Střední škola stavební Jihlava Sada 2 – Matematika

Střední škola stavební Jihlava
Sada 2 – Matematika
19. Logaritmy
Digitální učební materiál projektu:
SŠS Jihlava – šablony
registrační číslo projektu:CZ.1.09/1.5.00/34.0284
Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Mgr. Ondřej Bachr
© 2012
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Praktické využití logaritmu:
Tabulky logaritmu poskládal v 16. stol. skotský
matematik John Neper (Napier).
Vymyslel efektivní způsob jak převést aritmetické
operace (+, -, ·, : ) při počítání s velkými hodnotami
(tzv. Neperovy kosti).
Iniciovaly vznik logaritmických tabulek a
logaritmického pravítka.
Efektivní řešení exponenciálních rovnice (tzv. pomoci
zlogaritmování).
Při počítání s logaritmy využíváme vztahy mezi
logaritmy a exponenty.
Logaritmické funkce
Def.: Logaritmus je matematická funkce, která je
INVERZNÍ k funkci EXPONENCIÁLNÍ! Logaritmus
+
(
a
∈
R
/ 1)
kladného reálného čísla x při základu a
je takové reálné číslo pro které platí:
y = log a x
a =x
y
V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované
číslo x se někdy označuje jako numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.
Pomocí výše uvedených rovností lze složité operace převádět na
jednodušší (často se k tomu používalo i logaritmické pravítko a
logaritmické tabulky).
Př. 1: Řešte pomocí logaritmů 17300 ⋅ 15478 = ???
- Rovnici zlogaritmujeme:
a upravíme:
1
2
1
2
log 17300 ⋅ log 15478 = log 17300 ⋅ log 15478 =
1
= log 17300 + log 15478 = ...
2
- Nyní použijeme tabulku s logaritmy: log 17300 = 4,238
log 15478 = log15480 = 4,189
1
- A dořešíme: 4,238 + ⋅ 4,189 = 6,3329
2
log10 x = 6,3329 ⇒ 106,3329 = x
⇒ x = 2152000
* Řešení pomocí kalkulačky:
2152303,56
Logaritmická funkce: y = log a x
• Je to funkce prostá
a ∈ R+ , a f 1
• Df ∈ (0, ∞ + )
• Hf ∈ R
• Pro a platí:
a ∈ R+ , a f 1
ROSTOUCÍ
a ∈ R + ,0 p a p 1 KLESAJÍCÍ
• Funkční hodnota: f (1) = 0 → [1,0]
• Osa y = ASYMPTOTA
a ∈ R + ,0 p a p 1
Základní věty pro použití logaritmu:
y = log a x
a =x
y
Základní pravidlo pro počítání s
logaritmy
a loga x = loga a x = x
Logaritmus je funkcí inverzní k funkci exponenciální
log a ( x ⋅ y) = loga x + log a y
log a
x
= loga x − loga y
y
Logaritmus součinu je součet logaritmů
jednotlivých činitelů
Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a
jmenovatele
1

 Logaritmus mocniny je roven
n
log a x = y ⋅ loga x tzn. log a x = log a x  exponent krát logaritmus základu
n


log a 1 = 0
y
log a a = 1
Další (užitečné) věty o logaritmech:
log b x
log a x =
log b a
log x
log a x =
log a
a=a
log a b
log a b
(
ax = b
)
1
log a b log b
a
= a
1
log b a =
log a b
x
log a b
Tyto dvě věty jsou velmi důležité!! Používá se při
výpočtech na kalkulačkách, když máme základ jiný než
desítkový (nebo e). Počítáme jako podíl dvou
logaritmů!
= b x logb a
=b
1
log a b
Užití logaritmů v praxi:
Př. 2: Z m0 gramů radioaktivní látky zbylo po t sekundách m
gramů radioaktivní látky. Určete odtud poločas přeměny této
látky, když vzorec pro výpočet je:
1
m = m0  
2
t
T
Našim úkolem je vyjádřit z tohoto vzorce T. Výrazy na obou stranách jsou
kladná čísla, tudíž existují i logaritmy k jejich řešení. Musíme ZLOGARITMOVAT
ROVNICI a pak vyjádřit T.
a) Zlogaritmujeme (logaritmem o základu deset „desítkovým log.“):
t


T
1
log m = log m0   
 2 


b)Použijeme větu o součinu logaritmu log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y
t
t


T
T
1
1




log m = log m0    ⇒ log m = log m0 + log 
 2 
2


c) Použijme větu o mocninách v logaritmech log a x y = y ⋅ log a x
t
1
log m − log m0 = log 
T
2
d) Upravujeme * log 0,5 = −0,30103
− 0,30103t
log m − log m0 =
T
e) Dále to jsou jen „aritmetické“ operace:
− 0,30103t
log m − log m0 =
/⋅ T
T
T ⋅ (log m − log m0 ) = −0,3013t / : (log m − log m0 )
− 0,3013t
T=
log m − log m0
Poločas přeměny uvažované radioaktivní látky je tudíž roven
− 0,3013t
Hodnotě log m − log m .
0
Seznam použité literatury
Literatura:
RNDr. CALDA Emil, CSc. a kolektiv, Matematika pro
Střední odborné školy a studijní obory středních
odborných učilišť – 3. část, Prometheus 2002
RNDr. HUDCOVÁ Milada a Mgr. KUBÍČKOVÁ Libuše,
Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové
studium, Prometheus 2004 (druhý dotisk)
Státní maturitní testy (CERMAT) 2002 - 2012
Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení.
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je : Mgr. Ondřej Bachr…………….
Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje.
Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na www.ssstavji.cz.