zápisky z hodin a přednášek

GEOMETR)CKE ZOBRAZEN)
KARTÉZSKÝ SOUČIN
Je to vlastně soustava souřadnic. Lze je také chápat jako dvě množiny A, B. Množinu A můžeme chápat
jako definiční obor a množinu B jako obor hodnot. Ke každému a lze přiřadit právě jedno b.
RELACE
∘ uzuezruweo
Můžeme jej chápat jako „vztah“ mezi pojmy např.: Praha – hlavní město ČR . Každá množina kartézského
součinu množin A, B.
ZOBRAZENÍ
Každému z prvků A je přiřazen právě jeden nejvý∥e prvek z B. A je definiční obor - vzor a B je obor
hodnot - obraz.
A – definiční obor
x  A - vzor
B – obor hodnot
y  B - je obraz pokud y  f(x)
PROSTÉ ZOBRAZENÍ - INJEKCE
Nazýváme injektivní nebo prosté zobrazení. Každý obraz má jediný vzor.
x1, x2
 A  x1  x2   f(x1)  f(x2)
ZOBRAZENÍ „NA“ MNOŽINU – SURJEKCE
Nazýváme zobrazení na nebo surjetivní zobrazení. Je druh zobrazení, ketré zobrazuje celou cílovou
množinu, tzn. Každý obraz má alespoň jeden vzor.
y  B, x  A; y  f(x)
VZÁJEMNĚ JEDNOZNAČNÉ ZOBRAZENÍ – BIJEKCE
Nazýváme bijektivní zobrazení nebo vzájemně jednoznačné zobrazení. Zobrazení, které je zároveň
„prosté“ injekce a „na“ surjekce).
x1, x2
 A  x1  x2   f(x1)  f(x2)  y  B, x  A; y  f(x)
INVERZNÍ ZOBRAZENÍ
)nverzní zobrazení k nějakému zobrazení f : A  B přiřazuje prvky z množiny B k množině A. Tzn. f je
vzorem. Je to zobrazení opačným směrem.
Jestliže f je prosté zobrazení z A  B , pak f 1 z B  A; f 1(y)  x  y  f(x).
INVOLUTORNÍ ZOBRAZENÍ
Je zobrazení, pro které platí f  f 1
SAMODRUŽNÉ BODY
Je bod, který se zobrazí sám na sebe → x  f(x)
SAMODRUŽNÁ PŘÍJÍMKA
Přímka samodružných bodů je samodružnou přímkou. Respektive samodružná přímka, je přímka, která
své body zobrazuje sama na sebe. → p  f(p)
SAMODRUŽNÁNÝ SMĚR
Je to neorientovaný směr vektor , který se při zobrazení nemění. Nechť p'  f(p)  p'|| p , pak neorientovaný směr přímek p, p‘ nazýváme samodružný.
-1-
Definice: Je dáno zobrazení f : A  A'. Bod, jehož obraz splývá se vzorem, nazveme samodružným bodem. Útvar, jehož obraz splývá s původním vzorem, nazveme samodružným
útvarem. Samodružným směrem rozumíme neorientovaný směr, který se při zobrazení nezmění.
SKLÁDANÉ ZOBRAZENÍ
Je matematická operace, kterou značíme kolečkem g  f , čteme g složeno z f. Operace je komutativní
ztn. g  f  f  g . Funguje to tak, že nám složení doplňuje mezi krok. f : A  B ,
g : B  C;
g  f  A  C Důležité je pořadí „nejdříve f, pak g“.
Definice: Je dáno zobrazení Z, které je na. Pokud složení Z  Z je identické zobrazení, říkáme
o zobrazení Z, že je involutorní.
-2-
S(ODNE ZOBRAZEN) V ROV)NE 
)ZOMETR)E
Zobrazení Z nazýváme shodná, pokud :
x, y  x' y'   ; x'  Z(x)  y  Z(y)  xy  x' y'
Definice: O zobrazení Z : X  X' řekneme, že je zobrazení shodné, právě když obrazem každé
úsečky AB je úsečka A′B′, pro kterou platí |AB| = |A′B′|.
Zobrazení zachovává vzdálenosti.
1. OSOVÁ SOUMĚRNOST
Věta: Shodné zobrazené Z, jehož v∥echny samodružné body jsou právě v∥echny body přímky o, je to
osová souměrnost s osou o. Značíme x‘=Oo x → Involuce
Věta: Máme-li shodné zobrazení v rovině, přímku samodružných bodů a mino ni alespoň jeden samodružný bod nebo nekolineární , pak je to identita. Značení X‘=) x
Důkaz:
A=Z(A)
B=Z(B)
C=Z(C)
D‘=Z D
AD  AD'  BD  BD'  CD  CD'
 D'  D
D‘=?
Věta: jestliže jsou na přímce samodružné body, je to přímka samodružnýchn bodů.
2. STŘEDOVÁ SOUMĚRNOST
Definice: Jestliže XSX‘ leží na přímce, pak zobrazení R nazýváme středou souměrností.
Věta:
1) Každou středovou souměrnost lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichž osy jsou na sebe
kolmé a prochází středem souměrnosti. Jedna z os
2) Složením dvou osových souměrností s kolmou osou vznikne středová souměrnost.
3) Středová souměrnost je involuce
Věta: ve středové souměrnosti je obrazem každé přímky, přímka s ní rovnoběžná. Přímka procházející středem je samodružná.
-3-
3. DVĚ OSOVÉ SOUMĚRNOSTI
3.1. OTOČENÍ – RORACE (R)
Definice: Shodnost s jedním samodružným bodem se nazývá otáčení – rotace. Značíme ji X‘=R(s,α)X,
se středem rotace s a orientovaným úhlem α.
ORIENTOVANÝ ÚHEL
Orientovaný úhel je kladný nebo záporný. Kladný chápeme proti směru hodinových ručiček tzn. od nuly
do 2π.
Věta: Složením dvou osových souměrností z různoběžných os nesmí být rovnoběžné , dostaneme
R - rotaci, jejíž středem s je průsečík os.
Důkaz: osy o, p
1) o, p; o p
2) o∩p = {S}
3) So∈o ˄ So∈p ⟹ So je samodružný
Věta: Každé otočení v rovině lze rozložit na dvě osové souměrnosti, jejichž osy procházejí středem
otáčení. Jednu osu lze volit. Druhá je pak jednoznačně určena.
Věta: Je dána R se středem S a libovolným bodem X a X‘ = Rs X , pak buď každá trojice X  X'leží
v přímce nebi v∥echny úhly XSX‘ jsou shodné.
3.2. POSUNUTÍ
Je to posunutí ve směru vektoru v.
Definice: Shodné zobrazení, které vznikne složením dvou osových souměrností s o1 o2 ˄ o1≠o2, nazýváme posunutí (translace – T). Značíme x x'  T (x)
v
Věta: Posunutí nemá žádný samodružný bod.
Důkaz:
Předpokládejme, že X je samodružný bod A‘=T A ,
T  O1  O 2; A'  O1(A)  A"  O 2(A' )  A"  A'
 O1  O 2 → spor
Věta: Posunutí zobrazuje každou přímku na přímku s ní rovnoběžkou.
Věta: Každé posunutí lze rozložit na dvě osové souměrnosti s rovnoběžnými osami. Jednu osu lze
libovolně volit kolmo na směr posunutí a druhá je určena.
Věta: Posunutí není involuce.
-4-
4. TŘ) OSOVÉ SOUMĚRNOSTI
4.1. SHODNÉ ZOBRAZENÍ
Věta: Každé shodné zobrazení v rovině lze rozložit v osové souměrnosti v počtu nejvý∥e tří. Skládáním třech osových souměrností Z  O 3  O 2  O1
1) O1  O 2  O 3  O 3  O 2  O1  O 3  I  O 3
2) O1  O 2  O1  O 3  O 3  O 2  O1  O 3  I  O 3
3) V∥echny
osy
jsou
T  O'2 O'1 O'2  O 3
rovnoběžné
O 3  O 2  O1  O 3  T  O 3  O 2  O'1  O'1 ,
⟹
4.2. POSUNUTÁ SOUMĚRNOST
Věta: Posunutí ze shodného zobrazení složené z osové souměrnosti a posunutí ve směru této osy je
posunutá souměrnost.
Věta: Posunutí nemá samodružné body.
Důkaz: Protože ji lze složit z osové souměrnosti a posunutí
Věta: Každou přímou shodnost lze rozložit na sudý počet osových souměrností. Každou nepřímou
shodnost na lichý počet.
Věta: Složením dvou shodností přímých nebo dvou nepřímých získáme shodnost přímou.
Definice: Útvar U1 je shodný s U2, jestliže každé shodné zobrazení Z tak, že U2=Z(U1). Jestliže Z je
přímé, pak útvary jsou přímo shodné. Jestliže Z je nepřímé, pak útvary jsou nepřímo shodné.
Důsledek: Z útvary jsou přímo shodné právě tehdy, když můžeme jeden i druhý převést konečným počtem
osových souměrností.
5. S(RNUTÍ
 Osová souměrnost Oo : A  A'
 Středová souměrnost Os : A  A'
 Rotace R : A  A'
o Kladná nebo záporná
o
x osová souměrnost o1 o2
 Posunutí Tv : A  A'
o
x osová souměrnost o1 o2
 Identita I : A  A'; A  A'
 Posunutá osová vzdálenost Ps : A  A'
-5-
STEJNOLE(LOST (OMOTET)E
∘ Stejnolehlost je specifické zobrazení podobnosti.
∘ Značíme ji H
∘ Je dána středem S a koeficientem posunutí λ ≠ lambda).
 H(s)=S – stejnolehlost se středem s
 x  S  x'  H(x)  (x' xs)   to znamená sx'    sx
∘ Pracujeme s poměrem SA'    SA
∘ Koeficient posunutí λ
 kladný →
 záporný ←
 λ=+ pak je to identita
 λ=-1 pak je to středová souměrnost
∘ Střed S je samodružným bodem
∘ Stejnolehlost zachovává rovnoběžnost, úhly a poměry.
∘ Můžeme je skládat
Věta: Stejnolehlost (H)je prosté zobrazení. H-1 je inverzní zobrazení, pokud zůstane zachován střed
1
a koeficient je .

Definice: Nechť AB ∥ CD, pak říkáme, že polopřímka AB je souhlasně rovnoběžná
s polopřímkou CD jestliže existuje H:λ> pro níž je orientovaná úsečka →CD obrazem
→AB.
To znamená, že orientace je stejná. →→
Definice: Nechť AB ∥ CD, pak říkáme, že polopřímka AB je nesouhlasně rovnoběžná
s polopřímkou CD jestliže existuje H:λ< pro níž je orientovaná úsečka →CD obrazem
←AB.
To znamená, že orientace není stejná, ale opačná.
1. SKLÁDÁNÍ STEJNOLEHLOSTI
(Gaspard Monge)
Mongeova věta: Složením dvou stejnolehlostí H 1(S1, 1) a H 2(S2, 2) vznikne:
1
1) indentita S1  S2  1  2  1 ( 1 
, H 1  H 21 )
2
2) posunutí S1  S2  1  2  1
3) stejnolehlost 1  2  1
Věta: T∘(=(‘
-6-
Důkaz: T=O∘O‘ ⟹ T= (O∘O‘‘ ∘ O‘∘O‘‘‘ = S∘S‘ = Hs∘Hs‘ ⟹T∘H=Hs∘Hs∘‘H
MONGEOVA GRUPA TEJNOLEHLOSTI
Je to stejnolehlost + posunutí + identita dohromady.
Věta: Množina G obsahující identitu, všechna posunutí a všechny stejnolehlosti tvoří grupu stejnolehlosti tzv. Mongeovu grupu stejnolehlosti.
Věta: Dvě kružnice s r1≠r2 jsou stejnolehlé ve dvou stejnolehlostech vnitřní a vnější středové stejnolehlosti). Pokud se r1=r2 jsou stejnolehlé v jedné stejnolehlosti středová souměrnost .
Věta: Máme kružnice k1, k2; každá tečna jedné z kružnic, která prochází středem jejich stejnolehlosti je tečnou i druhé kružnice.
obráceně Mají-li dvě kružnice společnou tečnu, je to buď rovnoběžka se středem nebo prochází
???
MONGEOVA VĚTA O STEJNOLE(LOST) KRUŽN)CE 3 KRUŽN)CE
Věta: Nechť k1(S1, r1), k2(S2, r2), k3(S3, r3), kde S1S2S3 nejsou kolineární a r1≠r2≠r3≠r1. Označíme-li
M , M , M vnější středy stejnolehlosti a N 1, N2, N3 vnitřní středy stejnolehlosti po řadě k2 a k3; k1 a
k3; k1 a k2, potom platí: M1, M2 a M3 → jsou v přímce
M1, N2 a N3 → jsou v přímce
N1, M2 a N3 → jsou v přímce
N1, N2 a M3 → jsou v přímce
N1, N2 a N3 → nejsou v přímce
-7-
∘ Různoběžky s průsečíkem mimo papír → využijeme stejnolehlost
DESARGOVA VĚTA
1) KLM je libovolný trojúhelník
2) Zvolíme libovolný bod A na přímce LM
3) Zvolíme libovolnou přímku APN
4) Bodem B jme si narýsovali libovolnou přímku, procházející B přes P
5) Súpojíme AB, které protne KL → vznikne bod C
6) NC→S
-8-
PODOBNA ŽOBRAŽÉN)
∘ Každá stejnolehlost je podobnost → ne obráceně!
∘ Podobnost má vždy koeficient podobnosti kladný a značíme jej k
 k >0
 k∈R
∘ zachovává
 rovnoběžnost → podobnost
 shodnost → nevlastní podobnost
 úhly
 poměry
∘ Dělíme ji na podle orientace
 Přímoshodná
 Nepřímoshodná
∘ shodnost + stejnolehlost = podobnost
Desargova věta obrázek
1. S(ODNOST TROJÚ(ÉLNÍKŮ
∘ =věty o kontrolovatelnosti trojúhelníků
∘ Trojúhelníková berivnost
∘ SUS – stran, úhel, strana
 Úhel je sevřený mezi stranami
∘ ŮSŮ úhel, strana, úhel
 Strana, ke které jsou úhly přilehlé
∘ SSŮ strana, strana, úhel
 Úhel proti delší straně
∘ Podobnost trojúhelníků
 SSS trojúhelníky jsou podobné, pokud zachovávají poměry
 UU – trojúhelníky jsou si podobné, pokud jsou stejné úhly
 SUS – úhel stranami sevřený
 SSU – 2 stany jsou v poměru a naproti je shodný úhel, pak jsou trojúhelníky shodné
∘ Pravoúhlý trojúhelník
 Jsou si podobné ACD
2. PRAVOÚ(LÝ TROJÚ(ÉLNÍK
∘ Pravoúhlý trojúhelník
 Jsou si podobné ACD
∘ Euklidova věta o výšce
c
v
 a
cb
b
v 2  ca  c
∘ Důkaz Pythagorovy věty přeuspořádáním
∘ Pythagorijcké trojúhelník , , → Pythagorijské tojice
∘ Éuklidovské konstrukce
 Pravítko a kružítko bez potřeby měřit přesně
 Některé věci nejdou konstruovat
-9-
3. OBÉCNÝ TROJÚ(ÉLNÍKŮ
∘ Trojúhelník ABC je průnikem třech polorovin, které jsou dány třemi body A, B, C, které nejsou kolineární
 Vždy řadit do poloroviny!
∘ Vnitřní úhly jsou uvnitř + +γ = 8 °
∘ Vnější úhly se značí s čárkou , , γ

π- + +γ
∘ Výšky
 Poměr výšek je stejný jako převrácený poměr délky stran
 Leží uvnitř, mimo nebo na stranách trojúhelníka
 Průsečík je právě jeden
∘ Těžnice
 Těžnice dělí v poměru 2:1
 Důkaz z podobnosti trojúhelníků nebo z logiky teorie hmotného bodu
 Paty těžnic příčky
 Příčkový trojúhelník -???
∘ Ortický trojúhelník
 Ů pravoúhlém neexistuje
 V tupoúhlém trojúhelníku je částečně mimo trojúhelník
∘ Střed kružnice opsané je průsečík středů os stran
∘ Typologie trojúhelníků
 úhlů
 stran
3.1. KRUŽNICE V TROJÚHELNÍKU
∘ Opsaná
 Střed na osách úhlů
 Mimo pravoúhlá trojúhelník
 Nagelova věta otický trojúhelník
∘ Vepsaná
a
 Poloměr r 
2 sin 
∘ Připsaná
∘ Taylorová kružnice
 Orto-centrum
 Paty výšky spustím kolmice ke stranám → získám bodů, které leží na Taylorově kružnici
∘ Kružnice devíti bodů – Feuerbachova kružnice
 Středy stran typy těžnic, výšek, tři středy spojnic, ortocentrum, vrchol
4. GON)OMÉTR)CKÉ FŮNKCÉ
∘ Stejnolehlé trojúhelníky ⟹ podobné trojúhelníky
 Poměry dvou stran vzhledem k podobnosti v pravoúhlých trojúhelníků
a
b
 sin 
 cos 
c
c
∘ V pravoúhlém trojúhelníku platí:
a
b
sin 
a
 cotg 
 c 
 tg 
⟹
b
c
cos 
b
c
∘ V pravoúhlém trojúhelníku
∘ Platí cyklický záměna
Věta o průmětech: V každém obecném trojúhelníku ABC platí: c  a  cos   b  cos 
-10-
Důkaz:
 V každém trojúhelníku ABC platí:
∘ V tupoúhlém trojúhelníku pracujeme s úhlem π-
4.1. SÍNOVÁ VĚTA
∘ Odvodíme jí pomocí spuštěním výšky v jakémkoliv trojúhelníku → podobnost trojúhelníku → do rovnice
4.2. KOSINOVÁ VĚTA
∘ Pythagorova věta je speciální případ Kosinovi věty
4.3. VÝPOČET OBSAHU
av
a  b  sin 

2
2
4S  2a  b  sin 
2 Kosinovy věty
∘ (ornův vzorec
S  s  (s  a)(s  b)(s  c)
S 
5. DÍLČÍ POMĚRY
Definice: Jsou dány body ABC ležící na přímce. Dělící poměr je číslo λ, jehož absolutní hodnota je
AC
BC
pokud λ < , pak C leží mezi AB
pokud λ > , pak C leží vně AB
Věta: platí-li ABC = λ, pak: ACB = - λ
BAC =
Věta: jsou dány body ABC ∈ p a jejich:
a rovnoběžný nebo středový průmět na rovnoběžky
b rovnoběžný průmět na různoběžky
pak ABC=A B C
Definice: Mějme
body na přímce ABCD. Číslo ABCD 
Věta: Jsou dány body ABC ∈ p a jejich:
A) rovnoběžný nebo středový průmět na p ||p
B) rovnoběžná průmět na q ∦ p
pak (ABC) = (A B C )
-11-
ABC
se nazývá dvojpoměr bodů ABCD
ABD
Definice: Mějme
D
body na přímce ABDC. Číslo ABCD 
ABC
se nazývá dvojpoměr bodů A, B, C,
ABD
Věta: Dvojpoměr (ABCD) je:
a) kladný  C, D leží vně úsečky AB nebo C, D leží uvnitř úsečky AB
b záporný  C leží uvnitř a zároveň D vně nebo C leží vně a D uvnitř
Definice: Platí-li (ABCD)=- nazýváme čtveřici bodů A, B, C, D harmonickou čtveřicí čtveřinou
bodů A,B,C,D
5.1. MELELOVÁ VĚTA
Nechť je dán trojúhelník ABC a přímka p, která neprochází žádným z vrcholů A, B, C, ale protíná přijímky
AB, BC, AC po řadě v bodech C , A , B . Potom paltí:
(ABC )(BCA )(CAB ) = 1
5.2. CAVOVA VĚTA
Nech%t je dán trojúhelník ABC a vnitřní bod M, veďme z vrcholů A, B, C po řadě přijímky AM, BM, CM.
Průsečíky těchto přímek a stran trojúhelníka označme po řadě A , B . C . Pak platí_
(ABC )(BCA )(CAB ) = -1
5.2.1.
1)
2)
3)
4)
KONSTRUKCE HARMONICKÉ ČTVEŘICE
Libovolné přímky AX, BX
Libovolné přímky ex., aby M, N
AN  BM ∈ P
D ∈ XP  AB užití Cav. Věty
-12-
5.3. POPPOVA VĚTA
Nechť A , B , C , D jsou rovnoběžné nebo středové průměty
Pak (ABCD)=(A B C D )
-13-
navzájem různých bodů A, B, C, D ∈ p na p‘.
D)LČ) POMĚRY
Definice: Jsou dány body ABČ ležící na přímce. Dělící poměr je číslo λ, jehož absolutní hodnota je
AC
BC
pokud λ < , pak C leží mezi AB
pokud λ > , pak Č leží vně AB
Věta: platí-li ABČ = λ, pak: AČB = - λ
BAC =
Věta: jsou dány body ABČ ∈ p a jejich:
a rovnoběžný nebo středový průmět na rovnoběžky
b rovnoběžný průmět na různoběžky
pak ABČ=A B Č
Definice: Mějme
body na přímce ABČD. Číslo ABCD 
ABC
se nazývá dvojpoměr bodů ABCD
ABD
Věta: Jsou dány body ABČ ∈ p a jejich:
A rovnoběžný nebo středový průmět na p ||p
B rovnoběžná průmět na q ∦ p
pak ABČ = A B Č
Definice: Mějme
D
body na přímce ABDČ. Číslo ABCD 
ABC
se nazývá dvojpoměr bodů A, B, C,
ABD
Věta: Dvojpoměr ABČD je:
a kladný  Č, D leží vně ’sečky AB nebo Č, D leží uvnitř ’sečky AB
b záporný  Č leží uvnitř a zároveň D vně nebo Č leží vně a D uvnitř
Definice: Platí-li (ABCD)=- nazýváme čtveřici bodů A, B, Č, D harmonickou čtveřicí čtveřinou
bodů A,B,C,D
4.4. MELELOVÁ VĚTA
Nechť je dán troj’helník ABČ a přímka p, která neprochází žádným z vrcholů A, B, Č, ale protíná přijímky
AB, BČ, AČ po řadě v bodech Č , A , B . Potom paltí:
ABČ BČA ČAB =
-12-
4.5. CAVOVA VĚTA
Nech%t je dán troj’helník ABČ a vnitřní bod M, veďme z vrcholů A, B, Č po řadě přijímky AM, BM, ČM.
Průsečíky těchto přímek a stran troj’helníka označme po řadě A , B . Č . Pak platí_
4.5.1.
1)
2)
3)
4)
ABČ BČA ČAB = -1
KONSTRUKCE HARMONICKÉ ČTVEŘICE
Libovolné přímky AX, BX
Libovolné přímky ex., aby M, N
AN  BM ∈ P
D ∈ XP  AB užití Čav. Věty
4.6. POPPOVA VĚTA
Nechť A , B , Č , D jsou rovnoběžné nebo středové průměty
Pak ABČD = A B Č D
-13-
navzájem různých bodů A, B, Č, D ∈ p na p‘.
KRUZŽ N)CE
Definice: Množina bodů roviny, které mají od pevného bodu S danou vzdálenost r. S je stěrem
kružnice a r je poloměr kružnice.
. POLO(A PŘÍMKY A KRUŽN)CE
∘ Sečna
− Má společné body s kružnicí
− Body protnutí značíme x1, x
∘ Tečna
− Má společný jeden bod s kružnicí
− Bod doteku značíme P
∘ Vnější přímka
. OBVODOBVÉ A STŘEDOVÉ Ú(LY
ÚSEKOVÝ ÚHEL
Mějme oblouk AB na kružnici k se středem S. Úhel, který svírá úsečka AB s tečnou ke kružnici k v bodě A
nebo B - je to stejné , se nazývá úsekový úhel k oblouku AB. Značí se malým řeckým písmenkem alfa
.
OBVODOVÝ ÚHEL
Mějme oblouk AB na kružnici k se středem S. Úhel, jehož vrchol leží na kružnici k a není to bod A nebo B
a jehož ramena procházejí body A a B, se nazývá obvodový úhel k oblouku AB. Nejčastěji se značí malým
řeckým písmenkem alfa
.
STŘEDOVÝ ÚHEL
Mějme oblouk AB na kružnici k se středem S. Úhel s vrcholem S a rameny procházejícími body A a B se
nazývá středový úhel k oblouku AB. Nejčastěji se značí malým řeckým písmenkem omega ω .
Věta: Velikost každého obvodového úhlu příslušného k oblouku m je rovna polorovině velikost
středového úhlu příslušného k oblouku m. viz obrázek
ASB – je středový úhel příslušný oblouku m
ACB – je obvodový úhel příslušný oblouku m
-14-
Důkaz:
a
b
c
d
|ACB|= -
e
|ASB|=
-
SAX – úsekový úhel příslušný k oblouku m
Platí: |BAX|=γ
2.1. THALETOVA KRUŽNICE
Je to speciální případ obvodových úhlů
Věta: Thaletova kružnice: Nechť A, B je průměr kružnice a bod C je libovolný jiný bod kružnice, pak
bod C libovolný jediný bod kružnice. Pak úhel ACB je vždy pravý.
. VZÁJEMNÉ POLO(Y KRUŽN)C
SOUSTŘEDNÉ KRUŽNICE
Jsou kružnice, které mají stejný střed.
STŘEDNÁ
Je to spojnice středů dvou kružnic.
Definice: Dvě kružnice nazýváme soustředné, jestliže mají shodný střed.
-15-
Definice: Spojnice středů dvou kružnice nazýváme středná
S = S '∧r = r '
S = S '∧r ≠ r '
S ≠ S '∧r = r '∧ SS ' < r − r '
S ≠ S '∧ r − r ' < S − S ' < r + r '
S ≠ S '∧r ≠ r '∧ SS ' = r − r '
S ≠ S '∧ SS ' = r + r '
SS ' > r − r '
Věta: Nechť A, B jsou různé body a k je kladné reálné číslo různé od , pak množinou všech bodů X,
pro které platí |AX|=k.|BX| je kružnice, které říkáme Apolloniova krunice.
Důkaz:
∆AEX ∼ ∆BEY
AX
XB
=k =
AE
BE
⇒ BX = BY
∆AFX ∼ ∆BFZ
-16-
=
AX
BY
AX
BX
=
AX
BY
=
AF
BF
=
AX
BZ
⇒ BX = BZ
B je střed kružnice opsané trojúhelníku YXZ a
zároveň leží uprostřed YZ ⟹ YZZ =
leží na kružnici
Každý bod kružnice splňuje větu
opačně
π
⟹λ
důkaz
. MOCNOST BODU KE KRUŽN)C)
Definice: Mocnost bodu A ke kružnici nazýváme číslo |AS| =r = |AT| , značíme M A,k .
Věta: Je dána kružnice k a bod A. Bodem veďme libovolnou sečnu ke kružnici k. Pro body x, y, které
vzniknou jeho průsečíky sečny a kružnice platí: |AX|.|AX|= konstanta = M A,k
M A,k >
M A,k =
M A,k <
AT
= r − AS
Definice: Nechť jsou dány dvě nesoustředné kružnice množina bodů Z, které mají stejnou mocnost
k oběma kružnicím se nazývá chordála.
Věta: Chordála kružnic pokud existuje je přímka.
POTENČNÍ BOD
Je to bod, který má stejnou mocnost ke třem kružnicím.
-17-
*Oprava: Chordála
-18-
KRU(OVÁ )NVERZE
Definice: Je dána řídící kružnice se středem S a poloměrem r. kruhová inverze je involutorní zobrazení samo družné , které každému X přiřazuje bod X polopřímky SX tak, že platí:
|SX|.|SX |=r2. Bod S nemá obraz definován možnost nevlastního bodu Möbiova rovina.
Poznámka: Kruhovou inverzi lze definovat i se záporným koeficientem – skládání se středovou souměrností.
Věta: Každý bod určující kružnice kruhové inverze je samodružný.
Důkaz: X je libovolný bod určující kružnice , pak pro X musí platit:
|SX|.|SX |=r2  |SX|=r ⟹ |SX |=r  musí ležet na polopřímce SX ⟹ X=X
Věta: Samo družné body kruhové inverze jsou pouze body určující kružnice.
Věta: Obraz přímky procházející středem S určuje kružnice je totožní přímka mimo bod S.
Důkaz: Vyplývá z konstrukce obrazu
Věta: Obraz přímky p neprocházející středem S určující kružnice je kružnice s průměrem SP , kde P
je obraz bodu P, který vznikne jeho průsečík přímky p a kolmice na p z bodu S.
SP'M'  SMP
SM '
SP '

SP
SM
SM '  SM  r 2  SP '  SP
Toto platí pouze, pokud troj’helník SP M je pravo’hlý ⟹Thaletova kružnice nad SP a naopak.
Věta: Každá kružnice prochází S určující kružnice kruhové inverze je přímka p dle předchozí konstrukce.
-19-
Věta: Obrazem kružnice neprocházející bodem S určené kružnice kruhové inverze je kružnice neprocházející bodem S.
Důkaz:
Pro bod C a C platí |SC |.|SC|=r2
Pro bod C a C1 platí |SC|.|SC1|=|m| (mocnost bodu)

m
r2
r2

 SC ' 
 SC 1
SC ' SC 1
m
kde
r2
>0
m
⟹ Množina bodů C je stejnolehlá kruž-
nice se středem S a koeficientem  
r2
m
Poznámka: pozor kruhová inverze nezachovává vlastnosti být středem. Je-li C střed ’sečky ÁB a Á B C po
řadě obrazy bodů Á, B, C, v kruhové inverze, pak C nemusí být středem Á B .
|SA|=|AB|
Pokud by platilo ⟹ |AC1|=2|ÁB | |AC|=2|AB |⟹
existuje obraz bodu S → spor
|AS|=|BS| ⟹ neexistuje obraz bodu C
Jediné kdy to platím pokud Á=B=CS
Definice: Dvě kružnice k1, k2 nazýváme ortogonální, jestliže se protínají a jejich tečny v bodě doteku jsou na sebe kolmé.
-20-
Věta: Dvě protínající se kružnice jsou ortogonální, jestliže jejich tečny ve společném bodě procházejí jejich středy.
Důkaz plyne z konstrukce tečny ke kružnici.
Věta: Samodružnými kružnice v kruhové inverzi jsou určující kružnice ta je i kružnicí samodružných bodů a každá ortogonální kružnice s určující kružnicí.
SA  SB  r 2 z mocnosti bodu ke kružnici ⟹ B je obraz A a naopak, toto pak
platí pro libovolné body C, D kde C  r2
a D  přímky SC k2  mimo body
T1, T2 C  D
-21-
MNOŽ)NY BODŮ DANÉ VLASTNOST)
∘ Je to objekt
∘ Má vlastnosti
 Každý bod splňuje množinu podmínky
 Každý bod leží na objektu
∘ Příklady:
 Kružnice
 Osa úsečky
 Osa rovinného pásu
 Osy úhlů
NORMÁLA PŘÍMKY (ÚSEČKY)
Jsou to středy kružnic mající společný
bod doteku
NORMÁLA KRUŽNICE VZHLEDEM K BODU
EKVIDISTATNTA
Je to silnější pojem než rovnoběžnost. Je to množina bodů, která má od přímky danou vzdálenost.
OILEROVSKÝ TAH
Tah, který prochází každým bodem aspoň jednou, ale po spojnici mezi body právě jednou. Viz domeček
jedním tahem.
HAMILTONOVSKÉ GRAFY
Tah, který jde přes všechny vrcholy právě jednou.
1. KŮŽÉLOSÉČKY
ELIPSA
Má konstantní součet od obou ohnisek. Ohniska A, B → |AD+DB|=|AÉ+ÉB|
HYPERBOLA
Je to absolutní hodnota rozdílu ohnisek ⟹
|F-E|
PARABOLA
Má konstantní vzdálenost od řídící přímky
a ohniska.
CYKLOIDA
Je to pevný hmotný bod na kruhu, který si
představíme, že rozjedeme → opisuje křivku, kterou nazýváme cykloidu.
DELTOIDA
KARDOIDA
Je to kruhová inverze respektive parabola v kruhové inverzi.
-22-
KISOIDA
Je to křivka, kde kružnice je zadaná středem S a kolmicí |AX|=|MN|.
DEZCARTŮV LIST
STROFOIDA
2. GÉOMÉTR)CKÉ ŽOBRAŽÉNÍ PRŮMĚRŮ
∘ Aritmetický peůměr

|ED|
∘ Geometrický průměr
 |BD|
∘ (armonický průměr

ab
2
ab
2ab
ab
|SD|
∘ Kvadratický průměr
a2  b2
2
aritmetický < geometrický < harmonický
-23-
ČTYŘÚHELNÍKY
Definice: čtyř’helníkem rozumíme sjednocení troj’helníkem ABČ a AČD o společné straně AČ, které nemají žádné další společné body.
Pokud C  ABD  ADCB, pak ABCD je konvexní
+ + + =2π
 :abc d
1
S  e  f  sin
2
Věta: Pokud + = + += , pak čtyř’helník ABČD lze opsat kružnici.
Důkaz: plyne z věty o středovém a obvodovém ’hlu.
Definice: čtyř’helník, kterému lze opsat kružnici nazýváme tětivový čtyřúhelník
Věta: Je-li + = + = π ⟹ a‖c
Definice: Lichoběžník je čtyř’helník, který má právě dvě strany rovnoběžné.
Definice: Řovnoběžník je čtyř’helník, který má dvě dvojice rovnoběžných stran
1. PTOLEMAÍOVA VĚTA
Ptolemaiova věta: Součin délek ’hlopříček ve čtyř’helníku je nejvýše roven součtu součinů délek
jeho protějších stran. Rovnost nastává právě tehdy, pokud je čtyř’helník tětivový.
Důkaz:
ABČD je tětivový  C  B D 
|B C |+|C D | = |B D |
(jinak >)
-24-
2
2
2
C ' B'  AC '  AB '  2  AC '  AB '  cos
CB
2
2
2
 AC  AB  2  AC  AB  cos
AB '  AB  1  AC '  AC
1
2
C ' B' 
AC
2
1

AB
2
2
C ' B' 
2
C ' B' 
AB  AC

2cos
AC  AB

CB  AC  AB
2

AC  AB
2 AC  AB
2
2
2
2
2
AB  AC
2
2
2
2
2
2
CD
AB  AC  CB  AC  AB
2
AB  AC
CB
2
C ' B' 
2
AC  AB
2
2
obdobně C ' D' 
BD
2
AC  AD
nebo B' D' 
AB  AD
Pro tětivový čtyřúhelník platí:
CB
AC  AB

CD
AC  AD

BD
AB  AD
CB  AD  CD  AS  BD  AC
bd  c a  e  f
2. TEČNOVÝ ČTYŘÚHELNδK
Věta: čtyř’helník ABCD je tečnový  a+c=b+d
|AM|=|AP|
Předpoklad ABCD splňuje podmínku a+c=b+d 
existuje B , tak že AB CD je tečnou ⟹ a-x+c=b‘+d
tedy x+b‘=b to, ale platí pouze pokud B =B
-25-
3. DVOJ STŘEDOVÝ ČTYŘÚHELNδK
Definice: Dvoj středovým čtyř’helníkem nasáváme každý, kterému lze opsat i vepsat kružnici.¨
Definice: Deltoid je souměrný tečnový čtyř’helník, který má ramena protilehlých ’hlů stejně
dlouhá.
Menelaova věta:
AC
KB

BL CM DN


 1 (Důkaz stejně jako pro troj’helník)
CL DM AN
Brahmaguptova věta: Nechť ABČD je tětivový čtyř’helník pak platí S 
s  as  bs  c s  d 
1
a  b  c  d 
2
Poznámka pokud se jedna ze stran =0 ⟹ Heronův vzorec
kde s 
4. KONVEXNδ MNOHOÚHELNδKY
Definice: Konvexní mnoho’helník je mnoho’helník, který má všechny vnitřní ’hly menší než 180°.
KONVEXNÍ ÚTVAR
Je to ’tvar takový, že každý bod v libovolné každé ’sečky, kde krajní body náleží ’tvaru je také vnitřní
’tvar.
Věta: V každém konvexním n-’helníku je počet stran roven
5. ZLATÝ ŘEZ
-26-
n(n  1)
n(n  3)
a ’hlopříček roven
2
2
b
a

a ab
ab  b 2  a 2
0  a 2  ab  b 2
a1,2 
b
 b  b 2  4b 2  1  5

b
2
2
5 1
a
2
6. KONSTRUKCE PŘAVÍDELNÉHO PĚTÍÚHELNδKÚ
-27-