jako limita posloupnosti

LIMITY POSLOUPNOSTÍ
NÁVOD:
- 0 - Co to je
Posloupnost je parta očíslovaných čísel. Trabl je v tom, že aby to byla posloupnost, musí těch čísel
být nekonečně mnoho. Očíslovaná čísla, to zavání chaosem, co je co. Dobrá řekněme, že jsou
seřazená nebo, že mají dané pořadí. Pořadí konkrétního čísla v posloupnosti je dáno číslovací
proměnnou neboli indexem. Např. máme posloupnost zadanou takto:
1
1
an = , to znamená, že desátý člen a10 je 0,1; nebo taky, že
je 256-tý člen té posloupnosti.
n
256
Limita posloupnosti nám říká, jak se chová ta která posloupnost, aby se tak řeklo daleko vpravo, tj.
pro vysoké hodnoty číslovací proměnné, která se obvykle jmenuje n, ale není to pravidlo.
Takto můžou nastat v podstatě 4 možnosti (typy toho chování). Jsou to
1) že členy posloupnosti jsou stále tím větší, čím větší je číslovací proměnná. Potom říkáme,
že posloupnost diverguje k nekonečnu, jde k plus nekonečnu, apod. a píšeme:
lim a n = ∞
n
 ∞
2) že členy posloupnosti jsou stále tím menší, čím větší je číslovací proměnná. Potom říkáme, že
posloupnost diverguje k mínus nekonečnu, jde k mínus nekonečnu, apod. a píšeme:
lim a n = - ∞
n
 ∞
3) že členy posloupnosti se se zvětšující se číslovací proměnnou stále více a více přibližují
k nějakému číslu. Potom říkáme, že posloupnost konverguje k tomu číslu, že limita posloupnosti je
to číslo, apod. a píšeme:
lim a n = číslo
n
 ∞
4) že v posloupnosti se stále donekonečna střídá několik hodnot (většinou se setkáme s tím, že dvě)
nebo, že hodnoty jsou chaotické. Potom říkáme, že posloupnost osciluje, nemá limitu ani nevlastní,
apod. a nepíšeme většinou nic, případně se píše: lim a n neexistuje.
n
- 1 - Ležatá osmička není číslo
 ∞
Že symboly ∞ a -∞ nejsou čísla, to je někomu jasné už z předchozí definice. Ostatní si jistě aspoň
všimli, že v tom divném symbolu, který mi tu kazí řádkování a kazit bude v celém tomto textu, není
pod slovem lim „n = ∞“, ale něco podobného se šipkou, což nám právě naznačuje, že s ležatou
osmičkou se bude počítat jinak než s tou stojatou.
Jistá podobnost tu ale je. Naučte se následující zlaté rámečky:
číslo + ∞ = ∞
číslo - ∞ = - ∞
∞+∞=∞
-∞-∞=-∞
číslo.∞ = ∞
číslo.∞ = - ∞
číslo.(- ∞) = - ∞
číslo.(- ∞) = + ∞
∞
=∞ ,
číslo
∞
= -∞
číslo
-∞
= -∞ ,
číslo
-∞
= +∞
číslo
když je číslo > 0
když číslo < 0
když je číslo > 0
když číslo < 0
∞.∞=∞
− ∞ . (- ∞) = ∞
∞ . ( - ∞) = - ∞
-∞.∞=-∞
0 . ∞ = 0,
ale jenom když je to
pevná nula, již na
začátku zadaná
0 . ( - ∞) = 0,
ale jenom když je to
pevná nula, již na
začátku zadaná
číslo
=0 ,
∞
číslo
=0 ,
-∞
na znaménku čísla nezáleží
na znaménku čísla nezáleží
nenulové číslo
=∞ ,
0
nenulové číslo
=−∞ ,
0
nenulové číslo
=−∞ ,
0
nenulové číslo
=∞ ,
0
když se k té nule
blížíme z plusu
a navíc je číslo > 0
když se k té nule
blížíme z mínusu
a navíc je číslo > 0
když se k té nule
blížíme z plusu
a navíc je číslo < 0
když se k té nule
blížíme z mínusu
a navíc je číslo < 0
číslo∞ = 0,
když číslo ∈(-1;1);
číslo∞ = ∞,
když číslo > 1;
a když je číslo ≤ -1,
tak číslo∞ osciluje
ln ∞ = ∞,
log ∞ = ∞;
ln 0 = - ∞,
log 0 = - ∞
 ∞=∞ ,
n
lim  n=1
n ∞
1∞ = 1
∞∞ = ∞
! ! ! Pozor, je jedna vyjímka.
U této posloupnosti nedosazujeme, ale píšeme rovnou výsledek:
[čti Eulerovo číslo] přibližně 2,7183 ! ! !
Je toho dost, i když to občas vypadá docela přirozeně.
Takže v podstatě bychom již mohli zvládnout některé zběsilejší limity, pokud se jich nezaleknem
a zkusíme ihned dosadit.
Například:
lim log   m0,9m  = ... ta odmocnina je v posledním řádku (výše uvedených zlatých rámečků);
m
m ∞
0,9 je v tom intervalu (-1; 1), takže při dosazení ∞ za m jde ta mocnina k nule ...
= log(1 + 0) = log 1 = 0, kdo ten logaritmus neví z hlavy, použije kalkulačku.
Nebo příklad, který by měl vysvětlit, jak je myšleno, že se k nule blížíme z kladných nebo
záporných čísel:
5
= ... Zase tam máme tu odmocninu. Když dosadíme rovnou ∞, dostáváme
, což nám
n
n ∞ 1 - n
moc nepomůže, jen vidíme, že to vyjde + ∞ nebo - ∞. Abychom prokoukli, jestli to jde ve
jmenovateli k té nule z plusu nebo mínusu, vždy pomůže dosadit za číslovací proměnnou nějaké
velké číslo. Já obvykle dosazuji třeba 100, ale tady, když už Vám kalkulačka spočítá stou
odmocninu ze sta, vyjde stejně jedna. Proto navrhuji dosadit pouhou čtyřku. Čtvrtou odmocninu
spočítáme tak, že uděláme druhou odmocninu a z ní ještě druhou odmocninu. Nuže dosaďme:
lim
a4 =
, kde ve jmenovateli vyjde cca. -0,4. Pro a8 by ten jmenovatel byl cca. -0,3. To bohatě
stačí na správné určení, že k nule jdeme ve jmenovateli ze záporných čísel, čili limita je:
= - ∞.
Ve zlatých rámečkách ale zdaleka nejsou všechny možnosti. Chybí tam jedna přímo klíčová skupina
výrazů s nekonečnem, a to proto, že jde o skupinu, kterou takto počítat neumíme. Jsou to zejména
takovéhle prasárny:
!!! POZOR - TOTO JSOU NEURČITÉ VÝRAZY, KDYŽ VYCHÁZÍ TOHLE, TAK SE JEŠTĚ NEMŮŽE
DOSAZOVAT !!!
∞ - ∞,
-∞+∞
0. ∞,
když nám ta nula
z něčeho vyšla
,
,
0. (-∞),
když nám ta nula
z něčeho vyšla
00
tj. nula na nultou, nikoliv nula
stupňů
- 2 - Co tedy s tím, když dosazení nepomáhá
A) Vzoreček
Někdy pomůže pouhá úprava nebo jen přepis podle nějakého vzorečku. Pokud následující vzorečky
neovládáte z hlavy, doporučuji se je naučit, případně ja zapsat do každého taháku z matiky:
2
2
(A + B) = A + 2AB + B
x ─ A=
2
2
(A - B) = A - 2AB + B
1
xA

A
2
(A + B).(A - B) = A2 - B 2
ale i naopak
2
A - B 2 = (A + B).(A - B)
x A ─ B=
xA+ B = xA . x B
( x A) B = xA . B
x
y
2
B
1
( x . y) A = x A . y A
 A=AB
 x.y= x .  y ,
A
 x.y= A x . A y
xA
= A
y
sin x
tg x =
cos x
cos x
cotg x=
sin x
A
x
B
x

x x
,
=
y y

A
A
x x
=
y A y
sin2 x + cos2 x = 1,
také ale sin2 x = 1 - cos2 x,
cos2 x = 1 - sin2 x
Samozřejmě nikdy nevíte, jestli se ten který vzoreček bude hodit tak, jak je napsaný, nebo jestli ho
použijete z druhé strany, jak je uvedeno v pravém horním rohu tabulky. Stejné obraty bychom měli
pro všechny vzorečky.
Hned uvedu příklad:
1
1
1
-1
n
n2
1
1
lim  = lim 1 = lim n 2 = lim n 2 = lim
= =0
n n ∞ n n ∞
∞
n ∞
n ∞
n ∞  n
B) Fígl
Když limita stále odolává, musíme použít nějaký fígl. U zlomků je nejčastější fígl vydělit
jmenovatel i čitatel nejvyšší mocninou n (nebo jiné číslovací proměnné), která se vyskytuje ve
jmenovateli.
n3 - 5n 27
např.: lim
= nejvyšší mocnina n, která je ve jmenovateli, je n4. Proto vydělíme
4
3
n  ∞ 2n 3n - n1
všechny členy nahoře i dole ve zlomku výrazem n4
n3
n2 7
1
5 7
- 2 4
5
 4
4
4
n n n
n
n n
= lim
= zkrátíme lim
=
4
3
3
1 1
n
n
n 1
n ∞
n ∞
2 - 3  4
2 4 3 4 - 4  4
n n n
n
n
n n
0 - 00
0
=
= 0.
20 - 00
2
Když si spočítáte pár takovýchto příkladů, zjistíte, že je to stále stejné a že nakonec víte výsledek
dříve, než začnete počítat, a sice:
Když je vyšší mocnina dole, vyjde vždycky nula - jako v našem příkladu; když je vyšší mocnina
nahoře, vyjde + ∞ nebo - ∞, podle toho, jaká znaménka jsou před nejvyšší mocninou v čitateli a ve
jmenovateli;
a když je nahoře i dole stejná nejvyšší mocnina, vyjde poměr koeficientů před touto mocninou.
Pro jistotu si to ukážeme:
n5
n3
n 13
10 5 - 11 5 9 5 - 5
n
n
n n
= vydělíme výrazem n5: = lim
=
5
4
n
n
n2 17
n ∞
- 7 5 5 5 - 3 5  5
n
n
n
n
11 9 13
10 - 2  4 - 5
10 - 00 - 0
n n n
zkrátíme: = lim
= a dosadíme
=
- 70 - 00
5 3 17
n ∞
- 7 - 3  5
n n n
= dosadíme ∞ =
Kdo má fištróna a zkušenosti, může pak i jiné limity řešit metodou "kouknu a vidím", která
v podstatě tkví v tom, že poznáte, co jsou zanedbatelné drobné, o které se nemusíte starat. Při té
metodě se musejí obzvláště hlídat znaménka.
Ale zpět k uvedenému fíglu:
VAROVÁNÍ!!!!! VAROVÁNÍ!!!!! VAROVÁNÍ!!!!!
Tento fígl funguje jedině u zlomků, pokud nemáte zlomek, nemůžete si v limitě dělat, co Vás
napadne. To proto se píše rovná se, že víme na 100%, že jsme hodnotu nezměnili!
Podobné fígle si budete muset vymyslet sami, protože možností zadání je hodně moc, nemělo by
cenu rozebírat 100 příkladů a ani bych na to neměl sílu. Jeden ale ještě ukážu:
5n - 2n
n
n
n = čitatele i jmenovatele vyděšlíme výrazem 7 :
n ∞ 2 - 7
5n 2n
7 n 7n
= lim n
= použijeme tahákový vzoreček o mocnině zlomku a zkrátíme zlomeček
7n
n ∞ 2
7 n 7n
vpravo dole:
n
n
5
2
7
7
= lim
= dosadíme ∞, uvědomíme si, že
< 1,
< 1:
n
n ∞
2
-1
7
lim
 

=
0- 0
=0
0- 1
No dobře, za všechny ostatní tedy ještě jeden zástupce:
n - 2 n
= vydělíme vršek i spodek výrazem
n ∞ 3 n - 1
lim
n
3 n
= lim
n  ∞ 3 n
3 n
-
2n
3 n = použijeme vzoreček pro odmocninu zlomku (jenom z druhé strany)
1
3 n
a zkrátíme zlomeček vlevo dole:
n
2n
3n
3n
= lim
= zkrátíme enka
1
n ∞
13 n
1
2
3
3
= lim
= dosadíme, odmocnin nahoře se nebojíme - jsou to pouhá čísla, jen
1
n ∞
13n
škaredě zapsaná
1
2
1
2
= 3
kdo chce, může to dopočítat na kalkulačce, já to dělat nebudu.
3 =
3
3
1- 0
 
 
   
Jaký fígl použít když nemáme zlomek?
V první řadě se podíváme, jestli se dá něco vytknout, vezmeme si například čitatel z minulého
příkladu:
lim   n -  2 n = (vzoreček) lim   n -  2 .  n = lim   n .1 -  2 =
n ∞
n ∞
n ∞
dosadíme, vyjde nekonečno krát číslo < 0, takže výsledek je:
=-∞
Jak je vidět, tento typ příkladů bývá spíše chyták pro ty, kdo nevzali na vědomí to červené
VAROVÁNÍ, které jsem psal o stránku výše.
Další fígle jsou již téměř ryze matfyzácké a nebudeme si je tu uvádět, protože kdo by je zvládl,
nepotřebuje číst tento polopatický návod.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY
- 1 -


1 n
lim  n 3ln ( 1 )  = přepíšeme podle vzorečku pro B-tou odmocninu - viz výše
n
n ∞
1


1 n
n
= lim 3 ln ( 1 )  = dosadíme ∞, přitom výraz v logaritmu je ona vyjímka, kterou
n
n ∞
nepočítáme, ale píšeme výsledek e:
= 30 + lne = 1 + 1 = 2
- 2 lim ( p 3 - 2 p27 q ) = ...q je číslo. Nevíme jak velké, máme jen jeho jméno q, ale víme, že
p ∞
na číslovací proměnné p nezvisí. Kdybychom teď za p dosadili nekonečno, vyšlo by ∞ - ∞, což je
neurčitý výraz, proto zkusíme tu nejjednodušší věc - vytknout. (!!! Pozor - zde není zlomek, proto
to nebudeme ničím dělit!!!) ...
2
= lim ( p . ( p - 2 )7 q ) = dosadíme ∞
p ∞
= ∞.∞ = ∞
Poznámka:
Zde máme další pravidlo do metody "kouknu a v(id)ím" - Když jde o polynom (česky mnohočlen,
je to něco jako x5 - 2x4 + 3x3 - 4x2 + 5x - 6), v limitě je rozhodující nejvyšší mocnina, vše ostatní
jsou zanedbatelné drobné. Ukážeme si to ještě na dalším příkladu:
- 3 2
3
lim ( n - 2 n  4 ) = ...Metoda "kouknu a vím" nám říká zaměřit se na nejvyšší mocninu,
n ∞
která ale tady není na prvním místě, takže, aby to viděli všichni, přepíšu:
=
= ... dosadíme JEN do toho rozhodujícího členu, ostatní čelny, tj.
bezvýznamné drobné - ignorujeme: = - 2 . ∞ = - ∞
Kdo nevěří, může si odzkoušet doporučený postup - vytknutí:
lim ( n2 - 2 n3  4 ) = Vytkneme nejvíce, co to jde, tj. n2 ; té čtyřky se to ovšem netýká.
n ∞
2
= lim  n .( 1 - 2 n )4 = ...dosadíme ∞... = ∞.(- ∞) + 4 = - ∞
n ∞
- 4 -


2u
1- u

= Použijeme na první zlomek upravený fígl s dělením - dělíme vše
u
1u
u ∞ 5 - 3
výrazem 3u; na druhý zlomek použijeme dělící fígl v originálním znění (nejvyšší mocnina číslovací
proměnné je zde ovšem u1 = u).
lim
= lim
u ∞

u
2
u
3
u
5 3
- u
u
3 3
1 u
u u

1 u

u u

= zkrátíme a v prvním zlomku nahoře použijeme vzoreček pro
mocninu zlomku (kterým se tady myslí
)
 

u
2
1
-1
3
u
= lim
= dosadíme, přičemž

1
u ∞ 5
-1
1
u
3u
k ∞, protože 3 > 1:
0
0- 1

=
= 0 + (-1) = - 1
0 - 1 01
jde k 0, protože
< 1 a podobně 3u jde
- 5 lim  3 m 2 - m 3  = Obě odmocniny přepíšeme podle vzorečku pro B-tou odmocninu z A
m ∞
=
lim  3.2
1
m
-3
m ∞
1
m
 = ...dosadíme ∞...
= 3.20 - 30 = 3 - 1 = 2
- 6 -

n

1
= Zde jen použijeme vzoreček pro e, podrobnější výpočet patří do
lim 1
n
n ∞
odborných knížek o historii matematiky, ne do Vaší písemky. Odmocnina zůstane tam, kde je.
=
 e ...A to už je výsledek - číslo. Dopočítávat, že je to cca. 1,65, není zvykem.
Zatím stačí.
MateMati