MAKOSO, 2.kolo

MAKOSO, 2.kolo
Matematická korespondenční soutěž, ZŠ Brno, Sirotkova 36, 616 00 Brno, škola s rozšířenou výukou matematiky a
informatiky
Jméno, příjmení
Třída
Hodnocení
Pořadí
Termín odevzdání: do 7.3.2016
Kombinatorika
Kombinatorika jako jedna z matematických disciplín vznikla v 16. století, ale s jejími počátky se můžeme setkat již
ve starověku. První „kombinatorické“ výsledky či alespoň náznaky jsou až překvapivě staré. Lze je najít v jednom
z nejstarších z dochovaných textů v historii lidstva, v posvátné knize taoismu „I-ťing“ (tj. „Kniha proměn“) z roku
přibližně 2200 před naším letopočtem (př. n. l.). Počátky kombinatoriky jsou ve starověkém Řecku spojeny se jménem
Plutarchos. Ten se mimo jiné zajímal například o to, kolik slabik lze vytvořit z řecké abecedy, která má 24 hlásek. Další
podobnou úlohu kombinatorického charakteru bylo sestavení všech možných logických systémů ze soustavy axiómů.
Čísla, ke kterým řečtí matematikové tehdy došli, je velmi překvapila, protože byla ve sporu s tím, co si mysleli.
Kombinace našly také uplatnění v indickém básnictví v souvislosti s výpočtem možných kombinací dlouhých a krátkých
slabik v n-slabičném verši. V životě privilegovaných vrstev renesanční společnosti došly velké obliby nejrozmanitější
hazardní hry. Lidé dávali do sázek vše, zlatem a drahými kameny počínaje a zámky a pozemky konče. Obrovská
popularita této zábavy přispěla k tomu že se matematikové začali zabývat pravděpodobností výhry, což bylo zároveň i
hybnou silou v dalším rozvoji kombinatoriky. Úlohy této doby se týkaly hlavně hry v kostky a karetní hry. Jedním
z prvních, kdo začal počítat různé kombinace při hře, v tomto případě ve hře v kostky, byl italský matematik Niccolo
Tartaglia (asi 1500 – 1557), který sestavil první tabulky možných výsledků pro hod několika hracími kostkami, tzn. kolika
způsoby může na n kostkách padnout jistý součet. Nepřihlížel však k tomu, že jeden a týž součet lze získat různými
způsoby (např. 1 + 3 + 4 = 4 + 2 + 2). Francouz Blaise Pascal (1623 – 1663) se pro změnu pokusil vyřešit úlohu o
spravedlivém rozdělení sázky, kterou mu předložil jeho přítel, vášnivý hráč. Šlo o tento problém : „Zápas hlava – orel se
hraje do 6 vyhraných partií, byl však z nutných důvodů přerušen v době, kdy jeden z hráčů měl 5 vyhraných partií a
druhý 4 vyhrané partie. Jak nyní rozdělit vsazené peníze? Bylo jasné, že rozdělení v poměru 5:4 by nebylo spravedlivé.
Pascal použil metody kombinatoriky, kdy jednomu hráči zbývá ještě vyhrát r partií a druhému s partií. Pascal byl jedním
z prvních, kdo se začal zabývat teoretickou kombinatorikou. Zavedl známý Pascalův trojúhelník, který však znali již indičtí
matematikové ve 12. století. Samotný název „kombinatorika“ zavedl pravděpodobně německý matematik Gottfried
Wilhelm von Leibnitz (1646 – 1716). Ten uplatnil poznatky a metody získané z infinitezimálního počtu při rozvoji
kombinatoriky. Zabýval se především binomickými koeficienty, faktoriály, atd. Dílo Disertacio de Arte Combinatoria
z roku 1666 je první publikovanou prací z kombinatoriky. Další rozvoj této matematické disciplíny je spojen se jménem
Jacob I. Bernouli (1654 – 1705). Sestrojil také matematický model pro popis opakovaných pokusů, tzv. Bernoulliho
schéma. Jedním z největších matematiků všech dob, který také zasáhl do oblasti kombinatoriky, byl Karl Friedrich Gauss
(177 − 1855). Známé jsou jeho výsledky z okruhu kombinatorických úloh o šachovnici. Švýcarský matematik Leonhard
Euler (1707 – 1783) přispěl k vybudování základů diskrétní matematiky (kombinatorika a teorie grafů). Poprvé uvedl
symbol pro kombinační číslo. Konkrétně v kombinatorice se proslavil úlohou „o mostech v Královci“ nebo „o 36
oficírech“. Podobně jako většina kombinatorických úloh v této době i tyto měly charakter pouze matematických zábav.
Důležité byly především metody jejich řešení, které později našly využití v praxi 20. století. Kromě hazardních her
nenašla kombinatorika většího uplatnění v praxi. Neexistovaly většinou obecnější metody, pomocí kterých by se daly
řešit širší skupiny kombinatorických úloh. To byly hlavní příčiny následující stagnace ve vývoji kombinatoriky. 20. století,
zejména posledních 30 – 40 let, je období bouřlivého rozvoje kombinatoriky, jehož hlavní příčinou je opět společenská
praxe. Rozvoj průmyslu a techniky, ekonomie a dalších oblastí přináší s sebou řadu problémů, ve kterých se hojně
využívá nejenom kombinatorických metod. Do kombinatoriky pronikají také metody jiných matematických disciplín,
např. teorie grup, teorie konečných těles a okruhů, atd. Tento proces funguje ovšem i opačným směrem.
Kombinatorické metody pronikají např. do geometrie, programování, statistiky, atd. Kombinatorika se používá
při sestavování a luštění kódů, také pro řešení dalších problémů teorie informace. V souvislosti s rozvojem výpočetní
techniky se rozvíjí celá tzv. „diskrétní matematika“, jejíž významnou součástí je právě kombinatorika. Dnes
kombinatorika představuje rozsáhlou matematickou disciplínu, některé její problémy byly vyřešeny (problém čtyř
barev), mnohé další na své vyřešení čekají …..
……….a právě několik kombinatorických úloh čeká i na vás. Bohužel nemáte v tuto chvíli naučenou teorii kombinatoriky
či zažité kombinatorické poznatky. Stojíte tak na stejné pozici jako dávní matematikové či filozofové, kteří se
kombinatorikou zabývali a stavěli její teoretické úlohy. Neboj se experimentovat, kreslit, načrtávat…..to vše tě může
dovézt k cíli. U jednotlivých úloh naznač alespoň minimální postup k zjištění výsledku. Pouze uvedený správný výsledek
bude ohodnocen 1 bodem, úloha i s naznačeným výpočtem bude hodnocena 2 body.
Hodně zdaru….
Úloha č. 1
V luxusním hotelu je 12 kuchařů. Kolik různých dvojic z nich lze sestavit, jestliže jeden má být hlavním kuchařem a druhý
pomocníkem?
Úloha č. 2
Kristýna dostala čtyři nové knihy. Kolik je různých pořadí, v nichž si je může přečíst?
Úloha č. 3
Kolik různých dvoučlenných služeb lze sestavit z pěti chlapců?
Úloha č. 4
Kolik je všech trojciferných přirozených čísel, v jejichž zápisu se vyskytují pouze číslice 1 a 2 .
Úloha č. 5
Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichž dekadickém zápisu se každá číslice vyskytuje nejvýše
jednou.