AUTOMATICKÉ GENEROV´ANÍ SÍTÍ 1. Simpliciálnı pokrytı a

AUTOMATICKÉ GENEROVÁNÍ SÍTÍ
RUDOLF HLAVIČKA
1. Simpliciálnı́ pokrytı́ a triangulace
Necht’ S =
{Pi }ni=1
je konečná množina bodů v Eukleidovském prostoru Rd . Fyzikálnı́ význam majı́
◦
předevšı́m přı́pady d = 1, 2, 3, 4. Symbolem U značı́me vnitřek a symbolem U uzávěr množiny X ⊂ Rd .
Definice Konvexnı́ kombinacı́ bodů z množiny S rozumı́me bod P , který vznikne speciálnı́ lineárnı́
kombinacı́
n
n
X
X
P =
ti Pi ,
ti = 1, ti ≥ 0 pro i = 1, . . . , n.
i=1
i=1
Definice Konvexnı́m obalem C(S)množiny S se rozumı́ množina všech konvexnı́ch kombinacı́
C(S) = {P : P je konvexnı́ kombinacı́ bodů z množiny S} .
Poznámka Konvexnı́ obal obsahuje s každými dvěma body rovněž úsečku tyto body spojujı́cı́.
Obrázek 1. Konvexnı́ obal množiny bodů v rovině
d
d
d
’
Definice Necht’ S je množina d + 1 bodů S = {Aj }d+1
j=1 ⊂ R , Aj = (aij )i=1 ∈ R . Necht A je matice
obsahujı́cı́ souřadnice těchto bodů jako sloupce, které jsou do dimenze d + 1 doplněny jedničkami.


a11 a12 . . . a1,d+1
a21 a22 . . . a1,d+1 

A=
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1 ...
1
Necht’ je matice A regulárnı́, konvexnı́ obal Π = C(S) budeme nazývat d−simplexem, body množiny S
jsou jeho vrcholy.
Uvažujme následujı́cı́ soustavu rovnic
Aλ = x, x = (x1 , . . . , xd , 1)T ,
kde (xi )di=1 jsou kartézské souřadnice obecného bodu v Rd . Protože má tato soustava regulárnı́ matici,
je d-simplexem Π zadána nová soustava souřadnic, tzv. barycentrické souřadnice bodu λ = (λi )ni=1 . Pro
body ležı́cı́ v Π zřejmě platı́ λi ≥ 0, i = 1, . . . , d + 1, takže jsou to právě koeficienty konvexnı́ kombinace
vrcholů simplexu.
1
AUTOMATICKÉ GENEROVÁNÍ SÍTÍ
2
Obrázek 2. 2-simplex (trojúhelnı́k) a 3-simplex (čtyřstěn)
Matici


1 0 ... 0 0
0 1 . . . 0 0


.
A=

. . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1 0
1 1 ... 1 1
odpovı́dá tzv. referenčnı́ simplex. V tomto přı́padě splývá prvnı́ch d barycentrických souřadnic s kartézskými.
Definice Necht’ Ω = C(S), kde S ⊂ Rd je jako dřı́ve konečná množina bodů. Simpliciálnı́m pokrytı́m
uzavřené oblasti Ω je množina d-simplexů T splňujı́cı́ch následujı́cı́ vlastnosti:
• (H1) Množina všech vrcholů d-simplexů T je právě S.
• (H2) Ω je sjednocenı́m všech simplexů pokrytı́
[
Ω=
T.
T ∈T
◦
• (H3) Každý simplex T ∈ T má neprázdný vnitřek T 6= ∅.
◦
◦
• (H4) Vnitřky simplexů majı́ prázdný průnik T 1 ∩ T 2 = ∅, T1 , T2 ∈ T .
Obrázek 3. Simpliciálnı́ pokrytı́ a konformnı́ pokrytı́
Poznámka Podmı́nku (H3) lze psát jako det A 6= 0, protože absolutnı́ hodnota determinantu matice A
je násobkem objemu simplexu
1
vol(Π) = | det A|.
d!
Definice Fazetou dimenze k rozumı́me pro k = −1 prázdnou množinu ∅, pro k = 1 bod a pro
k = 2, . . . , d − 1 je to k−simplex v Rd .
Definice Řekneme, že simpliciálnı́ pokrytı́ T je konformnı́ pokrytı́, pokud splňuje podmı́nku
AUTOMATICKÉ GENEROVÁNÍ SÍTÍ
3
Obrázek 4. Konformnı́ sı́t’
• (H5)
T1 ∩ T2 je fazeta dimenze < d T1 , T2 ∈ T .
2. Sı́tě
Nynı́ budeme uvažovat obecnou uzavřenou ohraničenou oblast Ω ⊂ Rd pro d = 2, 3.
Definice Termı́nem geometrický element budeme rozumět podmnožinu Rd , která nemusı́ být nutně
simplexem. Systém geometrických elementů T nazveme sı́tı́, jsou-li splněny následujı́cı́ podmı́nky
• (H2) Ω je sjednocenı́m všech elementů sı́tě
[
Ω=
T.
T ∈T
◦
• (H3) Každý element T ∈ T má neprázdný vnitřek T 6= ∅.
◦
◦
• (H4) Vnitřky elementů majı́ prázdný průnik T 1 ∩ T 2 = ∅, T1 , T2 ∈ T .
Definice Řekneme, že sı́t’ T je konformnı́, pokud splňuje podmı́nku
• (H5)
T1 ∩ T2 je fazeta dimenze < d T1 , T2 ∈ T .
Reference
[1] Paul-Louis George Houman Borouchaki. Delaunay Triangulation and Meshing Application to Finite Elements. Editions
HERMES, Paris, 1998.
[2] P. L. George. Automatic Mesh Generation: Applications to Finite Element Methods. John Wiley & Sons, Inc., New
York, NY, USA, 1992.
[3] Paul-Louis George Pascal Jean Frey. Mesh Generation application to finite elements. HERMES Science Publishing,
Oxford & Paris, 2000.
[4] Jonathan Richard Shewchuk. Triangle: Engineering a 2D Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator. In Ming C.
Lin and Dinesh Manocha, editors, Applied Computational Geometry: Towards Geometric Engineering, volume 1148 of
Lecture Notes in Computer Science, pages 203–222. Springer-Verlag, May 1996. From the First ACM Workshop on
Applied Computational Geometry.
[5] Jonathan Richard Shewchuk. Delaunay Refinement Mesh Generation. PhD thesis, School of Computer Science, Carnegie
Mellon University, Pittsburgh, Pennsylvania, May 1997. Available as Technical Report CMU-CS-97-137.
[6] Jonathan Richard Shewchuk. Lecture notes on delaunay mesh generation, 1999.