příklady

9
Přibližné metody III
Schödingerův, Heisenbergův, Diracův obraz
Mějme systém popsaný Hamiltoniánem Ĥ, který lze rozložit na část Ĥ0 nezávisejı́cı́ na
čase a na časově závislou poruchu ĤI :
Ĥ(t) = Ĥ0 + ĤI (t).
Dále mějme v čase t0 vektor |ψ(t0 )i popisujı́cı́ stav systému, libovolný časově
nezávislý operátor  a časově závislý operátor B̂(t). Fyzikálnı́ závěry se nezměnı́, pokud provedeme unitárnı́ transformaci současně stavového vektoru a operátorů, danou
unitárnı́m operátorem Û:
|ψ ′ i = Û |ψi ,
Â′ = ÛÂÛ† .
Tuto transformaci můžeme učinit v každém čase t obecně různou. V praxi se užı́vajı́ tři
takovéto tranformace (fyzikálně ekvivalentnı́ obrazy).
1. Schrödingerův obraz
|ψ(t)i = Û(t, t0 ) |ψ(t0 )i
Â, B̂(t)
Operátor  zůstává v čase konstantnı́, operátor B̂(t) se měnı́ v čase podle svého
funkčnı́ho předpisu.
Diferenciálnı́ rovnice (spolu s počátečnı́ podmı́nkou) pro evolučnı́ operátor Û(t, t0 ):
i~
∂ Û(t, t0 )
= Ĥ(t) Û(t, t0 ) ,
∂t
Û(t0 , t0 ) = 1̂ ,
která má v přı́padě, že celkový Hamiltonián Ĥ nezávisı́ na čase, řešenı́
i
Û(t, t0 ) = e− ~ Ĥ(t−t0 ) .
Z evolučnı́ rovnice pro evolučnı́ operátor plyne rovnice pro stavový vektor (časová
Schrödingerova rovnice)
i~
∂ |ψ(t)i
= Ĥ(t) |ψ(t)i .
∂t
2. Heisenbergův obraz
H
ψ (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) |ψ(t)i = |ψ(t1 )i = konst. ,
ÂH (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) Â Û(t, t1 ) ,
B̂H (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) B̂(t) Û(t, t1 ) .
(t1 je vnějšı́ parametr). Stavový vektor |ψi se s časem neměnı́.
Diferenciálnı́ rovnice pro stavový vektor a pro operátory:
H
∂ ψ H (t; t1 )
ψ (t1 ; t1 ) = |ψ(t1 )i
=0
∂t
i
∂ ÂH (t; t1 )
1 h H
ÂH (t1 ; t1 ) = Â
 (t; t1 ), ĤH (t)
=
∂t
i~
i ∂ H B̂(t)
∂ B̂H (t; t1 )
1 h H
 (t; t1 ), ĤH (t) + t1
B̂H (t1 ; t1 ) = B̂(t1 ) ,
=
∂t
i~
∂t
kde jsme definovali
∂tH1 B̂(t)
∂ B̂(t)
Û(t, t1 ) .
≡ Û† (t, t1 )
∂t
∂t
h
i
Pokud máme systém v časově neproměnném vnějšı́m poli, tj. Ĥ, Û(t; t1 ) = 0,
pak
ĤH (t; t1 ) = Û† (t, t1 ) Ĥ Û(t, t1 ) = Ĥ .
3. Diracův (interakčnı́) obraz
D
ψ (t; t1 ) = Û†0 (t; t1 ) |ψ(t)i
ÂD (t; t1 ) = Û†0 (t, t1 ) Â Û0 (t, t1 )
B̂D (t; t1 ) = Û†0 (t, t1 ) B̂(t) Û0 (t, t1 )
Zde
i
Û0 (t, t1 ) = e− ~ H0 (t−t1 )
je evolučnı́ operátor Hamiltoniánu Ĥ0 , tj. řešenı́ diferenciálnı́ rovnice
i~
∂ Û0 (t, t1 )
= Ĥ0 Û0 (t, t1 )
∂t
Û0 (t1 , t1 ) = 1̂,
Bez újmy na obecnosti volı́me čas t1 stejný jako v přı́padě obrazu Heisenbergova.
Diferenciálnı́ rovnice pro stavový vektor a pro operátory:
D
D
∂ ψ D (t; t1 )
ψ (t1 ; t1 ) = |ψ(t1 )i
= ĤD
i~
I (t; t1 ) ψ (t; t1 )
∂t
i
1 h D
∂ ÂD (t; t1 )
ÂD (t1 ; t1 ) = Â
 (t; t1 ), ĤD
(t;
t
)
=
1
I
∂t
i~
i ∂ D B̂(t)
∂ B̂D (t; t1 )
1 h D
B̂D (t1 ; t1 ) = B̂(t1 ),
=
B̂ (t; t1 ), ĤD
(t;
t
)
+ t1
1
I
∂t
i~
∂t
kde (podobně jako u obrazu Heisenbergova)
∂tD1 B̂(t)
∂ B̂(t)
≡ Û†0 (t, t1 )
Û0 (t, t1 ).
∂t
∂t
Řešenı́ prvnı́ rovnice lze psát ve tvaru
D
ψ (t; t1 ) = Ŝ(t, t0 ; t1 ) ψ D (t0 ; t1 ) ,
kde evolučnı́ operátor v Diracově obraze
Ŝ(t, t0 ; t1 ) = Û†0 (t, t1 )Û(t, t0 )Û0 (t0 , t1 )
je řešenı́m diferenciálnı́ rovnice
i~
∂ Ŝ(t, t0 ; t1 )
= ĤD
I (t; t1 )Ŝ(t, t0 ; t1 )
∂t
Ŝ(t0 , t0 ; t1 ) = 1̂
(9.0.1)
V Heisenbergově i Diracově obrazu se objevuje vnějšı́ parametr t1 , který vlastně
udává čas, ve kterém se operátory i stavové vektory všech třı́ uvedených obrazů rovnajı́.
Můžeme volit t1 = 0 a pak nebudeme tento parametr ve vzorcı́ch explicitně vypisovat.
Pokud H0 představuje volný Hamiltonián, pak se zavádějı́ ještě Møllerovy operátory
Ω(±) = lim Ŝ(0, t0 )
t0 →∓∞
a operátor S-matice
Ŝ = lim Ŝ(t, t0 ).
t→+∞
t0 →−∞
Řešenı́ rovnice (9.0.1) lze hledat ve tvaru integrálnı́ rovnice, kterou lze vyjádřit ve
formě řady19
Z
i t D
Ŝ(t, t0 ) = 1̂ −
Ĥ (t1 )Ŝ(t1 , t0 )dt1 =
~ t0 I
Z
Z
i t D
i t1 D
Ĥ (t1 ) 1̂ −
= 1̂ −
Ĥ (t2 )Ŝ(t2 , t0 )dt2 dt1 =
(9.0.2)
~ t0 I
~ t0 I
∞
X
=
Ŝ(n) (t, t0 ),
n=0
kde
Ŝ(0) = 1̂
Ŝ
(1)
Ŝ(n)
Z
i t D
Ĥ (t1 )dt1
=
~ t0 I
..
.
n Z t
Z t1
Z tn−1
i
D
D
ĤD
= −
ĤI (t1 )
ĤI (t2 ) · · ·
I (tn )dtn · · · dt2 dt1
~
t0
t0
t0
(9.0.3)
Rozvoj (9.0.2) lze formálně sečı́st. Jelikož všakh Diracovy obrazy
i Hamiltoniánu v
D
různých časech mezi sebou navzájem nekomutujı́, ĤD
I (tj ), ĤI (tk ) 6= 0 pro tj 6= tk ,
musı́me užı́t T-součin, definovaný následujı́cı́m způsobem: Necht’ operátory Âj (t) ve
stejném čase komutujı́, tj. necht’ [Aj (t), Ak (t)] = 0. Pak
T ÂN (tN ) · · · Â1 (t1 ) ≡ ÂiN (tiN ) · · · Âi1 (ti1 )
tiN ≥ tiN −1 ≥ · · · ≥ ti1
Užitı́m T-součinu můžeme psát
i
Ŝ(t, t0 ) = T exp −
~
19
Dysonova řada
Z
t
′
′
ĤD
I (t )dt
t0
Poznámka:
Diferenciálnı́ rovnici (9.0.1) můžeme také zkoušet v bázi |φm i řešit přı́mo. Označı́me-li
E
D Sf i (t, t0 ) ≡ φf Ŝ(t, t0 )φi ,
pak dostaneme
i~
∂Sf i (t, t0 ) X
=
ĤIf m (t) eiωf m t Smi (t, t0 )
∂t
m
Sf i (t0 , t0 ) = δf i
což je soustava vázaných obyčejných diferenciálnı́ch rovnic 1. řádu. Soustavu lze explicitně vyřešit napřı́klad pro dvouhladinový systém.
Nestacionárnı́ poruchová teorie
Stejně jako u stacionárnı́ poruchové teorie budeme i zde předpokládat, že spektrum
Hamiltoniánu Ĥ0 známe:
X
m
(0)
Ĥ0 |φm i = Em
|φm i
hφm |φn i = δmn
|φm i hφm | = 1̂.
Maticové elementy rozvoje evolučnı́ho operátoru v Diracově obraze (9.0.2) v této bázi
označı́me jako
E
D (n)
(n)
Sf i (t, t0 ) ≡ φf Ŝ (t, t0 )φi
a pro jednotlivé členy (9.0.3) dostaneme
(0)
Sf i (t, t0 ) = δf i
Z
i t
ĤIf i (t1 ) eiωf i t1 dt1
=−
~ t0
2 X Z t Z t 1
i
(2)
Sf i (t, t0 ) = −
ĤIf m (t1 ) eiωf m t1 ĤImi (t2 ) eiωmi t2 dt1 dt2
~
t0 t0
m
(1)
Sf i (t, t0 )
kde jsme zavedli
20
E
D HIf i (t) ≡ φf ĤI (t)φi
ωf i ≡
1 (0)
(0)
Ef − Ei
~
Pravděpodobnost přechodu z počátečnı́ho stavu |φi i připraveného v čase t0 do koncového
stavu |φf i v čase t je
20
Pi→f (t0 → t) ≡ |hφf (t)|φi (t0 )i|2
D
2
= φD
f (t) φi (t0 )
E2
D = φf Ŝ(t, t0 )φi E
D Pro zjednodušenı́ zápisu budeme někdy psát také HIf i (t) = f ĤI (t)i .
a v poruchové teorii dostáváme
2
(1)
(1)
(2)
Pi→f (t0 → t) = Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + Sf i (t, t0 ) + · · ·
Pro časově neproměnnou poruchu zapnutou v čase t0 dostaneme do 1. řádu
poruchové teorie
2π
Pi→f (t0 → t) =
|HIf i |2 δ∆t (ωf i )∆t
(9.0.4)
~
kde ∆t = t − t0 a
ω ∆t
1 sin2 f 2i
∆t→∞
δ∆t (ωf i ) ≡
−−−−→ δ(ωkj )
2 ∆t
ω
fi
π
2
je funkce, která má v okolı́ nuly ostré maximum pološı́řky ≃ 2π∆t a výšky ∆t/2π. Za
dobu ∆t tedy dojde k přechodům prakticky pouze v oblasti tohoto maxima, tj.
ωf i .
2π
∆t
(0)
(0) a označı́me-li ∆E (0) ≡ Ef − Ei , dostaneme
∆E (0) ∆t . 2π~
Tento vztah se nazývá relace neurčitosti mezi časem a energiı́.
(0)
Pokud lze na okolı́ Ei pohlı́žet jako na kontinuum hladin (jedná se o přechod do
spojité části spektra, nebo je v tomto okolı́ velké množstvı́ diskrétnı́ch hladin), pak se
(9.0.4) pı́še ve tvaru Fermiho zlatého pravidla
Pi→F (t0 → t)
2π
2
=
|HIf i | ρf (E)
wi→F (t0 → t) ≡
(0)
∆t
~
E≃Ei
(9.0.5)
což je rychost přechodu z počátečnı́ho stavu i do celého jeho okolı́ f ∈ F , na kterém je
|HIf i |2 přibližně konstantı́. Hustotu hladin ρf (E) lze spočı́tat napřı́klad pomocı́ postupu
uvedeném v sekci 4.
Pro harmonickou poruchu o frekvenci ω
(−) −iωt
ĤI = |ĥ(+){zeiωt} + ĥ
e }
| {z
emise
(9.0.6)
absorpce
dostaneme užitı́m podobného postupu jako v přı́padě konstantnı́ poruchy vztah
ωf i ≃ ±ω,
(0)
(0)
tj. Ef ≃ Ei ± ~ω
(9.0.7)
platı́cı́ za předpokladu, že porucha je zapnuta po dostatečně dlouhý čas.
Fermiho zlaté pravidlo v tomto přı́padě znı́
2π
~
2π
=
~
wi→F (t0 → t) =
(+) 2
h
(stimulovaná emise) ,
ρ
(E)
fi f
(0)
E≃Ei −~ω
(−) 2
(stimulovaná absorpce) .
hf i ρf (E)
(0)
E≃Ei +~ω
(9.0.8)
Pokud máme periodickou poruchu, která nenı́ harmonická, můžeme ji pomocı́ Fourierovy
tranformace na periodickou rozložit a počı́tat pravděpodobnost přechodu pro každou
složku zvlášt’.
Dı́ky rovnosti ih(+) f = f h(−) i , platı́ princip detailnı́ rovnováhy, který se dá
slovně vyjádřit jako
rychlost absorpce f → [i]
rychlost emise i → [f ]
=
.
hustota kvantových stavů [f ]
hustota kvantových stavů [i]
9.1
Nabitý harmonický oscilátor
Jednorozměrný harmonický oscilátor s nábojem q, popsaný Hamiltoniánem
1 2 1
p̂ + M Ω2 x̂2
2M
2
vložı́me do homogennı́ho časově proměnného elektrického pole s intenzitou
Ĥ0 =
t 2
A
E(t) = √ e−( τ )
τ π
(A, τ jsou reálné parametry).
1. Jak vypadá Hamiltonián interakce oscilátoru s elektrickým polem?
2. Určete hybnost, která se klasicky přenese mezi časy ti → −∞ a tf → ∞?
3. Spočı́tejte pravděpodobnost přechodu ze základnı́ho stavu v čase ti → −∞ do
prvnı́ho excitovaného stavu v čase tf → ∞ v rámci 1. řádu nestacionárnı́ poruchové
teorie.
Řešenı́:
1. Zadaná intenzita elektrického pole odpovı́dá potenciálu
V (x, t) = −qE(t)x ,
takže operátor časově závislé opravy k Hamiltoniánu Ĥ0 je
ĤtiI (t) = −qE(t)x̂ .
2. Přenesená hybnost je dána časovým integrálem elektrické sı́ly
Z ∞
Z ∞
Z tf
t 2
qA
∂V (x, t)
e−( τ ) dt = qA .
dt = √
F (t)dt =
−
P =
∂x
τ π −∞
−∞
ti
3. Přı́slušné elementy S-matice jsou podle (9)
(0)
S10 = 0
(1)
S10
q
~
†
x̂ = 2M Ω â + â i
=−
h1|[−qE(t)x̂]|0i eiω10 t1 dt1 = (0)
(0)
~ −∞
ω10 = E1 −E0 = Ω
~
Z ∞
t 2
Ωτ 2
iqA
iqA
dt
e−( τ ) +iΩt
e− ( 2 )
=√
=√
τ
2π~M Ω −∞
2~M Ω
{z
}
|
2
√ −( Ωτ
2 )
πe
Z
∞
Pravděpodobnost přechodu je tedy do prvnı́ho řádu poruchové teorie rovna
P0→1
Poznámka:
2
Ω2 τ 2
q 2 A2 − Ω2 τ 2
P2
(0)
(1) = S10 + S11 =
e 2 =
e− 2 .
2~M Ω
2~M Ω
Uvedená porucha v prvnı́m řádu poruchové teorie způsobı́ přechod nanejvýš na sousednı́
energetickou hladinu harmonického oscilátoru.