Ornamenty - Geometrie

Ornamenty
Zuzana Štauberová ([email protected])
1. Co je ornament?
Ornament je n jaký pravideln se opakující se vzor. Na rozdíl od pouhého dekoru (tj. výzdoby) je
ornament „zp sob výzdoby vytvo ený rytmickým a symetrickým opakováním naturalistických nebo
abstraktních prvk , motiv “. Termín „ornament“ pochází ze slova „ornare“ = zdobit, které má p vod ve slov
„ordo“ = po ádek, ád. M žeme proto íci, že ornament vyjad uje ozdobu s jistým vnit ním ádem. Ornament
je p íkladem, na kterém naše instinkty provádí rozeznávání, vytvá ení a klasifikaci struktur. Uvidíme, že
množství jednotlivých alternativ nemusí být tak velké, jak by se mohlo zdát.
Z hlediska obsahového d líme ornamenty na t i druhy:
1. naturalistický
• zví ecí
• rostlinný
• v cný
• figurální
2. abstraktní
• geometrický
• stylizovaný, tj. zobrazování rostlin,
zví at a lidí je mén skute né
3. kombinace p edchozích bod 1. a 2.
Z hlediska strukturálního d líme ornamenty na dva druhy:
1. spojitý (kontinuální), který je tvo en souvislou strukturou, nap . vlnovkou
2. nespojitý (diskrétní), který je tvo en ze samostatných prvk , nap . adou bod nebo ar
Z hlediska morfologického d líme ornamenty na t i druhy:
1. Rozetový vzor (solitér, r žice)
2. Frýzový vzor (vlys, pás)
3. Tapetový vzor (ozdobné pole)
Samotná tvorba ornamentu není jednoduchá, p edpokládá jistou míru abstrakce, fantazie a p edstavivosti. Jde
o zobrazování myšlenek vzniklých abstrakcí a idealizací p írodních útvar (ornament geometrický) nebo
stylizaci rostlinných a živo išných forem. Navíc je d ležité mít stále na pam ti, že ornament není pouhý dekor
(za který bývá asto zam ován), že v ornamentu se motivy pravideln opakují. Díky této pravidelnosti
m žeme zkoumat ornamenty pomocí matematiky, p esn ji e eno z hlediska existence shodných zobrazení:
posunutí, st edové a osové soum rnosti, oto ení a posunuté osové soum rnosti, p íp. identity.
2. Vývoj ornamentu
P i pohledu na typy dekoru v pr b hu vývoje lidské civilizace si uv domíme, že celé vzory i jednotlivé
motivy jsou d ležitým pramenem poznání symboliky a vid ní sv ta jejich tv rc , jejich názor , hodnot
a zp sob myšlení. K jedné ze základních schopností lov ka pat í schopnost vnímat struktury.
„Všudyp ítomnost ornamentálních forem v kulturách, které nem ly a nemají tušení o jejich matematickém
významu a úplnosti, sv d í o vrozené lidské vnímavosti ke strukturám.“. Vznik ornamentu souvisí s po átky
výtvarného um ní v bec a je rozší en po celém sv t ve všech lidských kulturách.
Ornament graficky symbolizuje rytmus, proto pat il s tancem, tleskáním,
bubnováním a zp vem mezi nejstarší um lecké projevy lov ka již v období
st edního paleolitu (starší doba kamenná). V tšina vzor vznikala údajn
bez zám ru, pouze jako výsledek technického procesu ezání kostí, pletení koš ,
tkaní. Pro svou estetickou hodnotu pak byly tyto vzory zám rn opakovány. Magické
symboly v ornamentálních strukturách ukazují na vztahy mezi ornamentem a mýtem.
Egypt. Rozkv t výtvarného um ní v Nové íši (1580–1085 p . Kr.)
je bohatý. Staví se obrovské chrámy, které byly zdobeny p edevším výjevy
ze života boh a faraón . Hroby královských ú edník , správc a kn ží však byly
vyzdobeny podivuhodnými ornamenty. Egyptský ornament má své zvláštní prvky,
jež z stávaly po staletí i tisíciletí ustálené. Užívány byly motivy z íše rostlinné
i živo išné:
lotos – symbol božstva Nilu, papyrus (obr.), palmové listy – používáno spíše
v pozd jších dobách, bodlák, býk, beran se sluncem – symbol boha Amona, šakal,
krokodýl, kráva, ibis, brouk vruboun posvátný, jest áb – symbol boha Osirida.
Ornamenty se malovaly zpravidla šesti barvami – bílou, ervenou, ernou, žlutou,
zelenou a modrou.
ecký ornament byl, je a asi z stane
nevy erpatelnou studnicí studia v dc a um lc . Jeho
hlavní p ínos spo ívá ve vzniku nových geometrických
ozdobných tvar : zubo ez (obr.), perlovec, vejcovec, …
Naprostá p esnost eckých vzor , jejich krása
a dokonalost se objevuje na památkách ecké architektury,
ale i na nejjednodušších p edm tech ecké domácnosti. Nádoby
z 11.–8. století p . Kr. jsou vyrobeny z nažloutlé nebo na ervenalé hlíny,
pomalovány hn dými nebo ernými ornamenty: pletenec, palmeta, pásová
ozdoba, meandr, mo ská vlna, zví ata a lidské postavy z mytologických bájí.
P vod ímského dekorativního um ní vychází z kultury etruské
a ecké. ímané p ivedli ornamenty k dokonalosti v mozaikách, kterými
zdobili podlahy a st ny budov ve ejných i soukromých. Využívali k tomu
vzory geometrické, ale i motivy rostlin a plod (réva, b e an, aloe, fíky,
palmové listy, vav ín), zví ata, bohy, lidské postavy. Vytvá eli také rovinné
meandrové vzory p sobící prostorovým dojmem (obr.).
Rozhodující vliv na charakter japonské kultury m la zenová filozofie, která pronikla z íny
v 6. století, k rozší ení však došlo až ve 13. století. Na rozdíl od ostatních budhistických sekt byla sekta zen
velkou inspirátorkou um ní a emesel. Oblíbeným nám tem se stala zví ata, ptáci a rostliny. Z pohledu vývoje
ornamentu se dalším zajímavým obdobím jeví doba Monojama (16. stol.), jejímž symbolem jsou textilie.
Prostý st ih šat té doby se zachoval dodnes v kimonu. Vzorování spo ívalo v nanášení rýžového škrobu
na látku p es papírovou šablonu. Následným barvení a praním z stával na látce dekorativní vzor.
U japonského ornamentu lze pozorovat jisté nep esnosti v systematickém azení vzor , naopak
arabské ornamenty (8.–15. stol.) se vyzna ují p esn a soum rn propletenými ozdobami. Je vid t,
že v arabské kultu e bylo ornamentální um ní chápáno v t sném spojení s matematikou – s pravidelnou
symetrií. V ta z koránu (tzv. hadith), podle které nebylo vyznava m Muhamedovým dovoleno zobrazovat
lidské postavy i zví ata, zp sobila, že Arabové všechnu
svoji fantazii a um leckou vynalézavost v novali
ornamentu.
Za základní prvky arabského ornamentu lze jist
považovat symetrické hv zdy – tzv. zalij (obr.). Nej ast ji
se vyskytují se šesti, osmi, deseti, dvanácti a šestnácti
paprsky. Arabské ornamentální mistrovství dosáhlo vrcholu
v polovin 14. století, jak lze spat it v Asii, Africe,
ale i v Evrop . Pohádkový dojem z ornamentální krásy
vytvo ené maurskými um lci m žeme obdivovat v paláci
maurských král v granadské Alhamb e
nebo v cordobských mešitách ve Špan lsku.
Gotika je název pro období konce st edov ku (12. - 15. století). Vedle velkolepých gotických katedrál
však existovala ješt daleko skromn jší „druhá gotika“ m š anských dom . V 15. století se k výzdob st n,
strop a nábytku v m š anských domech používaly z finan ních d vod pouze šablony. Obytné ásti dom
byly obkládány prkny a lištami, které se pak pokreslovaly ozdobnými pruhy – frýzy. Motivy „nekone né
tapety“ se ve st ední Evrop za ínají prosazovat až v záv ru 15. století. Je to údajn p edevším díky
dováženým italským textiliím, kterými se za íná hlásit nastupující renesance.
Názvem anatolské koberce se ozna ují barevné orientální koberce, které pocházejí z Anatolie, stepní
oblasti Turecka. P vodní ko ovné kmeny Turkmen zde žily ve stanech a v nich používaly koberce vyrobené
z ov í vlny. Ty m ly krom praktických vlastností také vlastnosti estetické.
Typickým motivem anatolského koberce je kv t „gül“ – turecky „r že, kv tina“ (obr.).
Byl to v tšinou šestiúhelník nebo osmiúhelník s geometricky stylizovaným kv tem.
Nejstarší doklady vázaných koberc nalezené na anatolském území pocházejí
z 1. poloviny 13. století. Jejich len ní je „klasické“: st edové pole pravideln vypln né
geometrickými rostlinnými vzory, po obvodu široké pásy s dalšími geometrickými tvary
v tšinou živo išného charakteru: slepi í stopy, beraní rohy – symbol plodnosti,
hrdinství a moci, hv zdy a hv zdice – symbol št stí a plodnosti apod. Od poloviny
15. století jsou tyto motivy postupn nahrazovány vzory geometrickými.
Zajímavým se jeví užití ornament v ozdobách a špercích amerických Indián . Jako materiál užívali
zlato, st íbro, polodrahokamy, m , bronz, pe í pták , schránky m kkýš , v novov ku i dovážené sklen né
korálky a knoflíky. Nedílnou sou ástí celkového vzhledu Indián bylo i ornamentální malování na k ži, p íp.
tetování obli eje a ostatních ástí t la. Používaly se p edevším geometrické vzory dopln né magickými
symboly. Znalost takového ornamentálního malování byla nezbytná.
Po átkem 15. století se Itálie stala kolébkou reformního um ní – renesance. Ornamentika se využívala
v malbách na st ny i sklo, v intarziích, výšivkách, kobercích, mramorových mozaikách i filigránových
ozdobách. Objevuje se však ješt jeden druh výzdoby – krajky. Ty byly zhotovovány podle kreseb
nejslavn jších mistr (nap . Rafael) a jejich ceny byly asto závratné. Krajkový ornament té doby využíval
nejvíce motiv rostlinných, jen ob as dopln ný figurálními dekoracemi.
Konec 19. století byl prodchnut symbolismem, secesí i dalšími historicko-um leckými prvky.
Tato doba pat ila ke zlatému v ku ornamentu. Vycházela ada publikací, ornament se vyu oval i na školách.
V eských školách na p elomu 19. a 20. století neprobíhala práce s ornamenty v rámci výuky matematiky.
Tím je také dán zp sob prezentace ornament . Nebyly používány ve spojení se shodnými zobrazeními, ale
• jako prost edek nácviku p ekreslování vzor (p edm t „Kreslení od ruky“),
• skrze n se vychovávalo k tradicím národa a k národnímu odkazu p edk (p edm t „Ru ní práce“)
S tím také souvisí jednotlivé typy ornamentálních vzor používané ve výuce. Jednalo se p edevším o lidové
vzory z výšivek na krojích – svéráz.
Písmenový typografický styl odolává asu. Jinak je tomu však u nepísmenového typografického
materiálu - linky a ornamenty, jimiž dotvá eli výraz svých tisk naši p edkové. Je škoda, že „staré vzorníky
jsou dnes vzácným a pe liv st eženým pokladem n kolika š astlivc a nové tiskárenské vzorníky v tšinou
neexistují, nebo jsou omezeny jen na písmo“. Mapy znak , jež máme k dispozici v našich po íta ových
textových editorech, jsou slabou náhradou za množství linek, ozdobných roh , ráme k , samostatných
ornament , dekorativních grafických znak a symbol z p elomu 19. a 20. století.
Na po átku 20. století je možno pozorovat zdánlivý úbytek i zánik ornamentu. Novou vlnu
egyptských vzor v dekorativním um ní zvedl až objev Tutanchamonovy hrobky v roce 1922.
Jedním z um lc , kte í propadli kráse ornament konkrétn ornament maurských mozaik, byl Maurits Cornelis
Escher (1898 – 1972). Když mladý Escher zvládl r zné grafické
techniky (d evo ez, d evoryt, litografie a mezzontino), zam il se
na obsah svých d l. Cht l v každé své grafice zachytit n jakou
myšlenku, nápad i objev. S pomocí p ítele matematika B. Ernsta
rozší il maurské ornamenty o rostliny, živo ichy i lidi
a pravidelným vypln ním roviny dokázal ilustrovat patnáct
ze sedmnácti Fjodorovových rovinných grup symetrií – chybí
grupy p4m a p6m. Escherovy grafiky (obr.) jsou velmi populární
nejen mezi laickou ve ejností, ale i mezi matematiky
a krystalografy.
Giloši (obr.) – tento zajímavý pojem pat í do hantýrky tiska , „guillochis“ znamená ornament složený
z ar, které se symetricky protínají. Jsou používány jako
obrazce tvo ící podkladový tisk na bankovkách, cenných
papírech a jiných ú edních dokumentech. Dnes díky
rozvoji po íta a za použití po íta ové grafiky není
p íprava takových ornament obtížná. Konstrukce
se obvykle volí pomocí Hermitových, Bézierových
i B-spline k ivek. Jejich tvary se mohou m nit volbou
vstupních parametr . Obrazce jsou sice reprodukovatelné, ale po et kombinací jednotlivých parametr je
velký, a proto je napodobení ornamentu velmi obtížné.
Matematická teorie ornament (grup symetrií) za ala být významn ji rozvíjena koncem 19. století
spole n s enumera ními teoriemi krystalografických grup. Proto autory základních poznatk byli práv
krystalografové (A. Bravais, E.S. Fjodorov, A. Schoenflies, W. Barlow, H. Hilton), kte í se zabývali vedle
symetrických grup v rovin také grupami ve trojdimenzionálním prostoru.
Je jist zajímavé, že na úpln první ur ení 17 t íd tapetových ornament ruským krystalografem
E.S. Fedorovem z roku 1891 se pozapomn lo. Bylo totiž publikováno pouze v ruštin . Na znovuobjevení
se pak podílel p edevším americký matematik ma arského p vodu G. Pólya (1924), dále pak P. Niggli
(1924), A. Speiser (1927) a další. Od té doby se za ínají objevovat práce designer a historik studující vývoj
ornamentu v r zných lidských kulturách nejen z hlediska um ní, ale také z hlediska znázorn ní jednotlivých
t íd grup symetrií.
3. Rozety
V terminologii ornamentalistiky se k vyjád ení rozetových vzor používají
také výrazy jako solitér i r žice. S rozetami se setkáváme doslova na každém kroku:
ozdobné kv tinové vzory, okna, gotické kružby, p dorysy kostel , erby, šperky,
sn hové vlo ky, pavu iny, k ídla motýl , kv tinové záhony, plátky citrónu, zdobené
kolá e, knoflíky, ciferník hodin i kolo od auta nebo dopravní zna ky. Mnoho
náboženských rituál za íná vytvo ením posvátného kruhu, který má sloužit jako
pozvánka Boh m. Pohyb v kruhu pak vede do stavu extáze. Nap . Eskymáci
vy ezávají opakujícími se rytmickými pohyby do kamene kruh, aby se p ivedli
do transu. I tibetští mnichové si berou kruhy – mandaly (obr.) na pomoc, když cvi í
meditaci a pono ení se do sebe.
Symetrie útvaru je zobrazení, které tento útvar zobrazí na sebe.
Nutná symetrie ornamentu: oto ení
Možné symetrie ornamentu: osová a st edová soum rnost
Neobsahuje žádné posunutí.
Množiny symetrií t ídy Cn
P íklad: Ur íme množinu všech symetrií daného útvaru (obr.):
2 p ímé symetrie (oto ení o úhel 180°, 360°)
žádné nep ímé symetrie (neexistuje žádná osa symetrie)
Množina všech symetrií útvaru = množina symetrií t ídy C2 (C – cyklická, 2 - po et
r zných oto ení ),
která spolu s operací skládání zobrazení tvo í grupu (C2, ).
Nazveme ji cyklická rozetová grupa ádu 2 nebo rozetová grupa t ídy C2.
Obecn : množina symetrií t ídy Cn
(Cn, ) – cyklická rozetová grupa ádu n (n r zných oto ení).
Cn =
r
;r
;......; r
, n∈ N
° P,2⋅360°
P,360°
P,360
n
n
Množiny symetrií t ídy Dn
P íklad: Ur íme množinu všech symetrií daného útvaru (obr.):
4 p ímé symetrie (oto ení o úhel 90°, 180°, 270°, 360°)
4 nep ímé symetrie (4 osové soum rnosti)
Množina všech symetrií útvaru = množina symetrií t ídy D4 (D – diedrická, 4 - po et r zných oto ení ),
která spolu s operací skládání zobrazení tvo í grupu (D4, ).
Nazveme ji diedrická rozetová grupa ádu 4 nebo rozetová grupa t ídy D4.
Obecn : množina symetrií t ídy Dn
(Dn, ) – diedrická rozetová grupa ádu n (n r zných oto ení a n r zných osových soum rností).
Dn = o ; o ;......;oan; r
;r
;.......;r
, n∈ N ∧ n > 2
a1 a2
°
360°
P,360°
P,360
n P,2⋅ n
Cn je podgrupa grupy Dn.
Rozety – 2 t ídy (grupy symetrií)
C
C
C
D2
D3
D
D
D
Sainte Chapelle – Pa íž
D6
D
D
D
DD
DD
DD
D
DD
DD
D4
DD
D1
C
C
C
C4
C
Dn
C3
C
C
C2
D
C1
C
Cn
Basilica di San Giovanni in Laterno – ím
C4
D3
C3
4. Frýzy
Americký etnolog Jan Vansina ve své knize „D ti les “ popisuje mimo jiné kulturu a zp sob života
jednoho ernošského kmene v africkém Zairu. Zde se za hrdinský in považuje vymyšlení nového ornamentu.
Každý ná elník musí na po átku své vlády vytvo it nový ozdobný pruh, který je pak vyryt na jeho buben
a stává se symbolem celého panovníkova rodu. Když sem ve dvacátých letech skupina misioná p ivezla
poprvé motocykl, vzbudil u domorodc jen velmi malou pozornost. Ale král byl po chvíli okouzlen a poklekl.
Zaujal ho totiž neobvyklý vzor, který p i jízd motocyklu tiskly pneumatiky do písku. Panovník si okamžit
tento pruh obkreslil a nazval ho svým jménem.
F13
Frýz (vlys, ozdobný pruh – obr.) je nekone ný ozdobný
ornamentální pruh hladký nebo zdobený motivy
figurálními nebo ornamentálními. Frýz je nekone ný
útvar, nakreslený na papíru bude vždy objekt kone ný.
Jeho nekone nost však zachováme v našem myšlení.
Nutná symetrie ornamentu: posunutí
Možné symetrie ornamentu: osová, st edová a posunutá soum rnost
Množiny symetrií t ídy Fij
F21
FF FF FF
o
o
a
a
FFFFFF
FF FF FF
F22
o
FF F
F
F1 3
F
a
o
F
F1 2
F
F
FFFFFF
F
F
F1 1
F2
F
FFFFFF
F
F1
F22
F
Fij pro: i = 1 … nemá st edovou soum rnost
i = 2 … má st edovou soum rnost
j = 1 … má osovou soum rnost s osou o
j = 2 … má osovou soum rnost s osou a
j = 3 … má posunutou soum rnost
F12
FF
o
Frýzy - 7 t íd
St edová soum rnost
NE
ANO
Osová soum rnost s osou o
NE
Osová soum rnost s osou o
ANO
Osová soum rnost s osou a
NE
ANO
F12
Posunutá soum rnost
F11
NE
ANO
Osová soum rnost s osou a
NE
F21
ANO
F22
F2
a
FF FF FF
F
F13
F1
F11
F
ANO
F21
Alcazar de los Reyes Cristianos - Cordoba
F1
Banos de la Maria de Padilla, Reales Alcazares - Sevilla
F21
Palacio de Velazquez,
Velazquez, Parque de Retiro - Madrid
F12
F
NE
o
5. Tapety, rovinné mozaiky
Tapety – pokrývají celou rovinu.
Stejn jako frýzy jsou i tapety nekone né útvary.
Nutná symetrie ornamentu:
dvojice lineárn nezávislých posunutí
Možné symetrie ornamentu:
osová, st edová, posunutá soum rnost i oto ení
W1 2
Bod ádu n = tento bod je st ed všech rotací,
které tvo í cyklickou rozetovou grupu Cn
V tapetách se spolu vyskytují pouze body ádu 1, 2, 3, 4 a 6.
Neexistuje tapeta s body ádu 5 !
W4
W6
W6 1
W2 2
Granada – palác Alhambra
Tapety – 17 t íd (grup symetrií)
ANO
ANO
ANO
W1...360°
( ád 1)
Existuje
nep ímá
soum rnost
Existuje
osová
soum rnost
NE
NE
W2...180°
( ád 1, 2)
Existuje
nep ímá
soum rnost
NE
W1
W1
Existuje
osová
soum rnost
W2
NE
3
Existuje n jaký
st ed otá ení,
který leží na ose
osové soum rnosti
NE
NE
Existuje n jaký
st ed otá ení,
který neleží na ose
osové soum rnosti
W3...120°
( ád 1, 3)
Existuje
nep ímá
soum rnost
Existuje n jaký st ed otá ení,
který neleží na ose osové soum rnosti
W4...90°
( ád 1, 2, 4)
Existuje
nep ímá
soum rnost
ANO
W6...60°
( ád 1, 2, 3, 6)
Existuje
nep ímá
soum rnost
NE
Sulawesi - Indonésie
Existuje n jaký st ed otá ení,
který neleží na ose osové soum rnosti
NE
NE
W22
W3
2
W3
1
W3
ANO
ANO
NE
W21
W2 4
NE
NE
W1 1
W23
ANO
ANO
W1 2
ANO
ANO
ANO
ANO
Osy posunutých osových soum rností
jsou totožné s osami osové soum rnosti
W42
W41
W4
W61
W6
(Escher 15 - chybí W41 a W61, Alhambra 17)
Mozaiky
Johanna Keplera známe p edevším díky jeho t em zákon m o drahách planet obíhajících kolem Slunce,
málo se však ví o jeho výzkumech v oblasti rovinných mozaik. Druhá kniha jeho spisu "Harmonice Mundi“
se jmenuje "Kongruence harmonických útvar " a je v nována mj. pravidelnému pokrývání roviny.
Podívejme se na dlažby, mozaiky, parketáže a obklady o ima matematiky. Zcela obecn mozaikou
chápeme n jakou plošnou výzdobu i obraz, jež je složen z r znobarevných kosti ek, st ípk apod. Budeme
zkoumat, zda je možné pokrýt neomezen rovinu n jakými útvary (dlaždicemi) tak, aby nedocházelo k jejich
vzájemnému p ekrývání ani aby nez stávaly v rovin "díry". P estože tyto rovinné útvary mohou být
libovolných tvar (elipsy, hv zdice, kv tiny), my budeme pro jednoduchost za dlaždici považovat libovolný
mnohoúhelník.
Matematika zkoumá mozaiky z hlediska pokrytí roviny dlaždicemi tak, aby:
- Pr nikem libovolných dvou dlaždic nejsou dlaždice (nep ekrývají se)
- Sjednocením všech dlaždic mozaiky je celá rovina (nejsou díry).
Mozaika typu „strana na stranu“ – platí práv jedna z možností:
- Dlaždice mají spole nou práv 1 celou stranu.
- Mají spole ný práv jeden vrchol.
- Nemají žádný spole ný bod.
ano
ne
Každému vrcholu X mozaiky typu „strana na stranu“ p i adíme
r-tici ísel (n1.n2….nr), uspo ádanou po sm ru hodinových ru i ek.
P íklad: Bod 1 (6.3.4.4.), bod 2 (6.4.3.4)
Vrcholy stejného druhu (stejnorodé):
pro r-tice pro oba vrcholy platí rovnost množin, nezáleží na po adí.
P íklad: Bod 1 (6.3.4.4.) a bod 2 (6.4.3.4) jsou stejného druhu (ne
však typu)
3
Vrcholy stejného typu:
- ob r-tice obsahují stejné prvky ve stejném po adí a stejném sm ru otá ení
- ob r-tice obsahují stejné prvky ve stejném po adí ale v opa ném sm ru
otá ení
P íklad: Bod 1 (6.3.4.4.) a bod 3 (4.3.6.4) jsou stejného typu
Pravidelná mozaika – jednoprvková mozaika složená z pravidelných n-úhelník , jejíž všechny vrcholy
jsou stejného typu.
Polopravidelná mozaika – víceprvková mozaika složená z pravidelných n-úhelník , jejíž všechny vrcholy
jsou stejného typu.
Kepler jako první matematicky popsal pravidelné a polopravidelné mozaiky složené z rovnostranných
mnohoúhelník (nap . hv zdic). My budeme zkoumat pouze mozaiky složené z pravidelných n-úhelník
s vrcholy stejného typu.
Vyšet ování mozaik:
1) Stanovíme omezení pro ni a r
2) Ur íme všechny možné druhy a typy vrchol
3) Vybereme jen ty mozaiky, které mají vrcholy stejného typu
4) Pravidelné a polopravidelné mozaiky a pohled na n z hlediska ornamentálních vzor .
ad 1) Omezení pro ni a r
Pro pravidelné a polopravidelné mozaiky musí platit: ni ≥ 3 ∧ 3 ≤ r ≤ 6
180 (n1 - 2) 180 (n2 - 2)
180 (nr - 2)
+
+ ......... +
= 360
n1
n2
nr
1 1
1 r−2
(1)
+ + + =
n1 n2
nr
2
ad 2) Druhy a typy vrchol
Postupným dosazováním r = 3, 4, 5, 6 do rovnice (1) získáme celkem 17 r zných celo íselných ešení,
tj. 17 typ vrchol :
r = 3: (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18), (3.10.15), (3.12,12), (4.5.20), (4.6.12), (4.8.8), (5.5.10), (6.6.6)
r = 4: (3.3.4.12), (3.3.6.6), (3.4.4.6), (4.4.4.4)
r = 5: (3.3.3.3.6), (3.3.3.4.4)
r = 6: (3.3.3.3.3.3)
Zohledníme-li po adí r-tic, musíme p idat vrcholy typu
(3.12.3.4), (3.6.3.6), (3.4.6.4), (3.3.4.6.4) a dostaneme 21 typ vrchol .
ad 3) Vrcholy stejného typu
Ukažme si, že ne každá z jedenadvaceti p edložených možností typu vrcholu m že tvo it pravidelnou
i polopravidelnou mozaiku. Nesta í totiž znát jen typ vrcholu, pot ebujeme mít zajišt no, aby všechny
vrcholy byly stejného typu. Jednotlivé výše vypsané možnosti musíme proto podrobn ji vyšet it se z etelem
na naše uvažované požadavky:
P íklad: úvaha pro r = 3
Z obrázku je patrné, že dva
vrcholy jsou typu (3.x.y), ale typu
(3.x.x). Aby byly všechny
vrcholy stejného typu, musí platit
x = y.
Tudíž nám vyhovuje pouze možnost (3.12.12), ale nevyhovují (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18) a (3.10.15).
Analogickými úvahami vylou íme další nevyhovující r-tice pro r = 3, 4, 5, 6.
Záv r: Z jedenadvaceti možných typ vrchol jich jen jedenáct tvo í základ pro pravidelnou
i polopravidelnou mozaiku (viz p ehled v tab. 1).
r=3
vyhovující
ešení
r=4
nevyhovující
ešení
vyhovující
ešení
r=5
r=6
nevyhovující vyhovující ešení nevyhovující vyhovující ešení nevyhovující
ešení
ešení
ešení
(3.12.12) (3.7.42) (3.4.6.4) (3.3.4.12) (3.3.3.3.6)
(4.6.12) (3.8.24) (3.6.3.6) (3.4.3.12) (3.3.3.4.4)
(4.8.8)
(3.9.18) (4.4.4.4) (3.3.6.6) (3.3.4.3.4)
(3.4.4.6)
(6.6.6) (3.10.15)
(4.5.20)
(5.5.10)
Tab. 1
(3.3.3.3.3.3)
4. Pravidelné a polopravidelné mozaiky
Naše výsedky zaznamenané do tabulky 1 odpovídají zn ní v ty, která bývá ob as nazývána v tou
Keplerovou: "Neuvažujeme-li podobnost, existuje práv jedenáct r zných mozaik typu "strana na stranu", kde
všechny vrcholy jsou stejného typu a dlaždice ve tvaru pravidelných mnohoúhelník ."
Jedenáct mozaik z tabulky 1 (= Archimedovy mozaiky) m žeme jednozna n rozd lit na dv skupiny:
na pravidelné a polopravidelné.
a) Pravidelné mozaiky jsou 3:
• složené z rovnostranných trojúhelník , tj. všechny vrcholy typu (3.3.3.3.3.3),
• složené ze tverc , tj. všechny vrcholy typu (4.4.4.4),
• složené z pravidelných šestiúhelník , tj. všechny vrcholy typu (6.6.6).
W6 1
W4 1
W6 1
b/ Polopravidlených mozaik je 8:
Symetrie pravidelných a polopravidelných mozaik tvo í p t r zných tapetových grup:W21,W41,W42,W6,W61.
W6 1
(3.12.12)
W6 1
(4.6.12)
W4 1
(4.8.8)
W6 1
(3.4.6.4)
W6 1
(3.6.3.6)
W6
(3.3.3.3.6)
W4 2
(3.3.3.4.4)
W4 2
(3.3.4.3.4)
Literatura:
RNDr. Jana Pradlová, CSc.,
Karl Levitin: Geometrická rapsodie
Mario Livio: Zlatý ez, Doko án, Praha 2006
Alena Šarounová: Soum rnosti v rovin , Veset, Plze 1993
V. Heroldová: Š oví ková, Dr. J. Kandert ,Csc.: Africký ornament a tvar, Náprstkovo muzeum, Praha 1993
J. Skuhravý: Barevný ornament, nakladatel: I.L. Kober knihkupectví, Praha 1906
Text p ednášky:
http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/view/full/279/
Ornamenty:
http://www.emis.de/monographs/jablan/
http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/tile/
Mozaiky, M.C.Escher:
http://www.mcescher.com/
http://www.tessellations.org/eschergallery26.htm
http://ieng9.ucsd.edu/~ma155f/FINAL/cfinalescherpost05.pdf
http://www.combinatorics.org/Volume_4/PDF/v4i2r17.pdf
http://www.mccallie.org/myates/Symmetry/wallpaperescher.htm
http://gwydir.demon.co.uk/jo/tess/sqtile.htm
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.pattern/lesson1math.html