( )x

H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
1. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
1.1.
Ur ete Df , Hf a vy et ete monotónost funkce
a) y = 3 4− x + 2
b) y = log 1 (1 − 3 x )
3
c) y = −35+ x + 4
d) y = ( x + 2) 2 − 1
1.2.
Ur ete Df , Hf funkce:
2
a) y = − cos 5 x + 2
3
π

b) y = −3tg  x − 
4

c) y = sin ( x + 5) − 3
1
π

d) y = cot g  x +  − 2
5
4

1.3. Ur ete Df funkce:
x+4
a) y = log
1− x
(
b) y = log x 2 + 3 x − 10
)
c) y = log x 2 − 3x
d) y = log x 2 − 2 x − 3
1.4.
Rozhodn te, zda dané funkce jsou sudé nebo liché, a sestrojte jejich grafy:
a) y =
x3 + 2x
x
b) y =
2x 2
x + x2
c) y =
x
x2
d) y = −1 + x
1.5.
Sestrojte grafy funkcí:
a) y = ( x − 2)
− sgn x
b) y = 2 x sgn x
c) y = ( x − 1) sgn ( x − 2 )
d) y = x 2 sgn ( x − 1)
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
2. DERIVACE
2.1.
Vypo ítejte derivace následujících fcí:
(
)
a) y = x 2 − 2 x + 3
3
3
b) y = sin 4 x
−x
c) y = x ⋅ sin x + x ⋅ e
3
x x
x3
d)
1
y=−
x
e)
f) y = e cos x
y=
g) y =
(2 x
1
4
−
)
−1
4
y=
j)
y=
k) y =
l)
(2 x
4
)
−1
(x
(x
x2 +1
x
2
2 cos x + cos x ⋅ sin 2 x
m) y =
3
+3 x
+4
2
)
2
)
+1
3
1
π
, x ≠ + kπ
1 − sin x
2
x
sin
2 , x ≠ π + 2kπ
3 x
cos
2
1 + sin x
cos x
2
16 x
2
x+2
2x − 1
n) y = 3 x
1
2
,x ≠ 4

2  2 
∪
, ∞ 
, x ∈  − ∞,−
2   2
2x 2 − 1


x2 − 4
x2 + 4
y = tg 2
5
2x
h) y = 2 x 2 − 1
i)
32 x 3
− sin 3 x
+3
o) y = cot gx 2
2.2.
Vypo ítejte první a druhou derivaci následujících fcí:
a) y = 3 2 x
9 x ln 9, 9 x ln 2 9
b) y = (3e )
3e x (1 + ln 3), (3e ) ⋅ (1 + ln 3)
x
(
x
)
c) y = log x 2 + 2 x + 1
d) y = ln (ln x )
e) y = e sin x
2
2
2
,−
, x ≡ −1
x + 1 ( x + 1)2
1
1 + ln x
,− 2 2 , x ∈ (1, ∞ )
x ln x x ln x
(
e sin x ⋅ cos x, e sin x ⋅ cos 2 x − sin x
)
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
f)
2.3.
y = ln
1 + 2x − x 2 2x 2 + 2
,
, x ∈ (− 1,1)
2
1− x2
1− x2
ex
1− x2
(
)
Napi te rovnici te ny a normály v bod T k ivky, která je grafem fce f(x):
a) y =
sin x − cos x
sin x + cos x
π 
T  , ?
4 
t: y = x−
t : y = 32 x − 48
b) y = x 4 , x 0 = 2
2x + 1
T [− 2, ?]
x2
d) y = 2 x − ln x T [1, ?]
c) y =
e) y = sin 1 − x T [0, ?]
2
f ( x) =
g)
π 
f ( x) = x − tgx, T  , ?
3 
h)
t : x + 4 y + 5 = 0, n : 16 x − 4 y + 29 = 0
t : x − y + 1 = 0, n : x + y − 3 = 0
T [0, sin 1], y ′ = −
1 2
x − 3 x + 5, T [2, ?]
2
f)
π
4
x ⋅ cos 1 − x 2
1− x2
, t : y = sin 1
t : y = − x + 3, n : y = x − 1
t : y = −3 x +
f ( x ) = e − x ⋅ cos 2 x, T [0, ?]
4π
1
2π
− 3, n : y = x +
− 3
3
3
9
t : y = − x + 1, n : y = x + 1
Napi te rovnici te ny a normály ke k ivce, která je grafem fce f ( x) = x 2 − 2 x + 3
11
7
v takovém bod , aby sm rnice te ny byla k = −1 .
t : y = −x + , n : y = x +
4
4
2.5. Pod jakým úhlem protíná p ímka o rovnici 2 y − 1 = 0 graf fce f ( x ) = cos x .
40°53´36´
2.4.
te nerovnici f ′( x) ≤ 0 .
2.6.
Je dána fce f ( x ) = x ln x . V oboro R
2.7.
Ve kterém bod k ivky dané rovnicí y = x 3 − 2 je její te na rovnob ná
(0,1
a) s p ímkou p : 3x − y + 1 = 0
b) s osou x
[
]
2.8.
Ve kterém bod má graf funkce y = x ⋅ e − x te nu rovnob nou s osou x? T 1, e −1
2.9.
π

V kterém bod má graf fce y = sin 2 x te nu svírající s osou x úhel 45°?  + kπ 
4

2.10. Ur ete rovnice te en ke k ivce y = x 3 + x 2 − 2 x v pr se ících k ivky s osou x.
t1 : y = 6( x + 2)
t 2 : y = −2 x
t 3 : y = 3( x − 1)
2.11. Je dána parabola y = 0,5 x 2 + 3 x + 1
a) Ur ete rovnici te ny paraboly v bod T [− 2, ?] .
x − y −1 = 0
b) Ve kterém bod má parabola te nu se sm rovým úhlem 60°?
T
[ 3 − 3,−2]
c) Ve kterém bod má parabola te nu rovnob nou s p ímkou 5 x − y − 2 = 0 T [2,9]
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
[
]
2.12. Napi te rovnici te ny hyperboly x 2 − 9 y 2 = 9 v bod T 9,−2 2 .
t : x + 2 2 y −1 = 0
2.13. Je dána parabola y = x 2 − 4 x + 3
a) Ur ete bod dotyku a rovnici te ny paraboly, která má sm rový úhel 45°.
T [2,5;−0,75], t : x − y − 3,25 = 0
b) Pomocí derivace ur ete vrchol paraboly.
V [2,−1]
Najd te rovnice te en funkce, které s osou x svírají daný úhel. Znázorn te
x
π
situaci graficky. y =
,α =
x +1
4
2.14.
3. P
H FUNKCÍ
3.1.
Ur ete intervaly monotónnosti fce: y = x ⋅ e
3.2.
Vy et ete pr
a) y =
x 4 −8 x 2
4
b) y =
x3
(x − 1)2
−
1
x
h funkcí:
c) y = sin x + cos x, x ∈ 0,2π
d) y = x 4 − 8 x 3 + 16 x 2
e) y = x +
f)
y=
1
x
x2
x−2
g) y = x 3 − 6 x 2 + 9 x
1
+x
x
1
y=
1− x2
h) y =
i)
j)
y = x ⋅ ln 2 x
k) y = cos 2 x + cos x, x ∈ 0, π
3.3.
Ur ete lokální extrémy fce a intervaly monotonosti:
a) y = sin 2 x, x ∈ − π , π
b) y =
1
, x ∈ −π,ρ
sin x
4. PRIMITIVNÍ FUNKCE
4.1.
Vypo
te:
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
a)
b)
c)
∫ 5 x x dx
∫ (a − 2 x ) dx , a ∈ R
3

∫  7e
x
3
−  dx
x
1
1 
dx
3 

sin 2 x
dx
e) ∫
sin x
cos 2 x
f) ∫
dx
sin 2 x
1
g) ∫
dx
2
sin x ⋅ cos 2 x
a −2 

x
 2ke − + t  dx
h) ∫ 
x

k,t ∈ R
d)
∫  x − x
i)
a −2 

x
 2ke − + t  dt
x

∫
k, x ∈ R
4.2.
Vypo
a)
b)
c)
te pomocí metody per partes
∫ x ⋅ sin x dx
∫ ln x dx
∫ x ⋅ cos x dx
2
ln x
dx
x
d)
∫
e)
∫ ln x dx
∫ sin x dx
f)
4.3.
2
2
Vypo
te metodou substitu ní:
a)
∫ (8x ⋅ (x
b)
∫ 1 − sin x dx
c)
7 ln 3 x
∫ x dx
d)
e)
f)
2
3
+2
) )dx
cos x
∫ (3x e )dx
∫ cos x dx
∫ tgx dx
3 − x4 +2
5
5
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
g)
∫ tg 2 x dx
h)
∫ 1 − cos x dx
5. U
sin x
ITÝ INTEGRÁL
5.1.
Vypo
∫ (x
te:
)
2
a)
− x + 5 dx
2
−1
π
4
b)
1 + sin 2 x
∫π cos 2 x dx
−
4
c)
∫ (3x
)
d)
∫ x (1 + 2 x )dx
2
2
− 4e x dx
0
4
1
π
2
e)
∫ x cos xdx
0
3
f)
dx
∫ x ⋅ ln x
e
2
g)
∫x
4 − x 2 dx
0
π
3
h)
∫ sin
π
2
xdx
3
xdx
4
π
2
i)
∫ sin
0
5.2.
Vypo
a)
b)
te obsah rovinného útvaru, který je omezen k ivkami:
2
4
f ( x) = x 2 + 4, g ( x) = x 2 + 2
9
9
f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 y + 6 g ( x) = 2x - y − 3 = 0
c) y = e x , y = e − x a p ímkami: x = 1, x = −1
5.3.
5.4.
Vypo te objem rota ního t lesa, které vznikne rotací útvaru ohrani eného
ivkami: y = 1 − x 2 , y = x 2 kolem osy x.
Zjist te rozm ry otev eného bazénu se tvercovým dnem o objemu 32 m2 tak, aby
na vyzd ní jeho st n a dna bylo t eba nejmen í mno ství materiálu.
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c
H
F-XC A N GE
H
F-XC A N GE
c u-tr a c k
N
y
bu
to
k
lic
5.5.
Do rota ního ku ele o polom ru podstavy r a vý ce v vepi te rota ní válec
maximálního objemu.
.d o
o
.c
m
C
m
w
o
.d o
w
w
w
w
w
C
lic
k
to
bu
y
N
O
W
!
PD
O
W
!
PD
c u-tr a c k
.c