S GK

5 – Systems interconnections. Martin Hromcik
Automatic control 2012
20‐II‐12
Interconnections
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
yi ( s ) = Fi ( s )ui ( s )
bi ( s )
Fi ( s ) =
ai ( s )
1
x& i = A i xi + Bi ui
2
yi = Ci xi + Di ui
ai ( s ) = det ( sI − A i )
b( s )
y ( s ) = F ( s )u ( s ), F ( s ) =
a( s)
x& = Ax + Bu
y = Cx + Du
a ( s ) = det ( sI − A )
Michael Šebek
i = 1, 2
⎡ x1 ⎤
x=⎢ ⎥
⎣x2 ⎦
ARI‐06‐2012
2
Serial connectioon (cascade)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
1
2
y ( s ) = y2 ( s ) = F2 ( s )u2 ( s ) = F2 ( s ) y1 ( s ) = F2 ( s ) F1 ( s )u1 ( s ) = F2 ( s ) F1 ( s )u ( s )
y ( s ) = F ( s )u ( s ), F ( s ) = F2 ( s ) F1 ( s )
b( s ) b2 ( s )b1 ( s )
=
a( s ) a2 ( s )a1 ( s )
x& 1 = A1x1 + B1u1 = A1x1 + B1u
x& 2 = A 2 x 2 + B 2u2 = A 2 x 2 + B 2 ( C1x1 + D1u )
0⎤
⎡ A
⎡ B1 ⎤
u
x& = ⎢ 1
x
+
⎥
⎢
⎥
⎣B 2C1 A 2 ⎦
⎣B 2 D1 ⎦
y = [ D2C1 C2 ] x + D2 D1u
y = y2 = C2 x 2 + D2u2 = C2 x 2 + D2C1x1 + D2 D1u
a ( s ) = a1 ( s )a2 ( s ) = det( sI − A) = det( sI − A1 ) det( sI − A 2 )
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
3
Paralel connection
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
y ( s ) = y1 ( s ) + y2 ( s ) = ( F1 ( s ) + F2 ( s ) ) u ( s )
1
y ( s ) = F ( s )u ( s ), F ( s ) = F1 ( s ) + F2 ( s )
2
b( s ) b1 ( s ) b2 ( s ) a2 ( s )b1 ( s ) + a1 ( s )b2 ( s )
=
+
=
a( s ) a1 ( s ) a2 ( s )
a1 ( s )a2 ( s )
⎡ A1 0 ⎤
⎡ B1 ⎤
x& = ⎢
⎥ x + ⎢B ⎥ u
0
A
2⎦
⎣
⎣ 2⎦
y = [C1 C2 ] x + ( D2 + D1 ) u
⎡ A1
A=⎢
⎣0
0⎤
A2 ⎥⎦
a ( s ) = a1 ( s )a2 ( s ) = det( sI − A) = det( sI − A1 ) det( sI − A2 )
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
4
Feedback(-s)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
u1 = u − y2
y ( s ) = F1 ( s ) ( u ( s ) − y2 ( s ) )
y1 = u2 = y
= F1 ( s ) ( u ( s ) − F2 ( s )u2 ( s ) )
= F1 ( s )u ( s ) − F1 ( s ) F2 ( s ) y ( s )
f (s) =
(1 + F1 ( s) F2 ( s) ) y ( s) = F1 ( s)u ( s)
F1 ( s )
y( s) =
u ( s)
1 + F1 ( s ) F2 ( s )
F2 ( s ) = 1
F (s) =
F ( s) =
b1 ( s )
b( s )
=
a( s ) a1 ( s ) + b1 ( s )
F1 ( s )
1 + F1 ( s ) F2 ( s )
a2 ( s )b1 ( s )
b( s )
=
a( s ) a1 ( s )a2 ( s ) + b1 ( s )b2 ( s )
2
1
F1 ( s )
1 + F1 ( s )
Michael Šebek
1
2
1
f1 ( s )
f1 ( s ) f 2 ( s )
F1 ( s ) F2 ( s )
1 + F1 ( s ) F2 ( s )
b1 ( s )b2 ( s )
b( s )
=
a( s ) a1 ( s )a2 ( s ) + b1 ( s )b2 ( s )
ARI‐06‐2012
5
Feedback(-s)
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
u1 = u − y2
D1 = 0, D 2 = 0
y1 = u2 = y
1
2
B 1C 2 ⎤
⎡ A
⎡ B1 ⎤
x& = ⎢ 1
x
+ ⎢ ⎥u
⎥
A2 ⎦
⎣0⎦
⎣ B 2 C1
y = [C1 0 ] x
c( s ) = det( sI − A) = det( sI − A1 ) det( sI − A 2 ) det ( I − C2 ( sI − A 2 ) −1 B 2C1 ( sI − A1 ) −1 B1 )
F2 ( s )
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
F1 ( s )
6
2 DoF controller
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
n
d
y = G (u + d ) + n
u = K ( Fr − y )
r
F (s)
e
K (s)
u
ν
G(s)
η
y
y
1
GKF
G
r+
d+
n
1 + GK
1 + GK
1 + GK
G
GK
GKF ⎞
⎛
GKF
G
GK
d+
n
⎟r −
η=
r+
d−
n ε = r − η = ⎜1 −
1
1
GK
GK
+
+
⎝ 1 + GK ⎠
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1
KF
K
ν=
r+
d−
n
1 + GK
1 + GK
1 + GK
GKF
GK
G
KF
GK
K
,
,
TF
=
T
=
GS
=
u=
r−
d−
n
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1
F
G
1
KF
K
e=
r−
d−
n
, KS =
, S=
KFS =
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
y=
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
7
1 DoF controller
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
n
d
y = G (u + d ) + n
u = K (r − y )
F =1
r
e
K (s)
u
ν
G(s)
η
y
y
1
GK
G
r+
d+
n
1 + GK
1 + GK
1 + GK
G
GK
GK ⎞
⎛
GK
G
GK
d+
n
⎟r −
η=
r+
d−
n ε = r − η = ⎜1 −
GK
GK
+
+
1
1
⎝ 1 + GK ⎠
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1
K
K
ν=
r+
d−
n
1 + GK
1 + GK
1 + GK
GK
G
K
GK
K
,
T
=
GS
=
u=
r−
d−
n
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1
1
G
1
K
e=
r−
d−
n
, S=
KS =
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
1 + GK
y=
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
8
Struktura s jedním regulátorem
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
•
L = GK
•
•
r
e
Sensitivity (response to dist.)
S=
•
ν
G(s)
η
y
1
1 + GK
y = Tr + GSd
η = Tr + GSd
u = KSr − Td
e = Sr − GSd
ε = Sr − GSd
Complementary sensiitivity
(CL transfer function)
G
Input sensitivity
1 + GK
K
Output sensitivity KS =
1 + GK
GS =
Michael Šebek
K (s)
u
y
GK
T=
1 + GK
•
n
d
Open loop
ARI‐06‐2012
+ Sn
− Tn
− KSn
− Sn
+ Tn
output
control input
control error
9
Closed loop dynamics
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
G (s) =
b( s )
q(s)
, K (s) =
a(s)
p(s)
L(s) = G (s) K (s) =
a(s) p(s)
1
S (s) =
=
1 + L( s ) a ( s) p ( s) + b( s)q ( s)
L(s)
b( s)q ( s)
=
T (s) =
1 + L( s) a ( s) p ( s ) + b( s)q ( s)
b( s)q ( s)
a(s) p(s)
q( s)
p( s)
b( s )
a(s)
c ( s ) = a ( s ) p ( s ) + b( s )q ( s )
Observations:
• unstable poles resp. zeros of L always appear as unstable zeros of S and
T respectively (can never be cancelled). Leading to non-minimum phase
CL system.
• unstable poles cannot be eliminated (while unstable poles can be
stabilized by FB)
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
10
Exercise (HW): further interconnections
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
•
Devise the following formulas:
K (s)
G1 ( s )
G2 ( KFm + Fu )
1 + GK
G (1 + Fd G1 )
GFu − Fm
Try =
= Fm +
, G = G1G2
1 + GK
1 + GK
G2 ( s )
Try =
•
Similarly for:
F (s)
K (s)
Fm
1
Fu ≈
, Fd ≈ −
G
G
G (s)
M (s)
Michael Šebek
ARI‐06‐2012
11