9. průzkum bojem

9. průzkum bojem
1)Zapište jako výraz:Součin přirozeného čísla, které je
dělitelné osmi se zbytkem 5 a přirozeného čísla, které je
dělitelné jedenácti se zbytkem dva.
2)V pravoúhlém rovnoramenném ΔABC (γ = 90º) je |AB|= 8.√2.
Označme S – střed AB. Určete poloměr kružnice opsané ΔASC.
3)Ze vzorce pro výpočet povrchu kvádru
S = 2.(ab + ac + bc)vyjádřete délku strany a.
4)Výraz [(sinx)4 – (cosx)4]/cos(2.x) je v (π/4;π/2) roven:
a)různým číslům v závislosti na hodnotě proměnné x; b)1;
c)-1.
5)V ΔABC je S střed strany c. V jakém poměru je obsah ΔABC a
ΔBCS?
6)Jsou dána čísla x = 616, y = 484, z = 686. Určete největší
společný dělitel a nejmenší společný násobek těchto čísel.
S využitím získaných výsledků řešte následující úkoly:
a)Z výrazu 616.a3.b2 + 484.a2.b3 – 686.a3.b3 vytkněte co
největší jednočlen.
b)Výraz (3/x) – (5/y) + (4/z) upravte na jeden zlomek
s nejmenším možným kladným celočíselným jmenovatelem.
7)Jsou dány přímky p:3x – 2y + 8 = 0, q:2x + y – 2 = 0,
r:x + 2y = 0. Vzdálenost d průsečíku přímek p,r od přímky q
je: a)d > √5; b)d∈<2;√5>; c)d < 2?
8)Zjednodušte a udejte podmínky, kdy má výraz smysl:
_6.x2 + 20.x + 14_
3.x2 + x – 14
9)Jsou dány funkce f1:y = log√(x+3) + log√(x-3);
f2:y = 0,5.log(x2-9);
f3:y = log√((x3-9x)/x).
Je výrok „nejméně dvě z těchto tří funkcí se sobě rovnají‫״‬
pravdivý?
10)Je dána kružnice K:(x – 2)2 + (y – 4)2 = 121. Tečna kružnice
rovnoběžná s osou x má rovnici:
a)t:y = -7; b)t:x = 2; c)t:y = 14?
11)Řešte nerovnici
|x| - |x-5| ≥ 4.(x-3).
12)V pololetí bylo z matematiky klasifikováno 16 žáků školy
známkou nedostatečnou, 120 dostatečnou, 150 dobrou, 110
chvalitebnou a 4 výbornou. a)Určete relativní četnosti
výskytu jednotlivých známek! b)Určete aritmetický průměr
známek!
C)Sestrojte
spojnicový
a
sloupkový
diagram
klasifikace z M! d)Určete směrodatnou odchylku klasifikace
z M!
13)Jsou dány vektory u,v. Rovnost │u + v│ = │u - v│ platí
právě když: a)u.v < 0; b) u.v > 0; c) u.v = 0.
14)Obsah řezu krychle ABCDEFGH rovinou ↔ACF je:
a)nejméně 2x větší než obsah ∆BCG; b)menší než obsah ∆BCG;
c)větší než obsah ∆BCG.
15)Číslo 2.(cos210º + i.sin210º) je jeden z kořenů binomické
rovnice z4 = a. Jedná se o rovnici:
a)z4 = 8 + i.8.√3; b) z4 = -8 + i.8.√3; c) z4 = 8 - i.8.√3?
16)Řešte rovnici a proveďte zkoušku
(4/9)x. (27/8)x-1 = log4/log8;
17)Házíme třemi různými kostkami. Určete kolik je možností, že
padne alespoň jednou šestka: a)rozlišujeme-li, co na které
kostce padlo; b)nerozlišujeme-li, co na které kostce padlo,
ale rozlišujeme, kolik byl při hodu součet ok.
Vyberte správnou odpověď k otázkám a),b) z nabídky:
89; 11; 90; 12; 10; 91.
*18)V rovnoramenném ΔABC (a = b) je bod RεBC (viz obr.). Bod
S je pata kolmice spuštěné z bodu R na stranu AB. Dále
platí, že |∡RAC| = γ/4 a ΔASR je podobný ΔRSB. Určete, které
z následujících tvrzení je pravdivé? a)γ = 90°; b)φ = 90°;
c)ze zadaných údajů nelze φ určit.
*19)Je
dán
pravidelný
čtyřboký
jehlan
ABCDV,
přímka
p
(B∈p││↔AC) a bod S = SCV. Řez jehlanu rovinou ↔pS protíná
hranu AV v bodě X. Rozhodněte, které tvrzení platí:
a)X = SAV; b)X ≠ SAV; c)řez na základě daných údajů nelze
sestrojit.
*20)Tečna k parabole P:y2 = 2px
s osou x se dotýká paraboly
a)je kolmá k ose x, b)svírá
c)svírá s osou x úhel větší
(F – ohnisko paraboly P)
vedená průsečíkem řídící přímky
P v bodě M[x0;y0]. Přímka ↔FM:
s osou x úhel menší než 90º,
než 90º.
Výsledky:1)(8k+5).(11m+2); 2)r = 4cm; 3)a = (S–2bc)/[2.(b+c)];
4)c; 5)S∆ABC : S∆BCS = 2:1;
6)D = 2, n = 23.73.112 = 332024,
a)2a2b2.(308a + 242b – 343ab), b)123/332024;
7)b); 8)2.(x+1)/(x-2), x ≠ 2, x ≠ -7/3;
9)ano, f2 = f3; 10)a; 11)P = (-∞;3,5>;
12)a)n1 = 0,01; n2 = 0,275; n3 = 0,375; n4 = 0,3;
n5 = 0,04; b)3,085; d) s≐ 0,876;
13)c; 14)c; 15)b; 16)P = {2}; 17)a)91, b)11;
*18)b; *19)a; *20)a.
Návody k řešení příkladů s *
*18)Postupujeme podle obrázku:
1)∆ABC je rovnoramenný => λ = τ + γ/4 > τ;
2)∆ASR ∼ ∆RSB => │∡ARS│ = λ a │∡BRS│ = τ;
3)2.λ + γ = 180º => λ = 90º - γ/2;
4)τ = 90º - λ = γ/2;
5)λ + τ + φ = 90º - γ/2 + γ/2 + φ = 90º + φ = 180º =>
φ = 90º.
Poznámka. Nyní lze spočíst i velikost úhlu γ, t.zn. že všechny
trojúhelníky,
mající
vlastnosti
popsané
v zadání
příkladu jsou podobné.
*19)1)∆ADC ∼ ∆ZDY(uu) – viz obr. => │DZ│ = │DY│ => │AZ│ = │CY│;
2)∆ZDR ≅ ∆YDR(sus) => │∡DZR│ = │∡DYR│;
3)ze symetrie pravidelného čtyřúhelníka a výsledků ad2) je
zřejmé, že ∆ZAX ≅ ∆ YCS (usu) => │AX│= │CS│ => X = SAV.
*20)1)F[p/2;0];
2)označme A – průsečík řídící přímky s osou x => A[-p/2;0];
3)rovnice tečny k parabole procházející bodem M je
t:y.y0 = p.(x + x0);
4)naše tečna prochází rovněž bodem A,
tudíž 0.y0 = p.(-p/2 + x0),
což lze splnit pouze tak, že x0 = p/2;
5)body F, M mají stejnou x-ovou souřadnici, t.zn., že
přímka ↔FM je kolmá k ose x.