Asymptoty funkce

Asymptoty funkce
1. Asymptota bez směrnice
2x 2  6x
2x
Máme dvě funkce f1 : y 
a f2 : y 
.
x3
x3
hodnoty funkce
Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit
za x libovolné reálné číslo kromě trojky. Funkce f1 a f2 tedy nejsou definované pro x = 3. Nás
by však ještě zajímalo, jakých hodnot budou obě funkce nabývat pro x blízké číslu 3 (z obou
stran). Než se pustíme do výpočtu jednostranných limit, neodpustím si jednu malou tabulku,
která mnohé napoví.
x=
2,9
2,99
2,999
2,9999
3
3,0001
3,001
3,01
3,1
f1
5,8
5,98
5,998
5,9998
nelze
6,0002
6,002
6,02
6,2
f2
-58
-598
-5998
-59998
nelze
60002
6002
602
62
Už z této tabulky je patrné, že chování obou funkcí se v blízkosti bodu x = 3 zásadně liší.
Zatímco funkce f1 nepřípustnou trojku jen jakoby „přeskočí“ či ještě lépe „vynechá“, funkce f2
se nám v blízkém okolí bodu x = 3 dočista pomátla – z mínus hausnumera skočí rovnou do
plus hausnumera (fundovaný čtenář odpustí). A to jsem se ještě krotil! Sami si můžete zkusit
určit hodnotu f2 např. pro x = 3,0000000000000001. To je panečku číslíčko.
Abychom ještě lépe pochopili, cože se to tam u té trojky vlastně děje, vypočítáme si u každé
funkce tzv. jednostranné limity. Začneme funkcí f1.
lim x3
2x 2  6x
2 x  ( x  3)
 lim x 3
 lim x 3 2 x  6 .
x3
x3
Limita pro x jdoucí k číslu 3 „zleva“ je tedy rovna číslu 6.
lim x3
2x 2  6x
2 x  ( x  3)
 lim x3
 lim x3 2 x  6 .
x3
x3
Totéž platí i pro limitu jdoucí k číslu 3 „zprava“.
Co to znamená? Přesně to, co naznačovala už samotná tabulka. Funkce f1 se v podstatě chová
úplně stejně jako lineární funkce y = 2x s tím rozdílem, že bod x = 3, kde není definována,
přeskočí (vynechá). Grafem funkce f1 je tedy přímka y = 2x bez jednoho bodu (tuto skutečnost
„ošéfujeme“ prázdným kolečkem v bodě x = 3, viz obrázek 1).
obr. 1
Nyní se zaměříme na funkci f2. Při určování jednostranných limit funkce f2 v bodě x = 3
nepotřebujeme znát žádné matematické kejkle, postačí zdravý selský rozum. Ten říká:
Dělíme-li něco na stále menší a menší kousíčky, bude těchto kousíčků stále víc a víc.
2x
6
lim x3

 
n.m.č.z. = nekonečně malé číslo záporné
x  3 n.m.č . z.
Limita pro x jdoucí k číslu 3 „zleva“ je tedy rovna   . Takovou limitu zveme nevlastní.
lim x3
2x
6


x  3 n.m.č .k .
n.m.č.k. = nekonečně malé číslo kladné
Funkce f2 má pro x jdoucí k číslu 3 „zprava“ nevlastní limitu rovnu  .
Z výpočtu jednostranných limit funkce f2 v bodě x = 3 (a určitě už i z tabulky) je jasné, že
sestrojíme-li v kartézské soustavě souřadnic v bodě x = 3 přímku rovnoběžnou s osou y, bude
se graf funkce f2 k této přímce pro x jdoucí k číslu 3 zleva i zprava stále více přimykat (viz
obrázek 2). Přímku s těmito vlastnostmi zveme asymptotou bez směrnice (svislou
asymptotou) funkce f2 (jelikož není grafem žádné lineární funkce a nemá směrnici).
Pozn. K existenci asymptoty bez směrnice funkce v daném bodě stačí, má-li funkce v tomto
bodě jen jednu nevlastní limitu (např. jen zprava – viz příklad 1). Přitom funkce může
i nemusí být v daném bodě definována (ale rozhodně nemůže být v tomto bodě spojitá – teda
aspoň myslím).
obr. 2
Závěr: Funkce f1 nemá asymptotu bez směrnice, funkce f2 má asymptotu bez směrnice danou
rovnicí x = 3.
2 sin x
.
x
Funkce f se nazývá logaritmická. Je definována pro všechna x   1;   a na celém svém
definičním oboru je spojitá. Jediným možným bodem, kde by mohla mít asymptotu bez
směrnice, je tudíž bod x = –1. Těžko budeme vyšetřovat limitu této funkce pro x jdoucí
k mínus jedné zleva, ale jak víme, k existenci asymptoty bez směrnice funkce v daném bodě
stačí jen jedna nevlastní limita v tomto bodě, takže vyšetříme limitu pro x jdoucí k mínus
jedné zprava. Ta je podle definice logaritmu rovna   . Závěr: Funkce f : y  ln( x  1) má
asymptotu bez směrnice danou rovnicí x = –1 (viz obrázek 3).
Př.1) Určete asymptoty bez směrnice funkcí f : y  ln( x  1) a g : y  x 
x=–1
obr. 3
Funkce g je definována pro všechna reálná čísla kromě nuly a na obou intervalech   ; 0
a 0 ;   je spojitá. Má-li mít asymptotu bez směrnice, pak jedině v bodě x = 0. Vyšetříme
tedy jednostranné limity funkce g v tomto bodě. Využijeme při tom dvou vět o limitách
funkcí i jedné známé limity.
2 sin x 
sin x

lim x0  x 
 0  2 1  2 .
  lim x0 x  2 lim x 0 
x 
x

2 sin x 
sin x

lim x0  x 
 0  2 1  2 .
  lim x0 x  2 lim x 0
x 
x

Ani jedna z těchto limit není nevlastní. Závěr: Funkce g nemá asymptotu bez směrnice (viz
obrázek 4).
obr. 4
2. Asymptota se směrnicí
2.1. Vodorovná asymptota
2x
Vraťme se k funkci f 2 : y 
z prvního příkladu. Obrázek 2, na kterém je znázorněn graf
x3
této funkce, dává tušit, že např. pokles hodnot funkce f2 pro x   nebude až do mínus
nekonečna, ale že zřejmě existuje jistá mez (limita), pod kterou se hodnoty funkce pro x
jdoucí do nekonečna nedostanou. Jinými slovy zřejmě bude existovat přímka rovnoběžná
s osou x, ke které se bude graf funkce f2 pro x jdoucí do nekonečna stále více přimykat
(v našem případě seshora). Přímku s těmito vlastnostmi zveme vodorovnou asymptotou
funkce f2 a je to speciální případ asymptoty se směrnicí, kdy směrnice je rovna nule
(připomínám, že směrnice přímky je rovna číslu tg φ, kde φ je směrový úhel přímky tj. úhel,
který svírá přímka s kladnou poloosou x).
Zbývá otázka, jak vodorovnou asymptotu určit. To není nic těžkého, už předchozí odstavec
napověděl. Stačí vyšetřit limity funkce pro x   a pro x   . Při jejich výpočtu
použijeme:
1) jeden starý známý fígl (a sice vydělení čitatele i jmenovatele nejvyšší mocninou neznámé x
– v našem případě je to x1),
1


2) jednu známou limitu  lim x    0  ,
x


3) věty o limitách funkcí.
lim x
2x
 lim x
x3
2x
x  2  2.
x 3 1 0

x x
Pro x   dostaneme stejný výsledek.
Závěr: Funkce f2 má vodorovnou asymptotu danou rovnicí y = 2 (viz obrázek 5).
obr. 5
2.2. Šikmá asymptota
Prohlédněte si pozorně ještě jednou obrázek 4. Nic? Nevadí, trochu vám pomůžu.
y
obr. 6
x
2 sin x
na obrázku 6
x
vypadá jak užovka na placáku, a zkusme si do stejného obrázku doplnit přímku y = x.
Pořád nic? Nechme teď stranou úvahy o tom, že graf funkce g : y  x 
obr. 7
Chápeme-li asymptotu se směrnicí funkce jako přímku, ke které se daná funkce pro x  
resp. pro x   stále více přimyká, pak z obrázku 7 je evidentní, že přímka y = x musí být
2 sin x
asymptotou funkce g : y  x 
. A vůbec přitom nevadí, že ji „párkrát“ (ve skutečnosti
x
nekonečně mnohokrát) protne. Otázkou je, jak danou asymptotu najít, aniž bychom museli
pracně vykreslovat hromady grafů či hádat z křišťálové koule. Návod poskytne následující
věta:
Věta: Přímka y = kx + q je asymptotou se směrnicí funkce f pro x   (resp. x   ) právě
tehdy, když existují vlastní limity:
f ( x)
lim x
k
lim x  f ( x )  kx   q
x
resp.
f ( x)
lim x
k
lim x  f ( x)  kx   q
x
2 sin x
(o rovnici y = kx + q), pak
x
musíme logicky nejdříve zjistit směrnici asymptoty k. Budeme postupovat podle výše
uvedené věty.
2 sin x 

x

 2 sin x 
x   lim
k  lim x  
  1  0  1 . Pro x   dostaneme stejný
x   1 
x


x2 





výsledek. Tedy k = 1, což souhlasí s naší hypotézou.
Takže hledáme-li šikmou asymptotu funkce g : y  x 
Nyní určíme posunutí asymptoty po ose y, neboli číslo q.
2 sin x
2 sin x


q  lim x  x 
 1  x   lim x 
 0 Pro x   dostaneme opět stejný
x
x


výsledek, tedy q = 0, což potvrdilo naši hypotézu.
A nyní již můžeme směle prohlásit:
2 sin x
Funkce g : y  x 
má šikmou asymptotu danou rovnicí y = x.
x
Pozn. Jiný postup, jak by se podle mého skromného názoru dala určit směrnice šikmé
asymptoty, vychází z předpokladu, že šikmou asymptotu lze chápat jako tečnu ke grafu funkce
f(x) v bodě x =  (resp. x =   ). Jelikož derivace funkce v daném bodě je zároveň směrnicí
tečny ke grafu funkce v tomto bodě, stačilo by určit obecnou derivaci f´(x) a pak vypočítat
lim x f ´( x ) resp. lim x f ´( x ) . Tento postup jsem však zatím nikde neviděl, takže bez
záruky. Nicméně pro náš konkrétní příklad platí, neboť:
2 x cos x  2 sin x
2 cos x 2 sin x
 1

2
x
x
x2
 2 cos x 2 sin x 
k  lim x 1 

  1  0  0  1 a pro x   zrovna tak.
x
x2 

g´( x )  1 
2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx
Př.2) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce h( x) 
.
x 1
Postup:
1) Určíme svislé asymptoty.
2) Určíme vodorovné asymptoty.
3) Určíme šikmé asymptoty.
Na závěr vykreslíme graf se všemi nalezenými asymptotami.
ad1)
Funkce není definována pro x = – 1. Vyšetříme jednostranné limity.
2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx 2  5  3  2arctg (1) 2arctg (1)
lim x1


 .
x 1
n.m.č .z.
n.m.č .z.
2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx 2  5  3  2arctg (1) 2arctg (1)
lim x1


 
x 1
n.m.č .k .
n.m.č .k .
Obě limity jsou nevlastní, funkce h(x) má svislou asymptotu danou rovnicí x = – 1.
ad2)
Určíme limity funkce v nevlastních bodech (tedy pro x   a pro x   ).
2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx
lim x
 
x 1
Vysvětlení: V čitateli zlomku se nachází polynom vyššího stupně než ve jmenovateli, proto
limita musí být nevlastní. Při dosazení záporného čísla nekonečně vzdáleného od počátku
soustavy souřadnic (trochu neobratná formulace, nicméně napsat nekonečně velkého
záporného čísla je asi hloupost) je čitatel kladný a jmenovatel záporný.
2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx
lim x

Vysvětlení analogické.
x 1
Závěr: Funkce h(x) nemá vodorovnou asymptotu.
ad3)
Nechť existuje šikmá asymptota o rovnici y = kx + q.
2 x 2  5 x  3  2 xarctgx
2 x 2  5 x  3  2 xarctgx 2  0  0  0
x 1
k  lim x
 lim x

2
x
1 0
x2  x
Pozn. Čitatel i jmenovatel jsme vydělili výrazem x2. Pro x   dostaneme stejný výsledek.
 2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx

2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx  2 x x  1
=
q  lim x 
 2 x   lim x
x 1
x 1


2 x 2  5 x  3  2 x  arctgx  2 x 2  2 x
3 x  3  2 x  arctgx
= lim x
 lim x

x 1
x 1
3
x
3




x 3   2arctgx 
 3   2arctgx  3  0  2
x
x
x
  lim

2  3 .
= lim x 
x
x 1
x 1
1 0

x x
Pro x   je celý postup stejný až na závěr.
 
3  0  2  
 2 x  5 x  3  2 x  arctgx

 2   3
q  lim x  
 2 x   ... 
x 1
1 0


Závěr: Funkce h(x) má šikmé asymptoty dané rovnicemi: y = 2x + 3 – π pro x  
y = 2x + 3 + π pro x   .
2
A na úplný závěr slibovaný graf.
obr. 8