Výrokový pocet

Výrokový počet
1. Zjistěte, jestli následujı́cı́ formule jsou tautologie. V přı́padě záporné
odpovědi určete k dané formuli konjunktivnı́ a disjunktivnı́ normálnı́
formu.
(i) (A ⇐⇒ C) =⇒
(B ⇐⇒ C) =⇒ (A ⇐⇒ B)
(ii) (A ⇐⇒ B) =⇒ A ∧ C ⇐⇒ C ∧ B
(iii) (A ⇐⇒ B) =⇒ (¬A ⇐⇒ ¬B)
(iv) (A ⇐⇒ B) =⇒ (B =⇒ A)
(v) (A ∨ B) ⇐⇒ ¬(¬A ∨ ¬B)
(vi) (A =⇒ B) ⇐⇒ (¬A ∨ B)
(vii) (A ⇐⇒ B) ⇐⇒
(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ ¬B)
(viii) (A ∧ B) ∧ C ⇐⇒ A ∧ (B ∧ C)
(ix) A ⇐⇒ ¬(¬A)
(x) (A ∧ ¬A) ∧ B ⇐⇒ A ∧ ¬A
(xi) (A ∧ ¬A) ∨ B ⇐⇒ A
(xii) A ∧ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C)
2. Napište formuli, která obsahuje jenom výrokové proměnné, logické
spojky ¬, ∨ a závorky a je ekvivalentnı́ formuli:
(i) p =⇒ q
(ii) p ∧ q
(iii) (p =⇒ q) =⇒ r
(iv) p =⇒ (q =⇒ r)
3. Dané jsou pravdivostnı́ hodnoty formule F v závislosti na hodnotách
jejich proměnných p, q následovně:
a)
p
1
1
0
0
q F
1 1
0 0,
1 1
0 0
b)
p
1
1
0
0
q F
1 0
0 0.
1 1
0 0
Najděte formuli F .
1
4. V dı́lně jsou tři stroje, které pracujı́ podle těchto podmı́nek: Když
pracuje prvnı́ stroj, pracuje i druhý stroj. Když nepracuje prvnı́ stroj,
nepracuje ani třetı́ stroj. Jaké jsou možnosti pro práci této trojice
strojů?
5. Před soudcem stáli tři obžalovanı́. Vyšetřovánı́m se zjistilo, že:
a) Jestliže je A nevinný nebo B vinný, tak C je vinný.
b) Jestliže A je nevinný, tak nevinný je i C.
Koho z nich má soudce odsoudit?
6. Detektiv Sherlock Holmes zjistil:
a) Jestliže A je vinný a B je nevinný, tak C je vinný.
b) C nikdy nenı́ v akci sám.
c) A nikdy nespolupracuje s C.
d) Mimo A, B, C nejsou do přı́padu zapletenı́ dalšı́ osoby, takže aspoň
jeden z A, B, C je vinný.
Koho obvinil Sherlock Holmes? Koho může s jistotou propustit?
7. Účast Anny, Barbory, Cyrila a Dušana na koncertě byla podmı́něná
následujı́cı́mi závazky: Na koncert půjde aspoň jeden chlapec a najvýše
jedno děvče. Ze sourozenců Anna–Cyril půjde právě jeden. Barbora
nepůjde bez Dušana, ale Anna nepůjde v žádném přı́padě spolu s
Dušanem. Kdo z nich se koncertu určite zúčastnı́?
8. Nad množinou prvotnı́ch formulı́ {p, q, r} je dána formule
f = (p → ¬q) ∨ ¬r a množina T třı́ formulı́
T = {(¬p∨q∨r)∧(p∨(q → ¬r)), (¬p → q)∨¬r∨(¬(p → q)∧¬r), ¬p∨(q∧¬p)∨¬r}.
Zjistěte a svoje odpovědi zdůvodněte:
• Je množina T splnitelná?
• Je formule f tautologie?
• Je formule f kontradikce?
• Je formule f tautologickým důsledkem množiny T ?
9. Pomocı́ metody Karnaughovy mapy minimalizujte funkci:
f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x3 x4 + x¯1 x2 x¯3 x4 + x1 x¯2 x¯3 x4 + x1 x2 x3 x¯4
10. Napište formuli, která obsahuje jenom výrokové proměnné, logické
spojky ¬, ∧ a závorky a je ekvivalentnı́ formuli:
((¬p ∧ q) ∨ r) ∨ (p ∨ (¬q → ¬r)) ∨ (¬p ∨ (¬q ∧ r))
2
Matematická Indukce
1. Dokažte, že pro každé nenulové přirozené čı́slo n platı́:
(i) 1 + 2 + · · · + n = 21 n(n + 1)
(ii) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
(iii) 12 + 22 + · · · + n2 = 61 n(n + 1)(2n + 1)
(iv) 13 + 23 + · · · + n3 = 14 n2 (n + 1)2
(v) 14 + 24 + · · · + n4 =
1
30 n(n
+ 1)(2n + 1)(3n2 + 3n − 1)
(vi) 12 + 32 + · · · + (2n − 1)2 = 13 n(4n2 − 1)
(vii) 13 + 33 + · · · + (2n − 1)3 = n2 (2n2 − 1)
(viii) 23 + 43 + · · · + (2n)3 = 2n2 (n + 1)2
(ix) 12 − 22 + 32 − 42 + · · · + (−1)n+1 n2 = 12 (−1)n+1 n(n + 1)
(x) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n · (n + 1) = 13 n(n + 1)(n + 2)
(xi) 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + · · · + n · (n + 1) · (n + 2) = 14 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(xii) 1 · 2 + 2 · 5 + · · · + n · (3n − 1) = n2 (n + 1)
(xiii) 1 · 3 + 3 · 5 + · · · + (2n − 1) · (2n + 1) = 13 n(4n2 + 6n − 1)
(xiv) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · · + n · (3n + 1) = n(n + 1)2
(xv) (n + 1) · (n + 2) · · · · · (n + n) = 2n · 1 · 3 · . . . (2n − 1)
(xvi) 1 + 3 + 6 + · · · + 12 n(n + 1) = 16 n(n + 1)(n + 2)
(xvii) 2 + 7 + 14 + · · · + (n2 + 2n − 1) = 16 n(2n2 + 9n + 1)
(xviii) 1 · 22 + 2 · 32 + · · · + n(n + 1)2 =
1
12 n(n
(xix)
1
1·2
+
1
2·3
+ ··· +
1
n(n+1)
(xx)
1
4·5
+
1
5·6
+ ··· +
1
(n+3)(n+4)
(xxi)
1
1·5
+
1
5·9
+ ··· +
1
(4n−3)(4n+1)
=
n
4n+1
(xxii)
12
1·3
+
22
3·5
+ ··· +
n2
(2n−1)(2n+1)
=
n(n+1)
2(2n+1)
=
n
n+1
=
n
4(n+4)
1
1·2·3
+
1
2·3·4
+ ··· +
1
n(n+1)(n+2)
(xxiv)
1
1·3·5
+
2
3·5·7
+ ··· +
n
(2n−1)(2n+1)(2n+3)
1
4
· 1−
1
9
· ... 1 −
=
1
(n+1)2
3
1
2
(xxiii)
(xxv) 1 −
+ 1)(n + 2)(3n + 5)
=
1
2
−
=
1
(n+1)(n+2)
n(n+1)
2(2n+1)(2n+3)
n+2
2n+2
(xxvi) 1 +
(xxvii)
1
2
3
2
+
7
4
+
+ ··· +
2n −1
2n−1
2
22
+
3
23
+ ··· +
1
1
−
1
5
· 1+
(xxviii) 1 +
1
3
= 21−n + 2(n − 1)
n
2n
= 2 − n+2
2n
− 71 · . . . 1 +
1
2n−1
−
1
2n+3
=
3(2n+1)
2n+3
(xxix) 1 · 1! + 2 · 2! + · · · + n · n! = (n + 1)! − 1
(xxx)
(xxxi)
1
2!
2
3!
+
1
22 −1
+ ··· +
1
42 −1
+
n
(n+1)!
+ ··· +
=1−
1
(2n)2 −1
1
(n+1)!
=
n
2n+1
2. Dokažte, že pro každé přirozené čı́slo n > 1 platı́:
(i)
√1
1
(ii)
1
n+1
+
(iii)
1
n
+
1
n+1
(iv)
n
2
<1+
(v)
1
2
·
(vi)
(vii)
+
3
4
4n
n+1
1
23
√1
2
+ ··· +
1
n+2
+ ··· +
+ ··· +
1
2
+
1
33
>
1
2n
1
3n−2
+ ··· +
· . . . 2n−1
2n <
<
√1
n
√
>
n
13
24
>1
1
2n −1
<n
√ 1
3n+1
(2n)!
(n!)2
+ ··· +
1
n3
<
1
4
3. Dokažte, že platı́:
(i) 2n > n2 , n ≥ 5
(ii) 2n ≥ n + 1 , n ≥ 0
(iii) 3n ≥ 2(n + 1)2 , n ≥ 4
(iv) 5n ≥ 5n3 + 2 , n ≥ 4
(v) 2n+2 > 2n + 5 , n ≥ 1
p
(vi) (2n)! < 2n · n! , n ≥ 1
4. * Dokažte, že pro každé reálné čı́slo a ≥ −1 a pro každé nenulové
přirozené čı́slo n platı́:
(i) (1 + a)n ≥ 1 + na
5. * Dokažte, že pro různá kladná reálná čı́sla a, b a pro přirozené čı́slo
n > 1 platı́:
(i) 2n−1 (an + bn ) > (a + b)n
4
6. * Jestliže pro nezáporná reálná čı́sla x1 , x2 , · · · , xn platı́ x1 + x2 + · · · +
xn ≤ 21 , tak
(i) (1 − x1 ) · (1 − x2 ) · · · (1 − xn ) ≥
1
2
Dokažte.
7. * Dokažte, že platı́:
(i) 1 +
1
4
+ ··· +
1
n2
≤2
8. * Dokažte, že pro každé liché přirozené čı́slo n je součet n4 +2n2 +2013
dělitelný čı́slem 96.
5
Důkazy
1. Zjistěte, zda pro libovolné množiny A, B platı́
(a) A ∩ (A ∪ B) = A,
(b) A ∪ (A ∩ B) = A,
(c) A − B = (A ∪ B) ∩ B,
(d) A − (A − B) = A ∪ B,
(e) A − (A − B) = B − (B − A) = A ∩ B,
(f) A − (B − A) = A ∩ B,
(g) (A − B) ∩ (B − A) = ∅.
2. Zjistěte, zda pro libovolné množiny A, B, C, D platı́
(a) (A ∪ B) − C = (A − C) ∪ (B − C)
(b) (A ∩ B) − C = A ∩ (B − C) = (A − C) ∩ (B − C)
(c) A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) = (A − B) − C
(d) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)
(e) (A − B) ∩ C = (A ∩ C) − (B ∩ C) = (A ∩ C) − B
(f) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C)
(g) A ∩ (B4C) = (A ∩ B)4(A ∩ C)
(h) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)
(i) (A − B) × C = (A × C) − (B × C)
(j) A × (B4C) = (A × B)4(A × C)
(k) (A × B) − (C × D) = (A − C) × (B − D)
(l) (A × B) ∪ (C × D) = (A × C) ∪ (B × D)
(m) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B)
(n) P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)
3. Dokažte, že pro libovolné relace platı́:
(a) R ◦ (S1 ∪ S2 ) = (R ◦ S1 ) ∪ (R ◦ S2 )
(b) (R ◦ S)−1 = S −1 ◦ R−1
(c) (R − S)−1 = R−1 − S −1
(d) (R̄)−1 = R−1 , (R−1 )−1 = R
S
S
S
S
(e) * R ◦ ( i∈I Si ) = i∈I R ◦ Si ), ( i∈I Ri )−1 = i∈I Ri−1
4. Dokažte, že pro libovolné relace platı́:
(a) R ◦ (S1 ∩ S2 ) ⊆ R ◦ S1 ∩ R ◦ S2
6
(b) (S1 ∩ S2 ) ◦ R ⊆ S1 ◦ R ∩ S2 ◦ R
(c) R ◦ S1 − R ◦ S2 ⊆ R ◦ (S1 − S2 )
Dokažte, že v uvedených vztazı́ch nenı́ možné nahradit inkluzi
rovnostı́.
5. Nechť f je zobrazenı́ A do B a A1 , A2 ⊆ A, B1 , B2 ⊆ B. Dokažte, že
platı́
(a) f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 )
(b) f −1 (B1 ∪ B2 ) = f −1 (B1 ) ∪ f −1 (B2 )
(c) f −1 (B1 ∩ B2 ) = f −1 (B1 ) ∩ f −1 (B2 )
(d) f −1 (B1 − B2 ) = f −1 (B1 ) − f −1 (B2 )
6. Nechť f je zobrazenı́ A do B a A1 , A2 ⊆ A, B1 , B2 ⊆ B. Dokažte, že
platı́
(a) f (A1 ∩ A2 ) ⊆ f (A1 ) ∩ f (A2 )
(b) f (A1 ) − f (A2 ) ⊆ f (A1 − A2 )
(c) A1 ⊆ f −1 (f (A1 ))
Dokažte, že v uvedených vztazı́ch nenı́ možné nahradit inkluzi
rovnostı́.
7. * Relace je cyklická, ak aRb a bRc implikuje cRa. Dokažte, že relace
je reflexivnı́ a cyklická ⇐⇒ je reflexivnı́, symetrická a tranzitivnı́.
8. Nechť f : A → B, g : B → C. Dokažte, že:
(a) * jestliže g ◦ f je injekce, tak i f je injekce,
(b) * jestliže g ◦ f je surjekce na C, tak i g je surjekce na C,
(c) * jestliže g, f jsou injekce, tak i g ◦ f je injekce,
(d) * jestliže g, f jsou surjekce (na B, resp. na C), tak i g ◦ f je
surjekce (na B, resp. na C).
7