abyÓlrom moh iporovnáVal pen ze V óase. poliebujem€ znál
po]em souóasná hodnotá jehož pouŽti]e V ňelodě óaSoýg hodnoly
soJěasnoL hodnolou'o.L1i "
soýém obdobl pňnese budouci hodnolu'
poslupovallřem způsoby
1lvnizpúšÓb VyuŽVá melody souóasné hÓdnoly. PoliebJjeme zjisi]t
!óasnou hodnolu 51 000 Kó pi úlokové9azbé 4.2 o/o a porovnalj
í.áslkou43 500 Kó' Dosadimeledy: K"= 51aaa; I=a'o42'r=1auy
oóiláňé ,í, Pod e wlahu (2 E pďi:
|bučasná hodnola je Vétš]než 43 500 Kč' ledy zapalime li za ÍÓk
l'] 000 Kó, ]e lo ekvVaentnisouóasné p albě 43 944 34 Kó PÍoto je
v 1omto piipadě Výhodnějšip nimoŽnosl ledy palilhnéd V holovosli
lj UlrýzpúsobýyuŽiVá metody bUdoUc hodnoly. Polřebu]eme zjislil bu'
(L.]lrodnolu částky 43 500 Ka pi úrokovésazbě 4,2 % za Íok a po
|'rar] s Ďáslkou 5r 000kč V lomio připadé ,{ . 48 500: = 0'042]
! r PoďeVaahu (2 7)doslaieme budoucihodnolu Í '
{
{! (r+' n).r350011-0.042 D=i0nr.
FNANCN MqrEŇtATl|
to_ me
'
I n'n lá,'. ' 43 \oo .
" . --" *'t"o- "
ňoinÓsl. iedÝ zaplalitlrn€d
áto'po'"oo'c o o|o
óáŠtku 43 500 Kd'
A
"'
PFor AŽDÉNo
lod
"''
]k
:":f":;
:, l;:".'j;"'.".-:
:í,;n"
:i:l;iiji"'i'
i 000rr
(o:
4A
sOOr(
""'i':
= 1:
51
']
'
Drurl
diskonhisazbJjako déset]nné ěis]o p a'
ěas od doby výplály do doby splahosl pohledáv
Óbchodni dskontVyjádíne Vzlahem:
(2r r)
l1l ýáŽceobchodnihod]skoniJ bUdeledy Vyp a@na čáslka:
|=.K"r
- Ii,.-r"."
i:'ň"Ji;i;;;;;;'
;"'.'";
J r''
"?
5'''
ňfunI mo?no5L ledv zao aL143 500 Kó o|amzle
u"'*". r. ua"*nr,o
o*'*'"o"Ú
% o'o o
ke kválilalivně
F ]'l
(2-1)
É'i|
od
slqnéňu Výsedku'
l,tlklad 2-10 vwlacená čáŠlkapn eskanI! snéhky
Vy|joóilejl€, kolik doslané vypaceno kienl jemuŽ banka eskÓnlÚje
l Ónku o nom náhihodnolě 1 000 000 Ka 35 dnipřed dobou spalloslipř diskonh sázbě 4 % p a Pledpokádáme' žébanká neúótuje
l
'o
VeióinydÓsadime:
iešenipoužLjemévzoÍce (2 ]2) a ÉjédnoÍVé
l_i 1 000 000;' e 35/ 360:.r= 0,04. Polom:
l l r'..'(l-d |)=l000000 ( -0.04 ]5/lóo=99órrl.lL
]( 0n1dosiane Vyp ac€no
99611]']1
KÓ
V/l sdem k lomu' že pÍincip d]sko J je shÓdný s paÉnímúrcku na
l řílku obdobi'jedná seV 6hě o přédlhútníúroč€ní'
je splalná
noňLnálni hodnolu pohLedáýky' klerá
jf#''
lťŤ;=i;':-:ťů:i1il:"H;l""T".Tlfi i"#:""J:l"j:l,Tiii
i;";:; :1":::"; ": :"'.:* :'nl':l' : 5::"''.i:
"
e
F NANČN l/ATEŇAT
(ApRo KÁ'nFH.
2.7 Vztah mezi polhútníúIokovou
sazbou a diskontní sazbou
sazbou á po húlniúřokoVÓ!
pomo.iposfupu Žaloženélrona vzlalrU současnéa
souóasná
hodnola
{" =r,
I
I
(l , ''.
'=*!-'
Pi
po!ži{i ]ednod!clrého polhůtniho ú.očenije
""=*
oblazěl2'2 za!\05 Vý+LapEu M
(,=(,(r,r,r.
Rona]ili9e sou.asé lrodndy cdy,(l
(.0
Po
a
r,,)=
rilň
e
!
lických úpÍavách
á
i,'
l
''
pldj:
]
me Že V připadé pújdky zaLožené na obchÓdniň dsko u
'jre'neVypacenU čáslku sn Ženou odiskÓít piaemždoba rozlrod_
.'fU Vid
l
o Výp oóel dÉkon lu je doba od ýýp aly
t'klad2-11 PDravnári
'1osla
tr a]me dýě
neme Vzlah
diskantni
s
']o
sp ainosti
by a pÓlhúhl
únkavé sazby
pť]]dky se sie]nou splatnou Óáslkou
ltvnij.zaoŽenanaeskonlusňěnkysp]ahézapúlÍokuonomnáhi
(r.1r)
Vy]ádiime_ize vzlah! (2 13)d skonlnisazbÚ
ióe
'.
doslanene:
,
l]Ddnolě ] o00 000 Kó s ĎÓni diskonhi sazbou 4 %
!)fuhá]eŽložeMnajednoduďémúroÉnisročniúÍokoýousazbou
,] lo' přčcmzza pú ÍokJ se mÚsis
úl
Varanraje Výlrodnéjšipro d Úžnrka,
l!,jVaranlauaÍučiVěřleli(baíce)Vyššizisk?
GÍaíckyje prncipdskonl! znázoÍněn na obl 2 2
ji]ba Vypoditál ]aký obnos bUde
V kaŽdé z
VaranlVyp acen
d
už
F NANdNltrjóTEMAŤ
..po L F..o" "o.
t.,
Pode lzore 12 ]2rdosad m€za"
edno rye !e
l A PPo trAŽDÉHo
.ný
f:r000000 r=004,=os;
(l=ť.'(l / l)= Lo0o00o (L o.0r'!.'=rBoúr.
Pi
pú'aÓe zaroženéna obchodn fr diskonlu
bude
pp' J'"o'" '''aoo ' l 'o é "o iL'
'
.. , ;.-".
I
^"..,i
tr !mocinže !vedeiého obÍazku'
l
j
VyplaĚno gso ooo Kó'
!
1
Vdobá
vyoodelúroku ]e Íozhodu]i.rdoba' klerá upynu a od poskylnÚl
poó lá z óáslky klerá
I q |y doiejisplá1n61i Úrck se
ýl lDlem poskylnuta 3 plal se př spalnoď]pú]čky
íjúýledv
V
době poskylnUiiÚVaÍÚ
byla d|uŽnikovi
é " 'L' éd' 7 'j\ lJ
o1! "pld' é ' doý é 'Lo 'L|
o|ol
p.''N é_o'
jev!hodněis drÚlrá !aÍanLá
za oŽené na po]húlnim úroóeni
á pú]ěky zaLožcné na obchodn m diskonlu
obÍázék2'3 PÍ].cip pú]óky
b; oodr,
/"r,
.,o'"o..
l'iiklad 242 PÚavrá diskanlnia palhŮlniúrakÓÝé sazby
l )liebu]éme zckalod bankyúýélnaieden Íok Bankambizidýě mož
, o o.d c7o"
55%pa
B%
pd Di
Úror (dls}onl/]P edv sp
l(crá z ýariani je pÓ nás úrokÓýé výhodně]ši?
{ 0h pledpisú. Výnos ŠeVypoc la
Fko Íozd l
mezL lmenovlmu noono@u
ll ou obchÓdovány na báz kÓnven@ AcT]360 Nejsou Veiejně obcho'
Lloválené']soJ Však plevod]tené ná Žákládě pÍavide syslému sKD
(íyslém k.álkÓdobých
d lu
hopisů )
Ptlklad 243 výnošhÓst pakhdn]čni pÓukázky
l)ne 17 2.2005 se konala hoándská aukce Šlátni.h pokLadniónich p0ukázek ojmenovilé hÓdnolě ] o0o 000 Kč'
,]'Rá je ročni výnosnoslléio pÓkladnični poJkázky?
l1o VýpoĎet výnos.osti VyužÍémeVztah (210) do kleÍéhodosadlmé
oo0000' l' Úanoýla Tolo'ápoL ad_
/ JJ5" L'áo.íé .bJl\ \.
'
-p|d'L {' =994 604 - 'i Éno'zc
l'l^'o' b/bpo do''i'po a.a. -L'c p{oa1é 'oJJá<rálodlod
lool.'j l l ql ' -oo je oood ŤlátsoŠ! po'con''' ool [a.\V' l é'á á
60 'eo!
'
" ..íýpo(ad' 'adě'
9. V lomlo připádě Šé
3']1)
Výnosu{vzoddi
bdnáožv hÍubouvýnosnoslnébohÍuboumifu
M rc Výno9u dané pok adn čni pÓÚkázky
óini 2 11
F N^NéNl MAÍEMAT KA PRÓ
V
I
Ll'oalI
kÁžDÉHo
o pllpodó sr jodná o sÍovnán pÍincpJ diskontu (piedhůlníbo
pohůln]ho úroÓoni PÍo mzhodnul, kléÍoÚVadantu zvo il, je
ll).
ro''ó použ( dVa zpúsoby které vrdÓU
ke shodnému výsledkU
Jednak ňúžeme Využt Vztah (213)a Vypočitálk předlhúhiúÍokÓvé
Ól'.]
nolo.o' sá' bJpo 1i 1'
''
'et; Ža'i-': l" tpodr'.y''4op'
ddno- oo 1in' L'o.olo( sázbo-
? výpoólu je pahé' Že nabizená poll]úlniúmkoýá sazbá je nžšinež
vypočlená úÍoková sazb4 ekvVa]enlni úrokové sazbé piedhúIni' PÍo
pÓskýnuli úVěru je výhod
nějš i pNn i ýa
Íianb
Druhý zpúsÓb výpoč|u VycháŽi ze Elab! (2'1.1), podle néhožVypoótemÓ
k dané pohúlniúÍÓkovésazbě piedlhůbi ú.okovou sáŽbu' klemu pak
s.oýnámes dano0 přédllrůlníúokovoÚ sázbou Tedy
lood'éd'_Tloro]roo''" _-ne 7ére'o/noo1é' ep.op 'n
n"bo L or ' .bíobeno'' o
'
'Jd'
úÍoková sazba ňUse a bý 5'a3 % Nabízená pied hůlni úroková sa2b.
e1' :aipap'}'<o potl"onl' '
poÁa'lJ
o_
dvanáclmésiců a]sou emilovány obV!ke stálem (sláinipokladn ěnl
poukázky- sPP)' Jqi.h ]menovitá hodnolaje ] 00o o0o Kó
JsÓu Vyd ávány v zaknihovan é podobě a zněji na d oruě lele' Eňisi i cena
je slanovena bud em]ténlem. nebo na zákádě aukce ame.ické nabÓ
lodt'}e' -rn" i-b_o J ''é1
...
i' "1o.i; \ooloz d,
oobe .o
F ŇANcN MlTEMArtr q PRo [A2DÉHo
3. složénéúročení
Á;
je Úroková sazba Vyiádř€ná]ako desel]nné óislo
je doba spatnost kapiláUV elÓchi
]eVýše kapjlálu nakoncir ',rého roku
L vy kap rá u na kÓnc
]edndivýclr allýoi geometickÓu posoJPnon
llklol lúloite) Udává
',
na kolik
vzroíe jed
nolk
o
Vý Vklad Ža rck př
!'srosl ýýse úÍoku tesp zLlÍodenéhokapilálu) na době spáliosli
j]ozeného úročeni ie oráli.ky znázoÍnéna ía obrázku 3 1
3.l základni rovnice pro složené
Úročení polhůtní
doba sp dnosl kap lá|u je celé kla
spředpokaden 1 že k.pÍá je uloŽén podobu
sože.éňú.oěen múžemo
konciiédnollivych el i]uslÍure labuika 3 1
zpúsÓb' ]ak pň
'
el
e kapjlálu na dÓbě splalnosl
/ jabu ky 3 ] ýyp ýVá' Že obecnó múžeme u ák]adni
Tabulla ]
l
PlncpsiÓzen€lrourc.eni
p1)
F]NANÓN MATEMAT kA pRo KAŽDÉNo
je budoÚ. hodno á
je
lapiaulzuÍoienýlaplal);
soJč.sna 1poca]rin hodno a) |doia J
je doba spla tnÓsli (ú.o ková doba
sÚj:;!l(1+
4 Údďá' m
)
l př Úrkové
kÓllk ý,roŠleýklad ] Kč za dobu
P íikkd 3-1 BudÓrci hodhok kapilálL pij lÓčn in pň pisavá
úlakŮ
!" ''.".:
' 20ooorr
Jcl o b_oe
'J '"
t"o'?ll
Tabulka 3'2 PokÍaěováni
l Ío']p''
e 'o.D'eoboob ieÍo "| -ltodo'"
'
]e úrokÓvá sazba
Ee!o@dosazeni
ť =X!
^.=
120000.r=oor5,=30a
(r+'' =]]0000 1l'ol'l
=
n
i
lr5431.405
sláVkapilálÚ po Iřech lelech bude ]254s14] Kč
%- Ťo] J'1'r {o''' 'jod"'.o
|éjiPdetÉ'hb|
V
rinu roku:
re ěásli Íoku
konci1
'
je óelnost piip s ován i úÍokú íÍekven ce úÍoen].
'
poĎél úrokových obdÓbj za Íok
4
l
Íoviá kapilálu na kÓnc
V'
|ost kap]tjlu na konc
,'
vzoÍce (3 1) azvýšeÚýedené Úvahy plyne' že slaÝ kap lá u
1é čásli
Íoku n;
ie
1. ' sujeme úÍÓk'.kÍá1do Íoká'
e."
' '
zo""
Émci ]ednoho roku Ukazuje labÚ ia
3
2
||=^
+;)
Ťabulla32 Posupvýpo.IusaVUlapi3UVÍaň.'lednohorotU
n et'
l,llklad 3-2 Bullouci hadnolá kapilálu při pÓlrlelnin pÍipjsaváh! Úlak'
Lro' Ltme óáíkU ]2o ooo Kč Jaká budekon€čná výŠeVkladuzalň
úypísbžmémúÓ.enipohúhiň, jeslliže úÍokov.obdobr]e pooelni
L .čnj úÍoková sazba éni 1.5 % p'a ?
=o0r'
Á -=i
"'\
Ž
(lr)
';."D_d hť
Piepokáde]ňe, že k pÍip$Vmi úrokůdocházi-'kÉl do rcka Jaký
bÚde ledy stav kaplálu ná kond pfuniho roku?
PoslJp Výp.ótu glavu kapilálu
]eslavkapiláÚ
(l(- =x,);
Ž1
na
u
^
,
rr,.,=1,661e,1r!!!ly.rrr:r"
:$V kaptálu
po lÍech leiech bÚde 125 502 27 Kó
=
'
FINANČN| MÁŤEMAT|I{A PRo KÁŽDÉH
#.i:;l;Íi#ffi !:l':#fii{'ji;:fi""
Piikhd 3-3
j:"1lix"l3,i::flť::
alo2ENÉÚRoÓENl
WíodrolóáŠl\L,{'etou j"lJrozap'oll%.Ón.'pále1oŤrL'' súre
r{.cl61ř soLc1L 4pÓdlá'c1 oUdoULch Ednol od oÓ'adoýa1ý.\
a 000 Ké:
splaÍná čásl*a dhlh,
l
dlo
lll
tonc] pálého rcku dop
atiňé částku 3 3os.69 Kě'
l.2 Kombinace jednoduchého a složeného
úřočení- smÍšenéúročeni
t'še4
i:"#ffi
l46933 -r720,93=3 309'ó9'
[i: ff Ít:i::ť;fiLi:lJ1:trŤi'!J'lj:át? ; jť:á".l:
v lomlo oddile nebud€me ]iŽ piedpÓkládál,
hná v leledh ja @lé Óislo (v]Ž o 3'2)'
|(. kombinac ]€dnÓdu.hého
Že doba sp alnosli
a složénéhoúrcÓeni
l
rryjád_
deházl tehdý jé{ rž'
llouL'ol' oÓ Ía'loJoobl pnpso!átýlpoóálacílnLltldolásnŤ
l|b j'Ó*ný(s|o2"1PLÍo.eíl, defu lo1ole rcodvypoéldú!r7a
lbdob' kÉl9i' ngž é úrcloýéobdÓbl Úednodu.hé UÍočéni)
Dod|PvzE! |l.l, v'po''áÍe buooJc'
hoo1olj Lled.ných čdsek
dobj pé'i lel n-bol ré.dp'á@ná
]nneo' á zajlmá násjejibudÓu(lhÓdnolá
na
korcid5n.d;hý
Dosadímaledy4=1 ooo|'=5],=o,osá!]pďllámebÚdou;hÓdnofu:
,('
=
í"'(l +4"
Čár'rd2 ooo
= l
<d
ooo
'
bJd.
l.03J-l
4ó9 31
UeďJ
rc dobl.lýi
*i1li:':11*::"Y:;i:",iiT;ií:
Nl o.sorrex 2ooo "=4.=oos
(. =,{. 0+t. =ro0o.r.$.=27r0.r3.
Po'rcDJiPř€/1c'lrl
'el
ptbze'á
rooĚela2@\'
"
BJdoLo lodrdJ w@d,bme
obráz€k
3'2 Dobá splalnÓsll pli smišeném úÍočení
Plodook|ádeiňé nyni' Že úrcky sB přiisuji vzdy na konci Íoku' Doba
l' po kleÍou jé kápjt]á ulÓžén není pňÍozéná ólslo|pakjé ňÓžno
'
jé pnEzené čislÓ, haělcl počel ukoněenýoh leI, po ktelá
je kapiIáL lložen - oe á čásl ,;
jé člg o menši néŽ 1, označujicí néBlou čásl Íoku.
HNANČN MATE
APRo[AzDEHo
or,""pb'.mo,
i:'
kJp
Ar
'á
u po
F
ý.h
, o''Tdo. .iJ'
"Ž".pÓd|e vzlahuo ''(3 ' ' 'o ''o.
j,' lebď uó me
l) ako
' ',
l
i
L
]á ýýše zÚÍoóeného vkádu ]
přkLadě přbl]Žné 4 25 Ka'
! l. l]n
dó '
kapiláu
{
se polom VypočIe iednod!chÝň úro]:enim
kapilá u ,{. poďe
uďĚ
(3'3)
je přrczené órslo znaóic] poČel Ukonéených
lin rckJ (úIokoýých obdobi) po kteÍé ie kap lá
i=' , t'l
| Ňiou
3 -4 Bldauci hallnala pii snl šénénÚÓóenj
J41666 t,4=1
("=(,.1r+a'
a
račnin úrakÓvé
')=
aiso menŠnez
čáíÍoku kÍalšinež úÍokovéobdobi
lL'i
L
pol
poI obdobi.lr ald
déFdnodu.hého úm&ni Výši ka
Úrokových obdob uÍ.jme Dodle ťtáhu (3')Fko
o.ené Výše kap tá
u
i'"
podle ýz1ahu (2'7) Ťim
doíaneňe
ýz{alr
r r lrrll (rrr
/, I't=sitz,=o,orr e".mzsr"."
{r+(,r r,rt)
je
výš kaplá]! za dollu, I
/ikadě
s oženéhoúločeni)Výš]kap1áu Á:
1Í''
:
=
e-dd o/| '
]l / ies poslupVýpoólUVpřpádé'žeseÚokýpiipsuji[+ráldoÍoká
'r;. " DobL
r
|eVy]ádit]akosou.el: '
'
er)
Piiklad
'o'
joo0o r.0rt
]e Výše kapi'á U v dobé sp
(3r)
ánoí L;
Vkad VzÍoýe na l57 332 o3 KĎ
Kdybychom pÓUžlipro Výpočet úoku V uýedeném přikradé
Vzlah
(3l)
obdob zarok
znaóki poóei Ukon&ný.h D
(úrÓkÓvýÓll obdob ]' po k'gé je kapi'á U ožen;
]e. so menšiĎéŽ4rina Íoku' vyiá
]e poóel Úrokových
'n
rckU
F NAdaŇiMAŤEMAT
l A PRo l.zDÉHo
ilnri
'UuU
ooou l arádfuEme ]álro
";':,i':il"':íi;""
ia5 íolulÍa5 nez r, /lon]
Dn něsičrl ali.krváni Úaků
!,leal' " l l'l"d'l'
'lo'
'_tsÓ
ých úrkových obdobi Úrkovou sazbu laké vý]ádřime vzhradém
I L l,kovému obdobi]ako mésični
n
l!''o'" 1 .Jo 000
] L o]5 / 2 = o.00]25 p ň
i
Vl
! 1..'L
Ó'5|"
(rrr)"=rjooo0 (r,o.oorrtr =1j7331.si
^
P'
Podle Vzorce (] 2) ýypoř láme
^
vzÍoslena157€32.35Kó
o1o přikladu ]e Vidět kuleóno ď kleÍo J
'/t 5ovani
Úrokú]e bJdouci hodnoia vyšš
s
jsm e již zň
lnili Př časlějšm
|'ll]
3.3 Výpočet doby splatnosti
/l ákladn]ho wÓÍce pro složenépohůln]úročeni]eňožno vYpoč]lai
l Í) výpoóeldobysp ainost kap lá]u z ogaÍ tňljeme vzorec (3 r)podLe
ýL'lhŮ
(
10)áí_r2)
' iii-ř
|l
Dostaneme
G'5)
úÍokovéobdobkEtšinežÍokdocházi kpřipisovániúÍokú'_král
pouŽ'!eme pÍovýpoÉ1dobysplalíoŠ1E13h{3 2) ŽloqarrlmU
'í'loka.
,, r,(!.L!1{i
(rá)
FlŇANČNi MÁŤEMATIKA PRo kAŽoÉNÓ
Přjk]ad 3-6 DÓba splalnasliĎň stJženéh únčen,
t\! ! rri!@tde!4d4tPÉe.!3t4!PL!
LJÍ.ele dobu <pra noí] (!|ozen )iap' álU 1o ooo Nc
sp aLnoí 4paÉno 1] 000 Ái pr uÍo|ové5azbé 2
) i]{
l]
eš€!]
Pi fušeniloholo
,\.r
= 1t
Pod e VzlabJ {3-6) Vypoé(áme
,] id'(") |((')_ h(]l 0)
oosadimei=01:'l=2 Vy!ŽieňeElahp6)
i,i!
lr!.r= l-=
. r"1tl1 : aL*,1
piik adu vy]defie zevzlahU
Dosadimed= 10000;{
_: ,{
l]] DÍo loqaÍilmováni a doslaneme:
0(]O,= 002.
h(looÚo)
'/o,ákladni.ovn
L.1fu známe i zbýVaj
Přikhd 3-7 slavn án i llrby splatnasl píi lnné délce úfukavéha obfui
'.' .dp|k p' 10 o'é q7o"ooo
o|pÓol"l ' p 'oý. L oLL'
'p'
' 'l"d'
nodJšina(] 5]|
nLr) r(^)
'
o ez.d
L"l,
/i
",':L,
)
l.
!!!=
(l+Ú'0)=r'l)(r'0)
1]
'72
r.
rokÚ
!
r
13-1)
D'"o{"
oorr, i"
o
'on oo:"f
'oŽ
"b'
(kap
lá Žáce)
reinvestováni
i
pii úÍokovésazbě i a za předpok adu
okú' 10]e př s]oženém úIoóén, dÓsáh]]kap Lá u
d
bd é VýÍ2z! (3 7)dostaneme souóasnou hodnolu kap lálu,("jeho vy
l
./"
l]múzeňe 1éžr,ypočilal po čálcón i hod nolu ka
c] velió]ny podLe VzoÍce:
'" '- " kaptálU {"' souóastrá hodnda
gouóasnDJ hÓdnotu lrudoucilro
I n=lpl
,,]{]+'rrn+'l
1] 90 ÍokJ
'ft
|ogaÍi{hovánia doslane|e:
Pii Íočnim úroĎeni a ú.okovésázbě ]o
L
3'4 současná hodnota při složenémúročení
Doba sprahoslije redy4,z8s roku
Éah {1lr)pro
2
o]násobi za
,
ce (3
VýuŽi]eme Váah (3 6)'
.l\
Phll
='
lo faktÓÍ r delinovaný ]ako
se vklad zdvo nasobi za
i] nazývá diskontnífaklol2 udáVá souóasnou
vl ndu' klerý je sp alný za iedén Íok př úÍokové
F NANčNl MATEMAT|KA PRo KA2DÉHo
VelkývFnamsouóásnáhodnolylkviVlom
poÍovnal peněŽni óáslky (kapitá])
1á
ŽenámumoŽňujenawájem
V
*J1l ol"5 ad p'o t a! vels .elJ nez Fn72 orDr
-'e ČlŤoÍ'vetraÍe'aplá|| Í dii\e éin r' eT" n\"'o,dl
lo''é ob'oó
'su1á
7
(uloŽ() a lim dřiVé nám pňnáši i úrok
ch@me.
yJ'"1
vypoěilat souěasnou hoddÓlu přiznalo9li budouci hodno_
lidobd splahosl l' V)'lád|.ná plŤŽé1r j'slff'"p
'J-ere
'f,tedse podobně ja ko v před choz iň pffk adu Ó výpÓóél s Ó uóaŠnéhÓd
'hdnÁ
ndy lonlÓkÍát pod]é VŽláhÚ (3_7), kamdosadlňá'("r l 000 000|': ]3]
f" 1ň= ia'j-=elr6'D
Mutlls dnes
u
oŽildo bankv64'] 165'90 Kě.
||lklrd 340 vÝpoěet úrckové sazbÝ a souóasné hodnaÍy
je ne]b žšiniŽši pij.orené ělslo
kčls!.i
ů|ý'|poóáléónikáplálá
úÍokÓVásaŽba, pň klértbY uÓŽén, Vlm._i'
Joo0o \cápod\oL e'e-1 525ook( pt !.1
ÚÍ.lovém obdobi? lroky by|y pňpisovány k vk adu a dále úrcóeny spolu
ř
|apotÉb/ lá1oslá!
Í]Ílkl.d3' 3 sÓÚčéýá hadno|a pÍi snišenénúBéenl
Kolik musíme uoŽ]1' abychomza pětlélá lň fiĚsice měli100000 Kd
pň úfukovésazbě ] o/o p'a.? Úrcky jsou plipisovány jédnÓÚ za Íok.
'6
ponédháVánv na účtUa dále úoéeny
tÉšld
PÍÓ iešeni vwž!]eme
váah (3.9)' kam dosádimó (.
=
100 000; i = 0,016;
t
boá1
x
"0000:Á
0íorolou sazbu l a
52 5oo'
oor.oJjen
poč.řinl bpila
/(^'
e
'.yoo!
ahv kapilá u & múžem€ vyjádňt dvěma způsÓbý
Elrrl
la(o'evelicinJ
PÓd é wlahu (3_l )
w13hu (3 7) ňůžémé
Vyjádlil gÓuóasnou hodnolu
(
+r!
(r+/
t
r,0
b' (r+r/ 2 u0rbl
V součásnédÓbélelieba uloŽi( 92 oo2 ]o Kc'
Piikad 3-9 součáýá hadnÓk
při šlÓžBnénúročenis račnin přtpi-
ijsle se za|oŽ( svému piávě narozenému dltéli l€Ímlnový bán_
kovnlúóal'spojénýs pévnoUÚÍokovousazbou2'5% p.a' auloŽildnÓ9
oalentoúčellakovouěáslku'aby. dně moh Óvdédsvýo\osmnáďýoh
náÍÓzén]nVyzvédnoulztoho1oúčlucelýmilionkorun' Ko] kmu3l1euožll
dneŠdo banky' plédpokládám€ liÍoóniÚÍokové období' ú@ky budoÚ
piipisovány kvkIadu a dá]e úrcóóny slé]nou sázbÓÚ?
'0ď6
l.
-
1rr.
Do dime'izdÍuhého ýáahu
do p
RÓŽhÓd
i-^r ,=:a!s
,=o05
vlltld byl uložen pii úrckové sazbě 5
%.
FINANčN| MATEMAT|n PRÓ kÁŽDÉHo
34 2 srovnni kE'ličn]ch valiant na zák]adé fiLčaŠhéh.nraly
,l|lhd
Počát€čni Ýklád vypočiláme podle wlahu (3-7):
ll.
PoóátéčniVklad mělledy hodnol! 47 619'05 Kó
oq) aLloroo' Je prc 1cs \\hoo1Pi\ loová
'o<l.oup'
Ké' nebo dá| zálohu ]20 000 Kó a zá lň ÍÓky dÓplalil
la0 000.''' oF pŤ' á. 4hod1q1' f áre] noŽ' o! jloŽ( pe1 7"
'rDl
jsou p ňpisovány pololelně po nédhány
|al 4 % ú rckové sa zbě p'a (úrcky
Pojem souóásnó hodnoly nám umoŽňu]e rczhodnoul jakýň Žpi]sÓ'
bem naložil s holovosli' Mú Žemé V lomlo připa dě s rcvnáVat Šouóásn o u
hrd
r.=
L=i!!!=.,.,,,,
r
rFj
.P' oJ p'''-r'néz(jen e
úÍokovou sabu'př nižbychommoh obnos(cénÚ inv€slce)uložil
hoo1Ó'Ubloo
.F '!' o,úz 1'e{llá
Bude] souóasnáhodnolá
budoJoich piijmúz nveslicevyššl neŽcedá,
Íamenáb'žeinvesl€ jóVýhodná
BUd€ linaopaksoučasnáhodnoiá
budouclch pÚmú nižšinež cena investice je epšl n6 nvéŠtÓvát a obnos,
kleÚ bychom záplal li. Éději ÚlÓžil pii dané úÍokovés.zbě
Přlklad
3í1 Razhadováni
a inves ci paňÓci saučéŠné
hadnaly
Máme možnosl koupit 2á 4 700 Kč inveslici (diskonlovanou ob iqaoj),
ktérá nám Umožnizískal* dvá loky óáslkÚ 5 000 Kó Je to výhod_
'áinvéíG L'J-Fre jraovot
sázb' 3%pá á'o']''pňp 'oljni
ňr
&
jednollivé prcménné dosádíme(".5 ooo;'
=
2 j=003'
r"_ 1-=:!9!=1,,,,s
11240 o00
člu a dále úoéeny s|einou sazbou)
lirlln
úkolémlg poÍovnát mezisebou dva moŽné zpúsoby plaleb:
a)!l01bu V hotovoslive Výši24o o0o Xč a b)álohu 120 000 Kó v hÓ_
lok[li s dop alkem 1a0 000 Kó zá lň ÍÓky Abychom moll] obě p alby
!ďovnál, mUsiméVypoěilat so!ěasnou hodnolu p alby b) PÍo výpoóel
J '3'7jomspoaP'"oL'J. Éhoo1o') onaoŽ._éř(rc_
dl/J
hh
l '' {.ly,o.odnL"o'lejs'_'oÉ':'*jeo1o( aTl
loJrÉn e\z
D!Údhe,{"
r"
",
'.
= 140
o00i'=4 %:'
='il9'='.,
llol(
a
4,
= 3
a !,ypoóiláňé
4:
"'
eq.i|ne.240oo0{,'p'olopÉdpo. ád"m.l'\ pÍ]bél'bL.
l-l l"?Téně1g LŤkoÝá podrí[y'e p'o 5 \ihod'ě'n
l V holovosl prctože k lomu' abychom mohli Ž lň roky zplal l
cl'i'
||p ál
'
140 o0o Ké' museli byohom dnes u
va.ianlu b)' zúslane Dám pozapládéni
rdlohy oprcliVadanlě a) 'volných' 120 000 Kč (plalba zálÓha)' Uloo.l luto čáslku při dané úrckové sazbé na lň Íoky (do doby p ácenl
Nlboli] V přlpadě že zvolim€
d,lldhu
'i
'
o' oP
/U'oj"'
3 JÍa pÓ lá(h
hdně než doo álék 140 000 kě
současná hodnolaiá 4 71293 Kč' ij je vyššíneŽpožadovaná cená
Ťedy abyohom
dVá rcky mól 5 000 Kč' mJseli byohon dnes u o_
Žil čásll(U 4 712'93 kč (dybychom uož pouz6 čás (U 4 700 Kč pii
úokové sázbě 3 %, zlská bychom pod]e Vzlahu (3_1)pouz€ ěáslku
4 936'23 Kó lnvesli@ je ledy a daných přédp.kládú výhÓdná'
=
toučasná hodnola doplálku čini 12a 315'99 (č ( Iomu píóleme za_
plh-o1ÓL 'álof l '20 000 ft a z'slavaae !e| er 244 3'r 90 / L|
!l!€
Podá wláhu (3 7)Vypočítámesouóásnou hodnÓlÚ óástky 5 000 Kó'
klerou ziskám6 Z dýá ÍÓk' a lU po@náme s cenou' za klercu ie moŽno
Ú aol
lál"ch lJ4 q3J'63
ki
-o
e
loučásnou hodnoIu použiVáme1éž' jakby|ov piéddhoŽim p'lkladu naánl' př ktelém h ledám e nejvýhod _
DltJš l invÓsl]čn l Vaňánlu ' PrcVád ime lo lak Že po @vnáváme sou čás íoU
l$dnotJ budoucioh při]mú z nveslice s nynivložáným kaptáem Ta
vhÍ ántá u ktéÍé]€ néjvalširczdiLme' Šouča9nouhodnoloubudoJcich
(cedÓU invéslicé) jo
|ý ]mú z invesli@ a na počátku vloženým káp
'álem
Ě|ŇANrN MATFMÁTkÁ FRo kÁŽDFNÓ
člsli souěásná hodnol.
néjvýhodně]ši. Íénlo rczdí se oznaÓu]e jako
Vhr'ool oaoěooráo'r" ooEde^.=24
PlIkt.d 3-'3 Čislá současná hadnala
Jáko €konomioký
iedite] malé spolóčnoslizváŽujélé dVě mÓžné álléma{ivnl invésllréná dobu šesli et piiÓemŽ se múŽele r@hodnoulpouzo
pro jednu z n ch' oóákáVáné péíěžnilokxkteÍéjsou s nimispojenél
jsou násedujicí (uVáděnéčáslky]sou
V
Kč):
ooo 2\oo0 27ooo;2' ooo
00 22ooohodnolý]=0,0]'l- ] 2| 3 4| 5 3 azsume
'ň
'"
cl)
-á
%
' Kb
Éz nvsl
c je vý_
'ul
t l'oÍ +
|ot
+
.y
=l-4r6'x'
(, r
Íéooé.''ln'"s@vdlépŤqlr.d.y l _PL
'5
l00000
redý
oiíá soutagná
l0]d
o|libcď
lal as
Uvažuje me ú.okovou sazbu (Výnoý
tlo] -
r',n
H
jako
rozd
i
m€zi
áoÚěás nÓu
1.eí*
odnolou všoch bUdÓU oich pe'
il h ch lÓků a v oženým kapitá em ié U dÍuhéinvestice, kteÍá jg prclo
h
rrl
lo uíol souéasných hodnol
lc
ná základě
siéjných fnančnich lokú lŽé prcVáděl jedno.
VýÉzu (5.2) pÍosoÚóasnou hodnoIu ánu lnlÓh plaIeb'
Néjdiíve vypočiláme souěasnou hodnolu Všech budouc]ch lokú podlě
L=!'
T6nlo Vzlah
ll.o.odo'jn oV'@i.rqrniÚ1v"'dnlc'1ňúzerápÓŠ|LpovJ l'n
pou'jéňépb k'dé ř od
1 do
6.
všeoh budoucich peněŽnlch lokú 2 nvéslicé
hÓdnÓl
lokú v jedno| Vých lelech
oDbem, Žá budeme hledallakovou úÍÓkÓvou miÍu' pň kleÍá sá bÚd'"
nll so uóét součásných hodn o1 b udouclch irků z inveslice hod noIě
vd vloŽeného kápitá u' TJlÓ úÍokovou mku naŽýváme vnilřní mÍÍ.
l'o.U (vnitřni výnoáové procenlo)'
lll Í' áv)'
lL
od lélo laŠ'l'TJ'irP
ooe's
čsH= 1$ 41o rModo=
s
1o0 0oo'Tedy ěistá
Pfu €4id$oN€
/P5o\c1é p'o>lteo\' 4ete
' lnvéstcé]érvná:
souěásná hodnola
4ro
eeÚ d@ lNR)'
rr
c1o9l 'ercoÝ€LÍoroÝar"7ba'hetr}DýLá'
3
(t+r).
]e Vyna oŽený kápiIál;
'
/'.{
/
P
žvolnoŠtinv€slicé, Íésp.doba. za ktorcU po
čllámé fiiru výnosnosli invo.licé]
Fou péněžniloky, spojené s inv.sliÓiv jednollvých
]é doba
jé vo]líri míÍa výnosq (vnilřnl Výnosové
p.oÉnto)
Ze
wďre
je
vdá
že Úóenibkov
PÍo iluslÍac uved€ného oosl!Du pouŽ]€me
l1
Diedcház€]i.i
Dřiklad
l
Přiklad 3.14 vninni ÝýnasaÝj pncenlo
Í{U]emeobdobně Nyn dosadineI"100000itr=lji( =24000
26 (r1)1) r"= 22000
dimer]sle]né]ako
Ú inýcsliÓe
r' doíaneme
Jakoekonon cký iedlelňa éspo eanost zvaŽu]eledVě moŽnéallerna-
po'ÁdI Žr'r'oao.4n.pÁré'1lÓ/' 'éF o'
'1' po".
soJ nás edÚi ci (UVáděné čá91ký so! V Kč):
Pqéalbtýv jéd!dl|v'.i d<h
l|
]
pÍoýedených výpoólÚ Vid]me Že pode
1'i(rruhá nvescelVzpikády3 r3á 3 ]4)
Klerá z inýesl
c má Vyšši Vn třn]
výnosové pÍocento?
Ép!!d
Použleme ýiš€ Wedený VÍaz (310)prc obě
vn lřli Vý^ÓsÓve prccenlo íapř po
Neíice avýpoó'áme
. :r"
K=
lL.-lL
(rr,
0+a
|l'5 Výpočet výnosnosti (úrokovésazby)
(3-1) oÍo s|ozene úÍoreni oo hůhi můEeme též
'1j /ák adni rovn.e
Vý]ádřime l z lé1o rovn ce úÍokoýou sazbu
ii
odo,,'drL
(
Á
-..'l
(r+')"
4
V,l
(r 1r)
]ercan Úlokovásazbá
]e zúročený kap lál|
je poóáedni kapi'ál
jc doba splalnod]kapiáU
edem k lomU. že zde je i záVi9lj
ía souaasne á bÚdoucihÓdíÓ1č
spiše]edná o Výpoče' VýnŇnŇ'i
.' ljJlemal cké]]o hled ska se]edná o neiný poslup rako byo uYcdeno
e
1\
ik]ad 34
5 vypočel úfukÓýc ýzby
pň slaženén ú,ačeni
r''1JbyaročniúrokovásázbazVkadu.]esl Žečáslka20000Kdvziosl.
FlNANČNi MÁŤEMATrKA PRo kAŽDÉNÓ
3'7
s rovná ní jedn
oduchého
a složenéhoúročení
lli!'rnodu.hém úrcóanije StaVVkladu za dobu,dán VzoÍcem]
Ůroková sazba byá 4
%
p'a
lldý ic
3'6 Výpočet úroku
|'.
moŽnÓ gÍaficky znázornillinéáÍn] lunkcí' Vyiádienou vzláhem
oženém úÍoěenije slavVkadu za dobu
Ch.eme r zj,sl'labsou n rye uro(u. wuiieme vzLah
zúÍoóenou á púvodni Výš kapilálu' dosbneme:
,-/"
^
kde {i
K,
i
/2
,,
tr
=r"[,,)-
lll ly]c hožnoznázoÍn lexponencia
'
uóen vzoÍcefi (31)
^ifUnkcidanou
v2lahem (]_7)'
LJ
l
ti.12)
jepŮVodnikap(ál;
je zÚr.óě^ý kap1ál:
je ročni úÍoková mim
]eúÍoková mÍáza]ednu,linu oku;
]€ podel úrokových obdobi za jsden .ok]
je doba spalnoslikap]láluv elecl]'
Přikla.] 3-'6 Úrak pli ŠlDženénúhčenj
J"l á o
o"v''rL'otL ?
éo ldll'ooooo
/
/"
l''o
l p' pe'
F' Ťlo.e
a dáleÚÍočenýiaIo v||ád)
obrázek3'3 souv
_,1.,-,1,,T',
't'',.,
s oslmez]jednoduÓlrým
a složeným úročenim
l|óíUnkcemailsqná funkón]hodnolypÍo'i 0'á
r.arohodndu,(o.(1+r.
/
to
hodíolu
(.
a
eo
h li, E (0.1) ]sou funkón hodnoty exponenciá nilunkc6 ňénšínež
|'odnoly neáÍnifunkce. Pro,> l jotÓmunaopak
FlNANaNl MAŤEMATtr A PFoÁA2DÉBo
u
]epoódúÍokovýchobdobi' lzn.2
kÍá2 rckFoU
přip
s.
l|nrlad 3 17 výpaóet eÍek1,Ýn) Úakové sazb|
'
kteÍá odpovidá Úrckové sazbě4 %
po
oé1ó'
b '1e'1é 'ó
Úó
i;lil,!1" ,'.:"l:il;:; :T; ::."::;" J,,t:'.;'::;"j""j
;il!k;.:";J J:" i:l".li":r;l ":";:],..:,Jr;.:*
'ů:j?::":i":.;:' :;::'' ""' "' É"'"'''" *"''' b"
l
ln
úrďových obdob
arckrc
e
l(qiěioho iakaasto souVypla.enyúÍoky sedoVýšeefoktvniúŤoko
l IsaubyÝp;ax mohoupromilal da ši fakloÍy (napi bankou úólÓÝane
rjk[vniúÍokovou mÍU ]e možno téžÝyužilp.o Íozhodnul. kleÍý pe"
kde ,
/
]e efekl]Vni uÍoková
sazba
je roóni úÍoková sazba;
iVřk
d Dr po' ďo'Ó P
s Íůznoufíekvenciplp sovániúÍokú
1'
Éoo'-. l oŽi
7d éit"
d
o''
obdob'P
FlN^ŇcN MATEM4TÁ A PRo
lA2DE!o
/
a
l
]é úÍoková nlenz tá
je ročniúrokÓÝá sazba;
je poóet úÍokovýclr obdoblVroce
l|t=27r3]eEueÍovočso'
V!'ijen€
loho
fbhu
/ k)l]o]e Viděi' že l
p@ Úóenilim
Kóvzrcíe
l]']lém úÍoĎan na2'713Kč.
VniI
ýa
napišeme
pa úrckové miře
]00
meziúrokovoÚ miíou a ÚÍokovou nienzIouje
3'9 Úroková intenzita - spojité úročení
/::'n
.,':" 'ďň':nJ
;:: i:'"'""'-
'le1d' oo'Jlol"'
úo:-n E!.'''
odoelé'
"
lolo'd "'r""""'^p
ÉuE o ďďtn' úolovou Ýzbuprc pnpad.:e Úolv sd] trn
'
Tj,'f"':l':'í":i"
V]/enÓ
lloková inienz la ]e malimalni možná Ýýnosnosi
šd
Í;";:i":,Ťií':i;lulfi1f:
(lrť r'i
Í.
'
ie poóácdni kapjtiL
]e hodnola
kapÉlU za dobl l;
]eúÍokovásazba'
F
NANaNlvATEL]AŤxA PRo KAŽDéHo
\3.17)
Přiklad 319 vlpaéelúnkrb sazb! pň spaji!.n únd.ni
t'""'-,"
vÍ.nycr piik]adú (3 19] a 13.2l) pyÉ že pii Pou' li spo] lé
l ' ' ! l] ] Fo! VýpočerniYzlál]yiednoduššinežv pi padě nespo] Én
t( . n) Toho se aasto DouŽivá
l' l'L 1]!colaíďyrá2ďnim.'Fkseměn VýšezúÍo$idl'okapiláJ
1' 1..jrola) s Íoío!.ň poěbn úÍokový.holldobjzá mk
r
rPn lurolo e nPn, Él]';.
,
b. rr)- n 0t=r.
!
.'
u
'
)?!:|kÚoďekae'á
Do vZlalrU
]0 000
]llelni ólvdelni mósani lýdenni.denniahodnovépřpsoýáni
l l.mÍuepálÍne Že nejvyšš Íozdi budoÚc.lr hodnot Íaslavá
j' ll ZD znénjme ročn] úÍokov.obdobi na pclol.ríilúÍokyisou
K'za
pěI
il.1jlh!doU.ichlrodnollakpalmý
].
B!domilro.rno1aFome-na
/]adl ' o rz]ahPnr L] ]o]pro spo Á
L]]ÍořPn
d pi sl]o'ém L] o.m]a řZbě
í3.]6ldoÝJhre ť
Přjk]a.l 3-21 současná hallnab p
Dosazenin do ýnahu (317]doí3i.me
Dnes /nU5inre ! oŽ 23 ]93 59 ]<a abý.l]om
óe imé 25000 Kapiimai Úďola]Ýzbé
iDiiDsovániúÍokÚ
3 hÚdou.i lrodnolÓÚ
kaoilá
U
F NANČN]MÁŤEMAI kAPRo
kÁ'DÉNo
310 Nominální a réálná úroková sazba
ková sáŽbý |rznamenábkové'
inl aci
' níáce, kleÍá oý vňÚje
h o
V
jejichž hodnděisme nezoh€dňďáli
s am o'e] mě znehod nocu.
dno|u peněz
prc nizké hodnoly fiiry n'áce a éálV/]redemklomu žésÓučin i,
rd'' o ots í'}Í.á'''ne /eŤ''je
n él' u5lÓ sé 7anóooavc c \/ dF Ťezi
lj náhi . rcálnou úrokovou mircu se uvád] j.ko:
p-13)
iPi:TtJ za\ er+lido\odnol/U'oLo\é !ázbl'
c6nové h ádiny hovořime o reálné ú řÓkové
m
oL ', 1ld /l á1
'
'
iie (Íeálném
ú Íoku )'
lí0lo Vzlah múžeme jnlémÍelÓÝal náslédovně:
hlkytíome_ i kápitál s tim. že nám bude za lok vrácen' a předpoklá!" á mÍL níl-ce nLo'oJ' m;n "
íě o 5 % Vlce' Poskyln e me. j však kaplá ná jeden ÍÓk pň
,I
'ok.eá
l ]inálniúrokovémiře7%'alemiÍainílac6bude1o%' ňámeza rck
t.ll néo 3% méně ziskalijsmg.j@ kap lálzýý.ený a7 %' alezaz5Órl
r {lÚžbyvydáme o 10 % Viceneždřive.
l
,({o
'
',
reá nou ýýŠkápilá
U
na konoi úrckováhÓ obdobi:
kapilá na počálku ú.okovéh o
obdo
b
i]
nofr dální úfukďou miru. vyjádřenoujako deselnné
reá nou úrckovou miÍU, vyjádřenoujako
óisoi
déŠelnnéčiso;
pakreálnouvýšj kapilálu na konciúÍokovóhoÓbdobi (pÍo jednoduchosl
p'"dpoL';d;Te
po
čálečni kápilá
Že
ú
joLúvéoboooléo_1'' /ypo| EŤP'á.' 'én1pae
rcčíme nom]náln
l
úÍokovou sazbou
'
á pak jaj d skon_
3''l1 Hrubý a čistý výnos
VrDchnv pledch ázejjcl výpo dly n e uvaŽov. y sé 2d a něnim PočiláiFme
Lllyvýšiú.oku(Výnos) před zdaněnim neboli hrubý výno.' !rckové
týl'osyovšempodéhajizdanénl' Jésl že od hrUbéllovýnosuodeóteme
í{í1zpijmú ziskámečistývýnÓs'ioznamenáčáslku' kieÍÓu invesloÍ
í=í!í|nzáÍoveň reáhou výš kápláU 2iskám6' ŽÚfuóime lipoČáleěnikap]lál
Íeálnou úÍokovou sazbou Tédy:
Reálnou wši kápilá
/ Wedené úVahy je Vidél že si nominálni ú.okovémíry neznamená
|rAó lúíEá né úrckové ňiry
u
jsmó vY]ádňl dvěna způsoby PÓÍovnánim obou
lll0l'
/k,lrÓ(o Vzlahu doŠtaneme čis' výnos Ódečlenlmdaně z přljfiu' Ťo
í['nená že pÍo čislý Výnos poloh
l
PÓ aÍilmelickýcb úp.avách ziskámé Vzlah známý jako Fishercva Íovn d6:
výnos (úÍok)ie w]ádřén Ýzlahóm (2'2) iako
ť.j L /(ói'=(ii(!
pláli:
p-re)
J)',
j. úloková sa2ba. w]ádřená]áko desótinné
ěíslo]
je daňová sazba !'y]ádřená ]akÓ deselinné čislÓi
jedobasplalnosli výjádfuíávletech(obvykeo<,<1)'
F NANČNi MATEMAT|KÁ
PRo
;,1"
"i:;i";ti. J,":
kd€ .,(.
i;"
;.;:"""rT
.
*"
kAžDE!.
*-'..
pn2 5%Úrokovésázbě
o
(3-20)
]e
čslá kÓnečná Výšékap]lálu
;i{ťffJiliíJ*[i{[iffi i'""1'Jí:x1"1!lí""ď?::"J
,,.=a -4.1! !:
(j-21)
^ "'Lf,,"''
|dP /
Í 7 LóuÓžilna šesliměsirniGminovýVkad
r,i L ? ,tLo, ooore' dj oda', pn .j
''l
^
e
noo
V/l
LÍ]em
l!'|
Lll u
l]'
ktÓmu'ŽecekováÍoón inýeslcesesklada azedýoU
na konc roku (Íasp'celkovýóislýVýnosza rok) ze kiéÍépÓlom
ýen m tlo EoÍcé vypoěleme č stou Výnosnost
4..,
.,,
"p
,
,.
rn!'r
lc
,
lUmlu
I
Ýk adú
r'd.o, 'p.'
00-.
2, 0 5-'
,.1t
vk]adu na konc]Íoku VypÓčitáňé pode slejnéhÓvýlazu kdé
3' o'o/ ie' odno'a'l bo j 1c po' d tL o I l "\o oolokll'
.'.h Á !'oo
uÍolovasázba v% oá
;.:''xxTů'l"*1|';:i.ilř:*!";]:lff :T,:,x'ňfl *.'
li
*,*
r {
. IrL] '(L
d)
0'L'l].5]=j01']L'5]
'.]=lo03ý lL+0.0:j,0
rckU ze vypočital z poóálean hodnoiy nájednoU
trislcduricim způsobem za]ednoi ýó VeliÓ]ny dosadime4:']00 000
0 1 5 o Vyp očiláme óislou konečn d|
lhdnolJvkádunakonc
l'odnoiu káp lá]u na konÓ
ie ť'sia Vynosnoí l.'91á Urciova sazba '
Épočá eťn/ lap'kl
x'
EúrcrNa9áJ
Vy]adrenJjálo dese{nne L Llo
sázbá' Wradrfuaralo defLnre
|e:áova
fus.
v
eeďlob,ýl|.ó-,.
"{aarena
Piiklad 3-22 Čisťjvýnosnast
l""!'ry
j$;kŤii:
a
],'
,;.ml.,g'ffi{:tr;1ťi*Í!lj!:
rku
'(":
,)][l+(!
,]),. ,,],/).i
Í]+(1
r00000 (r! 0,s !.0: 0,r).(l+0,35 r).025 0,t.
-{!
íoÚ
m
!!]!
r0Le2L,5r'
Íu VýnosÚ vypočitáme podle VzlahJ (3 23) dosa?Pnld
.Í]= 10l 921 53adosbnefre
0l'rlJ
Ú0!!
U u
],
ČLsta výnosnoí za rÓk óin a ] 92 '/" p á
F|NANČN| MATEMAŤ KA PRo kAŽĎÉH
Hrubou Výnosnosl(před zdaněnim) bychom získal laképodá vziahu
í2_'0ls'n ' /- /ýpoco| b
kao'bll
prc/edl
^"b/_lor
'doLLiFodrolv
pomocivz]ahu (2 7)á neuvažoýál'
ť"=K..(]+,|.') (1+'' ,j)=
l00000 (1+0,02
o.
'
'(l
'
o.
ozj'o.
s) =
Vynosnotl nyni dostanemó:
]ozENÉÚRorEN!
ch(omé l'2 'l'l: -loJmkJvino9u.laLÓ\él o /lúdJ' Jypoa laaPL'o
to'o" "á,b ' p-la
lil , loé ť. e ouoolc' 'ooÍoE l"p'lá'U
'Eht
!
óhÚ.i-'ýnNubyl.2'55%'
clÍd m]m
'=4.Á
{-r,
Příhlad 3-23 HrLhá vynas.asl
P\lál-LTroýe,5zbá ínoTin"'1' jb
dva
okyieho hÓdnola wrcslla
íejno"Jco"oJsazb.L
l03 30o,5o Kč (po zdaněnD
poíá.ha1r
fuLdljáoao J!.en
'
Pi oi'p 'ov;t iUlo'UJéÓLdr r lé st2rfudá
ná čáStkU 2
Ecéed
Vyjdéme ze vztahu (}11), klerý ie nulno modifikoval. nebot nezoll edňÚ
ko"ov(|-o1 /yooa'3 LólovoL qa7ol poJlépooevý'd
Ezda*n''
/' l j z's(a|| Ó|hor L'oroloL sáŽoJ o'5 \ sn'zenol' léoý 35
I
h Ódáné úÍokovésazby.
obeoně pák čislem (
210]300'50
Musime prclo VýÍaz (311) vydělil óíslóm o'35
kdé /je daňová sazba (v]Ž předcházéjic
-4'
tr
,=í.;'
Vklád bylulďen piinominálni úokové sázbě 3 %
0
Výnosu i. s€
vypoÓílá ná zákLadě hÍUbé
4=0,03 0.35=r,ss
%.
F|NANÓN MATEMAT|G PŘÓ xÁ7DÉHÓ
4. spoření
V předchozlch dvou kap]lolách jsme řešil] přiklády, ják B/poÓitat koneě
nou (budolcl) nebÓ počáleěnl(sÓÚčasnou) hodnolu uÍčléhokapilálu,
olťéni iPFo počáean hoo1o'" {e v p'']oÉhu oob' tez'yŠo"JJ Jni
i.ú'od z
Jrpo'
ocTt ooou oolld bjdeře '.
(napi
áddl \ pŽvioe t yc1
budemó káždý měsicspoňl1 ooo l(č
a na kond mku budeme m( 12 000 Ké plus úrcky)'
7a
inlárualech pevné óás{ky
Úlohu Íozdělime na dvě
t
čáí:
spořéníkátkodobé' klárym bJdeme rczumělspoieni. jehoždobá
nep řesá
h
né ]édno ú ÍokovéobdÓbi
pip]soványnákÓncidobyspolánl
.
{o
bvykie je den
rk)'
úroky budou
nepozděina konciú.okového
l)Áo pJédpÓkládejme' že p.avidelné čáslly se budou ukládál2 kÍál za
l'k a budou úÍoóányjédnoduše' Podle loho' zda se budou uk ádal na
lx álkunebona koncikáždá,linyrckU' @išuiemóspÓlenipřed húlnl
4.1'1 spořéní krátkodobé předlhúlni
No]prue předpokádámé, že budeme ukádáI ná pÓčálku každé
'lliny
l)kÚ,linu koÍun z ce kové Íoónlčáslky plánováné k U ožéni.chk|'e
,Jlsll' ko]k budou činit naŠeúŠpoly] s úfuky na konc roko
oJderÓ pleopo&l-o"
u
oolkově bylo u]ožéno: n.]
spořénl dlouhodobéi o kláÍéh bUdeme hovořlVpřipadě' Že dobá
-ooie' btdé oé|<' nP, '{no
j'oll' ' ro'! [aždéfoLTlo'e10o
"
čáslce á dále s€ s loulo čáslkou ůÍoói
Úloky z jednollivýdh spláIekisou uvedenyvlabulde 4
V dalšímlexlu bud€m6 nazýval celkový součet V* adú za danou dÓbÚ
]akoč&lku Ulož€nou a připočleme lik ní úĎky 2á Všéchú]oŽek (u kaž_
dé ú ožky budé ÚÍok jiný, neboť dÓb3 @zhodná pÍo výpÓóel úrcku s€
U jednoí]\4rch úlÓžek liši)' budem€ hÓvoňt o čáslc. naspořéné(bu_
douci hodnotě.nuily|'' Vezmeňó_iopěl připad spoř€nl í ooo Kd
/'' Kč= ]
(!bbk) €
íqiá !ý!'
Ťém ndqi!
1.
l
4'1 spoření krátkodobé
í'd plďd
Ké
(,, r).1
každyhěsíc'budečáďka ulÓženánakonciÍokuóinil12oooKčaěáslxá
'cspoieíá buoe ') 0oo 1c o|Ur L'oll ' ieo' 01\ /Ť 1Lloie.' piceřz
oNniúožka bud€ úÍÓóena o měslc dálg neždfuhá lá zásé Ó měsic
Anubudsulmlme5ď pBlids
ÍÓĎni
orená částka se bud. Íovnál]edné ko.uně;výšéúložkybude óinil
obdobi'a jednollivéú ozlrybudou Ůmčsnynazákadě j6dnodochého
Předpoklád€jmé nyní' že úrckové obdobijejeden Íok' Toznáméná, Že
Úbky jsou př p sovány najednou vŽdy ná kÓndi Íoku.
'ři
r.1
Ťáb!lka
al
Úroky z jednotliv)'ch splálek při9pořeni
kÍálkÓdobém před húlnlm
FlNANÓŇl
MÁŤFMAŤlkA PRo xÁžDÉHo
zde D znaóí poěel vkladú V Émd jgdnoho Íoku' záÍoveň je 1o počel
obdobl Ýé klélýdh se Ukládá' Např' mo měsiěnlspol€nljá' = 12' pÍo
klerou]e každá ú ožlájádnodušé úrčs
na' Jedánásouěiném'vněmžpryníčin te w]adiu]e poěetobdobi (óásll
F čáýnku' po
ÚÍoková dÓbá
roku)' po kleÍou ]e daná sp álká úrcóedá' á druhý ó]nilel Vy]adřlje dé ku
obdob' (!,yiád ienou iako Óásl ú bková hÓ obdob i V nášem piipadě
bku]nápt plÓ u = 12jelo 1/12 roku)'
lÓhotÓ
Úrok je zde poěilán pÓdlé vzÓrce (2 2)' |edy na zák adě jednoduchého
ce]kový úÍokp.čiiáme jako součel ú@kú2 ]ednollivých
lvoří aÍihet cko u poŠlou p nosl c€ kový ú ÍÓk d*bneme
(1_] 6) orÓ sÓUóet konečnéanhet cké iadý
klrÍé
wo.@
ú ožek'
po dr€
Noni licelkověuloŽenáčás{ka 1 Kč.aló}'/Kč ledyspoÍlmé likždou
4 l nu .oku Í Kč (nebo]i Výšó jed né splálky se fuVná r Kó) polom mů_
ce]kovou náspořeno u óástku ná kÓn ci Ío k u Vóetně úÍoků Výád ř 1
'ome
l =-'0,i:
'
t4-2)
VzÓrec (4-2 ) odvod lňé z piedch oŽlho vzo me
r'o.
t
''
lo|it
budá
je d nod uchou ůvah ou Vi
bjoelin cl}ovd1d9po.e' a1áŠhJ/' (c'p.loÍ /'3'h]
*|}o!á na9pořená čás|la ll
')|rálvátš
schematoky ]e moŽnÓ králkodobé přéd hůhíspořeni znázoÍnii na
seÓlem+ iledy úroky z jednolivých úlÓžék á dosadime li do vzoÍe
obázek4'1 schém3 knitkodobého předlhúlnihospoléni
Pl1klad 1-1 Naspařená čáslka za jedno úbkavéobdú|
Xolikuspoljňevčehě ú.okúdÓkonceroku' ukádáhe lipoÓálkem kaž_
pi úÍokovésáŽbé 2 % p'a'?
l]Aho měsi@ 1 700 Kó
je úrok zajedno úrckovéobdobl(rck);
jé počétvkládú V n]mc jednoho úrokového obdobi]
celková naspo řená óáslka za Íok s;, spořifré ikáždÓUu
'inJ
s =r*t!.'
Jé l0
V
asiné ce ková rcčníu]ožená éásila (1 Kó) p]us úrck'
rckU
áa4€rl
1]a
VyuŽi]eme woÍed
l'1me naspo řénoo
i
(.2)adosádiňé/= 12|j:
óá
SlkJ 5'':
o
o2iJ=
=.-o-#r=u, rco n,,!1 0,61=15''
Do konce rckU Uspořime20 621
Kč{
1
7oo'Wpoól_
F]NANČN MAŤEMAŤ XAPRo KAŽDÉHÓ
lHts|.
|'ihh' lÍ
1".oo
' '' '\''
q{4'!l'/í
'"
'lr70D. oomplaú:oq;ar' ' á'L:o"rá
lllil:"' ,';;l;:1
V''ň+'a'L'o''''s%/'a'poF'-'d'l('
20o' o''
(ll'_ld ý'd' oo - oÓoooÍ'1-!
á ''
1
po,-
.)
ooo
et" Ío.j '.
Přikkd 4-2 výše ú!Óžky pi] spÓienl
v
' (iledy
ž€ célkem byo
']
u|ož6nÓ
"
"-
'
D Kě = ] Kó
ll,ky zjednol ýýdh sp álek jsou lvedeny Vtab
4
2
=
\. / 45e''"oeneno
a
/
I
ooooh' .'iz
!:
ráncj iednaha Úakavého abfubt
:1:
T lr"l úÍolové<azbe2
>q L:^
2UuuuÁcpÍ
% p'a 7
tei!!!-
J-dr a eo^;.rcmbe
ýď.-k4 D*ádiTe
vyJ3orme Vzlah
"''
=. .
.
z.2)
'
otŠa,
(.:!,
!l
,!1.,e1.
"p,o.ioo,"
'=l000o - ,, oaž /,e,z;-"
pJo fiš]úlozly
Tabulka
4'2 ÚÍokyz]ednoliýých spalekpii spoien
k.álkod obém po
h
úlnim
m že ásLlyFoJ uládany VŽdy ná lon.i
(lkU) je opÍoi piedlhútnimU spoienipočel
u álka Úmóen4 o iedno Óbdobi n žší
l
pos e'ln]úloŽky v lomio připadé nebudeme
bude U ožena na konci ÍÓku
rz rrr.!1 6,6r,
lvlĚsičné]enUho spon
1
ólo' ' tŤ|
64s'so kč
l.:j""]"."*'Ž"b.d"ne.Jo!
Ó
VzoÍce 0.]6)pÍÓ souóeikoneéné arlme{i.ké řady:
'Udle
4'''2 sPořeni krátkodobé polhůtni
o_po]húlnlh spofuni horci]me lehdy'
uk]ádáne
!'oo'l_e. elFla
mítžádnýúlok' prclože
i
áslky VždVna konci
(4n)
FrNÁNčN rVArEMAŤ|KA PRo KAŽoÉHo
.
.ozdil 34 Kč' což je úrck z l 700 Kč za Íok. nebol
i každÓu
célková Uspoiedá čáSlka ÉÍok včelně úÍoků(s )' spořiňé_
l
'linu
tl0deme i slavebí i Špolitelně p os ilal óáslku 1 7o0 Kč na konc měsie
h lome mit oBnlúloŽku k dispuidi@lý.ok Toje pakné poÍovnánim
hl!Ók úÍokú4'1 a 42 Čáíká,kleÍá]e Ukládána polhúhě na kon
!lD niho měsire' přiná.€ slejný úÍokjako oáslka kbÍá]eUkádána
!.ědlljl ánapM$L 01' ého rés''e -ed\ /ié! l'y ío'l\ \\\l'r'ou
opnl pÍedlhúlniFoJ pi ÓboÚ l}?ech ůrcránl loloŽné
alň]ně]ákoVodd]le4.'l'1 izdeňúž€mevypočilál koliklotřeba p.lhúl
ltlukádal' abychom naspÓÍíii3 úroky čáslku 20 ooo Kó.
Íoku 1/I KÓ' tedy ó]nl
=t+;; r
q
AnaLogicky]ako v předchozim přlpaděje
10 V
astně @lkově v]ož€ná
rEIr"ido( '
'lJ'ďL
Épďq o ' cá''LJ 1c'oU rcL' l(qÉ U' l
:
"'i;i*;;i;;;j
aloq'ďy Fko U pÍed hÚlnLho sliádáni Tedy
dďla;eme
"'{c'Go'
<pot
s'=[(r+D.
42
To ]e schemal]cky znázoménÓ ná obr
ňdéÓll (4-1
4_3) ]e
||lklad 4'4 výšéúloŽky při spaieni
kdmhÓ Úbknváho Óbdabl
íillkňUsime spořilnakonc každéhoměsioe' abydhom2 rck nášefil
l0 000 Kčpřiúrckovésaáě2 % p á ?
ih
ý rámci
Výpoč€t Wužij€me vzÓfue (44)
lr0'02 \'počiti:má výši úloŽky
Š.há ňa kíálkÓdob áho po húhiho
Plík]ad 1'3 NaŠpořehá ěáslka na konci úrokaveha rbdabl
l
7ooFip urolovésazbe2%pa'
'''=
l/ ' o02''!/00vypď
r"'r"'"*0.*, .,... "l l,'=u.,'o,rrl! o,.r=:o's'
ea.tl" s,
DÓ konoe
rku uspořime20
537 Kó
l -. . (rt!
!
11,
,
,i'*
lla.cněievtom|opřipadě nUlnospofrt 1 651,53Kč coŽ jeléměřo3l<č
ÍE n", pi' Je'a/c1Ll@aac1lJ 2/al\J e'iJtÝ' pl't'ád4'2]
oDfucl králkodobého spÓřánlje
'
možno zjislil
1éŽ hodnolu
pÍav]dehých
oljfl ''' -pál.t.2'kodobepj''./'{eldieoo'lý'_b-áŽá\adě
FlNAŇčNl MATEMÁrLKÁ PRo KÁŽDÉHo
(llÚhu spláceného
Přiklad 4'5 výše splélky
k.li
nlno lorlPÍ l"ioe_o 1
v
dobjdVána.[ mes (ú) L]Íoloýa sJz0a
r
'.
;:';.:'i':''ó'ó"ó,.'
tesEd
'nl
Ánci úňkovéhaabIlabl
bY
=
a.--iň-
=
0.orn
Požddovanou čás{kJ Uspolime
úÍo|o'
jedyd'rponovalčaílÓu lleÍou ÝypÓoeme
PliNlad 1-7 Naspolahá
ií,:TilfJl,llň'J:islJů:1!xi'""1?],ti'ji''Y'Tljl
:i]r":J;
pomocivýazu (a a):
Čáslku I múženelédy vypoóitál
pl
úÍokovésazbě 4.33 %'
!J , !oié'jlože 1 oa.a/qe 2 dl '.dl
fďove Óbdob''
jsou
odlo4ny ]aro z.e
nebol
d'=í!'(l+'',)=13oo0'0+0,05 l)= ll'00
-
čáska
"
:_ x(
lŤ1.']"
'1UUU
pn Jto|ove sazbě4
a
obe.né
4 pdno úbkavéabdobi
3 % p
!
'. .'r,r#
rz
i
-*
!0 lonce Ólýd]eIi
o,o:r
'*.
ok
-nn r. a
'0"
r',iq'a=.*.'
uspo řim é 3 o24 Kč.
4'2 DIouhodobé spoření
KÓ
Dlužn]k ňusi sp]ácel čáslku 1539.7l
o
lmÓD"n.oo'q
oa.o p- m..
dané náspoiené éásL
Píjkla(] 4-6 výše úíoknvésazby ýr dasažehl
r0 00n K
no o e b7b' roo'iae r Fo{ o
lÓrem laždďo ( ýnkl Jtládáňe 24oU Í'?
!l|í '"5o
Ěejerl
|i|'' !o
Éíze
(4-4)a dosadime s,=
r=..
kŘtši heŽ
a'?
úúná seo pledlhúlnl Spoieni' Pro
.3 r= 1 0o0ii= 0.043/4: o o ,"100.;."'0.".'"'.
E=, 0+-,r.
J
,.or!l a
,=''li
Y" p é
€ilel moN@í ]so0oh'Uloz'pl'dane
m|u
sPoŘENl
ro ooor'
= 4ir=
2 460 a
obmo
o
.m
e\oÓodob
rcr
p.ioé o oolen 2á
" ro-
i-.: iŽA
",pr_,
L(ÍolotPoodoo
spot' o'edntn'
FlNAŇÓN]
4.2'1 spořeni dlouhodobé Předthůtni
Na ool-hJ kazoehoúo.o'e_o oooob'' / íásen pi'paoe
kar;ého lo ' l
"dáŤ.ás
isoofo nd.o L' ]€hoobooo
](AŽDÉto
MATEMAT XA PRo
VýmŽ V záVorce ie o€om€lÍidká
na
remoL =Z.(1
oo:é'lL
fu
p!J
,'oo ooo..
apo.
ra
'ezi'airouvbi!'é(h\\loo']
období a séčl€me]e {viz lab 4'3).
iadá s kvociénlem l]
í_1s) pÍo sÓUč;r
PÓdle VzÓrce
s =" q*a.1!!11,
ooiuó"." zeiroto,e.t"ol p o:1''ládýze j o.J loLptp'soýá1/
léÉ;ýLyv.elre
+,
]e náspořená čáslka' bUdoucl hodnora ánuily;
jé Výše úložkxklenije ukládána
Vždv na oÓóálku
L'o^J lJ koícl
kt roa'tElo
úÍokovéhÓ
io po@L úfuiových obdobl (lel)' vé lléry.h sé spoii
ť = (l+ ll.1L!): ]
obíáz.k 4'3 schéňa spoieni
dlouh odobé hÓ předlhúln ho
n n"'!
a
sliad.Gl predlhůhi á
'dd/d'lo
r
'šetre/ciobooD
pÍ
vzlah pb výpoóél naspÓiené ěáslly polom múžome
zapsál jako:
14.71
l
Tabulka,l'3 Úrcky
né] núžemevyadňL
veljkost úlo'ky!:
l
z jédnotlivých úložekpřispoieni
dLoJhodobém piéd hútnim
PÍo výpďél budouci hodnÓiy jednolivých splálek ná kond
'
lého ohd
a{ r, budouci hodnoru anul
j'o1ollk,ch
L oze\ naLon(i+ú
5'vJooi'bňg Él'oýUld hoo.o
s -a.(!+i) l(l+r-'+(+i)"r r'.+rl.
llkléd 1-3 N-ýÚúro
k
--po;-e za ,,,o,)
Ý,000 k: on
ŤŤď1é2ďo' rco/e 'dloépa d t.' |rprp'Šotan'
},t'l,!
lfu
'a",l
"y_z''eňé
woe
'a 5 ''kÓe
a= 2oaa'l'ori5
4
''
FlNANčN] MATEMATs
A PRo LA2oÉH
s -4 (r+r
llttl:= Dooo,.0,5.lell
|lýl'](ody pÍo řéšeíivyuž!'emePlah {4_5)' kan dosadlmó o= 17ooi
i.l21početměsicú jepoĎetúÍokÓVýÓh obdobj);;= 0'02/ 12 = o'00]67
Ilh (mčsičniúroková sazba)]
Ža li] roky uspoiine 37
s3o,19 Kč
I
F:^laddn wŠoÚbzl.y
brr do.rl
í#l;i,it'j'i".;i".,#l.;,.*:r'
eše4"";::]i:"';í:l ",l] l''
(r+,r hr+,r
""
."
"o
"
/co ooo
ry"'i' q,
l
o
02.' =.
ý}.
['lj
hrcVnáme' ivypoĎlený Výslédék s výďedkem piikadu 4-1' v]d me Že
l'l |ěs]ónim přpisováníúlokúnaspořlmeóásiku vyššiVnašemď'padě
Výše Uvedeného piik adu vyplýVá. Že odvozéný vzah (4 5)]e z@.
|i obecný a 2ejejpoÚžit prc libovolné ú.okovéobdob] PÍoměn^á n
ohccnéznaéi poóelúokovýchobdobi,'iepakúÍokovásazba přisLušná
lilokovému obdobi a 4 jeplalbá (úložka) kleÍoÚ Úkádáme jedenkrálza
4'2'2 spořéni dlouhodobé polhůtní
t]iádáme.
'řj'.1Í:*'*"ffqťí.":{|::{;lfi Ít#rl*lť'j,lm
VtC-é úrakavých
t=
/
Poóálkeh káŽdého roku je
liebá spoiil 139 205'02
ka
čáŠlkazá
ul4
Ni'Dolená óáslka na koncjÍoku ěiní 20 622 36 Kó
-
Piiklad 11o Naspařrná
,,,rr,,
cá stky ná konci ú rkového o bdobí' V našeň piipa dě na kon_
ÍokJ. mlJvime ospoien]polhúlnim' Našjň úkÓ em je Vypočítai'ko k
'l(spoiimeza,obdÓbi' ukládáme lina konc kaŽdého ob dobi dáslkÚ 4 pÍi
Íočniúrckovésazbě',piióémŽsIarpředpokládáme'žeÚÍokovéobdob
Jo ÍÓóni, tedy že Úroky]9ou pi pisovány na konciÍÓkU (vzobl 4'4)
období kraršjch
iT"":J"'''Ťff ;í",i],:iJ::TJŤi; ;:::"#:;!Íffi !fi lff
ej€!]
;
obÍáz.k 4'4 schémá spořeni
Flo uÍčenldékÓvé hodnoly úsporna konci'.lého obdÓb vypÓčíláme
iť,{ť:$íJ:iÍ;liH!1f}jffí$Ji:i'ifr{ni'j";;i#]
\odml/.ie(l (lo:e ('ko^. lPloobdob'"'"' "1e e Po{tp,ó
F
NÁNčŇ MATEMAILKAFRo KAŽDÉHo
VzoÍec pro výpoéel koneÓné hodnoly úspor polom
J =(.i1.
(4-11)
z nĚr ňůžeňeVy]ádřtVelikoslsplá(ky
,",".",
(r+r)"
Ťábulka4'4 Úrcky Ž]ednolivých splálekpli spořeni
d
Louhodobém po
h
i..,..
q-.q'
.
j'
e
o-e JNo \i{ 'Íoooooo ed;n
'
.
s=, t(r+')"i+(l+i) r+.
obdobi
l"
"r..r"'
r
.
')
ífuJ d
rolljůlíl.
Piik]ad 4-11 výše úložkypro dacileni .]ané naspařené čáslky
Vyjdeme ze zadáni pro přlklád 4.s s tim ÍoŽdilém' že óástky ná nákÚp
nÚ1omobiJ chceme lkládalna konc oku' Kolik tedyňusime ukádal
"r la'oéfo TlL' JD}'loa'"
a oónlmúÍokovémobdobi?
poolo
l|ouž'eme
(44)
l."p* x-."ial,
-(l
'€Lpředlb'il
kovésazbě25 % p'á
!zo(e1] l3Jprcsouié]qeome]ÍLcléiadyadoslanema'
]
lJ
i
+rl
eo opelo"orď''\á Žoá' {e'oJ '"de' "
Š="1]l!
r
Vyrazy(4 10)a(4.6)pÍostřadatelpo]h'jtnlastiadále plédhůlnise.i
ůlnim
or !Jpo'é' _oo' o\ iPo'ol/v] ok\' "'oí'' _o
a:
*lonoÚÍo[o!éhoobdobl
já poóetobdobi (lel) spořenli
,, l
%rec
(4_r
2), kám
dÓÝ
!=I!_q!! ltr= 1r"s,,
l(ficem každéhoÍoku bu'leme ukádál]42 6s515 Kě
(] ska. kleÍou spořimé na konciroku'F Vyššinežpopiiklad 4 9' kdy
F ID spoňli na poéálku roku
a lRu, klerÚ
spoi( na konci rcku lze snadno wpoóitalz čásla lo lak' že jiVynásob'mefaktoÍem
ll To VyplýVá ze Vzlahu mrzislládálé éň po húhim a slřadale eň
')
kteď e uvedenvýše
|'ntr]húhim.
ié nU lno
ly lle.ou spoiimé napočátku rku'
>ena.! d sttádalélprlhúlni" Ldáv" to'kL\er o'oba7J loooobl
oi urciove ezbe ' Fs lze na ron
rNnrs.02
(1 0,02r)
r1263r,15Kl
FlNANcNl MATÉMAÍ t
APFolÁ2DÉNo
Ň"; :'''),l:#'"
:.:^:T']".'": ]"J ::l',T J?":.'"T'":T:'"J
Ve Na u
;Lhu (44)
klery po
Jpováó ňúžeňezapsa'
4.3 Kombinace krátkodobého
a dlouhodobého spoření
ldool JésÍize urEdáfie{.llál za uÍoloveobdob
Tulo ÓVnici zLoq a rilň ujeme a
p o
1' o o'obLT.oŽoé're opelpooe
zda UrEdá1e fu Do(dlkL
'ono
|UUo' c'\onciJrěts:éol' Fdv
oodobi L'ol;\eoo.
"'
moci VzoÍce (1 1 2) dostáneme]
'inviÍdo'éfo
4'3'1 Kombinace krát&odobého a dloÚhodobého
spořeni Při spořeni předlhútnim
'=
Ň'' .{. '.po l"'
lrí na po.alku rJŽdé
]
L^lLa
Pílklad 4-12 Daba spařenl
pi]_ .o.nlm oohú]n ň Ulladán
za ÉkdLouho u5pÓl me 50 o00 hd
Íďn
sazoe pá') P;edpokLadame
7 0oo hdpÍ nemánne a% úrclove
o b rá
zěk
á
BPše!!
r,(rrs
(4
r])á dosadLňe
ij
50 ooo' n = 7
o00
'=-r'rf+t
za 6'4 Íolru
LlV6denou.asl|Ú Ú.poÍ me p b'znP
j':,]"jiT'*iJi
11
Í!ff
:i:;]:TI}:"ť.i::,:Hl1.T"'.5ť:i
4'
lou
Í hť (Vz
obÍ 4 5J
5 schéh a kom bina cé kÍálkodobého
hodobého spoře ní pied h úlního
vypoč(áme lo kbudo É'ni uspoÍená éásLla Žvlladú
v.el.é
lon[ pfuniho tolu coz2 shme vru: l'm lzoÍe (4 2):
l = o'
J
d
l/ linv fuiU
.
p'$éo'indq Llo| _ 1d prc
1l]Í
lní'l ) 4 \|Á oL isré L@7ovd|i
ln''!'Ť
'i'.?Fo rc. oJdé '-l'"'"
L" 7) "d
[d€ nahrádlme '
.,
14
tás]lu
,#!,+:r
a óáslkÓÚ '
\"'pď;.;;;].;;;'"
rÓý"{4-14)
FlŇANČN MATEMAr KApRo KAŽDEBo
Neznáme
]i ěáslku kleóU ]e
(4.14) ze kteÍého W]ádřime
1řeba spoiil na
I
kom
. 0-rill...1llrlil 1! , ! ,,,,,
l2l
ČlJdlelneJe nuho ul adal35
m ku.
t!{
pou''efié Eďec
I
5 Ka'
Přik|ad 4-15 Daba spaÍeni
:e
r+r
p."ieas
(r+n -r
Piiklad 134 výše ú]Ó'ky
J .,.or*|
l.^"{r".'
r",
&,.' o 1 7.
;"-.."",o.n *ďo'e=.be2 59"
za]ednol vé Veličiny dosad
im
e
clr ce me Vypoějial výai ú]ožkyi.
s'= 75o
i.i. ..r., ..".,;,"* p
'o;'",
'i'ii" ,.,r"ip,'.'--.''.r."p'''
,;,
,
F'
1lrd l,
Kč'
Ukládané vicekrál Ý úDkavén obdabi
""
;'il"i J;"..'','"'
-.
*-t
Flo ýýpoóéi použr]eme Eorec (4r1) ze ktelého Vyjádřime pomociro_
PňÚÝedenýchpodňinkáchuspořime531035]
;:,ha*l.i'"
p'
"lpor"r'mer.p,o"ea
Jakd ouho jenutnospoňipočátkem každéhoměsice5oo Kó,abyUspo
icná óáslka dosáh a VýŠo 50 000 Kó plinéměnné'47o ÍočniúÍokové
sazb é a rčn im piipisován ú.okú?
lél (
m'J _
0
l
I
000nj pi
velióiny dÓŠad im e
ooo = 4i'
=
5;l
=
0 025'
'l
I
I
'
ll
0.0,,
2= l2i.= 500: i=
o 04:
s':50
ooo
F NANČ N l MATEMÁŤ| kÁ
PRoxÁ7DFlo
Podivéjmeše ještěna piipad kdyúÍokoýéÓbdobinebude rcčni VIomlo
p.dě bude nÚlno Výpoóilal ne pe€
vého obdobi(vz pnkad 4 7) a dá e použ( siiadalel oolhůlíikde bUd€
přizpúsobena jednak úÍokova sazba, ]tsdnak počet Ú.okových obdobi'
př
/o|
] 000
po rÁ 'J 'j
'a
Kč pň
úÍokovésazbě 2,3 % p
a
a
.,
t:
obrázek 4'5 sÓhéma
člvdelnim úÍokovémÓbdobi?
Éelod
j.=,,,
scbemalickyje moŽnÓ znázorn
kom bina ce
kálko dobéb o
a dlouhodobélro spoienl po bůlniho
Tim isme pÍevedl] náši úlohU na piipad' kdy koncem rcku ukádáme
-1il,
'4l'''ó<'!'''-edj'dtol'.'ero
!lrl::.1
a = 3 (během čÚť!]eli u oŽime llL čaíky)i
. 0,023/4=0.007(Íoéniú.okovouŠazbujeíUlnDvyděllpočlem
'
úrokových Óbdobi za rck a ziskáme ÓIVnelni úÍokovot sazbJ):
, = 3 4= 12 íi bky po ólyřech úrokových obdob ch)
Íoru bude cP[ová úspoÍa pod e vzÓrce 14 ]')Íovna
Přik]ad 1-17 Naspoie ná čáslka při pÓbleln]n připisaván
'o LJ
Íd L'l_
a Ófi''ot('r.''réia.'.
tol'e 1lá'o"m t e 'é'l'
špoolé'''1
'.7bd
'0' 000l ' _
Ťn" é' loL'{ l000a.
'o.o';
j úrÓkú
"25'opa
za 1ř roky naspoijme óástku 37 593'43 Kč
4'3'2 Kombinace kÍárkodobého a dlouhodobého
spořeni při spořeni polhůlním
Budeme poslu poval obdobně ja kÓ v předc hozim odd i u PiedDo k]ád á mé
né]pfoé rÓóni úrokovéobdobi' chcamé Vypodilal ko k uspoiime do
konce řtého Íoku' Jkládáme.]]na koncikaždé,lnyrckUJ Kč
Řešen' fuzdéiine na dvě
lámdosadime^
^
=
čáíi:
]0000 /=0'025'4=2;l
=r .1i+1) =Ll)ooo,r+q!l =
Ne]prye poó láme ko kbÚdeón
ků na konci pruniho
t uspořená ěáslkazVkladúvčelněúrc'
rok!' což ziisliňé ýyUž iim vzďce (4_4):
p
s
(polo elniúroková
sázba)',
r)
,= iooo
=
]
t,.
, o02.
o.o.)5
= 2 (poóel pololé{iV]ednom rocé):
F NANČN
s=z r (L.ll l a
cé ea
o'
o"1-
(Lr
'l'
MAŤEMATkAFRo KAŽoÉBo
-r=
(.0 15:
D
4'3.3 stavebníspořeni
PÍáklickou aplikac] Výše JVedénych poslupú výpoólu budÓuci hodnoly
oÍaVdelnýclr plaIeb ie íávebnlspořeni' což]ižbyo UkaŽáno vpiika
dé.h4 1a43 chaÍakteÍislickýmrysem10hÓlozádanélropÍodUklu]e
ŤojenidÝou fazi' a 10 f'e spořenia fáze posk}'hú a spácen úVělu
i7e bJ' pol _ b'Í o élcřd
ákona o íavebnim sooř€ni SIa
_
Vš'"chnyVýŠeuVédenévaahylzeVyjádřil]ediným niže Jvedenýmobec'
.
.
Výlrodné a bezpeóné u o Žen]
p
eněžn iclr pÍoŠtřadkúi
zkkáni úÍokovézvýhodněného úvéÍUna fn.ncováni
bylovýÓh
Úóaínc mohouledyslavebn spoien ýyuživalprmáméscremz]skal
ji
je ú ožka kloÍá ie uk]ádána m začálkÚ Óina konciÚroko
je počel úoŽekza jeddÓ úrokovéobdobi.
je poóel obdÓbi spoieni'
]e úÍokÓÝá sázba' klerá seVzlahu]e k úrokovému obdobi
,
'
znaménko +v óilatelj
a
znaménko
Bude
li'
=
jejichŽ c lem]e poUze
Domémévýhodný úvéímohou je Však zvol]l
poskyloýaný
pené..
nebol
ÚrÓk
s'avebnispÓňtelnou
Výlrodné JlÓŽén
podpoÍou
předslavuje
zhodnÓceni
úspoí
ýýhodné
sDo u se stálnj
Účashikem slavebniho spoieni můžebýt:
.
pNnjhozomku pouŽijeme prospořeni piedlhútni
ve ýzbh (4_5)proaaménko+ l'.
spořeni dlouhodobé předlhú1ni
Ve Vztah (4 9) pÍo znaménko
spořén d oUl]odobé poLlrťlln]
Ú€z
po
lj ÝÍaz pro
BÚde_,=1.pře]devÍáz Vewlah(42)prcznafiénkor.lj'Vý,prc
spoieni kÍálkodobé před húlni;
Vewlalr(4r)prznaménko
spořeni kÍalkodobépo hnhi
'
i] výÍaz pÍo
]a
JŤ poo'
e''
d| 7ó 1
/A
ó
épjoli' ]o'
padé obóanú EU ďaóipovolenik pobylu)á s lodným črsLem pÍdě|eným oroaieň Českérepubliky ňůŽe to ledy býl osoba neŽelilá
sDořeniVlakovén připadépodepÉÚjezákonaSfilÓÚýuoďaý€bnim
ný záíuoce;Výnosv zé stáVébniho spořenifyzických osob mohou
bý osvobozeny od daně z přjmJl
pro spořenipohůInl'
1 piejde Výlaz
íy'ic,a osobJ'
osobynemaj nárck nasN]tni podpoÍu a jejichVýnosyzeslaýebnjho
spoieni isou zdaňováný pod e plalných předpisú
smlouva ostavebnim spořen]se UzáÝ Íá na 1zý.i]ovou částku' kteÍá
.
.
vkladýze slav€bniho spÓřén Včelně připsanýclr úÍokúz
sláhipodporu á úÍokyzn ]
n chI
FINANČN MÁrEMAT RÁ PRo KA2DÉHo
.
hodnotu poskyhutéhoúýěfo ze sbveboihospořeni'
bude Ienlo úvěrpožadoval Jélo Íozd
pokud úěáshlk
ř€nou óáslkÓu se slátni podpoÍou Pílom uspoiená óáslka sé siátnl
podpoÍou musi zplavid á óinll minimá ně 40 % cilové čáíký
cilovoÚ óáslku voliúčaslnikslávébnlho spÓřenis ohledem na násl+
.
.
.
snaha o zlskán]pbslřédkú V požadované výš - ieslliŽe úĎashlk
pEleÍuje lo1o hled]sko' nebÚdé Žřéjhě klási dúBz na výši lim lu sLínl
snaha o max málnlVýšisláln' podpoÍy Viomlopřipaděbudeúóásl_
nik vYcházeI z @čoi úspory (věelně úrcků)20 000 Kó' pii niž lze
ziskat máximálnl siálí i podporu nebol wššíúspory by p ň prefe Éncl
'
toholo kÍjléria by y neefekIivnii
ínánčiisilu3e účlslnikazde je núno bÍárý úvahu' jakvysokou
čáslku j. moždÓ ná slavebni spoňení uvolnil.
státni podpoř.
3e poskylujé Žé slátniho Íozpoětu foÍmou aáloh
ú€sl.
řpooÍ'nl} 5láh poopo?!1 15\'o.té
'i.jn.'e
*
Óoi-1é čásli_y včelt no{ j' Ťá{f ál Év{ál' 000 <i''o7 j- pod.
po? z Gilky lo ooo kj l" 'k piesánjji'20 ooo {se pt p\bán
5plr'2álo'
podpoÍy pievádi do následujlciho ÍokU'
Úřoková 6azba z vk|adů je obvykle 2 % p'á. Někleré stawbni spoňle ny
nabi4jí aýodněnjv plipadé déóéŤáníůvěfu Naopak je možno ryb.at
si Válianlu s nižšiÚÍokovou sazbou 2 vk ádŮ a oÓ1é i z Úvěfu Úrckoýj
saŽba z úVěÍÚ pÓskýnulého V Íámci slavebniho spoienl ]e ŽpráVidla
o 3 % vyššin6ž Vá íáŽi spoňci iedy obvykLe koLem 5 % p'á á je pévná
l
.
t
?ménu modeÍnzad a údÉbubytu nebo Štavby pÍo byd]eni]
slavebniúpÉvunebylového prcslÓÍu na bý;
ceni ólánskéh o Vk adu nebo pod
slvi spÓjeno s nájmem býu'
s
ola
lj' o-' -p*..,-" ,*-'
oto|Pnov.ciúvér''efu
i u v
právnické oso bě' je_li člen
'dlbylovoL
po'iPb'
ý
o']bě1t 'e
'''eb1fospo-1 ŤámďDql\JL':'
"
bě'oJirc\o\o'iázĎo'
ié\Ý\l'ojeÍ
Pllk].d 1-13 slavebni spařeni Š|áL1iprllpú
n \.roP\o nesj s30O {ior'o:1
L o^o'é
"" p a' Nai"l v/'
p olky za vedeni úólu neuvažÚ]eme
-,;.2
Nojprue podle rzlahu {4-4) vypočMňéuspořenou
l)osádime,,= 12;J= 300: = 0'02
.
cjslku
na kondi ÍÓku
'
=,,,
..n,t],r=u.soo (rrrrra
o,orl=qos
loenl naspoijdo konce roku 9 633 Kč'
683
31á1nioodpoÍa čjni15 % 2Výše Uvedené čáslký ledy015'9
sléhipodpoE budev
1oň1o
=
př]paděčnit 1453.2 Kč
Úvěr ze slavebniho spoř€nÍje úÓélový úVěr ná fušeoi bylových polřeb
ýavebni spoř(e]nou po ukonó.nl doby spořeni Ža Žvý_
Plikk.I 4 -1g slaÉbnl spÓiéhl - uspÓřená čáŠka
\o'
o'e'iá pel lé' blde' spo1
06p"'
'
goo
s"7oá
t o L'olo'á
'
r"ja-r,. .".i* po'o"re
' zÝyhodněni
"poplájiy za !edénlu( U an'j'na
NsWazJieňo
BytÓvé potřeby, na ]e]ichž řešenije úVěr ze sravebnlho sp.Éni pÓšky
lován jsou dányzákonéň' Jédná se zejména o:
É!šÉ!]
Čáslk' ktelé]sou rzhodné p.o piiŠušnéprcpoóly
.
.
l"ŠLj''
pto ÉlÍol
Fr ntre w$él'aepoJ 'p 4poi1jspobío
'po''
j
/ e'É l'o' u ln'''
..'p' 4 bd' $' oJoé n ''ár
po ceou dobu
spá@nlúVěfu
'
á ja poskýÓVán
VýgláVbÚ nébo koupislavbyna bydleni
zhkánÍ sláVebnlho pÓzemku;
jsou uvedeny v la
FlNANČN] MATEMAÍ (A PRo KÁŽDEBo
:;;;";-";.;;;; ,
ir 'p"
=l2 s00'o+l1/:1 0,o])
jr
o,0'
/''alJ Á '' 'ldr p'oÍ" o\
r.:* , "a.o...to ooa'ut
o|e
".
D/0.02=29ó19,16
ř
' c'L'' "
]'""]".lii,*!':.. ."''', -t -",e rcjÍe' ďú d tjoe\o'o
j'
oóhé'
*"'''' "'tó''oo'óni''
.,.i'r i'"l. -n,
"'
;i;" ;;.,.;";,.",.-'-"
Ndlon'ltél'o'o.'bldp'ed''d{
rem násl€du]icirh
r
di óich óágiek:
Kč (Viz
naspoiená oáslka ýÓetně úÍoku za lřsti lok Spořeni 9 683
. Llo.7 a5L\ 'G'db' 4'
d po'e
- ů'o' Ú
d'
'ls5o'o''
''Do'é'i
přpsané slahi pÓdpory Vzh edem k lomu že dáhi
o
eoroi"L "\a.
. úrk
z diiÝe
-;D;';
i"i:
v
.'j""'"n.
'
p p"*",v"'
l-*'
j
*'a';l
r'''a"'2'
!3'5'|
L'ot
7
_'o
já'l'
Vypočiláňe podlévzlahu (2 2):
Ťalo óáslka ]á uvedéna Ve
soupci7'
'á'eap'p'dé^l'é'
;o" ai |J'po-' o o.b'6/',o''''03'o-jr20ý'L'
p
i
-"a
.Ás
lá ýehěurorú
5
aln'
@oÓ'
FINANÓN MAŤEMAÍ rÁ PRo |.A2DENo
tŮ.NoDY JAKo PRÁV DELNÉ PLATBY z ]NVESŤ]cE
5. Důchody jako právidelné
(inÝóslovaLi
plalby z investice
Šlejná ] a kÓ
p'dvioe F p
'ozjr'T'dl\vá1eánuity'/ýplaljoj'FodL
áÓ"*-- ed;.o'"'
oúc\odem
AnuÚ ma]iíe]noÚ vys
a jsoÚ
i,., :
vnas..
dareN pBudelně
NěldJ P Toz|o 'e 'P'l."l ez' pi.Lper 2e"íJ'ki"!laoánaFro
sene p aléb TeÍm'noloo'e ledy nen
'édnolná
PÓdeloho kdy]sou anuityplaceny'rcz
šujémedůchod
. přédlhůtni (anu týjŠoupla@nyvždy na počálku ÚÍóréhoesoveho
.
.
.
oÚhose dúchod bude vyp
dočásný {dúďod
áel
fuz|]šljeme dúDhod:
je VypláÉn ]en po Úrillou' pevně slánoýenou dobÚ);
věčný 0e ýyp áen neomezeně
d ouho)
7"'1e. \r(\ÝpJ'oL oi'c
1'l '' Í J'
'oo '
nlm'/"'1é' efo\)p d " czpoLp,
n Po
d:(l odl bPzprostod_
.
e'olól'o'k .
Ťo' 'oc.
'óclizoý.tJ.1pl'eooú
oo.áEční(součdsnoL)hod1oludú(hodu/ mz
íi \ hodno' \ ie ' ' o( oo' .1
sazbá V}plác€niplÉ ušných výpatdůchodu (anuil)po danou dÓbu;
kon€čnou (budouc0 hodno'U dúchodu l] což]e součel Všech
\iptldú \odJ otp.'
'lod 'Jpla .ot ecD
'
e'
o d9
'.
,
z;li\lodr tc
rD
1 zdc
Mez] poěálečni á koneÓnoÚ
hodnolou dúchodu p ali váah
(sr)
je bUdoucj hodíola dúclrodu:
ic cdftasná hÓdnola důchodu|
;
;
5l
mčni Úrková ýzba (uvažUieňe roóni úÍokovéobdobi)]
poóel ú.ďových obdobi 0el) Ve kkrych d ocházi k výplatě
Důchodbezprostředni
ílůchodubezoÍoslřédnihoŽčinávýplabhnedvdanémobdobi'Podá
ldho áaseb_doJÉo1o' é4plélydL-ooj\Ýp'.úl.dpo;l''ár'
U
""^.* "rr*tI'
"z,' ".t..a.euP'osliedn'
edlhúl'icdichod
5'1.1 Dúchod bezprostředni Polhůtni
V souvislosti s dúchody lludeme poóitat:
.
u.-."
. s,
deme pied pok ádal' Že úÍokovéobd obi a inleNa k Výplalě
dúchÓdú]e sIe]ný.
d
",0"":.r""' "
!ypla yrsou p'o!adény pledhúhénebo polhúlnÉ
bU
Podle toho' ]ak
oL'aý "to'l o' o/dna'l oolD'y'ed' ol
Koneóná hodnora důchodu sbude suňou úroóedých Výplal dúchodu
polhúlní(ánulty jsou p]acenyVzdynakonciurčiéhočasověhoinler
Pro začálek
Še]nýn úrckem) Koneóná hÓdnola důdhodu jelédy
náspo řená óá9lka
*
'e''
,;".",.,,".",".,...
sňŤv;hodŇlsEh
1oo1o'_ d]! |odL
bldén e li
'
'
\J!eo'oli\Pp'cb\'"ÍJi'lnp0
4dJ l
vý(hoz'mudalu 1vizobl 5 ])
'út"lo
hod1o c
di.lodloté |Íépoj1'''
di.1oo ' léo, oa\a. lo r b,cnom
'
oblázěk5'1
schá ma
d
ůchod u bezpÍÓ ďied níh o polh ůinjho
r
FlNANČNl MATEMAŤ KÁ PRo KAŽDÉHÓ
souča9nou hodnolu každéVýp aly d'jchodu (anuty)VypÓčilám€ podlo
VzÓÍce (3 7)lak' že Výprafu diskonlujeňe k výclrozimu dalu' PoSlUp je
zachyenvlabuÉ5] kdel=1/(1 +rjédskÓílnííákIoÍdefinovaný
n.l.nY
JAKoPRAV DELNÉ PLATSYzlNvEsŤlcE
z
,,,..'-i .-,. "aa"e-p.-i." rc, (5i'""'z-h"3) Plati:
lásobleem polhútnin' kle.ýje dán vzlahem
]
klc l.
je slřadalel
í
Tabu]ka
5l
polhútni vzwlah(4"]0);
jozásobile pollrúií]
.-.". ."r,."""
.r"""14",r"
i.."
Výpočet jédnÓllivých výpel dúchodu
bezproslřednlho polhúhiho
souóetVšech současných hodnol Výp|at dúchodu ]e dán součlem ko
nečnégeomelr]cké řady (kdé pruní č en iady q =. ýá kvocent{ = ý),
klefri nám dává počále én i hod nolu důchÓduD PÍo součel soÚóasných
hodnolVýplal důchodu využleme Valec (1_13) plÓ souóel qeome{r ďé
.i"
-,"
o
Vzlahi5 r)5=D (L'"lzenapsatleŽvelvaru,kdeVyÚŽiemeslřadale'
7ásob]tela uvedený úmčilé'
Pod e Vzlahu (5 2)lze soÚóasnou hodnolu d"chodu
vyjádiil'
PodleVztálrU (4-1])lzebudou.ihodnotJúsporVy]ádiil'l=í
=
{,
4
'''
budoJc hodnolaanuily
je soufusná hodnÓta důchodu
jé pÓóáleóni (souéasná) hodnola dúchodu]
jé plav délná plalba (anu 19)|
(
5' po-oiTJobe"
'i-"".kh'
]é naspořená éáslka.
]e počei obdobi
o
et _ UVažujéňe ÍočniúÍokoveobdob0.
Pak ledy
VklerýdhFoJ paenyanutyi
Přiklzl!
(sr)
se nazýVá zásobit€l polhúlňi a Udává po&]lečni hodnÓlu jednolkové
dúchodovép alby' Vyplácené vždy konÓem úrokového obdobipD, ob_
Elah
5l
(5.]) piéplšeme
sÓučasná hodnob jhýesljce
žJjeňe Íoóniúrokovou sazbu
&šc4l
".
r."
'
".;"
to,
5
ol
p
Š
pÉvidBln'n nčhinj výnÓsy
a
Ól'"''"'oo'o
'
ool{l fodl 'Ód( 'l"''
FLNANČNl MATEMAŤ]KA PRo KÁŽoÉHo
plJo,ř\J9io poáo_fl
ldeie'eo".' léooai repo'á'.c1''oo'o-'ou \o'Ji.\odlof
li'ý' o'Ío! 'JŤ.o\o' azb-'lDo'adne
,,=16noo
"=20:!=005'Pou'ieme!zoÉ.('.2)
e
Jol''-ooo ?' séoJoels
es čáŠlku'] s9 395' 37 Kě, zajislí náň výp aly pravid
ných óáslek{anuil) pÓdle poŽadováných pá.amelÍú
d n
'
-
ť'éoo'h
re
-fuý'€l ' J
''pL fl;.áse
pÓÓoÓne
dlo l soo en'
a;n/ý.d, di_' ool 'á., ' ' '
l-"o'eno oi(lrodu oolŽ e ne \/o's' t'_2 l l T' 'Á 'ejo^e ř r t e
soo. ul i-t" bloé ce'o\d \ooro..\olJ oi.loo ' 1d oliTfu
,z ql t4a,prhctooooápo1ii' oořel cJ'LLJ
P;]zien " .
'Ór'
J.e ubhl J.2' ncr?o'aé' á5PoU J )é EEl L (j Á)' -i'sa- na
r!o.ri,.v,pt,o1'hoor.e r,si / Fir10" 1pr olchoo' F ^
.\o
l
Rr nilnnejt ÍolnvAhÓobdobLl.Óku)_!zobÍ
od_
'olÉ '
rhoduo
hodnolě 1ooo Kó. Ačkol]vyp acená čáslká budesle]ná přesto
počáiečnihodnolaV dfuhém přlpadě mJsibýtvyšši neboťVýplaly dú
chÓdUjsou poskylovány] Žv pÍúbělrU Íoku'
D o1 o 1')" r.,.,.t tlrl=,,,,rr5.r,
lnveslu]é me.l
oncHÓĎY JÁKÓ PRAV DELNÉ PLATBYzlNvÉsTlcE
5'2
Přikt zd 5'2 současná hadnÓld investi@ se č|v letnÍni výnDŠy
'z b' deae 1'Le \o'
'-'ldobu' Ždvacelilé1
poŽaduiemé i
pÓ
Kč
každého člvdlelivýnos 4 o0o
předpÓk]ádáme
mčniúÍokovéobdobi?Ťo
p'a
a
m fuvýnosnosli 5 %
]e možno íÓÍmulovai allemal Vně následu]idim zpúsobem:
""á
é Doj
e:n' noono.tlú'l ool 4 oo0
uldel ;dv ll".pooobldvá.fl
teŠÉÍ
Do woÍco ($4)dosadimáJ=4
\' t -1'é'lpld.'' J lo.r
000:' =4i'
=
20;'= 0'05:
",,,...-1,,'
PoóáteÓní hod nola
obÍázek5.2 schéma Výpočlu počátečnihod noly
dú Óh
o
-t'.i +'.!,
sou éasná (poMleón i) lrÓdn ola
úchÓd
u
V
i
počel st6jných čásli úÍokovéhoobdobi (Íoku)]
Ýýše pÍavide né palby (V ÍámciúÍokovéhoobdobijéjich
diskÓntn] laklor dádý Vzlahem (3-3)]
ce
na inveslice ]e 2o3
1
34,03 Kó
í2 Vdime' že počáleÓni hodnÓ]á
4' '' ' Ꭰ' p1D-oÁ' i6 oálb'
'pJ''e
Ío'j
V,p'd'é.á _d!l'a
|P '''é s ei d' 'lP
oi'1oo_ . p'ipdoé caael1! h
(5.4)
d
úchodu, ledy
s rcvnám e_li vý9led ky přiklad ú 5 ] a
du
Počáleéni {souóasná) hodnÓladúclrodu sé tedyWpočlg:
,=.
d
)|
početúrckovýchobdobi{lel) VkáŽdémznich jeVyplácéno
připádé čNn elnich ÝyplalFou náň peni2€
dřive k d spozici'
5'1.2 Dúchod beŽprostř€dni předlhůtni
Naq'Ť jro"a' J- bLdé !/poj.a! po'é é.n' rod' o l d:' \od' D'e
\Ýs'4^'\Ýoa.é' ého%/po'oteTLTlo'él ooboob'oo lobdobioi
Úrckové obdobije zd€ opětÍoĎni PočáteěnihodnÓla
V piípadě dochodu bezprcsliedniho po húhiho
součlu sÓuÓasných hodnotVšech Výplatdúc']odu
úÍokovésazbě
'' jako
D'se Íovná slejné
souěasnoJhodnolukaŽdévýpálydúchodu (anu]ty).vypočitámepod e
VzoÍ@ (3 7) lak. Že každou výplálu diskoniLjen€ k Výchozimu daiu
F NANaNi MÁTÉMAŤjKÁ PRoxAŽoÉHÓ
DŮ.ÉÓÓYJÁko PRÁV DELNÉ PLÁTBY z NvEsŤ cE
Přiklad5-3 saučasná hodna|a investice s pravidelÚnivýnasy
ro.r..,
-
^.
kd€ D'
d
'''
'
1
je poóátaóni lrodnotá předLhúh lrodůchodu
i
róní úÍokoýá sazba
lépo " oodob'
]e
1i(L
je diskonlnifaklÓÍ
l
,,
')
il:-!
(s.6)
fuzi!á zásobilel přédlhúlnia Udává poóáléanihodnolu
m' á' o',' 'rp".'ú\ehoobdob
po/ obdob pÍ UÍolo]ésázbÉl
důchodU
7c rrÓVnáni vzlalrú (5.2) a (5'5) ryplýVá' že počáledni hodnola pied húl
poěáleón i l]od nÓla
poLlr ůln iho
d
ůchod
')
Nl)l,,
=
'
nťbo
1' r
=
l
r
'-,,
1
!!l]= ,,m!
,,r
'\od1
!ll!l=r,,,r"'
\od. Do.d
r,
nvestujeme lidnasúslku209365,r3 Kč'za] íinám bloaistk3Výpla'y
pravide nýcb óa slek (anu r) podle p oŽ ad ova nýclr páÍa melrú
Vzh edeň k lomu' že známe vzlah nez současnou hodnolou pohúl
ůlniho dúchodJ' můžeme 1éŽ !ryJžil
Výs edku z př kadu í1 a Vrahu l5r)]
r'= D1L+i)=r!eres,:7 !.!t=:0er6i,rr.
před]hůh ho a polhútniho, a
]6000 Í1 l]
/
čni, (l ý)
je d]skonln Íáklo. deínovaný Vzlahem (3 3)
lil ''"ool\'' 1d:\od''''"de
m ]Jlo pÍo dú.hod po hú n]
coŽ V našem pňkaduje
1'05]21=9969.79 Kó'
oo
D.
polht]lniho důchodui
]e součas^á hodnola
je souóásná lrodnolá před lrúln lro dů.hodu]
Ť"7 p'o
.,
'
u nebolhodnoladiskonlnihohk
no"o"o 'ir i'ool hodl
'=r(]
kde ,
,
y
Ko k budeme ochÓln zápla| t z ]nveslici. ]e]iž ž Vobosl ]e dvacet el
a počátkem kaŽdého roku náň Ž n plyne palba V. Ýýšij6 000 Kó?
!]EžJjeme ÍoÓni úrokovou sazbu 5 !/o pa
Éci9!!
(anub);
re praýde ná p alba
" =1, -r,".-=trrl
ae
r5.5)
na kÓhc)
'oo1or,
"
p'd
'' o éj'"!'dLo1i
t o_'ooi'od( po '"T' zorc
s- " J.o d] \od ' b".
D'oJřednihopohúlnjho jaká bude @lková hodnota]€dnot vých výplal
dúchodu is úrokydo koncé úÍokovéhoobdobitoku)' PoUžjeňe ýztah
14 2) pÍÓ kÍátkodobé
spořenipředhůh PÓóáleón]lrodnotá
důchodu
FlNANčNl MATEMAT KÁ PRo KAŽDÉHo
5.2'1 Důchod odložený polhůtní
]é souóasná hodnoiá dúchodu
je poóetčásl úrokovéhoobdobi toku)
je výše aáslky' kleÍá je ýypl{cena ,' k.ál za Íoki
Dúchod ÓdloŽenýpÓlhúlní jeVyplácenVždynakon. určilého čásovéhÓ
inle aLu a jelrÓ Vyp áeni je od oženo o ei
l
o|e' b'oe!ypo''á'polcb ' 'oo'o'L|a o'é'oo1' 'oo' lé^ "
5'3)'
Vyp]ácen po dobU l etpi úÍokÓVé sazbé
'(VzobÍ
I
]/0
je diskonlnífaklo.
(jel)
]e poéei úÍokÓVých obdob]':
zde]eViděr'žepouŽVámeZisobié]pohúlni3nkopledlhúhi
..' -;"r.-"
sliádán
i
nÚ.HÓDY JÁKo PRAv DELNÉ PLÁTBY z lNvEsŤlcE
aókol
Vypočitám e v]aslné výp aiu dúchodu kleÍoU bychomzhkávali
zdeooěl. si€inérako u dúchodU polhůlniho ]elieba s ÚVědom i Íozdi
mez dúclrodém s ÍočniVýp aioÚ ánÚil a dúchodem s měsión] Výplálou
anu]t Vloň1o připaděhodnola dveslce' kteÍá nánponese ročníÝýno_
5l J- '': ]áp 120oo\!'lad'po
''ooor' "o/ po'" e'
alámio hodnolĚ 1 ooo Kč) AčkÓivypLacená óáska
Óo
Šměsičnim Výp
Y::-''
..'
obrázék 5'3 schéňa di]chodÚ odloženého po|húhlho
- oo'r 'lr ' oi od V a' 7'
lodl 'e ': ''"
.; ";-: h.d-tá D o"' oŤ'l e. '\opolhl''hodi
'
- '" "1.*" "
J' e
" ' o'].nooj'|._:áb.o- ap
.ip"
+ ;"
' 'Ó
-'"'
'*"
odloženého pohúlniho dúchodu se pak pomoc'
úvahu jsme provedLiV oddjLe 5.]'1 a čiselně ji ukázali na pi]kladech
{=", .
5'2 Dúchod odložený
od oženidúolrodUznamená.Žes]elroVýp alouse nezaóneihned'aleáŽ
Do uo|ýnJliuÍóilého poótu úrokovýchobdobi V našém připadé roón]ch'
UvažÚieme ledý že sVýplalou dúchodu se zapoÓne pokletech Napřj
kLadéavěkvpÍodUklvnh Véku nVeSlU]e sVé volné penéŽni píosifudky
azanějakoudÓbu(.apř VdúchÓdovémýěkJ)zaóíenazákadělelo]ž
zhodnÓcené nveslice pob ral plav delné p álby
odloŽený dúclrod ňůŽeme opělrozdělilpod e toho kdydocbázikVýp é'd 1o']'.od
"oi.\ooooÓ7"':
' 1coi
kde '(
'l
L
a,
jé solčasna hodnola odložeíéhodÚchÓdu|
]e d skontni fakloÍ]
]e po
É1 ú rckNých obdob (el)' po klerá nejsou pLatby Ýy'
'
ooooo
".r', ',
i'o P" 'n,
4 ]e ýeliko9i anu ly (pEv delné plallry)
je ročniúÍokovásazba
'
Počáleónihod^ola r od ož€ného polhúiniho dú.hodu ]e ÝLaslně
dis
'opo ]'FÓdJ \'
'
r
F NANČNI MAIEMÁTIKA PRo KAŽDÉHÓ
Přikkd 5-1 výŠépláÝide]né výplaty z ihvéslavané čáslky
Máme kdspozici3o 0o0 Kč ŤoulÓ óáslkou sichcem€ za]ist l rcónipo_
lhůtnidúchod na pěl els lim' Žesjeho Výplabu 4čnem;2á d€ mky
JakvysÓké bJdou Výplaty př neměnné 4% Íoaólúrckové sazbě?
t9šP!!
za jédnÓllivé Ve ěny dosadime (= 30 o00; i = 2:, = 5|, = o'o4 a Vy'
poěiúňo velikost anu ly. Využ]jéme wlahu (5_E á vy]ádřine anu lu
'=' (,-)
;,
#,
hL:r.NÓDY JAKo PRAVoELNÉ PLATBYz
Přik]ad 5-5 saučasná hÓdnola Ýýplal' klelé budene ziskáwt až po
Jak VeLkoJ částku mus]me dnés pii n€měnné rcčni úrckové sázbé 5 %
! ožl íÓvorczenémJ diláÍ' aby V osmnácli elech méo takový kaplál
kLeÍy bý mu zabezpeóoval podobu désel] lel ófu/Jelni pohůln] dÚ.hÓd
t!3cú
Do vzlahr (s
10)dosadimei=
"-,..'rL.f
a do.
'/pD'"Te
'a
|éjnĚ'a}o'p'paoéorypŤ'l-o1looi.1oo'po1i11'ho'ejpa".ol'l
bdoJ'i lied'o'he.)olá'Ý
w ál] prolnjlkodobé pohú1nispoien
ooč; e:r -oo o"ooloTele ooo
o(oe ooo
" 'fuh1'_'9 "ť_,odn"
,_*-;_l.
r3i'= 4:'
=
10i'
= 0
0s;r:1400
'r{=,,0:
Vyplácená čáslka bude každý ok č]nil 7 233'7 Ké
Neni-liinléRa kvyp]ácenidúÓhodJ shodnýs úÍokovýfiobdobím
ld' il '/olo-' dť mo( oí't"'d"" ''lÍolL
NVESTcE
"..d,
''tplo('
: l ool.é." l400!l''eé7d]
ř'l"o'é!L|oŽ
oL
5'2'2 Dl]chod odložený předlhútnÍ
Vzhledem
k
loml že Všechny úvahy jsou
žený polhúln]. Jvédeme zde pouz€
slejné jakÓ pÍo dúclrod odlo_
zákadníwoÍÓe'
Poiáleóni hÓdnola dúchodÚ od oŽe
na pÓóálku rckJ pň úÍÓkové $zbě,] je dána Vzlalrefr:
jé soJiasná hodnoIa Ódloženébo dúchodu;
jé d skonlnilaktordeínovaíý vŽahem (3.3);
je počel ÚÍokovýoh obdobl pÓ klerá ne]sou p alby ýyp áceny|
]e poěelúrokÓVýdlr obdobi(]e1). v niÓhžisou pa@ny anÚilyi
]e
Velkoslánuty-pláVidené plalby (zá Íok]ejich
');
je poěel sléjdě dlouhých ěáŠ1llÓkJ' v nichž jsou
p aÓeny
je souóasná hodnola odloŽeného dúchÓdu
kleú nejsou plalby VypáÉny
vypáÉny anUily:
]é počelúrokových obdobi v í]ÓhŽjŠou
je poóet obdobi. pÓ
je Velikosi ánu ty {pEv délná plalby)]
FlNÁNčN MATFMATlkA pRo KAŽDENo
sÍovnánim vzlahú (5 9) a (5-1])zjislime že pÍÓ souóasnoJ bodnolu
polhil ooootar"odj!rcol- o'"\o Iodlo p'eD l'1
Lod'
bezpÍostředni vziah
'':
(5 7),tédy:
'
Élop'o oopo''d'J ' ol
V piipadé' že sé dúchod ýyp ácipředlhÚině | kÍat za rck' a lo vo výš
dúchodu rrypoólená ía základě
l. bUde poóáleěni hodnoia
'ákÓveho
(4
avŽlahu (5 3) pÍoVyjád_
2)pÍoklatkÓdobéspoienipř€
d
Llrůbi
ýŽtahu
po
souóin
oboÚ
výÍazú
musime ]ešlě vynásobit
řeni zásobil.lé
húlniho
Umocnénýň
na
k-lou
d skonhim íakloÍem
{5
je soJóaSná hodnola dúchodu
j€ poóel .áďr úlokovéhoobdobi (oku)l
]e Výše čáslky' klélá je vyplácena u kÍái za
]e
diskonlniíaklol
rr)
)''.HÓnY'úkoPRAV DELNÉPLATBYŽ NVEsr cE
5.3'1 Důchod Věěný polhú{ni
PoóáleÓnihodnolu lDVéčnéhod0chodu VypÓčiláfle jako lmilÚ Vzlahu
(5.2) prc poóálečni hÓdnolu dúchodJ beŽpÍostiednilro polhůhlho:
,'=,'r'+ !!r'' 'i'r
=i
(5-1r)
je současná hodnola bezpÍosliednilro dúclrodU;
je pravdelna p alba anrilal
B de-LiVěčnÝdochodÓdoženýorb!musrmeElah(5 13)Vynásobit
d gkmlnim íáklďem. ummnénýmnar$u zhkámálédy:
(s.r4)
kde l(
rk
]e
o
i
l
I
l/(l
je počet úÍďoýýcl' obdobi';(let)
je pÓóelobdobi' po kteÍá je výp álad0chodU odložena
é. 'eln'
5.3 Dúchod věčný
]e pÍav]dená
plaiba
ánu]lá
je rcóni úroková sazbá
je počet Óbdobi (et)' po ktelá nenianuila placena
je d skontnifakiÓÍ
D
onhod
e D oÓJ r'
Je lo dúchod jehoŽ Výp ala neničasově omezena (doba spahosl
souúSná hodnola od ožénahodúchodu;
'
poole
r'o;f'
\'L
(l
'J7" lo
ť'-
'']Po.Je
''
o\Poodoo
nal"d' e "
rco1o o o'oe oto ool i
Í o' oad
u1z[konzoy'v]zkap 12).klerénema]ispán6rama]b mánárÓkna
Výp aiÚ dúchodu po neomezenou dÓbu
Podle toho. kdy Fou jednol vé Výplaty důchodu Vypá.eny hovÓl
d
]é '-'
óétsouóasné (poóáleóíi] hodnoly pro
ňe
po'j''a ldi'loo '::''
]edno1l Vé lypy VéčnéhodúchodU
současná hodnola ýéónélro dúchodJ]e čáslká kle.á nám našim po
výpaly důchodJ pokud
lomkúm ]éjich pÓtomkúm za]íipÍavidelíé
pi
dané úrckové Sazbě
i inveslÚreme
]e poóále én i hod nola věóné ho dúchodU:
je poóel sqných éáslí úrokoýáho obdobi toku), v nchŽ
FlŇANČŇ] MATEMAÍ KA PRo KAŽDÉHo
Píjk:ad 5"6
al*"a *
až pa
Piiklad 5'7 součaýá hÓdnola Věčhéha dŮChÓ'1u' vypláceného
saučasĎá hollnata věěnéha důchatlL
láká dislka nám la našim pozúslaým) za] sli
"'lsis
ooo
ótV
nÚcNoDY]AKo PRÁV|DELNÉ PLATBY z lNVEsT!cE
rlleln i polh úln i Věč^ý
xeoi ne.c.né rcéniúrkovésazbě
óáslka nám zá] sll Výplalu Věénéhopiedhút
vúšlo ooo kéod pělašedesál leI našeho
];dna ei a uÝažUiéme neměnnou úrckovou
4 % p'á ?
ÉcšÉÚ
Dosadmezaj.dnor véVeióinytr=5ooo:,=4]i'004 Podlevzbhu
o ' 'A 'éhoo'' 'oo'o"o\]'5'
odÓzenáho ijNaďmel=1ooo0 l:65 ll=3! l:005
d.ne lod
i
Mod lkujemá
'do' .á' t
''
o00Vč
VýÍaz(5l6)a dosbneme:
( =(r+4'"c+l)=1,05"
Dnes]e nÚtno s
5'3'2 Věčný důchod Předlhútni
nc ?é 'Z-h_
D = jm4
kde ,
í
]
'5
.{,t
rl o'o
(r+')"
". oo
" oodob
=o+1,
souóásná hodnola dúDbÓdu;
]e pÍavdelná Íoin anuLla|
o't
ro
óáslku 39974'51
Kč
po upy
lkažme s ješlédalš přikLady' kleia iluŠtujiuvedené
Piik]all
5 -3
PďÓÝn áni ýučasnéa budaÚci hodnaty
pfuvj']ewh pbleb
é' m aa-odr l mo:'\od_ 4l
e
"tjo 'ÍJ5n_ÓÝ Vo!
-' me"Ón en""aé'or"'**
'tlodé 'Jjlel7 'ojlis
epiép'"1 l'
'oe'd'
-" . -''l;
"l''
",'l",
p.
*ra""*=t'
,i..""', " "n"a
Kč
5
0o0
úó1Ú
čáslkÚ
Vybirál z
]e
je roóni úÍoková sázba
o,L' '/po''J " oo
,"*^--..i-'',
'o' éÍ'
i" _ od'od ".1P'oo?o' i
^o"
"""
poóátéónihodnoly
po húhlho dÚchodu pouzé
n im důchodu se šiod
o prynip albu
o klerá]e
Vyp ac€na
ná poóálku
Mi." J dJ.h.d"'
Wo
"@*ho
p.
pls
'h
palnáLj el'
F NÁNčŇl MÁTEMAT|KA PRo
xAŽDÉHo
Dl'l.HonY']ÁkÓPRÁV oELNÉ PLAT8Yz NVE5T|CE
Řéšenípío přédlhútni dúchod
Kdybychom však p aiby Ve výš 100 000 KÓ ziskáValivždy na
Íoku bya by souiasná hodnola dúchodu podlevaahU (5 7):
Žčálku
D'=D (l+')=4rr917,ó7'r'05=4ý 59l.0l'
lepši
Vlomlo připadě' néjsňerischopn holovosl épé
^Veslovat'je
ziskávat pÍáV]de né plalby ve výš 1 00 000 Kó
Přiklad 5-10 součéýáhat1nola pcvilelných plaléb
KÓik bychom měliuLožina účé{úÍoÓený úrokovoÚ sazbou 5 % pa.,
našemu sludujicímu synovi, aby sjmoh po dobu lři étVŽdy konen
Íoku VybÍai óáslku 5 00o Kč na lyžařský zájezd? Polé ]ešlě po dva roky
Přikhd 5'g tnvasliénÍ rozhÓdaváni na základě soÚčasné hadnaly plá'
n-o
p
.l'
o.".
e
Mo ooó K.
Ú po d.b" pe I'e' o'o4e
n izere t' oe
'.roó'"ic
tcŠpú
PoÓvnámesou€snou
'ze
doJ",.l
l00 000
'"-'tou
ot
(i
"
lo'"'a
hodnolu dichodu s prav]delnýmjrcčn]mip albá_
_ é-LoJe0000 ' c' EŤ|o'é 1'' i
spoj'á 'e'J'1o'iJ
-hodnoLu;ohúln'ho
')
la} pledLhú n hodú(hodu
p"."
Řešení pÍo polhúhi dúchod
nosádlme o= looooo:
"
"
f
lllll=
mu'á*. noa". .
l
oomo
=
5|j
rl
=
lll
o o5' Pod e
Eiáhu
(5
2)pláti:
'ot
sibJdeVYbkalóáslku 6 000 Kč
&&rl
V lomlo připadě se opěljedná o Výpočelsoufusné hodnoly dúchodu
/jpo'q rc7o4'Ťe fu d\é J1
P1I\á lb(dev;DoiP'oid.'ó
hlh'hod']'fodu Ča' L hflo'i"
hodnolvbezpÍoslředníhopolhúln]hodúchoduadfuháóáŠtbÚdeýýpoěel
ziskámeie]cb sÓUčt€m'
liebá Úlož
t.
Dosádiň€
4 =5
0o0
tr =
3]i= 0'05
PÓdle vzláhu (5-2) Vypočilámo současnou hodnolu bezplosllédnibo
,=".' (!t!
=5 .,.
!
!1!i=r36ra..
="r)r176.
Dosadimeo=6 000i' " 2:i= 0.o5 l= 3' PÓd€
ryptal
p. toooo0kcnaLon.LÍoiuie nižši
r =", ..!r=,05,.6ooo.t
1g
-q6r?3?
vztahu (5_9). (3_3)
FlŇANaN] MÁŤEMAT KA PRo (AŽDÉBo
c€ koÝou ěáslku' kteÍou ie nulno Uložil, zlskáme]ako součél
D+(= 1361j.24+9637,37 =2325361
Nyni]e nulno
ULož óáslku 23 253.61 KÓ
'
Nebude iúÍokÓÝé obdobiÍoóni je nulno upÍavt úrokovou sazbU ÝŽdy
lak aby odpÓVda]a úrokovéňu obdob]. a]e lřebá spláVné Uróiljé]ich
počet Všechny odvozené ÝŽlahyvšak zúslávájlV palnoíi
Přiklad511
saučasná hadnÓla pralidelÚCh plalab pl'jpala]ehih úra'
Ko k budeme Ócholni n yn i jnve stoýal. ]esl že nám Ž]nveslce Vždy na
konciměslcepynepLalbaýevýši] 000 Kč po dobu pélilel? Uv.Žu eme
úÍokovou 9azbu 5 % p'a a poo eln úÍokovéobdobi
;á
se o výpočd sJóasné hodnoly bezprslředniho dúchodu vy
plácen ého ně kolik Íái (šeslkrál) v ú rckovém o btlobi' kiéÍá len lo k él nen]
6. spláceni úVěru
ÚVé. (d Ub pú]ik4 ie dú ežilý í nanóni islÍumenL ÚvěÍem Íoz!mime
JoskytíUlj penéŽnj úslky na urč(o
o' |.1é.4Ppo'oŽo
valza přijemdúchodU'dáles Ukážehe íóklere od šnosli kleréposl!p
spláreniúVéÍJmá. neiprue ý ýšak zmh neo zákl.dnichV ashoíech
úvé.Ja ÍÓÍňách]eho spláceni
Podle doby spralnostije možno rczdě]lúvěry na:
.
.
kátkodobé kdy doba sp alnoď nepřeýhJjejeden rck
lijé od'ednol]o do Ólýi lel:
dlÓÚllÓdobé
''
.
kdvdobaspalnoí
7pťsoby umoioýJn' L
JLŤ_7éŤel40' n; ed'l'1 'pl
ÚVěrrésplatnyn.iédnouvěetněúrokúzaUrčiloudobÚ TentÓpÍo.
béň sD]aceniÚvěÍu
ied noÍázové Vóeln ě Úrcků
ie oĎb ém výpoólu
po ',1' b 'o ll ' 50| 'ó '' ó
'oo'o''
hodnoiy)nazákadédohodnuléurokovésazby3dobysplainost By
i]' iešen v kapilolá.h 2 a 3' kde Sme se zabývál] Výpoaleň budouci
. e ob.,lt" Lr. ; Do.- Di
jé6 (v]ednom úmkovém obdobije Vypáceno šéslpáleb)
je o'o5/2 = 0'025 p s (poo eln]úrcková SaŽbá):
je5'2=r0(pěl etpodvouú.okovýchobdobich):
.
.
souóasná lrÓdnola (cena) nveslice]e 53 059 39 (ó'
Čáslka 6 062 50 Kó klelá je Uvedena Vevýpoólu'jé hodnob Výp at na
zhkáválanutyvevýš]
Lé'ipÍávě tulo óáslku
6
1
Ř-Jí. ' zeT'o'ofo co \oÍrě iř
oooKé'mnžemédosIáValVždynakoncpoo
062'50 Kó
7
ÚVér]e s]ednán na neJÍčitoJ dobJ' Musibýlsplacen najednou po
výpovědi př zaclrováni vypovědni lhúlý ÚÍoky se plalr Ve húláclr
jejich sp alnost'spáceniúrokúVpÍavidený.h]nle aleclrzcé]kÓVé
zapŮ]óéné aaslky' př]čemŽ zapújčená čáíka]e spl3cena na záVé(
bÚde iešen V kap lo e 12 o d Uhop sech
UmořovániúýěÍUsepÍovádiodzáčálkupÍaýdenýň plalbami Podle
cha.aklerJ lě.hlo o aléb Íoz šuieme nás edu ]cialle.nalVy:
''4opcb, no\o
l
aó |Ó P\ á ' p|o'o oé bl 'ot' 'áa
'DrúÍoku)Hovoiime o krnsbnlni anuitě'
Jé]chvyšenenisle]ná Vlomlopřrpadě]evěcinouíejnáoáslka
klďáýižUFúVěl
FlNANÓŇ]
MÁŤEMAT KA PRo ](AŽDÉHo
Výše p aieb aniúmoÍúnenikongbnlni' vělš]nou rosG s dobou
sp atnosti, což je Výhod né z hled ska rych ejš iho U mořÓVán l Ťento
Íúslnúžebý chaÍakieÍ zÓVán buďarilmelickoÚ nebogeomelÍ]c_
kou p.slÓÚp^osll' Hovořime o rosloucíánullě'
PráVě plob ema| kou sp á*n]úVěÍu plavideLnými
pla
lbám se budómá
zabýlalVÉlokapiloo obvykesetimlozpúsobemspláejísllédnědobé
a dlÓuhodobé úvěM např' hýpoleónl nebo spolřebni.
e
{z|o2e'IsP,la'J| báÝl p{.!e \
'
'
.
Vp.ůběhuspláÉn úvě.u|
kÓdlŠrnlúmoÍua úÍokuzá úóelem spÍávnélro Žaúčtováni(úmÓry
Šeplati z€ zisku a úÍÓky se ahÍnuji do nák adŮ)|
ks zjištěnl slavu dosJd nesp a@ného úVěÍU z
kové plalbv např pň pÍÓdleni ve sp áreni.
p ány sg
zplisÓbém
Ú
loěe
h
€diska
výpočk]
i (deku
(konstantní anuitá)
Daný úvěÍD má bí spLa@n Is úroky, sle]nýňi
VŽdy koncem úÍokovéhoobdobi
BÚdeme nyni přédpokádál. že úrckovéobdobi je Íoční.
'
Íenlo zpúsobspláceniúvěru sé dá plevéslna úlohy o dúchodu Počá
leónihodnolu úýěru ze pok ádat a poéálečnihodnoludúchodu aied'
notivé anuily ze pokládat za výplaty dúchodu' který s]věílelajisl
Abychom určiliÝýšanÚity ]e lň9ba siuvědomil že počáleĎnihÓdnÓla
úvěÍu5é musi ÍÓVnat součásné(diskonlované) hodnÓlě Ýšéch anuil
Analogi.ky lomu byo u dúohodu (Vz odd]l51'1)] počáleÓni hodnota
dúchodu se|aké Íovná soÚóasné hodnolěvšech Výplal důchodJ P ati
kd€ y=-L
zivni' ánllcipaÍvni)|
D
obdoblmispálek (stejná nebo od šná od úÍokÓVéhoobdobi).
Mys€ budéňézabwátumořovánim úVělúpí dekuuivnim (polhútnim)
úÍočánl,kte.é je v pÍax]obvyk€jšl' V násedujicim texIu siJkážeňé
s€slaveniUmořováclho
olánu pnďeinýchánu láchiíúznýchpolhúlnioh
Lro!'c'ip3- oosa.lé p'o
ánÚilámi 4, sp alným
př n€měnné roóni úÍokovésazbě
'nÓ'
mohou išil:
n
splácení úvěru stejnými splátkami
posk',1nulim úvěÍuJ dLužnika.
kVýpoětua přehjeduoVýš jednot Výcb praleb (úÍok'úmo.anÚlá)
Umoiovaci
.
.
ror:7 \l.dFká'e .l i-\o\é5o
6.'1
ie diŠkonhiÍáklor, deínovanýwlahem (3 s);
]a poóáleóni
výše úvěÍu;
souóel na pÍavé skaně uvédené Íovnice je součlem geomelÍické řády
s kvocenlém ý'Vá.hodě s úvaham
'€E6"sJo{ie
anuita {pravide ná, Štáléslejná p alba)|
.
.
skÓnlni íaklo. d€linova.ý Váahem (3 3):
zásobile polhúlni. definováný vŽtáhém (5.3)'
d
výšiúmoÍu(čáslky, o kte.ou je v každám obdobisnižén ÚvěÍ)|
zůslaiékúVěru (po odečleniúmofu)
KáŽdásplálka sétédyskládázúmoruúvĚÍua zúrcku zúvěru Hodnoty
úroku vdobéspáÉniúvěÍu kesáji cožvypývázesniŽuj ci sehodnÓly
úvěru kdvŽ před@ klád á ňe žeúmo.y]soJkladné
Vdlme tedysouvisloý mezisplácÓn m úVěÍu konslanlní anJibu a dů1oo,l'
Tbol 'pló'.lleoé1'(oellt.et lo1Ja1'
'T'\plálúr '
ot'l n a
FlNAŇČN] MATEMAl KA PRo KAŽDÉHo
Anu lu 4 Vyjádřimé nas edovné:
(6r)
je VýŠá úVélu(éžpÓóal€čn
i hÓd
nola
d
sPLÁcENlÚVĚRLJ
stavúVěÍÚD bude rcven rczdiru D! /'=q
časných hodnot, _ L splábk' D jé moŽno ledy
polhúlniho pÍo, l obdobl
s.' Ťizóre
]e doba
l',
spLainoŠl úVěru v lelech
oo'oo l pŤ
V lémžobdobianálÓo
o'
coŽ]esoučetsou
e
od'pk ao7b''P i1ě1 . '
é
'sá.5 7b',a {ihl ''ol;
.
o'edpo.Jdé,ÍÁÍ}i zepoáplc'e1
ůchodu );
..ý
Vyjádř t pomoci zásob]le
o
vj' L'ol' U_,' obdob'. "'iii il Ó''
cké vzlahyjako pÍo VýšiúÍÓku U a úmoíu
M v pNrim obdoblspáÉní úvěÍu
Pro VýŠi úrckU V obdobi r +1 plali:
d .tq pohi'r' "' i r lp? ioPlna pr'o.
zaolá1'ljednojrovy úvěízanobdob]pí uroloVé sazbě
Joi
b.m,. c^
r-
0.. =D. i=q
]
.;"
P úVÓd
n
i
é ny
(6-2)
Je to fakticky úÍokze slavu úvěru D. na konci předcházejiciho tléhÓ
hodnoiu úm;Íu a úroku. UVeďme s]nyniVztahy pod]e nichŽje možná
požadované Ve
|)-ý')
Výše úmoru v obdobi.+
j jó dána
wlahem:
Vypoóilál.
{6-3)
slav úVěru , budeme oznaóovat D' {stav ý n ullém Óbdobi) Jé
tosouĎasnáhodnolaVšech anuil(zhléd skáVěilelepoóáleěnihodnÓta
důchodu). tedy podle ýzlahu (5 2) p ali:
Jednouvé synboly zde znači:
]e poěátečni hodnola úVěÍu
iaklol dcínovaný Vz(ahem (3'B)
z prunianu]ty připadá na úÍokU podLévzlahu (2_2)čáslka
'o
můžeme ze vztahu (5 2)vyjádřil
'
Úrk
M ={-'l-a
o
(L ť)=, ý
M'',
úmorv obdobil+ 1i
zůslalákúVólu VÁém obdobi
ÍÓčni úÍoková sazba:
anuila (pEvid e Ln á pEibá)i
dckonhifaktÓÍ (součásná hodnoia je d nolkového vklad u '
sp álného za rok při úrokové sazbě 4|
dobáspalnoí
'
LJ
Na úmor úvéru Ir] zbývá óástka:
]eúÍÓkVobdobil+l'lj
D.
i
í
!
]eanu la (pÉVide ná. stále slejna plalba)
je diskÓnln
U''
mořovacj
s
plálky
(jed
úrok kÓkáňŽku
placeni(,'+ l)
půjóky.
nollivé
úm o ry)
lvoři
le
dy
9 e
oňellickou posLoup
Na základě Výše Uvédáných vzlahú múžemeseslavil umořovaci p!án
FLNÁNčNl MAÍFMAŤ|kÁ PŘÓ kAŽDÉHo
TabÚlka 6'2 Umořovacip án prÓ přikad 6.1
Íábulká5'1 L]moňovác
PÍoložejednollivé úňory ivÓři
(l1
V umořovacím plánu vyph]me ne]prue počálgónistáV úVěru a polom
p]án s ko nslanln i an uilou
ckou posloupnost s kvoc enl€m
gáÓmÓ1Í
j
]e moŽnéVýšiúmoruvobdobir+ wpoóibt !'ynásÓ bén im
') v úémo bdobi ú Íokovacim fukloÍeň:
úmoÍu
výšo
Pak v kazdém iádkÚ Vypoó llá me výš úÍokucož je moŽn ó
Vzlahu (6 2) dvěma zpúsoby:
'
Ž
p
ovésl podle
pfudcháze]íciho s|avu VkádU]
V následÚjiclm přlkladu s]UkáŽ.me práVě naznaóené vazby mezijed
nol Výmihoínolámi, kleé V umořovacim plánJ počiIáme
VýšiúmÓÍu múŽem€ vypoéilat pod e vziahu (6.3)léždvěma zpÚsÓby:
Píik]ad 6"1 sp]ádéni úýÉfuknftlánlnj anúbu
'
ÚV& 40 oo0 Kó má býlumořen polhúlnimi Íočnimianuilafi Ža šastlet
úmó€nifi
Výšéúmo.uv předcházejíÓiňobdobl' lj vaslnědiskÓnlo-
Vánlm ánu ly (' - ř+ l)král, kdó
/je pořadiobdobi.
při neměnné Íoóni 5% úrÓkÓvá saŽbě t]Íóele Výšianuily a seslav(e
ÉeselJAnu]tu spoě lámg pod € Ýzláhu (6_])' kám
.,=D. !=.omo
lll=,M0
dosadimeD=40 o00 |=6]
?
UmořoEclpán prlénlo ďlkadJé Wedď Vlab 6',
!, =!.(r-/')-?330.7 (r (/1,051)=r
]97.r3
FlNANČN] N1AÍEi.AŤ]KA PRo KAŽoťHÓ
]Ú =4'r": =1tm,r (rrL'o'l
='j4l,rr
rusL,r |r!lf
"-,l-
ry1 \t
=, {Lt
jsÓÚ zpúsobeny u aokrcLh ován m'
Nékt€Íé drobné nepiesnÓsl
Přiktad 6'2 spláceni
::::" i"i
úÝéfu kanslénlni áruibú
:;;;ň:;".;,"...
přiúÍokoÝésazbéi=
6
o/o
=
tnolú0 !]L
zde Ýycház me ze
Elahu
'!
oooo
j
{
{ r"r
TábuLka 6'3 ]Jmořoýacipán pro přik]ád 6_2
6'2 lJrčenípočtu předem daných konstantních
DosadimeD =50oooo:,= 1o]'
'
Ooo
p a.
Éešcli
^
\s'oo
?!!t!l!
=
=
l
o 06'AnU]lu
r !
(3-3):
spo']láňépod]eVnáhu
anuit a poslední splátky úvěru
.""""*""*'
'" 'Ť _ édopo!
to, e rr P-q o-'ie1 dl'o-P" r'
Lt aouto ". olae "pacet ta.s" spalnost]l).
připádné jak Vys'ká
UnořoÝrciplán. kde WaŽujeňe ko
,=,,+
pomocr vnáhu (1 1l) pro logaÍlmováni doslaneme:
É'NANČN[.AŤEŇAT kAPRo KAŽDÉNo
rE ednivýše úroku]e Úrokem z úvěfu /r Gdy laké Ž hodnoly úmoru
íL 4 '')
,'='|."
kdé L
je doba spráhosLii
(
i
r
l:olr opétbudeňeumoiovalúVěrsbinýjakoVpřikadu62 Tenlokrď
de anuila předem slanoven3 13k. aby óáslka byá zaokouh erc n3
je koníánlni anuila předemdanái
sazba;
]e rÓóni úÍDkoVá
je d skonlri íaklol
l;;i;;;'; ' j-" ;;.
' on';'' l'
'
'"""
'"'p o"á'" "|'''-''D".'
Piiklar] 6'3 výše pÓŠlÓdnlsplálky úvélu
olo J 1oodob
;;:;m:Ř;j-;.i'':" le'rc'.' á'' ''o ! ' eFoeo
pJa
i'_., * 'o^."p"'""
'óool1d
ri'"Ť
V7
l '[
'
"
;;:j:,.';.i;. 5;;:.".","
néz a
spátkJ,
UVčr 500 000 Kó se má sp á.elÍoón m anu tamivc výši90 000 Kó pi
/,% Íoan Úrokové sazbé Máme UÍólpoóal anuil. výš poslednispáiky
za ]ednÓt ýé v.liónydoŠadine
Ne DÍVespočiiáme dobÚ sp
+
kteÍá bude nLzs'
PÍo poóáteóni hod nolu úvéru z]skáme vzlah:
Posednisp
noŽno ýyjádňt
álku úvěÍUIje pomociaÍlmeIckýclr úpŤav
o=1o-.Lirrr'l'
(6-s)
ÚÍoku
PostednispLátka /,se skLádálaké z úmÓlu a
slaýúVěru pol'réspátcemávýšiÁ'y PosednivýšeúnoÍUmái]diž
D.
alnoí ,] pod
!T#ť]
e Vzlahu (6-4)]
kleleDiedcház VypočIe
Poóelspjálek]eosm Nejb žšinjžšiÓeéčislo
ú dobé splarnoŠr t(ozna.eĎel )
ižšrTU
-Po o
]
vypoó táme podevzlahu(6 5)
Posednisplálka bUde
Ve Výši25 710'36
seíavme nyniumoiová.
p án
K.
(Vzlab 6a)
o
'o
Prorla
b,l"
i:
F
ŇÁŇčN MATFMÁI xÁPRÓ kA2DÉHo
l _;"0"
ohcd'.7nér"ope ]'4re : 'o0000' pi oLo\á'éz'
I o.s."p , i-."rot,"s o "'" ""o,.t, " o;
i,
l lú oÍoÍúznedoby5p]ánosiiso
t
Tábulka 6'4 Umořovádipan k přik adu 6 3
Tabujka 6'5 Vulah mezidobou sp álnosl úVěÍu. mésiÓnispá1kou
a ce koýé zaplacénými úÍoky
z uvedenÝch údaiů ]é v dělposlup tvoÍby umořovac]ho pánÚ V připadě
dané3nU ty' Ťénlo postup]e běžnéjšínež pÍipad. kdy se anuila spoóiNj
zaokouh]eným ía stovky lsice nebodeseltsire
Dosudrsmeřešilipřipad'kdy jSň€splaceli
koncikaždéhoúrckového
vlcekÍálza
úÍokovéobdobi.ýypoéiláme ne]pruehodno1Úsplálekdo jehokonce pod
ó
e '/Jh' ť.2 é c 74 doá'o
'Jpo'1 pd '5enc' l _Toio'á'
'o'o
'
plán (V]z přikrad 4 5) Vzh édémk lomu. že Vě|š na úvěíú'zejména pro
lyzcké osoby jesplácéná měsiónimianJlam' podivejme se dáe na
vzlahy mezidobou splahosliÚVěrU' Velikoír ňěs óni splálky (anUjiy)
a celkově záp eným úďy
na
,
obdob i (uvažovali jsme roóni) 0ocház]]jkespláceniúýěÍÚ
Mes(
'J ' ' Jpo
"=D.L
o'| J'J/ énéZdele!' é
;; a*.-
\" l'e:d-fl
",ep1doo"5prlor'.a(
n * :' idn' N DořAÍ el 7'"
k\ e1..1 oa d j'
^..:''"'."..',"t"-"'"1'
Pod!ónésÁ' é. \po. J'e|lo "' ol' dpo.en'oÍ''DL'"
vé ÍeÍmsouD. labuly 65
'
'cdenc
Přik]atl6-4 Úfukavé náklady úvélu
t-_-'..
',-_|oó ooo'.
ÚÍokovásazbaje05%pm
'.
Ne]pÍVespoóiláme ánu]lu podle Eláhu (6
1):
'' 'á'''
FlNANČŇ MAŤÉMAÍkAPRÓ kÁžDÉÉÓ
!
L
Máme anu]lu. klerá ]e uVedena léŽ Ve dÍuhem iadku tabu ký 6
pdL' jdi'1-j-loTd',o'il':e'
lép" e','L "'''"',i".
5
ÚÍok
:'.'
úrok Na zák]adě loho dostáneme]
V lomlo pi padé zapalime na úÍoku]66]23.0] Ka Tento výsledek ze
zjÉlildoýénim konkélnich
Tabu]ka 6'6 UmÓiovac]p]án s kÓnslanlnimi ÚmoÍy
6'3 Umor
ú'./ěÍunestejnými
63'í Úmor
úvéruslejnými (koňstántniňi) úňÓ.y
Daný úvě.Ir má bylsp
acen
ii
lomto zoůsÓbu umořováni úÝélutvoii iednoll]ve úrokové p aLby aí(
nelickoÚp;sLoupnosr kleÍámádiÍeÍencÍoýnourozdiLuklcryclrkoL dVoU
splátkami
s úÍokyIsp álkaň ' splalnýmivždy koi
ročni Úrokové sazbé , Každá 9p á1
ěÍU úmoÍu
a proměn vého
Uýazujne napřkad ÍozdilpBnia dÍuhéúrokovéplatby
l'l'
úÍoku klelý.áVsina zúď.lku úVéluÚnoÍzúslavá slá e sle nýa úlok
seýžlieÝvzn]ýajkim,
Únol! M,
-
'
-'
ll^ D|,
melickou pos oÚpnosl Se slejnou d ÍeÍenci
PúVodni slav úVěrÚ Vyjádřime Ve lvaÍu
íe]néhÓdnoly.
Fme
Přiklad 6-5 spláČÓÓjú|éfu knnsldhLnln únaren
ÚÍok V prynin obdobi]e dan vulahem
L=D i=r2i
ákradě Výše uVedených Vzlahú (v
'éi'-' d ? réoi' d ?épá q ''' |
'o'1
poěrial V přikladu 6 2
s jakým
.
." od ooo '
r. j,7.p," ",o,
Po
'z'
"
F NÁNÓNI
MAÍEMÁT|G PRÓ kAžDĚ'HÓ
za jednollivé ýelióiny dÓsádimé D = 500 000] l = ]0| = 0,06' Úmol
bUde stále slejný. Výši úmoru ziskámé' VYdělime i zapújčenou
'
částku
poólam obdobi spláceni ledy]
PiilvoĎě
umořovádihÓ plánJ nejprye Vyplnime poslednldVá
soupÉ
sloupec s úÍokovýmplalbaň Vyplniňéna základě znalo9lipiedchozi_
6'3'2 Úmoí úvěru nestejnýmiúmory
UkaŽDesj seslavéni umořovácihoplánu prcUmÓřéni úvěÍu neslejnými
rd1 31 as p'pdod'Ú' E(ř
''i' .'' e:'pŇ,'lF "Ío
'ra ea"
6 3.2.1
Úňorúvěru anultami' kle
l.n.l qDřaonsplj'
pi. rre''e'. -.,"rooloo"
'
v y og% VyššinežspIálka předchozi
'p|al';n ':d'lOYe
'
UÍčiVýšiprunisplálky. je lřeba vzil V úvahu že poóáléóni
^bÝchom
roánold úvě.u 9emUsirvnalsoJčasné (diskonlovan é ) hÓd nolě všeclr
'
,
kde D
o
g'
n
Tabulka 6'7 Umoňovacipáí k přik adU 6 5
sÍovnáme. umoiovaci pány z přikladu
6 2 a 6 5. Vidime'
- -,: ''
jé poóáleční bodnolá úvěÍU'
jeanuila (pÍavide ná slá e slé]ná platba)'
]e Íoénúroková sazbá
je mjra Íůš1Ú anuily menši néžúÍoková s3zba l,
je doba splatnosli ÚvéÍU'
Pode Vý.azU pÍo součel geom elfuké řady (1 r3) ňúŽeme Vzlah (6'6)
že ceko.
.á\odL' nolpi on5lc
'á'_lě"'dopá'e'o'o.l 'pJ "n T^
neŽ V přlpadé konslánlnich úmorú ce kově zapacený úrckje Však při
konstanlni anu]lě vyššl
základ pro výpočet úÍokú(z0slatek)se
nižUje pom aleji neŽ pii s^ébol
pjáce^ l kÓ
s
{fl
'
i6 7)
F|NANČN MÁTEMAr KA PRo (AžDÉHo
PNnisplálka úVéÍuse Vyládřiz6 VzbhU (6.7) náSedovné
',=,.
ll
"
L
lrJlšiŠp]álkas€ vypoóilá na zakla'lě miÍy ÍnŠfug= 0,04
l (l+s]= ji1j5?'05 l.04=599ój,]r
b'*
Ó"n
'iDi fn
slánlni anuilÓÚ
.
.
Píiklad 6-6 spláúníúvéruíaslÓLcí anu]lau
UkaŽme nynina piikladě,jak bude Vypádat Umořovaci
Ve Výš 500 000 Kó Doba spalnosliúVěfu je sbnovena
př aémi spla(en bÚde ro.n'm' Íoqo
ĚE3E4
PNnisplálka ve ýýš a sevypoditá pomocivýaŽu
'=
n
]'0!:091='Lýot
] ,:;=ÝoÚ,
Itlt
, trul
rr./
I
o"l
{6 9)
e5 "
qnzpj
č konsbnlnim úmoléň.lj
úÍok ooó]táme zpředchoziho
Úmolzjlsiimájáko
zúslalkJ
rozdilňez splálkou
a úrokem
Polo!ndmej é' 'o zpj5ob Jro'o'
oP!ho.2dol/dne rÓ' iJlé Pi
'1oodoo(\i''id'
'/éÍJvj'd 'ol ^
..\\ nez o, jotcrq, -re
áp".ea'.ÓÍbjd'
".n hd ;Lmdem zlo1o''ď^o
?.
'".élÍo.é
r
ii r'o
"'
"'zpl5ob'l'Pli
jt"""l
n_.---"
me' o 'Í'dpo'l"o-'spt"oL ''ět-bld"
' to B_dP Ťlc1: l'9' -o'" o''de
^ ua""'
"t
"-'á"I.-.','
pi'pad
v
pt'l
adu
6'2
Wedený
o
E
FlNANČNi MATEMATrKA PRo kAŽDÉHo
6'3'2.2 Úmolúvěru anUilami' kleré róstou na zákládě násobkú
N LzákladéVýšeuvedenýÓhvztáhú múžemeseslavtobecnýUmořovaci
DánýúvěrDmá býtspadénisúÍoky'spátkan sp]alíýmjvždykon@ň
úÍokÓvého obdobi pii neměnné ročníúrokové sazbél Každásplálká]o
VŽd y dvakÍál vyšši než splálka přédchozi
Abychom ulóilivýš pfuni spálky ie lirba Vzil V ÚVahU. Že poéáleéĎl
hodnola úvěÍu semuď fuVnatsoJóasné (diskonlované)hodnolě všech
,,. =,
Přiklad 6-7 spláceni úvěfu raŠLÓrcl anui|3u
! srl
kde D
q
v
,
Ukažme nyni na přikadě, ]ak bude vypadat umořoÝaci pán pÍo LrVěÍ
ýo Výši5o0 ooo Kč Doba spalnost úVéÍuie slanovena na desel lel.
přióemž spáÉn bude Íoónim Ďstoucim splálkáfiiVŽdý na konciÍoku
pt úlokové sazbé 6 % pa. KaŽdá dašispLalka je dvakÍálvěišlneŽ
je počáleěni hodnotá úVěru.
jéanuila (pÍavid e ná slá a slejn á plaIba
te diskontni
]e doba
)'
raklol
spahosl
úVérJ
PNnisplálku VypÓčitáme ze vzlahU (611)
lobovýši pÍVni sp]álkyz'skáme nauákladěvýÉzu (každá dalši plalba
dýákÉt vělši neŽ předcházqici)
(5r1)
=,'-á
F
NANČN MAIEMÁTKÁPRo KÁŽDÉNo
éaÓop11ó 'o]lzolptd'f07Lo5d' ' 'á
'
yl nav U\éru nuoVý
"Lo@'ep'o Jédl ob]'
@*b'-" 'd' ''o. ' o'" o a' D'o.é' ''
' '' "]o -"' p'o
'1íavu ÚVěru V Óbdob]'.-l l
'' .o'
aŤ lá7o"
'o
oodob
JakVyplýVázuvedenéhopřikladu nenitentÓzpůsobkoníÍukcespálek
pro umofovánidluhuvhodný' nebol zoočálku iednol Vé sp álký íeslaó]
an na sp aceniúÍokuěiňž d uh nánjŠÉa sp ácise až v dfuhé po ovi_
ně doby splatnos( vy9o kými splá lka mi kléré se mohÓU blrž{ áž k výšl
Sle]nými Sp álkam
'
kleré Íoslou aÍ lmelicky.
Přiklad 6-3 spLáceni úvěru neslejnýni splálkani fus|aucLni a hrettky
ÚVěrve výš 23o ooo Kó má býlsplácen polhútnimircónimisplálka_
m. Pfun]splátka má Výši10 oD0 Kó a každá následu]icljeo r0 000 Kě
VyššiKromé tÓho jé nUlno plall běžný ÚÍok Ve slejných lern]nech'
sestavme Jmořovaci plán pi úrckovésazbé3% pád
fábulka 6'3 Umořov.cipán
'.-.^.*.'.,oiooem
;" "*".."*',
ro ooo
i-"."
o,'o.ou.a." u -orn,. ovo splátka, ae ňyslisé zde úmoÍ
skuieóná splálka úVěru Vzn kne aŽ pi ěten]m odpoÝida]iclhÓ úÍoku'
V b:"Ť
p,padÁ oD
rcm Úmď roďe ďhelickou řadou seslavime Umoiova.ipán (ýz
lab 6 3)' v němž se uvedené hodnoly budoÚ ýztahÓÝá'vždy na konec
NejpBe Vlph]me s]oupec nazýany
000o Kóald' ažsouael,ednollivých
i1olibjd.1 l',! o lÓL\)
L á'L !'30000
sedmého obdob]. Je tedy zi€imé' Ž
kde pode vzlahu (]_]5) plál]:
žeme souóei| ólenú iady Vyiádiil:
'.
=; r, . +(',-,)
,l
d.o_
k přikadu 6_3
a
'
pJ:
'
F NANčNl MArEMAT kÁ PRÓ KAŽDéÉÓ
Roznásoben]ň ziskáme kvadrálickou rcvn
c
prc
''
]e]imŽ iešenim je
v Íed.hoz
m obdÓbl' sn
zenl o umor
v
běŽnémobdob
V posednim' pátem obdÓb j]ž bJdé ánula menšinežočekáVaných
''D
doslaneme dÓbu spalnosliúV&u sedm
'o''
eiézJoo']J
P řjkkll 6 -9
el
tňÓtl"ooDó
'c''Tl
''o''o J oao4'; ''-'ip0'ed' 'JÍ
DÍuhý koien kvadÍatické
spláfuni ÚVě neýejnýfu Šplálkani
ÚvěÍ 12oooo Kčmá býIspaÉnroón]m] polhúinlm spálkam (VóeIně
úrokú)Pfonisplálka]€ o Íok odloŽaía' tedy bude splalná za dva roky
VéVýš240o0Ka Každádašispálkájeýždyo20000Vyššr.sestáVme
umolovacipán ]e jiúrokoýasazba 10 % p'a
Eerelr"
V lo' lo ol]lod ' Íá
od o'Ll
'o'dI
ÉŽjpďolir:n 'Ó.llJr
ledyVyplňu]éhepo]edno1 výchiádcch{Vztab 6'9)'
V pfonim obdobido,de pouze ke zvýšenislavu úvérJ o
1D %
Ve dÍUhén obdobibJde spaÉna o
it na úhol a úÍokÚ.ok Vypoóiráme ze ďáVu úýĚÍ!v prunim obdobi
(z hodnoly r32000 XÓ). VypočlenÓU hodnolu (13 20o Kó)Ódeóteme od
anu lý (24 000 Xó)aziskáme úmorúvěÍuza d.uhéobdobiío 3oo Kč)
sbvÚV'u VedÍuhéhobdobjziskáne]ákÓSlavúVé.uVprynim
sle]ným zpúsÓbem pokraóuiem.
i
prodalši obdobi
Úrok poóilámevždy ze slavu úVěrÚ ý piecháŽajicim obdob
obdÓbi'
rábulka 6'9 UmořoÝacipLán pío přikad 6'9
t'
F NÁŇčŇl MÁTFMAT|KA PRo XAŽDÉNÓ
7. směnky a směnečnéobchody
směnká jr c.nný pápíi ŠpňJjidizákonem předepsané áVazné nál&
ži1o9|i' na klerém se výslavÉ bezpodňlneóně bud U sněnkyvláslnl
sáň zvazuje. nebo
směnky cizi př]kázuir uÉiléosobě - směnečnl_
kovi zplál t ve slanoven ém leÍmín u p ráVoplah éňu n aj teli směn ky na
směn.e uvedánou oénĚžitouóáslku
u
VpřiFdě czi směnkywnikázáVaŽ€k zasmĚnky sménéón kÓvi ažak
c6p1adí (př! étim ) směn ky' kleij spočiVá v p ípoje n i ak@plaóni doložky
a podp]su směnky sňěnéónikem.
PNní oprávněný majle směnky Íemilonl- núž€ směnku. a tedy
i pfráva s n i spojéná, plévéslin dosaménte m (neboli ru bo pisém žiBm)
'
na dalšiosobu'Ťa múže směnku obdobně přéVáděldá€!'
zákoném předepsanépodslal!é náležilosli' kleémusejisměnkyob_
sahoval,jsÓU prsménkU cizí palmé z obr 7'1.
I]MÉNXY A ŠMÉNEčNÉ
ÓBcHoDY
směn ka V]as{n í mU si Ó bsahÓVaI sh odné n ál€Žilosl . odpad á pouze ] mé
tro lohÓ, kdo má p alil prclďe h]avním směneóným d užnikgmjr sám
Vodlé UÝédáných' zákonem piedepsaných náležitosii múŽó směnka
oD sa hoýal i někleré dalši' fa kullaliÝí i n á1éŽi1o3li - sm ě noě n é d oloiký
lina směnce býnénÚséjl pokud ta m ovšem jsou. UÍčtým způsobém
hod fkujiÍážm nákládání se směnkou.
oí o.Fr/raj
el !Te1\\ 1l5''rá1\U\ o.n.p|áŤoí'loo[d'en'
dnem
bk neibižšioÓ něm nás eduiic] pÉcovni den). Íesp
[6covnim
vodVou následUjicidh pÍácovnich dne.h předloŽ stanoveným zpťlsÓ
bsm k pÍÓplac6nl' Má ná.ok na Wplacen i směneón é óáŠlky' tJ směnky
oDaliené plahou úrckovou dolo'kou! je lalo ěástka zvýšená o úmk
od data vyslavénjdo dala gpáInoslisměnky
Zí Diskont
a éskontníúvěr
oplávněný majile směnku můžéjéšlěpřád]ajisp]ahosliprcdal
kva
|! oo.1oolisné1lJ j-oJ ' p'á' odl'Lpo!á'y (es(o1oý;1\r,eiTá
'
na komelčnimi bankám. odkup sménky bánkou před jeii spalnďii]é
podslalou éskontnlho úvěru' Banka majitel směnky přlom vypácl
Úfore.roL €sl' j 91 2e1oJouo. 27oyllolo.dobu9pál.oí .r ě1
._
]@Áó!;6Eh ň
|-úy
Ea6J!ú!,al
*.#:Í.n
obráŽél7'2 zbytlová
doba spla
nctl
zbytková doba spl.lnosli směnky je dobá Ód eskontu do splahosli
směnký zapoÓilává se do nidén sp álnoslisměnky' ále nikoiden es
"
lk
Ú@toÝá do dNa
sFdú !
smsb'
+áú ia
hďá F
l
úďo
!ide@ .*o
na
vó ý es @
úeiého
přd
dď
)
F NANcNl MATEMATIkA PRo KAŽDÉHo
Pii wpočlu disko nlJ
nidiskont'
nek se použlvá
lzv
bchod nÍ neboli bá n kÓv.
Jak]smézjsť ]žVoddilu 2'6. pro výšid skontu plati:
u s mě
o
,, !t r.
kde D.ó
lc
/z
,'D
Po
výš l
,..
d
-
(7í)
je zbylková doba do splalnos|
é směneé
n
á čá slky,
PÍÓ Výpoěát diskonlované směnečnéóáslky v připádě éskonlÚ Vicé
dobam sp aho9lipřislejná
d
ě' é'' ýÍ' čáďLaÍ á zbyllovyri
skonhisazběje úÓené využilprcpočel
čhg's pdncipem úrckovýohčísejsmesesézdáfr
ili
výao dlskonlu dána podle vzofué (24)]
jédskonlnisazba Ý% p'á
n
7l'1 PÍoPočetdiskontu pomocí úlokových čisél
pomoci úÍokovýÓh
je Výše ob chÓd n ih o diskoolu směnky]
jé směneó.á oáslka;
iskonlova
sMĚNKY A sMĚNEdNÉ oBcHoDY
klerou banka vyplá ci mai]L
,. =" (, .*r.!.)
llr.
s:]]]! '
'Ý
'/
o.3)
t7-2)
de ková
Eskonl9měnky na ba^ku m'jže bí dáe spojen s Určtýmip@Vizemi
a pop alky bance' kleÍé dá]e sn žuj
výše di9konlu směnék;
směne Óná óás é j:lé s ňén ky;
Přikl.d7-1 výpoěet Úše eskúlhihÓ úvěru
FÍmá odprcdala dne 2' 9' 2003 smánku bance znějic na čásiku
150000 Kó' sospkho9li2.10 2003' Jaká bvia př diŠkonlniúrckové
sazbě 1o
q/
p.a' óáslká' klerou banka
Í mé vyplá
a?
zbylkÓvá doba splalnosti:lé směnky Ve dnech]
celková diskontóváná čáslka za všechny směnky. kleóu bánka májleli Šňénákpři6skonlu Vypalí']e p
Éeš€rj
D: |o' lo%' o )n ěre. DL.d'L_
' 2) Dosadine nás ádujicl hodnoly: s.
podle %rcg (7
-
150 000 Kč]
Ž,,'
"
L=t&
\. =tv
UD ]-
Í
,.Ž",.,
.,
_,
ró 000
(7-4)
Přikhd 7-2 ýýpaěet výše es]rnhlho úvélupÍi eskntu vÍce sněnek
FiÍma eskonlÓvála k6 ]] 2oo3 na banku nás edujícisňědky:
Banká Vyp atl kliéntov] částku ] 43 750 Kó
F|NA Nč N l MATEMAŤ|kÁ PŘÓ kÁ ŽĎÉHÓ
sazbě 10 % Výšéce kové diskoniované směnéóná
Ža €skonlované směnky nÍňĚ Wplal a?
tcšl,"l
sMÉNkY A sMĚNEčNÉoBcHooY
7.2 Eskont směnek na základě
střední doby splatnosti
Vpřipadě'žekliéntéskonlu]ebanmnajádno0Vlcesměnek'kIéése ši
Údaje po \4'poěét ]sÓU uspořádá ny pňoh édně v
lab 7
1
odPr'obros rúZebý /ýu'Dře'oodeýo1'LsÍář{zaoŽP'a
n. lŽv sťedni době spláhosli'
Íalo meloda 9počiÝá V lom' Že majileli éskÓntováných směnek bánka
neýyp]ácidiskonlované sménečnéčáslky u jednol vé směnky hned
ý době éskonl!' a]e wplácivé sťrdnlden splalnoslj najódnou ěástku.
odpoVlda]lci souauvšech nominá nioh sméneóných ěáslek
stiedni déÍ$lálnosli
e de n, ke ktéÍému je současn á hod nolals Vše cb
dskonlováných smének ÍÓvná souótu mm oálniÓh Ďásl€k Všech směnék'
Tabulka
K
71
Údaje pÍo přiklad 7 2
dÓsaeni do @.ce (7.4) pÓlřébujeme ználještě úÍokový dě ilel' k|éÍý
uD ={11
Ó\no('z lo1o 1éllá e s.ět'
pň dané d skonl
ky íkÁuje diive' než je sáma klienlov pÍopládD sé'e
(y
análoqioky vyplýVajl
n sázbě pÍávě VyÍovdájl 3 úrckovým] náklády
z loho' že nĚkiéÍásměnkv banka náÓpak klienlov propláci přéd jejich
!pld|loi']'vizereledv'i' ]ep''7o1'eoren'ab!..odío''pe1ě.
je ienlÓ poslup pro banku i k] gnla shodný' jako pň éskontu na základě
schemalioké znázÓÍněnl
aed1' doDy 9p'c'
'oo
p
ol
nc pu eskonlÓVánl směnek na zák adé mé'
pŤ /ly. !mer// s'LdoL Ýlal'osl' iP na
c.lkovÓU diskonlovanou óáslkÚ za Všechny lij směnky p.lom doslánéme dosáz.nin do vzorce (7_4)]
.
Ž,jc'
ooo
!il!!
=
r,? 6sr
Bánká vyplati pij eskonto uvedéných lři směnek lřmě celkoÝou diskon_
lovanou sménéčnoučásiJru 327 68] kč
obráe'(
ú s &sá
7'
hodnobie
3
Pt
incip
sliedni doby lpla lnosli
mé lody
Fdúia $dŇ]ab
d
sfubváM
húda sneď ! |áúz
F NÁNčNl MAŤEMATiKA PRo
kAŽÓÉBÓ
Ž podsláiy melody slřednldoby sp alnost palÍné z obl 7'3' múŽ.mé
'
odvod]l' Žó má_ sé so!óasná hodnota smĚnék ké sIiednímu dnispal_
nosli rovnal součIu nom nálníd|l směnečných čáslék' polom sé SUma
úrck']!osňěnek, sp alných pňed Etňádnimdn€mspahos| (4 dobu od
sp alnNli do sli€dnlho dné splalncli) a suma djskontú 2á směnek spla!
ných pÓslřednimdnuspalnoď (zadÓbuodstednihodnesplalnoslidÓ
splalnosti d ánýdh směnek)musí náVzájám shÓdovat' [/usitedyplall:
sMĚŇkY A sMĚNEČNÉoBcHooY
Přik]ad 7.3 U iénl středn! dow splalnasÍi přj *krnlu v|ce sněnek
FiÍmá éskonIovála k 6' 11 2003 na banku náŠedujioísměnky:
slano!,1é pň diskonhi sazbě 10 % p 3. Šlřednl den sp
banká VypátlÍmě@lkovou nÓňináh
kde s'/s ]esměnečnáčástkasměnky''r'. ažu |ésměnkyi
t!!
l.
po
ja doba Ód splahosli směn ky l
'
slředniho dno splahÓsli]
jé slředni doba sp alnosti v€ dnáchi
je digkonlnisázba V% p a.|
'"
až u_lé Šménkydo
kde sťr je směn€óná
čáslka/]é směnky]
lr
je doba od splatnos
lJ
l!
je slředni doba splalnÓsli Ve dneoh;
Já diskonln'sazba v% p a.
ÚpBvou rovnice
(7_6)
/á
směnky do slředního dne splaI_
múžaméVyjádňtsli€dni
'
střednidob0 so]ahost] wpoóiÉm é dosazen]m do worce (7
s
(74)
álnNl
směn€čnou čáslku
Ve
k|éléň
teše!Í
'=
t
i
lied.
7)]
'" _"
ňj;'fii];iffi
p nčlen im sliedni d oby sp]aln ost] ke
25dní' čj 1 12 2003 ' V Ienlo den wplali
den splaln osli dos{á nem e
dnieskonlJ'!.6.11' 2003
+
ědéónou óáŠtku 33o 00o Kó.
z3 Depozitni směnky
smánky lz€ rcWěž !'yužil jáko foÍmu ínanÓni inv€slidé nébo uloŽeni
pe.ěz V lomlo připada investol kupuje směnku, áby se mu v době splal
nosli pÍopla€nim směnky nveslÓVáná óástka vÍálila včelně uÍóilóho
dobu splálnosll'-' pfu
V pÉxisá múžeme selka| se smědkámi !ryuživanými k inÝéslovánl
finánónlch prcsliedkú V podobě d.poziln'ch směn€k' Vydávaných
někt€rým] bankam ŤUio pováhu mohou mit i kófiéÍěnÍpapíry, kleÍé
tr-71
Výnos múžép ynout ma]ite směikydvo]lmzpúsobem:
slřéd
n
i
den
s
plalnosli doshn.mé přiae
n
im sliedn i doby
s
plátnosli k€
kJ Žkouoi, á nom nál.í sm é neónou čáslkou klercu obdživ dÓbě
solátnosli - v lomlo přioadě já Výše výnosu dána d skÓnlém' kle.ý
vypoÓj|ame pod e VzoÍ€ (7_1);
F NÁNčN| MATEMAT|KA PRo KÁŽDÉN
jako úrck ze směnaóné čáslky kle.ý ]e slanoven ná směnÉ úfu
dooŽkou.
dobu od Vyslávénísměnkvdo]eiisDálnoŠÍ]8' V!J
připadě výšivýnosu uÉlm6]ákojednÓdJchý ůok dle vzorce
a
2l'
Výnosy p]ynoÚci 2 bánkovnich depozitnlch gměn€k (sňěnék vyslav!
ných bankou prcli piijell vkládu Ód věř ble) podléhaii sleinému zdanén
ú.okové výnosy nebo VýnÓs plynouoi z rozdilu me' nom nálnl hod.
nolou Vyp áenou V době spálnostia dlskonloÝaíÓU em sni*nou
při je]'i.h v')]dánl]sÓÚ Ždáňovány podle následujlcich pEVd€l:
po Óz'cké osoby se na lylo výnÓŠy váahuje sÍážková daň sě
zvlášhisazboudaněvewšl
15
%dáň s.ážiaodvádipiimoem]'
lujici bánka pň ýýplalě úrckú' lylo přlimy polom n6jsou součásll
piijmú vcházrjjcich do daňového přiznání|
ryrakýn 6abáň' pakud ié dnad 2ahnul v jeiich abchúlnln frď
6abáa ie rcunéŽ slrháváná dáň Ve výši 15 %]
avšak záplacáná dáň podléhá Íočnimuzúóbvánl ná cglkoÝÓu
dáňovou pov]nnost (promltá sé dé faclo do daňového piiznánl
jáko zpladéná zá oha na daň)|
kapllálovó !'nÉy pynÓUci z Íozdílu mezi p.odejní a kupnl @nou
směnek (kleé nejsou úrcko\ini Výnosy) palii mezi oslalni při]my
áÝ^|á/.i doc-loJéhoddloÝéto7álláoJŠlj-rÚLp'pad' .dy
jéÍku é právni1ký
se jedná o íyŽidkÓu osobu a doba od nákupu do pÍÓdéjésměnký
piesáhn€ šostmásicú v Iomlo připadě jsou prc í/zickéosoby Ód
Piiklad
7-
1 vlpočélvýnrsu
z depazitnl
sněn|v
K ánl zákoupldne 3. 2' 2003 od bánky dépoŽilnisměnku za
m nál.l hodnolu' aějídi na óáíku 50o oo0 Ké' směnka by]a
je]i no_
Ópálňé_
ná úÍokovou dooŽkou s úrckovou Šazbou 2 % pa splahosl směnky
byla slanowna naVděnou' pnčemžsměnká nésměá býl pfud ožena
k prcp a@ní dřiv6' néŽ Ža lii mésícea ne pozděi neŽ za člýi měslcé
'
Klienl předožilsměnko k pmp aení dne 12' 5. 2003'
Jaký bylVýnŇ
ú }k
by
o
le&ío' pld|á úrckvá dolo*e mú& bý pďzs na sněié' k€rá má
rebo re Úťiý&s po lideé a$G
]tr
s árcí d qí@ ru údiou Gň př.d dÚD
ďYá v lEdo úrcbvó $*ý kb@u ie sn
|MÉNKY Á sMĚNEčNÉoBcNoDY
nka Vypláci klien|dvi v dÓbě splahoďi p n předloža n l n omin á]n i
nočnou čásftÚ plÚs úÍokovýwnos. Wplývájici 2 úÍokovédoloŽky.
|o Woóilán ná zákládě jednoduchéhÓ úÍoěeni . je podle vzoÍdé124)
Bo
sČp'
100000':
q3 _-""^"
Hfubý r{nos ze sménky p.dléhá 15% ýáŽkové dani, kiéÍá bud€
Člslý Ýýnos z depozhisménky činl2 3]4'22 Kč.
ói.il:
F NANčN| MÁTEMAT]IG PRo
GŽDÉHo
8. Skonto
.q oloďá' 1ha"o
rŤĚ'ooJJťiléÍoodob''o!oá\al.oyn-ob(todÍ
oosk,'ulé
^P'ja pieop._
nětd'súa 't rď1osl/ \l"' islevy t mmmne coné
ll"dj ŽekLoJ|' 7aocLoáÍ.'"'esp beheaJa1ove'ékÍáaPll jý
Vpiioade.5
Talo sleva se oŽnačuje jako
.konto'
VýšÓ skonia ]e obvyklé slanovená V pÍÓmnlech z pmde]nicený n koll
tedynabčnibá'(p'a')
]'ákoíÓmu jenapt ÚéŠkonlnihoúvěÍÚ'Absoutnl
Výšj skonla polÓm doslanemá Vynásobenlm prcenlní sazby pfudejní
$
=:Jr.
(3r)
po'
z loholo dúÝodu výhodnosl člnevýhodnosl Využillskonla můžéfié
bk
uóinilbud
soJdil na základé sÍÓvnánlskonla s úfukem' MúŽeme
na základě poÍovnán l a bsolutn i výšg skonla a úrckÚ, aÝšak vzh edéň
I lor L'lP' Ťly2 jvefu(Ťsp'depozi' louoo"yL osla' ovo!án} Ýpo_
e 1ol1é p'épol'lal is.o1'o -á Šl.'oJ bj'
o poÍovnal přimo s úrckovou Sázbou' Prc pndávajlc]ho ryoházi úváhá
ov:
ŇÓnla'k'elen ]]P.JoLl -lTl lab oŤUl, 2e s ejlé1o p
8.1 srovnání absolutní výše skonta a úrokl
o.áň7'le zpl-c"l' rn žáÉ(e'!
\'hodneis'\ orDnoaoe lo/roJoes.onloVlsýnďLt[zadobJode
.;e' l"i Ťď a b,' apl-tt re '
rcn,.dl n Js'bij ápláÉ1.o1d _",{'''oo ].oo l náobl 3'\ To
(Br)
]e skonlo Vyjádiené V % z pbde]ni oeny;
P'-d\upJl Í.'oJ'' le'l'op'pJde'1olaJa'Ždd -o@Ťj /jtÓdÍqš
.Jhled leooodcu'o' zcpaúnl
na pozdéjšidobu sllm. že ovšem zap
jsou znázoměny ná obl 3 ]'
ailp
nou @nu'
'n.pJ'
obá allema|vy
kde
lt
Pc
l
P
je ábsolutniVýše skonla;
]epÍodejnlcena;
l
vódnech|
je úloková sazbá v o/o p a
jd dobá od Todo
\,orpade -oynaqla'cveÚiŽ?L(3-2'o!'o l'soJooeýJ Ja'lqet
ne v'mďé .sl re by -ú o No nr']' Ť' illv oo oÍ b) bJ a o'o
l Jpu]k hovýhodnqš vadánla s odÓ'Óným pamniň phá @ny
AbsolutÍiŽlsk (popř nráU)z využilíokamžiléhoplacenisé skonlem
oblázek3'1 schemalické znázÓhěni plincipu skonla
Ďt.'pL'.'hohárq
J poldéJ4'
2p JLen
olnó cé' J dP
pied odloŽ€nýmpládenlm
múŽeme pÓ!'m Vyjádft jakÓ:
(33)
lc('oúÍpán
(ýeEodéd' óaloJpé1 (tšp odéo1éle^e'érJňJr.'"olclil._nL
cp aúÍ'/Don á +o' lo p.éoJdvlje
ú o( 7" len'oLvéÍv o''ocoe'26bylol/.1elzápá!loldn u le á 4eÍÁl
by penlŽe, muse bý9'É m'jkil'-'
jé zisk vyp ývájlcl z !1uŽilí okámž]lého
ie doba od
?^
do
r
Ve dnédh;
F NÁNČNI MATEMAT|FA PRo
^A2DÉHo
8.2 srovnání ré|ativnívýše skonta a úroku
jžbýo řóčgnÓ, naskontoňúžemepohÍŽél]akonaú6k' PolÓ]n5d_
ňoŽtTěř jžÓŤéisbnlo\\Éd'l
ndJoaíib'i DodleýŽÓřei2 10l'!yjádil'i'i10ns LÍolovesdzbypň
Ják
jédnoduchém úrcóeni. ml]ž.mé výšiskontá ná
P"=
tde o-
st
fc
t
V,'\od
nálr
z 1oŽ
Íoční bázi Vy]ádiiI ja ko:
Qc&ý.
(3.4)
ie 9lo1o !J'aďe1é z oroéin' €1y
jeabsolulnlvýšeskonla;
jé p@dejní
je dobá Ód
Fná;
7o
do
I
v
\
a.1 P@uftni ÝýhadnÓsli skanla z h]ediské klpujieiho
PÍodává]ciíjÍma dodaa zbožlv oelkové pÍode]nlceně 200 0o0 kč
Ó6"l"';"oLl.áoo.l/i lýdni ' pii"Í'pi apláret ido'6dío\o idí"
mo l ;rc;jva d ÍŤ á aonoJ Šlo'b v' Ý}s' 2 \ 7 prcde ri G' {
oý n( >e'á rLpJiiÚi'i'fa nj!J01' a1
vo'Ó5oéokámzi€Fo7áoa@n
Pl,h/ád
.Óvá
lru
l'álodobinL€rc;
U'ÓPolasd7oálit''2%pa'JPpŤ(JoLi'
dÓ
Ža daný.É podmí"ékvýhod"é VyuŽil skonlá a zap áÍ1 zboži
ÍJ Ioi1iba2;
Abso ulni \'š] skoniá ulčime pod €
Vé dňeoh'
Dslslo1d prc (D"'i' Fo Tueťg po or p.soJd| oiiTopJ U'_
srcaí LTkosL 9zboJ7 dl'"Talivr hoL!Éfu 'resp' oépoz!)
1} 'F
vdia-l ÝáiPrn!.1vzlá|j wo'ý\ál nas'éoJ' c qileo,y'
''
"=
.l!=tf!!t!u=L
VaÍe (BJ
):
ooo
V,1é'oi'jlŽpolencLíňo j/éÍ
dosedm'dnú.
e podlé vzor.e (3_2)
výhod!élíYgn'nb erc l uPuj'oho
PÍobžéie absoLÚin] výše skonla vFí neŽ úmky z allema|vniho úvéÍo'
(o1d J Ť'iía1'o
vcňÓ Ín:nóvani' i" ÓkaTZi ' ?ap|á!eri pn !)L 7l
vánlúveÍémVýhnéiŠinežÓdozené2pa@np]néoenv
Absolulnlzisk (popi' zlÉlu ) z vyuŽiti . kámžité ho plaÉni
edPídoslaTÍélplpbp.nL ýo Éíare 4Ú rc'n'
L zú'é'Lsronbna €lal'rl
q;oiiláfie
pod
á
vzoÍe
bjz
l34) a dosjaneme
slodn'
pfud odlož€ným p acenim můžémepotom s Využlímskont
v pÍoÉnlechp a' slanoviljako:
7
(Pc - sL)i 1pe - p)
t3-s)
je abso]ulni zisk' Vyp]ýváncí z VWžili okámžlého olacenl
i€ skonlo w]ádiené Ž p@dejní Ňny
V %
na rcčnl bázi;
jó dobá od 7o do I ve dnech;
je úrcková saba z allérnálivního úVéru, Ésp depoz]la'
?ý,
s' U0]!!
/, - i].a slll
mró0
400n
LrooÚlo-a!!0) 2l
b'i
"'l
rr,,,"
j'o'ová'''\á
!{onlo! áole|PvoÍo(PlP^l1d'o':''o5z'i""}!g ne7
- , on" 'r"tv,a' ze iP ?y.oonei' o'anz
""t "'ai'n. "-.'
lé ola*1
F NANČN| MATEMAŤ|kA PŘo
xMDÉHo
9. Běžnéúčty
EěŽ1' Itlp!d.la eJÓG' ze za lool'(n oá1oýt .h p'ooj<ll|
l erý .'o l Ýe'ř,!ái.o d pocáLL /za rŤny' n 'zDh'] n e2 kl'énGm
'
Piiktad
91
výpočélúrokůzůslatkovaL ňetodou
Ul-e
áŇ/
bJde'l\
e
jclo30 oi' a T!
01'
hl nPmcnnl Ódzdanén Úrkú abslÍáhueme
?
E|o4 L elťru/o%1|ďo kontokolgntn'
t!šcd
kontokoÍéntn' úvAr
lbo
4e
no'
'.;t
Ío
l.hcň;ki nól.dJit
l5ook. rJ b !\oÉ' l oooh. ' lo' ?rLd
h i."ÓÉ mmo'e rccn' .'' úz ré' é rla'
BéžnýúéelmúžemecháÉkt€rizoval Fko účol,kled Vódé banka pÍo
sveho L P1d á'ánoj {áÚ' lL1\' 'e p'o\óoen pL';onloŠl__ Po_
/;oďíý |oé.{n' /J5éle ' Ó,É
a
tcho(é'odn,lálo
l'e l Že t d TÍ by|
'j Á \(dd
'000''
ojéoooll;djré'
l000F'
bezn"m L_J na'on]
]
dc'ou J0
o.o/á,c/ba l
VýpočeI]eUvedenvlab g 1'
9.1 Metody výpočtu úrokúna běžných účtech
z pÓdŠlaly běžného úÓlu v1plývá, žéVýš€ zúslalku na něh se €slo
Ťěnl'/f, sjies. jh'cdaŤ'oidvr \.p'ospe.1Lťuc'áopJ.'esr_
zJe pÍÓvPdP1r oJ'Pb11h piidzi k L'r?oé
Ú'olové!ooboob' bánla léz na oéznv L cel pi p'5eLbký'
'a!'_D(.tr'\J.oncl
.Jsle| |'e€
PÍo výpoóél ÚÍokú na běžných úótech se Vy! nu ý IřiÍúznéfoÍmá]ni
Iábulka
9l
Výpočel pÍo přik]ad
9_1
Pro VýpÓóel úÍokovýchčisel jŠme ryuž Li Ýláh (2 3):
Vše(l1t v'šP jvéo"lP Telod, po
po.elpomod UÍololyÚhcae podle Erahu 12J)
u"='n,
kde U.
-lr
/
9.2 zůstálkový Žpúsob
Př_oTlo7oj"obj'6dP1ioezíg1oÚdLséLTr!
poc áj PdlzádooJ
ootlPŤL9erlaý'č'( Ť)rénil JÍo.o\P(.o.óL'!'ztl1é/isla*L
L!lo/ár sL
Ť k01 i(rcko!á1ooodob' q 4 jáoá i épns n' ir
Uo'oVýňoá'lélen _'F, ,uňé Lrc' 4eÍyýpipBo Dt;n oDooo
le
jeúrckovédiso;
je výŠ6kap|álJ (zúslalkJ na účlu)l
jg úrckové obdob] Ve dnéch.
Výše úrckú]epotoň pod e vzláhu (2 5)dáná:
,, =
!q
=
l!ll!
=
r? ]l.
360 Ťén.
\ zindá
oolelv
FlNANČNJ MATEMAT XA PRo KÁŽDÉNÓ
9.3 Postupný způsob
Pň postupném Žpůsobu v€drni
béžnéhoúéluáé pii výpoélu úÍok]Vy"
p.&. LTloýe ('s'oz kaidé 7ae-l' a loodoc'd !ňá_' oo t01€ rckL'
U'o!oýé ě'rlo pii^ise1 slavJ oPznel o úd| | lV. aoové' ná k|áoné
znánénko a úrckové čís|ovypoÓléné pň sniž€nlsIavu běžného úělu
(Výbě bVé) má zápomé zn a ňén ko souóálúrokových ělsélz celé
úrc_
kovéobdobl sé děli úrckovým děilelem'
PrllÚslÍac
uvedénémelody Využiéme slejný \4,Voj na béžnémúčlU'
Piikhd 9-2 výpačet úbkŮ pďlupnou
VýpočjéPro1e(nyz''.LE. tM
Zvýšen] stavu běžného ůóluňá]lžpoméznaménkoaúÍokováólslapň
6n lŽen i slaw běžn ého účlumaji k ádné zna mén ko N a kÓnéc .Ó Vypoěte
.]'o}o'é' slÓ7lo1.aí.\ozislotL_'
Jooednéépo(hydo(on(eú'o
kového Óbdobl (Eanozřejmě s kladnýň baménkem)' součeI úrckových
clse se na konc úÍokÓvéhÓ obdobl děli ú rokovým dě ilé ém.
Přlklad k ilÚstÍácitoho poslu pU vycházi opět z běŽného úÓlu zpřikadÚ
Přik].d c-3 ýýpaěet úraku zpát
zpŮsaben
'1h
Vypoólěle konečný zůslálék ná běŽném úéluz přikadÚ g-1 zpěhÓu
ndlÓdÓÚ
fuSe!!
Výpoéel opěl uspoiádáme
dÓ labulky
(tab 9'3).
89l€2I
výpoč€tje palÍný z labulky (áb 9'2)
Ťabulkas'3 Výpočet k piikladu 9 3
Tabulk. 9'2 výpoěet
plíkladu 9-2
k
z předdhÓŽlch pllk]adú je Vidět' že Všédhny1ř melody vedeniběždého
úólU vedÓU k€ sleinému výsledku'
9.4 zpětný zpúsob
Vedemeli běŽný účelzpěLým způsoben je
l l
tňebá
n
gjprue zvo
t
výchozl
beznetoŤlL) J'oro'a ak á * lypoc:
la'izlaždé7ňé'{clooodálá"po'h}oooabŽfó' ý U!ao\á.kápň
'
F!NANčNl MÁŤFMÁT xÁ FRo kÁ'DÉNÓ
í0. Hypotečníúvěry
10.1 stanoveni výše hypotečniho úvěru
základni cháÍákláÍislický Íys hypolečních úvělú jejei ch zaj šlěnl zaslav_
nim pftivem k nemovilosli' Néjčástějijsou V'yuživány u podnikale skýth
i
h ypoleěn l ÚVér ÉÍnandován em]s i hyp.bčn ic h záslav'
'
nich lislú nrbojé_ na ně] Upalňována něklelá forňa 3lá1n]podpÓry'
mUsí sp]ňoval podmlnky slánovéná zákÓnem t!Ty UÍéuji'Že Demov losl
ďoÚžici jákoŽjišlěnísemusinaóázelnaúzámísiálu'klery jesouóásli
E Vrcpského hospÓd áiské ho prosloru
a Výše ú Věru m úŽe r n l matimál_
ně 70 % 2e zásláVnihÓdnoly
'
zasbvené nemovtosli'
cena zdÍo]úje $mánlm fakloÍém pfuslanoveniúlokovésazby z hy_
pÓléčnich úVěnj]]ejivýše jeovlivněná i dálš]mi fáklory']ako]e např doba
splalnosli úvéru,dÍJh a kval ta zastavované nemovitost], úóól použili a]'
UŤroýc .azba z f/pÓl8i i
'Jo\"l" "'ope''a
sáŽbá po celou dobu sp alnost'L'é'jnť_o]
nebojako pohyb vá sazbá v závislosi]
na výlojilrŽnlch ÚÍÓkových sa€b Časlose pouŽ]Vá ikombinae obou
zpúsobú.10znamená pévná sazba pfu Ďékolik poóáiečních lel a sazba
pollyblivá pfu zby oU dobu do sp]alnosl úVěfu
n i j6 spo]énÓ is ÍůaýmifoÍmamsláhilinančnÍ
podporv kleÍá zlepšuje podminky posk'lÓVáni úVěÍůa zvyšuje je]ich
HypoleÓn i úváová
d0stÚpnÓst
pro šiÍšiokÍuh klienlú
P.o poskytnÚlihypoleóniho
úVěfu musí Ž.dalelsp
minek' kleÍé múžeme Íozdálil dÓ 1ř
.
.
r
depodnikatelských subjektú k financováni pořizeni či úpÍavnemov tL]ho
V připadé že je
.
Max]má niVýše hypolečniho úvěÍu je limilována následujicim faklÓÍy:
n1céou ládu
pod_
bon la klienb zaruóu]ioipnjvni ekonom ckou zpúsoblost k pň]éll
a spla@ní hypoleónihÓ úvěru]
kvalila inveý čn ih
o záměru. klelý bude z p oskyln utého ll ypÓléčd iho
úVěru fnancován, ajého sou ad sezákonnýmipodminkami|
dénanemovtosli ďouŽic jakozáíavá,ajé]ivhodnostvyJžilikza
Výše d sponibih]ch zdÍojúk enla vyÚžlá ných ke spláce ni úvéfu- hy'
j5e'
po-'- LÝá N'bj p' TdmÁŠoá(érzo'rúlliP'lá lb
bý. Dlo/e \/5i dov 03'ál/ pÍedp
po @lou dobJ jeho splátnosl I
in
r
. lP'd/Ó bÝJ' ésp
.
býlzajišlěn záslavnim pÍávem k nemoviiosliá ]€ho Výše nemúžé
pievýš l cenu zásláVy obwk e ]e dÓkonce poŽadováno, áby cena
7dsdlJ pŤýylo'é'd Úi ]'ě'l'J 1á9i5oJ1\poE 1t!ěapo'|"
lÓvány ma} málné do70 % (eny za
Vpřipáděúče]ovéhohypoieónihÓúVěru-cenafinanrvanéhopřed
l.l
- hypo e!l' L'é' P né''a'ej pos\@'d_'alo 'éelovi i\á'
'
k financováni poiizeni nemď losli. a ludižjeho výše nesmi Énu lé1Ó
Ťento ]mit pláť jak p.o hypolečni úVáÍ' poskýnuté ]ednÓÍázové lak
pÍoúvĚryspostupným óe.pánim K poslupnému čarpáni hypoleňnihÓ
úÝéfud ocházi zpÍavjdla V lěch připadech, kdy ]o vy uŽiVá n k flnad rván i
V'on lo p' pade ŤL ] býl /ao'zoeie' o
splněni l]milu př poskýnuli každéd]lči čásli úvĚlu' souÓasně Vša(
E' o. lor / lá. o d'ol
př kle.é]sou ještě podminkyspněny Předpokládáme_i, Ževždyhudé
óelpán hypolečn' úvěrdo slanoveného ljmilu 70 % @ny zaslavovánó
Ír
pď{'
7e
vyLho7i(eía rc7elb!éne n.Ío.'
1o91i plus sÚma všech po9tupně čeÍpánýchčásli Úvěfu musi Výsledně
dálÓélkovou kooečnou cenÚ nemovilosl ' což ňúŽeme fomalizovanĚ
(10í)
/,^+l]u+HU.+'+HIJ"=P'
je
ň n]málně polřebná výchozi
d
pre
lý m kďé
jB !p
abwám
dá
FINANč N l MA]EMATIKA PRo
'U.' 'U.
'P
MŽDÉHo
Fo u jed noIlŇé d iló i část] pos klÓvaného úvěru;
je počéidi čich ó&ll poskýovaoého úVěÍui
]e ce ková kodečná @na némoviloŠt
VýšÓ úvěru múže óinil máximá ně o'7 c.ny zslavené nemovlioíi'
znamená že pÍo pryniěásl úVěru musipaÍt:
(10-2)
DÍuhá část úvěÍu polom múŽéŽvýšil ce kový sláv ůVěÍUzaý pouá
ná úroveň o.7 z áklÚálni ceny záslávéné nemovilosli' kléÉse budo
rcvnal poóáleční ceně néňovilosti. zvýšóné Ó pÍo nveslovano0 pfrnl
'á{úýě1'VŽ*d-T_ on J Žglrpo+í'J / Lvé'
o7'múzé
alP_
HU,=HU,.aJ=X
a,.11.
Oo.)
obecně polofi pÍo kaŽdou dá éi čás| úvěÍu,íq muŠi plalil:
HU,-HU,
.0.7=1.0,1.
vy]ádřime_li ÍÓVnidi
P,+
{104)
í o'] ) s vyÚŽilim
1.o'1+n a'Ť +.' +x'o.1"
váa hu
=}'
Výaz (1o5)je qeoméldckou iadoue s ,
(.]
/l>/
J
lFli.h F po$Jlal' Ú'[ dděle_o'
a plali pÍo minimá oi výši vychozi @ny
( o.?).
Ptlktad
1ol
(10ó)
Uň6nl ňininálni výšévýchozi GIly Íúďtavě"é heňo'
PlánDváná koneiná oena nemoviloslije 2
neňÓVitogt
či ní 70
oi, poskyln ulí hypÓl€Ón]ho
ml
KÓ. zadlužii€ ná Óásl
fu ]é Íoz oženo dn tři
ú Vě
ik muŠičnitmin]málnivýchozl@na neňÓVibsl ?
čásll Ko
&sed
M
in]málni
^="
výchdl
cen u
nemovilct] oÉime dre vŽbhu
!!l=:ommu
lll=rvvs
í0 7):
(1o_5)
10.2 splácení hypotečníchúvěíŮ
+
Cr::l=p
Výše pos kýnu|ého úvěÍuspolu s ú rokovo
u sázbo J a dobo u splalo
oii
álek úvěÍU' Hypoleč.í úvéry se obwkle spláŇí
d;teÍňinuie i Výšl sp
prcvidenýňikorelanhím anÚilami.výšiÍočnlanuilymúžemád]eVzla
(10.61
HU t."t|+t,")'
Prc pBn den geoméh.re redyP" .o'ré
ďoz' ena rczes avené némoqbsii polom
'"_ o.-!
do
llmilně pÍo poéet čáSli úVěru ,
Výchozí @na zaslavované nenÓviloíi mu9i být m nimálně 739 573 Ké'
04 ) dÓslaneme:
Levou sIEnu rcVniDe múŽeme upÉvil pod e
'-
Jozrcime' 7e a'nfáln' rozra ?ý'
'"'= fr !
'
(10-s)
{10-7)
jé rcč.j úrcková sazba z úvěfu vy]ádřená]3kÓ
deselinné
FlNANčNl MATEMAŤIKA PRo KAŽDÉBÓ
ÚpÉVou Vzorcé
í0 9) múžemev1'jádlil
i VŽoÉc pro Výpočet obrykI.
{10r0)
t+l
Každá anuilá s6 skládá z úrcku a ůňolu ]ájichž Velikosl se poslÚpně
měni: úÍokyse sniŽujia naopak úmoÍbsle' Pokud budemé chilI uÉil
jdk Ýolká éá.t dané anuity pllpádá na ú.olq ajak Vélká na úmo.
7,
'
4
měSíódiúÍokovéobdobí od
t
jé měsičnl úfuková sazba z úVěfu Vyjádlená jáko deselinnó
''12
(
r,-)
I
L16 2, v
4do
"lJ
ěpa@ne ''e'nr
připadí ná'
1]'' budé polom
t#)'l
:l't+l')
(r0rr)
|
jé doba splalnostiv mósicirh
ze Eorce je pahá' žéVýše anu(y .osle s Ío.touci úlÓkovou sazbou'
á náopak kesá s podiuŽujldisé dobou splalnosli' ViV doby splálnosli
ná Vý. anuiiyse ovšem poslupně gn žujé(meznisniženianuilyv dú_
s edku přinislkodobysplalnosliklesá) oVýznámnájšimpokésUanUlty
2r hovoňlpňbl]Ž.ě do 20-25 át splálnosli. dalšidsldoby splálnÓsll
se ve \4,š á noiIy pÍÓjeví již nevýznám ně, na dfuhé slÍaně ovŠem
elkovéaplacenéÚbký (vizob| 10'1)'
nosplacená Óásthypolečdiho úvě.u v čase
měsičniúÍÓkÓVá saŽba z úVěÍu;
.
doba V měsicícll Ód poskylnuli úvérudoIe.mjnu I.
doba v měslcl.h od leminu .. do splahosli úvě.u
rcíou
10.3 státní finančnípodpora
hypotečníhoúvěrování
Jak jsmo j ž uved i' slái pÓdpoÍuje Íúzným íomami hypoteóni úvěÍo-
\an'aďinooi'iPla.oootr'1lyieiicFF.lýo.á1
p.o lncké ÓŠoby od.č's I ze základ! d.ně z přiiňn Óásl
Evnajici sé úÍokúmzap aoeným zá Ždaňovácí období z hypoláč_
niho úvěÍukl€ď byl poskyrnuiý a ] pouŽlý na linanmváíi bylových
oÓlřéb. Čáslká o kleÍou lze mál]má ně s n iž( základ dané m úŽe é nil
'
zazdaňovaciobdobimá!má]ně3oots Kč(pňUpálněninezdanileL
né čáslky dvěma ó Vlcéč€nydonácnÓŠ| pak hodnolu přis ušíého
podilu lé|d máxiňá]niÓáslky pňpadájiclho na káŽdého z n Óh)]
noŽ'osr
ku
EUéih'
obrázéi 10.1 záv
!k
s]osl Výšéanuilv a oe kových úrckú
spatnosli úVěÍU(úvěrve Výši ] m l' úfukďá sazba 5
Ža&tlcd''Ío'n/
F]NANÓNl MATEMÁT|G PRÓ kA2DÉHo
.
osvÓbeai úrcki . hwokěnÍéh zásÍavních ]istú Ód dzně z při'
jf,n' coŽ se pozilivně múžeprci€v]l Ve Výš úÍokovésáŽby z hy_
pÓléčníohúvěd' protoŽé sé lim snižuil náklady na refinancovánl
stálnj podpoÍaÝéíoměpiíspěvk! kúfuk'jm se íanovljako rzdil
ňezivýšiměsičnlánÚ lnispláIkypň běŽnó úrckÓvé sazbě banky á v!€l
mósiěniánUlnisplálky' klelá jé s13novena přiúrckové sazbě' sniŽené
o výši slánl nnančni podpoly'
zpúsÓb poskýováni a Výšg lálo podpoÍy doznáValy V uplynu ých lelech
určlých změn á pÍolo v souóásná dÓbě exislujihypoleěnl úVěÍy, se
klerým ]e spo]ená
fÓma sláhlpodpoY Ná počálku Íoku 2005
'úzná
poskylova slál za slanovéných
pÓdminekpodporužadatélúm m adšim
36 ]el (kleřl nebyliVláslnikem nebo spolÚVláínikem býového domÚ'
fud]nnéhodomunebobýu)nakoupistáÍšlhobylÚ(dočáslky3o0ts'kó)
nébÓ mdionéhodomu 3Jédnih býem (do óáslky 1,5 mil Kč)..
Přikhd 10-2 výpočel sphtek h'?ÓlBčniha úvěfu se slátnl pÓdparou
Žadalelmladšl36lél chce ziskal hypotočni úVď na koupi.odinnóho
doňÚ s jednou by1ovou jódnÓlkou jehož cená je 2 500 000 Kč. Jakou
Í l oá'
!á5'}t
po.{ te'Ják /y
p'á poóirj [' že úvěÍsp
k3
kové sazbě 5 %
all
z
V piipadě, ž€ bude splňovát podminkypÍo pÓskytnulislálnipodpory
bude ňÚ sláhi podpoÉ posk!4nula pouze Ž óásl úvěÍu. nebÓť pÍo o'
djnnýdúm s]ednou býovou jednou(ou ]á l]mil1.5 mil' Kó'
slálni podpoÍá je dána]ako ÍoŽdll ánuly při úrokové sazbě dohodnuló
snlŽenizáVsi napÍúměr
sbankou a anuilypňúÍokovésazběsnižené
né Výši úrokovýdh sazeb z hypoléčnidh úvěÍú'klemÚ Vyh ašuje vždy
k 1 únoru přlslušného kalendářnlho roku M]VIR]
MÚslme ledy vypÓóilal měsiéni anÚiiu plo spáceni úvéÍuýe Výši
] 5ooooo Kčpř úrckovésazbě5% p.a'' tlále ňěsičnl anuilu pň úÍo'
kové Sazbé 4 % Gazbasnížaná o sláinipÓdporu ve výši 1 pÍocenlniho
bodu á 10 pro úvěÍs6 s p|aln osii 1 0 lél' Rozd il táklo vypočlláných anu il
'
dává výši slátnl podpory kliénla
)
Néjpfoe vypoÓiiimé ánu lu z úvěÍJVé Výši 1 500 000 Kó
př úrckové
palnáci lelz Jak Vysoké
budou adÚilyV připadě poskyhull Šlálni podpory?
Bá'tJDo,h/1el/oolár1 L'é'Ýrc'i a1'!)qi/0%' _1.jpovane
íó1o"loďi ( '_ed\ aiž€dc|J .pl''.l
tu"t-'
'"
;;:;; iir1=r5oro
%=
&sc4r''-
unuru
urpo"*." 0.""*unu (r",0),
,;l'.+l'
t+i'
**ft'Tl'
t.!!]."'
l'."1
oále je nuhé spoóllal anuilu z čáslky úvěÍu 1'5 mi . Kě pii úrcková sázbě
o 1 pfucéntnl bod 9nižéná' lj 4 % p a
,
"
írmn !!!í -!]]: l
l'-9.q1' -,
s J1' podpo2
e
d"-d
'Ó7o
lea oo
F NANčŇl
MAíEMAŤlkÁ PRÓ kAŽoÉHo
tonlÓ pÍipádě měsičnéspácelaáslku' klerá je dána rcz
prosplácenice
dllem anu ly
kověposkylnUléhoúVěru a s'áh podpory
K enlbUde
Ý
|
'
'oooÓ'
!'J;T 'o'11
zákádu:r
]oU dlc ýýše daňÓýého
Piiklad 1a'3 výpaóe! daňavó Úspaly
pň.
Mozlo"todpoětu ú'o[.]z lypolóě1lho úvěřL Ód
';!lddUddlň2
jmúlryazavedenanovelouzákonaó 5a6/1992sb'odanichzpřijmú'
spěvek' zap]ácené pop.ln
kem
fyzckoJ osobou Ve zdaňDvaciň
b}tovýDh polieb.,. PÓpla(nik musl dáný úVéŤiá'lně spláce( a předměl
bylové poliébý Vlashi a ý době p
ŤouhodnÚlitéž UžVá ke sVémU
žela. polomků' Íodióú nebÓ pÍaíod]óů Úhlnná čáslka úrokúo klerou
t
lze snižlzák ad daně nesm]piékročtu poplahikú V léžedomácnosli
(o ( bUde čn t roónidaňoÝá úspoÍaÝ dús edku odpoÓlu zapacenýclr
I o" 7h'ooe:n'noi'- 'pn1' o ",p" "n (piedpoLédd eoo
']aňovýáklad
." -*.i.r -ote. . '
Mu]lílr plácených v daném rce' Prc pnn aruilu (pLa€nou
Bniho
oálnika a na sazba.h daié z piim'r DaňoVý přinos se u danélro úVěÍu
měniivprr]běhu splahoslihypoi€ón lro úVé.uý záVislosl na lom ]ak
se měniSlrukluÍá anu ly: kesá podi přpada]icina úÍokyaÍoslepodi
úmoru Ťenlo př nos lzevy]ádiit]ako
-
na
"llri
vé Vše.h da šic|r anu
z
o'rl
'r!í rlil|t] lf.d
"t
(10-12)
lich zap acenýclr
sázbý daiě z přijmú ploÍok2005 slanovené zákonem Fou Úýedeny
jlr
hmi
ňěŠ]ce) bÚdé výše úÍokúčinil:
li
Přinos odpoé1J zapa.ený.h úroků z daňového zák ádÚ závsije.]nak
na veLkoí zaplaceíých úrkť]. rednak]na ÝýšidaňoVého zákLadJ po
díňoryďIu
č n 400 000 Kó?
lI]
f ' I'í
-ro rm
-
!!r'.
v
da
FlNANaN MATEMAr hA PRo |'ÁŽDÉHo
JaLo 0dpo:etod
7álto dd.é 7 pii'Ti poloÍ Trj- ooplal1l Lpd r l
'
,t,l
spotřebitelské úVěry
eE/c' /ooŠod''oooP JÍá"ebý
Daň před odpoúem úrokúby byla:
66 420 +
0,r2 (400000-nr 200)=33416Kr
DaňoVý zákád po odpoólÚ úrokúbudeóinil:
*Ťre'a-.$€ls.e(F/ P'op"' n'áv/ 'j'l'L tsr a,á'adn'
(.e-. l.í deí.L
e',_J*á p'opoleo\ oJ1.\ozalo' "jato
""pďleD
3320+0,r5 A2r 00, ,13,100)=61r1K.
Dii\Ý aebo roupé ra'a'e
oq oévýT-7.Í'spotebie|<|g10-'e|j^l\á7|-ýso' dd'
'é' aráo1 oié'
5
'D'd!o '. EU'
tiebáo.nkn'
l e ra.Jo'*'/' lilsb' erc\' "10poqde' ''\P'léÍél
Porovnánim obou daňových ěáslok doslaneme dé]kovou dáňovou
ú Věru
fre
a daň po odpočlu úrcků polom budé:
Poplahikov Enjk]avpBnlfi EcevdŮsedku odpoěluúÍÓkú odzáklad0
dané z přijmŮ ftlková daňová úspolá vó Úš 24 065 ké
ld
,JcI^eu'
sÓ
Lienl m'ižéýá vzláhu k ban* ói jinému poskylovale spolřéblelského
oc(noul K enl loiiž n em usí bý Schopen spÍávně posoud it VeškéÍé
ooon1'\st oL^'llo10@o']Joo'seza'on/'áh' e'"\'e'hÍ/ lsl
ll(eoos|./U|it sooÚeb P"\eJJá4a7chTJeAe.T. oÍ|poslfl J'i
proslředkú s
.
.
n
ásled Jjicimi
wj]mk mi na ktei:
ý
úp
Évá neváahu]á
úVěrna koupi, výslavbu' opÍáVu nebo ÚdÉbu nemov]lÓsli'
ná]eňni smlouvu' kleÍá po up|ynuti uÍčlédoby nezáÍučuje přéVÓd
v ártni.kého nebÓ obsahové obdÓbného piává'
půj&u poskýnuiou bez úmku nebo jakékoliúp aly
.
l'elnd p':béŽ_e poslr'o,á1' Jab 2 {"Íe spo
' roo'Ťolelskj
rcoielrú'e ol.'il ý p' ']o.f J jejicl
. "n|o'lJ !e.'"'€lé pN \ ovjl<poueo 'élsty L\e'nJ ijilty í Ží
neŽ 5ooo Kěnebo vyššinéŽ300 o00 Kó]I?
sooliéb es{i ]'é'' Éhou spl"lmrl _ep'esJ Jé 3 ae5' " nAoole
Špa ny rejvy.e É4spra]leh É lrúténeplesahui c l2ňěn(ú
zbi
5
.' 32'mÚ sb.'
o
!éNh.ýúFdmilkď
e@idd;o;""rco
přdpGú dÚ"ký;
'
iá!áilsÉlbb btsiého ÚcN
.dú 1ýk4b ď * .É
Ná 5Ffub bklý úEÍajs]nýmú&bn'
FINANČN| MÁTEMAT|KA PRo
MŽDÉHo
qooieb'Flst_
rolojby|po'Lýto\;r' D' o pn
toJlpop,
jinol Í é1č1oo|e'ely r o1. l Ft o p n P lpoilebilers réfubd'
lyěry -oo Jako
nepňné sponehilelske uvéry aa 'Uémn v 1 .pol": rcýipToJ
'
dj'c'
zbož t' s Uzby na spokeb lé +ý Uv
í1'íÚročeníspotřebitelských
Gdl. É!/-oté'.o,
VztéoeTt b
^p'iváŽ
/lJ he€
'
Je
l
Éinle1d sladŤ1] lléleó oodoÉpi':iÝ1 ldolet
'
h?' a' wijdió./ v leé' 1 ' ode
]emlnú následny.h pů]el é 2.Žd
'
/.E.nl]ll'eoa'né,ábhledi
^ kmábmioL' '.t ' cn ný 'é
úvěrú
lenb
wáa
popldiú t ' ! a'.
"hÉd
ÍÓčnl prccenhi sázba nákladú na spolřébÍe skýúvó'lo
in.ú ý ále! n.b.
]e
"s
oT ojrL / i 'dr
j'
o
Mn"J
t
,namená že beÉ V Úvahu časovou hodnÓlu peně4. PÍolo ji lze pNa_
žoválza ořesné W]ád ř€ni náklad ů ' kl.ré p aiipřijémce úvěru
p'iňěTesd7bJí.Jaol'P-lÍoTP\Pla' eotodLcl/'5
rPvi,eLrtde5azb} "Fl eoa'. ! l oopalkůá/p].
lob |éj'tÓ \ ď ovÓ1
'éllled š' á oo
deleminujicim Výhod noŠlúvěru. a dále whlódém k lom u žés tan oven l
saŽby by moh Ó bí ve fomě, k|e.á by nédovo|ovála je]i re alivně snadné
p6o0řni z€ strányklienta'FÓUvzákoněo spoliebilélském úVěÍU plu
ó''mojňo,neolo-oáleid'v'
^oo!a'Íocl
s1loLv"
{éÍ. i€na /á
'e
""'
teo' e. 'ghojetjráoo'e1ozp
nvšá.hzměnáci rcóni DÍoÉnlnisazbynakadú inloÍmován
i
úročenl spÓtřebilelskýÓh
zborl
úvěúzáVazně slánovena někrgrá oEVid á
o'Fďo!i1 Fll"1ot 1.bo fubÉLoJ
Ťbos'ibý'pďtdÓb L e
o.ďďJ _doňn' ;'''Do'elnl
sazby naI adú na spo]iPbi'e s|Ý U\
RÓčni prccúlnl sazba MhlzdúlPPs\jtrpo!.eo'elsl} L!á' eř U.
ceÍl1 ood lzdllr1Á 'as y tlérule qpo
"1zjp ď' ;i e[
'eoi'elpov'
cď,€ Ýdle zalázné
s
]/nfP i
š _L_ š ]!'
"no.éncnn
(r1-1)
sňlÓlva o soolřebile skéň úvěru musidá
m ne/' a l';^ó nj?" bll rccn
VÓÍ o-oe
.
^
)i|' ]
e obgahÓýa l slanoven i pod
lo. sň'ol/.'velleF."
'ebo 7 1á. l w5" o "?'
én! ;oc pfucenh sazby
'ak/,do
éÉm.ory'r. _n eÍe/ooběv'Do.lJneo||J
4/!Llel'; jé Ího
rc" a'nre
byl spolřeb
p a doto.Épl"Lo.'r
-"
úvě.
s]ednán
lelský
a o]
Pí' lcáL Lkaol' 1'lÝěí e
'tsl't, i!e'' U'eí t/ a iln
r.".s';",.."..
'J.i
'i"-"*.poleb
ni'Pl ''.'a podn í 'Ý ?d t'e'}'5
pofudové ělso půjčky(úvěÍU)téže
osobě]
! &dna$oq]aren ďJ h'lElsó9
'
s ďedpď eá e {6e ú0 íj 3d14
RďdEÚnémánáeúisdi*ňBq]eltsplsnodin.nqmeékdŇ&ý'
F NANČNI MATEMAŤ|KA PRo
hAŽoÉHo
zákon o spoťábilelském úvěÍuobsahuje i sá'/lc' při n edod rženi pod_
mín ek pÍo slanoveni úÍočéní
dalš ich ná lež losl s mlou Vy vymézenýGh
!ákoneň' Pokud sm ouva o spolieb télskáň úVéÍunesplňuje poŽadáVky
/;Lona'po\áo..e5po'bb
Pl ''ý
L
na spolřebilé ský úVěÍ se s úÓinnosl]Ód6dne,
te ěnosl u pláln i Ú věňtele' sláVají neplalnýň
'
Přikkd 114 Ročnl pÍůňl'lná wba
kdy spolřeb lelluto sku-
nák!a.!ú
Porovnéjte z hled ska klienla dvó VaÍ áíly spolřeb le ských úvěd a Íoz_
hodněte' kléíápm nějbude výhodnějšl V obou piiFd€ch se]edná
o
00 000 K''sd
o!é ' e'od y 'e \pa.D<l '
'o'd'
'o.
nĚ'\e,'š
zasjednáníúvěru si banká úólU]é poplalek 500kč(splalný plislédnáni
smlouvy)' úvěrje spalný běhemjodnÓho rcku Ve člyiech pÉVide ných
avn ehlch sp]álkách ve výš] 27 o00 Kó.
za sjednániúvě.u banka neúóluje žádný pop alek úVěr jo sp áiný bě
hefr jednoho roku Ve dýánádlipÍaÝide ných měsiénich Špálkách Vé
EešelJ
VýhodnosI určime na zákládě poÍovnáni rcÓni pdmérné sazby nákladů
u obou váÍianl klercu vypočlláme dl€ vzlalrJ 11 1
Prc
]
PÓdÓbné prc 2' VáÍánlu budeme vycházet z Íovnice
ValiantÚ bude RPSN moŽné ujóit 2 násléd Jjic i rovnice
Tato.ovn]@ plalí pR úÍokovésazbĚ
l'Jeoe'ého ryo
i
ze pfr "|
ltlcoi^a'\ýhoo"qr
'
=
0,1545, a ledy hledaná Výše
Vd'tlL'P' - ádÍ.á.'še od aě't
1é] .á'á á dÍLtJ' VšiTněle 9i ŽP
1omu]elak přeslo' že cerr?óvý sučat splálek je v obou piipadech sle]ný
a u pryniVádantvie náVlc úělován pop atek zas]ednánism oUVy
lo.
,cloy