Elektromagnetické pole

Elektromagnetické pole
Maxwellovy rovnice
diferenciální tvar
r
r r ∂D
rot H = j +
∂t
r
s
∂B
rot E = −
∂t
r
div D = ρ
integrální tvar
r
r r
⎛ r ∂D ⎞ r
∫C H dl = ∫∫S ⎜⎜⎝ j + ∂t ⎟⎟⎠ dS
r r
r r
d
∫C E dl = − dt ∫∫S B dS
r r
D
∫∫ dS = ∫∫∫ ρ dV
S
r
div B = 0
V
r r
B
∫∫ dS = 0
S
Materiálové rovnice
r r r
D = D ( E ),
r
r
D = ε.E
r r r
B = B ( H ),
r
r
B = µ.H
r r r
j = j (E)
r
r
j = γ.E
Elektromagnetické pole
Lorentzova síla
(
r
r r r
F =Q E+v×B
)
síla působící na náboj, pohybující se v elektromagnetickém poli
Hraniční podmínky
podmínky, které splňují vektory elektromagnetického pole na
rozhraní mezi dvěma různými prostředími, kde se mění materiálové
vlastnosti nespojitě
H1t − H 2t = J S
E1t − E2t = 0
B1n − B2 n = 0
D1n − D2 n = ρ S
r
r
r r
n × ( H1 − H 2 ) = J S
r
r r r
n × ( E1 − E2 ) = 0
r r r
n ⋅ ( B1 − B2 ) = 0
r r r
n ⋅ ( D1 − D2 ) = ρ S
Elektromagnetické pole
Energie elektromagnetického pole
r
r
r r r r ∂D
E rot H = j E + E
∂t
r
r
s
r ∂B
H rot E = − H
∂t
r
r
r r
r
r r
r
r ∂B r ∂D r r
div E × H = H rot E − E rot H = − H
−E
− jE
∂t
∂t
(
)
r
r
r r
rr
⎛ r ∂B r ∂D ⎞
⎜
⎟
div
E
H
d
V
H
d
×
=
−
E
+
V
−
∫V
∫V ⎜⎝ ∂t
∫V j E dV
∂t ⎟⎠
(
)
r
r
r r r
rr
⎛ r ∂B r ∂D ⎞
⎟ dV − ∫ j E dV
E × H dS = − ∫ ⎜⎜ H
+E
⎟
t
∂
t
∂
⎠
V⎝
V
∫(
)
∫(
)
S
S
(
)
r r r
rr
∂ 1 rr rr
E × H dS = − ∫ HB + ED dV − ∫ j E dV
∂t V 2
V
r
r ∂D 1 ∂
=
E
∂t 2 ∂t
r
r ∂B 1 ∂
=
H
∂t 2 ∂t
(ED ),
rr
(HB )
rr
Elektromagnetické pole
Poyntingův vektor
hustota
elmag.energie
r r r
N = E×H
(
1 rr rr
w = HB + ED
2
r r
rr
∂
N
d
S
w
d
V
−
=
−
∫S
∫V j E dV
∂t V∫
zákon zachování
energie
)
r r
rr
∂W
= − ∫ j E dV − ∫ N dS
∂t
V
S
r r
r r*
rr
∂
∫V j E dV = ∂t V∫ w dV + V∫ j E dV + ∫S N dS
výkon dodaný do objemu V vtištěnými silami se spotřebuje
jednak na změnu energie elektromagnetického pole, jednak na
Jouleovo teplo a také že část výkonu vyteče (vyzáří se) plochou
S z objemu V do okolního prostoru
Elektromagnetické pole
Elektromagnetické vlny
homogenní a izotropní prostředí bez nábojů a proudů
Maxwellovy rovnice
r
r
∂E
rot H = ε
∂t
r
s
∂H
rot E = −µ
∂t
r
2
r
r
r
∂ H
rot rot H = grad div H − ∇ 2 H = −εµ 2
∂t
ρ=0
r r
j =0
r
div E = 0
r
div H = 0
vlnová rovnice
r
2
r
1
∂
E
∇2 E = 2 2
v ∂t
rychlost šíření elmag.vln
εµ =
1
v2
v=
1
1
=
εµ
ε o ε r µ oµ r
r
2
r
1 ∂ H
∇2 H = 2
v ∂t 2
Elektromagnetické pole
rychlost šíření elmag.vln ve vakuu
c=
Elektromagnetické spektrum
1
= 2,99792456 ⋅108 m/s ≈ 3 ⋅108 m/s
ε oµ o
Elektromagnetické pole
Harmonické elektromagnetické vlny
r r
r r
E (r , t ) = Eo (r )e − iωt
r r
2
r
r
1
∂
E
(r , t )
∇ 2 E (r , t ) = 2
v
∂t 2
r r
r r
2
∇ Eo (r ) + k Eo (r ) = 0
2
vlnové číslo
k=
ω 2π
=
v λ
Helmholzova
rovnice
Elektromagnetické pole
Rovinná harmonická vlna
rr
r r
r
r
rr
E (r , t ) = Eo exp[ik (n r − vt ) ] = Eo exp[i (k r − ωt ) ]
r r
r
rr
Eo (r ) = Eo exp(ikn r )
rr
ϕ =k (n r − vt )
r
r ωr
1
v=
, k = kn = n
v
εµ
Maxwellovy rovnice
r r
rot → ik × E
∂
→ −iω
∂t
r r
r
ωD = −(k × H )
r r
r
ωB = (k × E )
r
µ r r
E = − (n × H )
ε
r
H=
ε r r
(n × E )
µ
Elektromagnetické pole
rr
n E = 0,
rr
n H = 0.
r r
E⊥H
rr
r r
r
r
rr
E (r , t ) = Eo cos[ k (n r − vt + δ) ] = Eo cos(k r − ωt + α)
rr
r r
r
r
rr
H (r , t ) = H o cos[ k (n r − vt + δ) ] = H o cos(k r − ωt + α)
Elektromagnetické pole
Intenzita vlnění
Poyntingův vektor
Intenzita vlny
r r r
N = E×H =
rr
ε r2 r
ε r 2r
E n=
Eo n cos 2 (k n r − ωt + α)
µ
µ
T
r
1
ε r 2 2 rr
I = 〈N〉 = ∫
Eo cos (kn r − ωt + α) dt
T 0 µ
r
1 ε r 2⎧
1
[sin 2(ωT − knrrr + α) − sin 2(−knrrr + α)]⎫⎬
Eo ⎨1 +
〈N〉 =
2 µ
⎭
⎩ 2 ωT
1 ε r
I=
Eo
2 µ
2
Elektromagnetické pole
Polarizace rovinné vlny
Ex = Eox cos(kz − ωt + δ x ),
E y = Eoy cos(kz − ωt + δ y ),
Ez = 0.
eliptická polarizace
2
2
⎞⎛ E ⎞
⎛
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞
⎟ − 2⎜ Ex ⎟⎜ y ⎟ cos δ = sin 2 δ
⎟⎟ + ⎜
⎜⎜
⎜ E ⎟⎜ E ⎟
⎜
⎟
⎝ ox ⎠⎝ oy ⎠
⎝ Eox ⎠ ⎝ Eoy ⎠
tg 2θ =
2 Eox Eoy cos δ
Eox2 − Eoy2
Kruhová polarizace
2
Eox = Eoy = Eo
δ = ±(2m + 1)π / 2 m = 0,1,2,...
Lineární polarizace
Eox = Eoy = Eo
δ = 0 ∨ δ = ± mπ m = 0,1,2,...
2
⎛ Ex ⎞ ⎛ E y ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 1
⎝ Eo ⎠ ⎝ Eo ⎠
Ey
Ex
=±
Eox
Eoy
Elektromagnetické pole
Sférická harmonická vlna
r = x2 + y 2 + z 2
∇ 2U (r ) + k 2U (r ) = 0
∂2
∂2
∂2 1 d ⎛ 2 d ⎞
∇ = 2+ 2+ 2 =
⎜r
⎟
∂x
∂y
∂z
r dr ⎝ dr ⎠
2
1 d ⎛ 2 dU ⎞ 2
⎜r
⎟+k U = 0
r dr ⎝ dr ⎠
d 2 (rU )
+ k 2 (rU ) = 0
2
dr
e − ikr
e ikr
U (r ) = C1
+ C2
r
r
V (r , t ) = U (r )e −iωt
řešení Helmholzovy
rovnice
řešení vlnové rovnice
e − i ( kr + ωt )
e i ( kr −ωt )
+ C2
V (r , t ) = C1
r
r
divergentní
sférická vlna
V (r , t ) =
Uo
cos( kr − ωt + α )
r
Intenzita vlny
U o2
I= 2
r